全国通用2017届高考数学一轮总复习第十二章概率与统计12.4离散型随机变量及其分布列均值与方差专用题组理

§12.4离散型随机变量及其分布列、均值与方差考点一离散型随机变量及其分布列9.(2013天津,16,13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望. 解析(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)==.所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=.评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.10.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)==,P(B)==.∵事件A与B相互独立,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)]=×=.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)==,∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P( )=××=,P(X=1)=P(A )+P(B)+P(C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,∴X的分布列为∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.11.(2013福建,16,13分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?解析解法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A,则事件A的对立事件为“X=5”,因为P(X=5)=×=,所以P(A)=1-P(X=5)=,即这2人的累计得分X≤3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).由已知可得,X1~B,X2~B,所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=,从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.解法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响. 记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A,则事件A包含有“X=0”“X=2”“X=3”三个两两互斥的事件,因为P(X=0)=×=,P(X=2)=×=,P(X=3)=×=,所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=,即这2人的累计得分X≤3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则X1,X2的分布列如下:所以E(X1)=0×+2×+4×=,E(X2)=0×+3×+6×=.因为E(X1)>E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.评析本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识.12.(2013江西,18,12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率;(2)求X的分布列和数学期望.解析(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有=28种,X=0时,两向量夹角为直角共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)==.(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1,X=-2时,有2种情形;X=1时,有8种情形;X=-1时,有10种情形.所以X的分布列为EX=(-2)×+(-1)×+0×+1×=-.13.(2013山东,19,12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.解析(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)==,P(A2)=×=,P(A3)=×=.所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为,以3∶2胜利的概率为.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=××=.由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.根据事件的互斥性得P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.又P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A4)=,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=,故X的分布列为所以EX=0×+1×+2×+3×=.评析本题考查古典概型、相互独立、互斥、分类讨论思想等基础知识和基本技能,考查逻辑推理能力,运算求解能力,以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.14.(2012天津,16,13分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.解析依题意知,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i(i=0,1,2,3,4),则P(A i)= .(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)=·=.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4.由于A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=·+=.所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望Eξ=0×+2×+4×=.评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式、互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 15.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X 的分布列和数学期望.解析 (1)记事件A 1={从甲箱中摸出的1个球是红球}, A 2={从乙箱中摸出的1个球是红球}, B 1={顾客抽奖1次获一等奖}, B 2={顾客抽奖1次获二等奖}, C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意,A 1与A 2相互独立,A 1与A 2互斥,B 1与B 2互斥,且B 1=A 1A 2,B 2=A 1+A 2,C=B 1+B 2. 因为P(A 1)==,P(A 2)==,所以P(B 1)=P(A 1A 2)=P(A 1)P(A 2)=×=, P(B 2)=P(A 1+A 2)=P(A 1)+P(A 2) =P(A 1)P()+P()P(A 2)=P(A 1)[1-P(A 2)]+[1-P(A 1)]P(A 2) =×+×=.故所求概率为P(C)=P(B 1+B 2)=P(B 1)+P(B 2)=+=.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.于是P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==. 故X 的分布列为X 的数学期望为E(X)=3×=.16.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列和均值(数学期望).解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,P(A)==.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X=200)==,P(X=300)==,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=.故X的分布列为EX=200×+300×+400×=350.17.(2013浙江,19,14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若Eη=,Dη=,求a∶b∶c.解析(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,P(ξ=6)==.所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E(η)=++=,D(η)=·+·+·=,化简得解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1.评析本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识.18.(2014天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.19.(2013课标全国Ⅰ,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×+×=.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1--=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以X的分布列为EX=400×+500×+800×=506.25.20.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)解析(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P==.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故X的分布列为从而E(X)=1×+2×+3×=.评析本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整体难度不大,属中等偏易题.21.(2012江苏,22,10分)设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.