一元二次方程应用题(2)——面积、趣味问题

一元二次方程的应用------面积问题【小知识 大作用】1、直角三角形面积公式： 一般三角形面积公式：2、正方形周长公式： 正方形面积公式：3、矩形周长公式： 矩形面积公式：4、梯形面积公式：5、平行四边形面积公式： 菱形面积公式：6、圆的周长公式： 圆的面积公式： 小贴士：这些简单的公式，在我们解决生活中的实际问题时发挥着很大的作用. 【学习交流】 类型一:1、 有一根1m 长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06m 2的长方形？2、 如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m ，所围的面积为150m 2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？3、 如图，用长为18m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m 2,矩形的长、宽分别为多少？类型二: 1、某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条一样宽的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有四位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图中的草坪面积为540米2.【元调真题】世博会中国国家馆模型的平面图如图所示,其外框是一个大正方形,中间四个全等的小正方形(阴影部分)是支撑展馆的核心筒,标记了字母的五个全等的正方形是展厅.已知核心筒的边长比展厅的边长的一半多1米,外框的面积刚好是四个核心筒面积和的9倍.求核心筒的边长.【能力提升】如图，一个矩形恰好分成六个正方形，其中最小的正方形的边长是1cm ，求这个矩形的面积。

【检测】1．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米2．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要便整个挂图的面积为5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么满足的方程是（）A．2653500x x+-=B．213014000x x+-=C．2653500x x--=D．213014000x x--=3．从一块长30cm，宽20cm的长方形合金板中央截去一个小长方形，做成一个四周宽度相同的镜框，使镜框的面积占合金板面积的38，求镜框的宽度．4．如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2︰3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2︰3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD．结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示：AB = cm；AD = cm；矩形ABCD的面积为cm2；列出方程并完成本题解答．5、用一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm２，求截去的小正方形的边长.6、某校九年级6个班的学生在学校矩形操场上举行庆新年的联谊活动，学校划分6个全等的矩形场地分给各班级之间留4米宽的过道（如图所示），已知操场的长是宽的2倍，6个班级所占场地面积的总和是操场面积的916，求学校操场的宽为多少米.7、要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的14，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．。

一元二次方程解决面积问题面积问题在数学中广泛存在，而解决这类问题时，一元二次方程是一个重要的工具。

一元二次方程是一个带有一个未知数的二次方程，通常写作ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a不等于0。

当涉及到面积问题时，我们可以利用一元二次方程来求解。

例如，考虑一个长方形的问题：给定长方形的宽度x，其长度为（3x + 4）。

我们希望求解这个长方形的面积。

首先，我们需要确定长方形的面积公式。

长方形的面积等于长度乘以宽度，即A = x(3x + 4)。

然后，我们将这个面积公式转化为一个一元二次方程。

展开表达式，我们得到A = 3x² + 4x。

现在，我们要解决的问题是找到一个x的值，使得面积A达到最大或最小。

我们可以利用一元二次方程的特性来求解这个问题。

一元二次方程的图像是一个抛物线，对于正系数a，抛物线开口向上。

因此，当a大于0时，抛物线的最小值出现在顶点处。

通过求解一元二次方程的顶点，我们可以找到长方形的最大或最小面积。

一元二次方程的顶点的x坐标由公式x = -b/2a给出。

对于我们的长方形问题，a = 3，b= 4，所以x = -4/(2*3)。

计算得出x = -2/3。

将这个值代入原方程，我们可以计算出面积A的最小值或最大值。

这样，我们就可以通过求解一元二次方程来解决长方形的面积问题。

一元二次方程在解决面积问题以及其他数学问题中具有广泛的应用。

通过灵活运用一元二次方程的特性，我们能够解决各种各样的面积问题。

一元二次方程应用题专题训练一、面积问题1. 题目- 一个矩形的长比宽多2cm，面积是100cm²，求这个矩形的长和宽。

- 解析：设矩形的宽为x cm，因为长比宽多2cm，所以长为(x + 2)cm。

根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得到方程x(x + 2)=100。

展开方程得到x²+2x - 100 = 0。

对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（这里a = 1，b = 2，c=-100），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，先计算判别式Δ=b^2-4ac = 2^2-4×1×(- 100)=4 + 400=404。

则x=(-2±√(404))/(2)=(-2±2√(101))/(2)=-1±√(101)。

因为矩形的宽不能为负数，所以取x=-1+√(101)≈ - 1+10 = 9（这里√(101)≈10），长为x + 2=9+2 = 11cm。

2. 题目- 有一块正方形铁皮，从四个角各剪掉一个边长为2分米的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的容积是27立方分米，求原来正方形铁皮的边长。

