高斯列主元素消去法

高斯列主元消去法2.3高斯列主元消去法解线性方程组一：问题的提出我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。

就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。

实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。

在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。

但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。

1．一旦遇到一些主元等于0，消元过程便无法进行下去。

2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当一些主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。

为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。

其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。

目前计算机上常用的按列选主元的方法。

因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。

二、算法的基本思想大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。

我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。

然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。

高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。

于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。

三、算法的描述1、设有n元线性方程组如下：＝2、第一步：如果a11!=0,令li1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第i个方程上,得同解方程组：a(1)11a(1)12...a(1)1nx1b(1)1a(1)21a(1)22...a(1)2nx2b(1)2 .......=.a(1)n-11 a(1)n-12 . .a(1)n-1nxn-1b(1)n-1a(1)n1a(1)n2. . . a(1)nnxnb(1)n简记为：A(2)x=b(2)其中a(2)ij = a(1)ij – li1 a(1)1j ,I ,j = 2,3,..,nb(2)I = b(1)I – li1 b(1)1 ,I = 2,3,...,n第二步：如果a(2)22!=0,令li2= a（2）i2/a（2）22, I= 3,……,n依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：a(1)11a(1)12...a(1)1nx1b(1)1a(1)22 ...a(1)2nx2b(1)2 .......=.. .a(n-1)n-1nxn-1b(n-1)n-1. . . a(n)nnxnb(n)n简记为：A(n)x=b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：n = b(n) / a(n)nni = ( b(k)k - a(k)kjxj ) / a(k)kk以上为高斯消去法的基本过程。

列主元高斯消去法是一种用于解线性方程组的经典算法，其实现过程包括主元选取、互换行、消元和回代等步骤。

本文将从理论基础、算法描述、实现步骤和代码示例等方面介绍列主元高斯消去法的实现方法，希望可以帮助读者更好地理解和掌握这一算法。

一、理论基础列主元高斯消去法是求解线性方程组的一种经典方法，其基本思想是通过逐步消去未知数，最终得到方程组的解。

在实际应用中，通常将线性方程组表示为增广矩阵的形式，然后通过主元选取、互换行、消元和回代等操作，逐步将增广矩阵转化为阶梯形矩阵或行阶梯形矩阵，最终获得方程组的解。

列主元高斯消去法的关键在于主元的选取，通过选取适当的主元可以避免出现数值不稳定的情况，从而提高求解的准确性和稳定性。

二、算法描述列主元高斯消去法的基本算法描述如下：1. 将线性方程组表示为增广矩阵的形式2. 从第一行开始，选择当前列中绝对值最大的元素作为主元，并将其所在行与当前行交换3. 通过第一个主元，将当前列下方的元素消为零，得到一个新的增广矩阵4. 重复以上步骤，直到得到一个阶梯形矩阵或行阶梯形矩阵5. 利用回代的方法，求解得到线性方程组的解三、实现步骤基于上述算法描述，可以将列主元高斯消去法的实现步骤总结如下：1. 主元选取：对于当前列，在所有未处理的元素中选择绝对值最大的元素作为主元，并将其所在行与当前行交换2. 互换行：如果选取的主元为零，则需要考虑互换行的操作，以避免出现除零错误3. 消元：利用当前列的主元将下方的元素消为零4. 回代：通过阶梯形矩阵或行阶梯形矩阵进行回代，求解得到线性方程组的解在实现列主元高斯消去法时，需要注意处理数值计算中可能出现的特殊情况，如零主元和除零错误等，并进行合理的异常处理。

四、代码示例下面是列主元高斯消去法的简单实现代码示例，该示例使用Python 语言编写：```pythonimport numpy as npdef gauss_elimination(A, b):n = len(b)for i in range(n):pivot = ifor j in range(i+1, n):if abs(A[j, i]) > abs(A[pivot, i]):pivot = jA[[i, pivot]] = A[[pivot, i]]b[[i, pivot]] = b[[pivot, i]]for j in range(i+1, n):factor = A[j, i] / A[i, i]b[j] -= factor * b[i]A[j] -= factor * A[i]x = np.zeros(n)for i in range(n-1, -1, -1):x[i] = (b[i] - np.dot(A[i, i+1:], x[i+1:])) / A[i, i]return x```以上代码示例实现了列主元高斯消去法的求解过程，通过调用该函数可以求解给定的线性方程组。