(1)求概率P(ξ=0);(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).解析(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8对相交棱,因此P(ξ=0)===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故P(ξ=)==,于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=,所以随机变量ξ的分布列是因此E(ξ)=1×+×=.评析本题主要考查概率分布、数学期望等基础知识,考查运算求解能力.22.(2012江西,18,12分)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望EV.解析(1)从6个点中随机选取3个点总共有=20种取法,选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有=12种,因此V=0的概率为P(V=0)==.(2)V的所有可能取值为0,,,,,因此V的分布列为由V的分布列可得EV=0×+×+×+×+×=.评析本题主要考查的知识点有:古典概型概率、随机变量的分布列及期望、三棱锥的体积公式;考查了分类讨论思想和空间想象能力.23.(2012重庆,17,13分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望.解析设A k、B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中,则P(A k)=,P(B k)=(k=1,2,3).(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=P(A1)+P()P()P(A2)+P()P()P()P()P(A3)=+××+××=++=.(2)ξ的所有可能取值为1,2,3.由独立性知P(ξ=1)=P(A1)+P(B1)=+×=,P(ξ=2)=P(A2)+P(B2)=××+×=,P(ξ=3)=P()=×=.综上知,ξ的分布列为从而,Eξ=1×+2×+3×=(次).评析本题主要考查互斥事件与独立事件的概念,重点考查离散型随机变量的分布列与期望,运用数学建模思想是解题的关键.24.(2012福建,16,13分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.解析(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A)==.(2)依题意得,X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得,E(X1)=1×+2×+3×==2.86(万元),E(X2)=1.8×+2.9×=2.79(万元).因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车.评析本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想.考点二均值与方差10.(2014浙江,9,5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i=1,2).则( )A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)答案 A 当i=1时,若从乙盒中抽取的1个球为红球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A1,则P(A1)=.若从乙盒中抽取的1个球为蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A2,则P(A2)=×=,而A1与A2互斥,则p1=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.此时,ξ1的取值为1或2,P(ξ1=1)=,P(ξ1=2)=,则E(ξ1)=1×+2×=.当i=2时,若从乙盒中抽取的2个球都为红球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B1,则P(B1)=.若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B2,则P(B2)=×.若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B3,则P(B3)=×.因为B1,B2,B3互斥,则p2=P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)====.则p1-p2=>0,即有p1>p2.此时,ξ2的取值为1,2,3.P(ξ2=1)=,P(ξ2=2)=,P(ξ2=3)=,则E(ξ2)=1×+2×+3×==3p2=,则有E(ξ1)<E(ξ2),综上,p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2),故选A.评析本题考查随机事件的概率,组合数的计算,离散型随机变量的分布列和期望.考查分类讨论思想和运算求解能力,属于难题.11.(2012上海,17,5分)设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105.随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2.若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差,则( )A.Dξ1>Dξ 2B.Dξ1=Dξ2C.Dξ1<Dξ 2D.Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关答案A由已知可知Eξ1=0.2(x1+x2+x3+x4+x5),Eξ2=0.2·++++=0.2·(x1+x2+x3+x4+x5),∴Eξ1=Eξ2.Dξ1=0.2[(x1-Eξ1)2+(x2-Eξ1)2+…+(x5-Eξ1)2]=0.2(++++)-(Eξ1)2.Dξ2=0.2+-Eξ22+…+=0.2++…+-(Eξ2)2.∵++…+=<=++++,∴Dξ1>Dξ2.评析本题主要考查离散型随机变量的期望与方差,考查实数大小的比较,考查数据处理能力及转化与归纳思想.12.(2013安徽,5,5分)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案 C A、B不正确,无法确定采用的是哪种抽样方法.男生的平均成绩为90,女生的平均成绩为91,但这只能反映这五名男生和这五名女生的情况,不能准确反映全班的成绩.又男生成绩的方差为8,大于女生成绩的方差6,故C正确.13.(2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.解析(1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意,得P(X=60)==,即顾客所获的奖励额为60元的概率为.(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=,P(X=20)==,即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每位顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为X1的期望为E(X1)=20×+60×+100×=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为X2的期望为E(X2)=40×+60×+80×=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.注:第(2)问,给出方案1或方案2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给3分;进一步比较方差,说明应选择方案2,再给2分.评析本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想. 14.(2014江苏,22,10分)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X 表示x1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).解析(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以P===.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)==;{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)===;于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1--=.所以随机变量X的概率分布如下表:因此随机变量X的数学期望E(X)=2×+3×+4×=.评析本题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力.15.(2012陕西,20,13分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.解析设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下:(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)·P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.(2)解法一:X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01;所以X的分布列为EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.解法二:X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01;P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49.所以X的分布列为EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.评析本题考查了互斥事件的概率,运用了互斥事件的概率加法公式求解概率.16.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由已知,有P(A)==.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.评析本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.17.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,。