- 解析：设原来正方形铁皮的边长为x分米。

那么围成无盖正方体盒子底面的边长为(x - 2×2)=(x - 4)分米，盒子的高为2分米。

根据正方体容积公式V=a^3（这里a为正方体棱长），可得方程(x - 4)^2×2 = 27，即(x - 4)^2=(27)/(2)，展开得到x^2-8x + 16=(27)/(2)，整理为2x^2-16x+32 - 27 = 0，即2x^2-16x + 5 = 0。

这里a = 2，b=-16，c = 5，判别式Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4×2×5=256 - 40 = 216，x=(16±√(216))/(4)=(16±6√(6))/(4) = 4±(3√(6))/(2)，因为边长不能为负，所以x =4+(3√(6))/(2)分米。

九年级上册一元二次方程应用题一、面积问题。

1. 用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm²的无盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长。

- 解析：设小正方形的边长为x cm。

- 那么长方体盒子底面的长为(80 - 2x)cm，宽为(60 - 2x)cm。

- 根据长方体底面积公式S =长×宽，可得到方程(80 - 2x)(60 - 2x)=1500。

- 展开方程得4800-160x - 120x+4x^2=1500。

- 整理得4x^2-280x + 3300 = 0，两边同时除以4得x^2-70x+825 = 0。

- 分解因式得(x - 15)(x - 55)=0。

- 解得x_1=15，x_2=55。

- 因为60 - 2x>0，80 - 2x>0，当x = 55时，60-2x=60 - 110=- 50<0（舍去）。

- 所以截去的小正方形的边长为15cm。

2. 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm²，求两条直角边的长。

- 解析：设一条直角边为x cm，则另一条直角边为(14 - x)cm。

- 根据直角三角形面积公式S=(1)/(2)×一条直角边×另一条直角边，可得方程(1)/(2)x(14 - x)=24。

- 去分母得x(14 - x)=48。

- 展开得14x-x^2=48，整理得x^2-14x + 48 = 0。

- 分解因式得(x - 6)(x - 8)=0。

- 解得x_1=6，x_2=8。

- 当x = 6时，14 - x = 8；当x = 8时，14 - x = 6。

- 所以两条直角边的长分别为6cm和8cm。

二、增长率问题。

3. 某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元。

该公司缴税的年平均增长率为多少？- 解析：设该公司缴税的年平均增长率为x。

一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。

别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。

比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。

在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。

那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。

2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。

它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。

3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。

3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。

那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。

你知道草坪的面积是 84 平方米。

我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。

首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。

根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。

简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。

因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。

从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。

因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。

这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。

3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。

九年级上 专题复习之实际问题与一元二次方程【一、面积问题】【方法技巧】注意题目中隐含条件，用平移表示矩形的长度．【题型一 围栏靠墙】【例1】如图，要建一个矩形的鸡场ABCD ，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为14m ，墙的对面开一个1m 宽的门，现有竹篱笆总长31m ．(1)若要围成的鸡场面积为120m 2，求鸡场的长和宽各是多少m ？(2)当边AB 的长为______m 时，鸡场面积最大，最大面积为______ m 2【题型二 矩形中通道】 【例2】如图，要设计一副宽20cm 、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19％，问横、竖彩条的宽度各为多少？【题型三边框设计】【例3】如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的1781，上、下边村等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽为( )cmA ．1B ．1．5C ．2D ．2．5【针对练习1】1．要为一幅长30cm 、宽20cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的1124，则镜框边的宽度为( ) A ．1cm B ．2cm C ．2cm D ．2．5cm2．如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑相同宽度的甬道(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪面积为540m 2，求甬道宽．3．如图，一幅长20cm 、宽12cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．4．如图，利用一面墙(墙的长度为20m )，用34m 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m 宽的门，设AB 的长为xm ．(1)若两个鸡场总面积为96m 2，求x ；(2)若两个鸡场总面积和为Sm 2，求S 关于x 的关系式；(3)两个鸡场面积和S 有最大值吗？若有，最大值是多少？【二、循环向题、增长率问题、传染等问题】1．n 支球队参加单循环比赛、一共赛12n (n －1)场；n 支球队参加双循环比赛，一共赛n (n －1)场； 2．基数A 经过两轮增长(下降)，平均增长(下降)率为x ，两轮后结果为A (1±x )2； 3．一人感冒，经过两轮传染，平均每人传染x 人，两轮后感冒人数为(1＋x )2【题型一 循环问题】【例1】要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式(毎两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？【例2】九年级某班在调研考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1980张卡片．设全班有x 名学生，根据题意列出方程为________．【题型二增长率问题】【例3】今年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从今年起三年共投人3640万元，已知今年已投入1000万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )A．1000(1＋x)2＝3640 B．1000(x2＋1)＝3640C．1000＋1000x＋1000x2＝3640 D．1000(1＋x)＋1000(x＋1)2＝2640【例4】某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程_________【题型三传染问题】【例5】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【题型四树枝分叉问题】【例6】某种植物主干长出若干数目的支干．每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是73，求每个支干长出多少个小分支？【例7】有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给( )个人A．9 B．10 C．11 D．12【针对练习2】1．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺卡，全组共送贺卡72张，则此小组人数为( )A．7 B．8 C．9 D．102．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛．设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为____________3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出( )根小分支A．5 B．6 C．7 D．84．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元，则平均每月降价的百分率为( )A．9．5% B．20% C．10% D．11%5．某村的人均收入前年为12000元，今年的人均收入为14520元．设这两年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为__________6．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了____人．【三、利润问题】【方法技巧】利润＝单件利润×数量．【例1】某商店从生产厂家以每件21元的价格进一批商品，该商品以25元一件的价格出售，每天可卖出100件．后调査发现：每涨价2元每天将少卖20件，每件商品加价超过进价的20％但不能超过进价的50％．商店计划每天要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？【例2】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金—各种费用）为275万元？【针对练习3】1.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？2.某宾馆有30个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（x≥100).（1）每天有游客居住的房间数为（用x表示结果化简）（2）当毎间房价定为多少元，宾馆的利润w(元)最大?（3）宾馆某天统计结果显示，该天利润为1870元，请求出这天每间房的定价x（元）的值。