如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，现选取ri a )(n r i ≤≤中绝对值最大的元素，设为第j 行的元素ji a ，把矩阵的第i 行和第j 行互换，这时ii a 变为ji a ，然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以ii ki a a （k 代表行号），依次进行消元。

Gauss 列主元消去法的算法步骤如下：将方程组写成以下的增广矩阵的形式：⎪⎩⎪⎪⎨⎧43212423222114131211............n n n n a a a a a a a a a a a a对k=1，2，3,...,n-1,令∑==nks sk pk a a max ；交换增广矩阵的第k 行与第p 行；对j=k+1，k+2，...,n,计算kk jkkm jm jm a a a a a ⋅-=（m=看，k+1，...，n ）kk jkk j j a a b b b ⋅-=算法结束。

三角分解法程序如下：建立相应的M 文件，其函数名为LU,程序如下：function y=LU(A,B);n=length(A);A=[A B];for k=1:n-1;for i=k:n;if (abs(A(i,k))==max(abs(A(k:n,k)))) P(k)=i;temp=A(k,:);A(k,:)=A(i,:);A(i,:)=temp;endendfor j=k+1:n;A(j,k)=A(j,k)/A(k,k);A(j,k+1:n+1)=A(j,k+1:n+1)-A(j,k)*A(k,k+1:n+1);endendP(n)=n;L(1,1)=1;L(2:n,1)=A(2:n,1);L(1,2:n)=0;U(1,1)=A(1,1);U(2:n,1)=0;U(1,2:n)=A(1,2:n);for i=2:n;L(i,1:i-1)=A(i,1:i-1);L(i,i)=1;L(i,i+1:n)=0;U(i,1:i-1)=0;U(i,i:n)=A(i,i:n);endx(n) = A(n,n+1)/U(n,n);for k = n-1:-1:1x(k)=A(k,n+1);for p=n:-1:k+1;x(k) = x(k)-U(k,p)*x(p); endx(k)=x(k)/U(k,k);endxLUPend在程序命令行输入：a=[0.101 2.304 1.5355;-1.347 3.712 4.623;-2.835 1.072 5.643];b=[1.183,2.137,3.035]';LU(a,b)运行结果为：x =3.1160 -1.1960 2.3305 L =1.0000 0 00.4751 1.0000 0-0.0356 0.7313 1.0000 U =-2.8350 1.0720 5.64300 3.2027 1.94180 0 0.3359 P =3 2 3。

一、 列主元素Gauss 消去法、Jacobi 迭代法原理及计算方法1. 列主元素Gauss 消去法：1.1 Gauss 消去法基本原理设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。

高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。

1.2 列主元Gauss 消去法计算步骤将方程组用增广矩阵[]()(1)ijn n B A b a ⨯+== 表示。

1). 消元过程对1,2,,1k n =-(1) 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i na a ≤≤= (2) 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行(3)。

(3) 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ↔，,,1j k n =+ 。

(4) 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算.ij ij ik kj a a l a =-2). 回代过程(1) 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行(2)。

(2) ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2. Jacobi 迭代法2.1 Jacobi 迭代法基本原理Jacobi 迭代法的基本思想是对n 元线性方程组b Ax =，.,n n R b R A ∈∈将其变形为等价方程组f Bx x +=，其中.,,n n n n R x R f R B ∈∈∈⨯B 成为迭代矩阵。

从某一取定的初始向量)0(x 出发,按照一个适当的迭代公式 ,逐次计算出向量f Bx x k k +=+)()1( （ 1,0=k ）,使得向量序列}{)(k x 收敛于方程组的精确解.(1)输入1,,,,)0(=k n xb A ε，. (2) )(1,1)0()1(∑≠=-=n j i i j ij i iii x a b a x )1,0(n i = (3)判断 ε≤--≤≤)0()1(10max i i n i x x ，若是，输出1)1(2)1(1,,n x x x ，若否，置1+=k k ，)1()0(i i x x =，)2,1(n i =。