…○………………○…学校:_______________班级：…○………………○…绝密★启用前 上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．函数2()1f x x =-（1x ≥）的反函数为1()f x -，则1(2)f -的值是（ ） B. C.1+ D.12．若函数在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ） A.0a ≥ B.0a > C.0a ≤ D.0a < 3．如图所示，点P 是函数2sin()y x ωϕ=+（x ∈R ，0>ω）的图像的最高点，M 、N 是该图像与x 轴的交点，若△PMN 是等腰直角三角形，则ω=（ ） A.8π B.4π C.2π D.π 4．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是C．220 D．110第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5．集合{1,0,1,2}A =-，{}lg 0B x x =>，则A B =________ 6．已知函数 ，则 . 7．设R λ∈，若22123x y λλ+=--表示双曲线，则λ的取值范围是________8．计算：2153lim 29n n n n +→∞-=+________ 9．若幂函数的图像过点(8,2)，则此幂函数的解析式是y =________ 10．二项式8的展开式中，x 的一次项系数是________ 11．在△ABC 中，3AB =，2AC =，BC =AB AC ⋅=________ 12．函数sin()sin()44y x x ππ=-+的最大值为________ 13．设集合{1,2}A =，2{|10}B x x ax =--≤，若x A ∈是x B ∈的充分条件，则实数a 的取值范围是________ 14．已知函数()y f x =对任意实数x 满足(4)()f x f x +=-，且当(,2]x ∈-∞-时，有1()()52x f x =-，若函数()f x 在区间(,1)k k +（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为________ 15．在一个质地均匀的四面体中，一个面上标有数字1，一个面上标有数字2，另外有两个面上标有数字3，将该正四面体抛掷三次，则向下一面的数字之和为7的情况有________种 16．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为1，在正方体的表面上与点A 的点形成一条曲线，这条曲线的长度为________. 三、解答题 17．如图1111ABCD A B C D -是棱长为2的正方体，M 、N 分别是1BB 、CD 的中点.…………装…………○……………………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※…………装…………○……………………○…… （1）求三棱锥B AMN -的体积； （2）求异面直线MN 与1DD 所成角的大小. （用反三角函数值表示） 18．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，直线:3l x =-，P 为椭圆上任意一点，证明：点P 到F 的距离是点P 到l 距离的3倍.19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）20．已知数列{}n a 中，59a =，且点1(,)n n P a a +（*n ∈N ）在直线20x y -+=上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意的*k ∈N ，将数列{}n a 落入区间2(2,2)k k 内的项的个数记为k b ，求{}k b 的通项公式；（3）对于（2）中{}k b ，记2122k k k c b -=-，数列{}k c 前k 项和为k T ，求使等式111k k m T m T m c +-=-+成立的所有正整数k 、m 的值. 21．若函数()f x 满足：对任意实数[0,1]a ∈以及定义中任意两数1x 、2x （12x x ≠），恒有1212((1))()(1)()f ax a x af x a f x +-≤+-，则称()f x 是下凸函数. （1）证明：函数2()g x x =是下凸函数； （2）判断2()log f x x =是不是下凸函数，并说明理由； （3）若()f x 是定义在[0,1]上的下凸函数，常数(0,1)t ∈，满足：(0)()f f t ≤，(1)()f f t ≤，且(0)1f =，求证：(1)1f =，并求()f x 在[0,1]上的解析式.参考答案1．A【解析】【分析】根据反函数的求法,先求得函数的反函数,再代入求值即可.【详解】因为函数2()1f x x =-（1x ≥）令21y x =-则21x y =-所以y =因为函数2()1f x x =-中1x ≥根据反函数的性质可知其反函数的1y ≥所以反函数())11fx x -=≥-所以()12f -==故选:A【点睛】本题考查了反函数的求法及求函数值,注意求得反函数的定义域、值域与原函数互换的性质,属于基础题.2．A【解析】试题分析：函数在()0,+∞上单调递增，所以2222221211()()0ax ax ax ax f x x x x--++='='=≥在()0,+∞上恒成立，所以0a ≥. 考点：本小题主要考查导数的计算和由函数的单调性求参数的取值范围，考查学生转化问题的能力和运算求解能力.