一元二次方程应用题一、面积问题1. 题目- 用一块长80cm、宽60cm的长方形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm²的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长。

2. 解析- 设截去的小正方形的边长为x cm。

- 那么长方体盒子底面的长为(80 - 2x)cm，宽为(60 - 2x)cm。

- 根据长方体底面积公式S =长×宽，可得到方程(80 - 2x)(60 - 2x)=1500。

- 展开括号得4800-160x - 120x+4x^2=1500。

- 整理得4x^2-280x + 4800 - 1500=0，即4x^2-280x+3300 = 0。

- 两边同时除以4得x^2-70x + 825=0。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b=-70，c = 825），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 先计算Δ=b^2-4ac=(-70)^2-4×1×825 = 4900 - 3300=1600。

- 则x=(70±√(1600))/(2)=(70±40)/(2)。

- 解得x_1=(70 + 40)/(2)=55，x_2=(70-40)/(2)=15。

- 因为长方形铁皮的宽为60cm，如果x = 55，则60-2x=60 - 110=- 50（不符合实际），所以舍去x = 55。

- 所以截去的小正方形的边长为15cm。

二、增长率问题1. 题目- 某公司去年的营业额为100万元，计划今年的营业额比去年增长x%，明年的营业额比今年增长x%，若明年的营业额为121万元，求x的值。

2. 解析- 今年的营业额为100(1 + x%)万元。

- 明年的营业额为100(1 + x%)(1 + x%) = 100(1 + x%)^2万元。

- 根据题意可列方程100(1 + x%)^2=121。

一元二次方程应用题8种类型
一元二次方程是一种常见的数学工具，在应用题中有许多不同的类型。

以下是
其中的八种常见类型：
1. 高度和距离问题：例如，一个物体从特定高度下落，求解它落地所需的时间
或者它的最大高度。

2. 面积和体积问题：例如，给定一个矩形区域的周长，求解该矩形的最大面积。

3. 费用和利润问题：例如，一家公司生产某种产品，求解最大利润对应的生产
数量。

4. 时间和速度问题：例如，一个人以特定的速度行走，求解他到达目的地所需
的时间。

5. 抛物线问题：例如，一个抛物线的顶点坐标已知，求解抛物线的方程。

6. 碰撞问题：例如，两个物体相互碰撞后的速度和方向如何变化。

7. 最大最小值问题：例如，给定一个函数的表达式，求解其最大或最小值对应
的自变量值。

8. 经济模型问题：例如，根据一个经济模型，求解平衡价格和数量。

以上仅是一元二次方程应用题的一些常见类型，实际应用中还有许多其他类型。

在解决这些问题时，需要将问题转化为数学表达式，建立相应的方程，并使用
一元二次方程的求解方法来得到答案。