点评：注意到题目中应该是()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，而不是()0f x '>在()0,+∞上恒成立，否则就漏解了.3．B【解析】【分析】根据△PMN 是等腰直角三角形,结合三角函数的最大值,即可求得MN 的长,进而求出周期后即可得ω的值.【详解】因为函数2sin()y x ωϕ=+所以最大值为2因为PMN ∆是等腰直角三角形所以224MN =⨯=由图像可知,函数周期为248T =⨯= 由周期公式可得2284T πππω=== 故选:B【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质,根据部分函数图像求解析式问题,属于基础题. 4．A【解析】 由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k- 则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭， 要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 5．{2}【解析】【分析】先求得集合B,再根据交集运算即可求得A B . 【详解】 因为集合{}lg 0B x x =>,即{}1B x x =>集合{1,0,1,2}A =-所以{}2A B ⋂=故答案为: {}2【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.6．【解析】试题分析：因为 ，所以，.考点：分段函数求值.7．(2,3)【解析】【分析】将双曲线方程化简,根据双曲线解析式的特征,即可得λ的取值范围.【详解】 因为22123x y λλ+=--,即22123x y λλ-=-- 根据双曲线性质可知()()230λλ-->即()()230λλ--<解不等式可得23λ<<,即λ的取值范围是()2,3故答案为:()2,3【点睛】本题考查了双曲线方程及其性质,属于基础题.8．3-【解析】【分析】根据指数幂的运算,化简后即可求得极限值.【详解】 对于2153lim 29n n nn +→∞-+,化简后可得2153539lim lim 2929n n n n n n n n +→∞→∞--⨯=++ 分子分母同时除以9n 则539lim 3219n n n →∞-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭故答案为: 3-【点睛】本题考查了数列极限的求法,注意对数列进行适当的变形,属于基础题. 9．13x 【解析】【分析】设出幂函数的解析式,代入点坐标,即可求得解析式.【详解】设幂函数的解析式为y x α=因为幂函数图像过点()8,2所以28α=,解得13α= 所以13y x =故答案为: 13x【点睛】本题考查了幂函数的定义及解析式求法,属于基础题.10．28【解析】【分析】根据二项式定理可知其展开式的通项公式,即可求得x 的一次项系数.【详解】二项展开式的通项公式为1r r n r r n T C a b -+=所以二项式8的展开式通项公式为8113218r r r r T C x x --+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当6r =时为x 的一次项所以()()2166788T C x x C x -== 即x 的一次项系数是6887282C ⨯== 故答案为:28【点睛】 本题考查了二项式定理展开式通项公式的应用,指定向系数的求法,属于基础题.11．32【解析】【分析】已知条件为三角形的三条边,先根据余弦定理求得cos CAB ∠,再根据向量数量积即可求得解.【详解】在△ABC 中,3AB =,2AC =,BC =由余弦定理可得222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⨯2222312234+-==⨯⨯ 由向量数量积为cos AB AC AB AC CAB ⋅=⋅∠ 133242=⨯⨯= 故答案为: 32 【点睛】本题考查了余弦定理及向量数量积的综合应用,先求得夹角是解决问题的关键,属于基础题. 12．12【解析】【分析】 根据正弦的和角与差角公式,展开合并化简,结合余弦的二倍角公式化简即可求值.【详解】由正弦函数的和角与差角公式,化简可得sin()sin()44y x x ππ=-+ sin cos sin cos sin cos sin cos 4444x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x x x ⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭2211sin cos 22x x =- 因为221cos21cos2sin ,cos 22x x x x -+==所以原式1cos22x =-因为1cos21x -≤≤ 所以最大值为12故答案为:12【点睛】 本题考查了正弦函数和角与差角公式的化简,余弦二倍角公式的应用,三角函数值的求法,公式应用较为灵活,属于中档题.13．3[,)2+∞【解析】【分析】解不等式,求得集合B,再根据充分必要条件可得不等式组,即可求得实数a 的取值范围.【详解】因为集合2{|10}B x x ax =--≤ 所以解210x ax --≤x ≤≤因为集合{1,2}A =且x A ∈是x B ∈的充分条件所以12≤⎨⎪≤⎪⎩032a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩ 所以32a ≤,即实数a 的取值范围为3[,)2+∞ 故答案为: 3[,)2+∞ 【点睛】本题考查了充分必要条件的简单应用,含参数一元二次不等式的解法,属于中档题.14．3-或6【解析】【分析】先求得当(,2]x ∈-∞-时函数()y f x =零点所在范围,即可求得一个k 的值;根据(4)()f x f x +=-可求得函数()y f x =对称轴,结合对称轴即可求得函数()y f x =在[)2+x ∈∞，上的零点所在区间,进而求得k 的值.【详解】当(,2]x ∈-∞-时,根据零点定义可知1()()5=02x f x =- 解得12log 5x =,即函数一个零点为12log 5x = 因为12log y x =是单调递减函数,且1122log 42,log 83,=-=- 所以111222log 8log 5log 4<<,即123log 52-<<- 因为零点所在区间为(,1)k k +（k ∈Z ）,所以此时3k =-任意实数x 满足(4)()f x f x +=-,所以函数图像关于2x =成轴对称,所以若一个零点为12log 5x =,则在[)2+x ∈∞，时的一个零点为1242log 5x =-, 因为12642log 57<-<,所以此时6k =故答案为3-或6【点睛】本题考查了函数零点的求法,函数对称性质的应用及对数的简单应用,属于中档题.15．18【解析】【分析】根据排列组合的性质,分类、分步计数原理可解.【详解】因为四面体中,一个面上标有数字1,一个面上标有数字2,另外有两个面上标有数字3,当将该正四面体抛掷三次,则向下一面的数字之和为7的情况有两类:当组合为2,2,3时,可能有11326C C =种情况当组合为1,3,3时,可能有11132212C C C =种情况综上可知,所有出现向下一面的数字之和为7的情况有61218+=种故答案为:18【点睛】本题考查了排列组合的应用,分类与分步计算原理的应用,属于基础题.16．6【解析】由题意,此问题的实质是以A 为半径的球在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1各个面上交线的长度计算， 正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD 、AA 1DD 1、AA 1BB 1为过球心的截面，截痕为大圆弧， 各弧圆心角为π6、A 1B 1C 1D 1、B 1BCC 1、D 1DCC 1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧,由于截面圆半径为3r =,故各段弧圆心角为π2.∴这条曲线长度为ππ3362⋅+⋅=.. 点睛：在平面中，到定点的距离等于定值的动点形成的轨迹为圆；在空间中，到定点的距离为定值的动点形成的轨迹为球.在圆中，弧长等于圆心角乘以半径.17．（1）23；（2）【解析】【分析】（1）根据等体积法,B AMN M ABN V V --=,根据底面积和高即可求得体积.（2）因为异面直线MN 与1DD 所成角等于MN 与1BB 所成角的大小,连接NB ,解三角形即可求解,最后再转化为反三角函数即可.【详解】（1）连接BN因为B AMN M ABN V V --=,12222ABN S =⨯⨯= 所以122133B AMN M ABN V V --==⨯⨯= （2）异面直线MN 与1DD 所成角等于MN 与1BB 所成角在Rt MBN ∆中,NMB ∠即为MN 与1BB 所成角BN ==1MN =所以tan NMB ∠==所以NMB arc ∠=【点睛】本题考查了等积法在立体几何中的应用,异面直线夹角的求法,属于基础题.18．（1）22162x y +=；（2）见解析 【解析】【分析】（1）根据焦距及短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形,结合椭圆中a b c 、、的关系,即可求得a b c 、、的值,即可得椭圆方程.（2）设出点P 的坐标,根据两点间距离公式,结合椭圆的方程即可证明.【详解】（1）因为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.所以222242c b a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解方程组可得2a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的方程为22162x y += （2）证明:设()00,P x y ,03x >-因为F 为椭圆C 的左焦点,直线:3l x =-,椭圆的方程为22162x y += 所以2200162x y +=,即220023x y =- 则点P 到直线l 的距离为103d x =+点P 到F 的距离为2d === 因为03x >-所以原式)03x =+所以213d d =,即点P 到F 的距离是点P到l 距离的3倍. 得证.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆第二定义的证明过程,属于基础题.19．(1)9π(2m )；(2)少1.522m ． 【解析】【详解】试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式21122S lr r α==来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积-对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 扇形面积等于弧田面积=（m 2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得 （弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.考点：(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．20．（1）21n a n =-，n ∈*N ；（2）21122k k k b --=-；（3）3k m ==.【解析】【分析】（1）根据1(,)n n P a a +在直线上可知数列{}n a 为等差数列,结合59a =即可求得通项公式.（2）根据等差数列的通项公式,代入区间即可求得中间的项数,即可求得{}k b 的通项公式；（3）将{}k b 的通项公式代入,求得数列{}k c 的通项公式,根据数列{}k c 为等比数列可求得k T ,代入等式即可求得正整数k 、m 的值.【详解】（1）因为点1(,)n n P a a +在直线20x y -+=上所以120n n a a +-+=即12n n a a +-=所以数列{}n a 为等差数列,且公差2d =又因为59a =即149a d +=所以19421a =-⨯=所以数列{}n a 的通项公式为()1121n a a n d n =+-=-所以21n a n =-（2）因为21n a n =-数列{}n a 落入区间2(2,2)k k 内的项的个数记为k b所以2221212k k n n ⎧<-⎨-<⎩即121112222k k n --+<<+ 所以项数为21122k k ---即21122k k k b --=- （3）因为2122k k kc b -=-,代入21122k k k b --=- 可得()121211222222k k k k k c ----==-- 所以1112122,222k k k k c c c +-=== 所以数列{}k c 是以112,2c q ==为公比的等比数列 1211222n n k c --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则前k 项和12121411212k k k T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭- 因为等式111k k m T m T m c +-=-+成立所以21141121141122k m k m m -+⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得()14242k m m --⨯=+所以当且仅当3m k ==时成立【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等比数列前n 项和的求和公式的应用,对数列综合性质的应用,对理解能力要求较高,属于难题.21．（1）证明见解析; （2） 不是;理由见解析; （3）证明见解析;()1f x =【解析】【分析】（1）根据定义,代入不等式作差证明不等式成立,即可证明函数2()g x x =是下凸函数.（2）利用特殊值法, 令121,2,42a x x ===代入后检验不等式左右的大小,即可判断不等式是否成立.（3）根据极限定义,可求得当0t →时()f t 的极限值;结合不等式(0)()f f t ≤,(1)()f f t ≤即可求得(1)f 的值.进而利用赋值法求得[0,1]上的解析式.【详解】（1）证明:对任意实数1x 、2x （12x x ≠）, [0,1]a ∈有[]1212((1))()(1)()f ax a x af x a f x +--+- 1212((1))()(1)()f ax a x af x a f x =+----[]()()2221212(1)(1)ax a x a x a x =+----()221212(1)(1)21a a x a a x a a x x =----+- 212(1)()a a x x =---因为[0,1]a ∈,实数1x 、2x （12x x ≠）所以212(1)()0a a x x ---≤即1212((1))()(1)()f ax a x af x a f x +-≤+-所以函数2()g x x =是下凸函数（2）2()log f x x =不是下凸函数理由如下: 令121,2,42a x x === 则不等式左边()()12211143log 32f ax a x f f ⎛⎫⎡+-⎤=+⨯== ⎪⎣⎦⎝⎭不等式右边()()()121131112222af x a f x ⎛⎫+-=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭因为232239,28⎛⎫== ⎪⎝⎭, 所以232232⎛⎫> ⎪⎝⎭,即3232> 即32223log 3log 22>= 所以()()()()121211f ax a x af x a f x ⎡+-⎤>+-⎣⎦与定义1212((1))()(1)()f ax a x af x a f x +-≤+-矛盾所以2()log f x x =不是下凸函数（3）证明:因为()f x 是定义在[0,1]上的下凸函数,常数(0,1)t ∈,满足：(0)()f f t ≤,(1)()f f t ≤,且(0)1f =所以当0t →时, ()()01f t f ==而对于任意(0,1)t ∈,(1)()f f t ≤所以(1)1f ≤而当1t →时,由 (0)()f f t ≤可得1(1)f ≤综上可知1(1)1f ≤≤,即(1)1f =得证.根据下凸函数满足1212((1))()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-,(0,1)t ∈令121,0x x ==代入可得()(1)1f t t t ≤+-=而()()11f f t =≤所以()1f t =，(0,1)t ∈又因为(0)1f =,(1)1f =所以当[0,1]x ∈时()1f x =【点睛】本题考查了函数新定义及其应用,特殊值检验定义的形式,抽象函数解析式的求法,需要很好的思维能力,属于难题.。
