各种构造解导数压轴题复习课程

导数章节知识全归纳导数压轴题之构造函数和同构异构（详述版）一．考试趋势分析：由于该内容在高考内容中考试频率相对比较低，然而它却在我们平时考试或是诊断型考试中出现又较高，并且该内容属于高中数学里面导数的基本考试题型之一，基本上尖子生里面的基础题，又是一般学生里面的压轴题，所以老师你觉得讲还是不讲呢？针对这个情况，作者进行了多年研究和分析，这个内容一定要详细讲述，并且结合技巧性让学生能够熟练掌握，优生几秒钟，一般学生几分钟就可以完成该题解答，是设计这个专题的核心目的！ 二．所用知识内容： 1.导数八大基本求导公式：①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn xnx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x xe e '= ⑥()ln x xa a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'= 2.常见构造：和与积联系：()()f x xf x '+，构造()xf x ；22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ；3()()f x xf x '+，构造3()x f x ；…………………()()nf x xf x '+，构造()n x f x ；()()f x f x '+，构造e ()x f x ．等等．减法与商联系：如()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x=；()2()0xf x f x ->'，构造2()()f x F x x =；………………… ()()0xf x nf x ->'，构造()()nf x F x x =． ()()f x f x '-，构造()()ex f x F x =，()2()f x f x '-，构造2()()e xf x F x =，……………… ()()f x nf x '-，构造()()enxf x F x =， 3.同构异构方法：1．顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数. 2．同位同构：①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；③差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之.三．导数构造函数典型题型： 1.构造函数之和差构造：例：1.已知定义在R 上的函数()f x 满足()220f =，且()f x 的导函数()f x '满足()262f x x >'+，则不等式()322f x x x >+的解集为（ ）A ．{2}xx >-∣ B ．{2}xx >∣ C ．{2}xx <∣ D ．{2∣<-xx 或2}x > 【答案】B 【分析】令函数()()322g x f x x x =--，求导，结合题意，可得()g x 的单调性，又()20g =，则原不等式等价于()()2g x g >，根据()g x 的单调性，即可得答案. 【详解】令函数()()322g x f x x x =--，则()()2620g x f x x =--'>'，所以()g x 在R 上单调递增.因为()2g =()3222220f -⨯-⨯=，所以原不等式等价于()()02g x g >=，所以所求不等式的解集为{2}.xx >∣ 故选：B2.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()10,42ln 2xf x f '->=，则不等式()xf e x <的解集为（ ） A ．()0,2ln 2 B ．(),2ln 2-∞ C ．()2ln 2,+∞ D ．()1,2ln 2【答案】B 【分析】构造函数()()ln g x f x x =-，()0,x ∈+∞，先判断其导函数的正负，来确定该函数的单调性，再化简不等式为()()4xg e g <，根据单调性解不等式即可.【详解】设()()ln g x f x x =-，()0,x ∈+∞，则()()()110xf x g x f x x x'-''=-=>， 故()g x 在()0,∞+上单调递增，()()2l 4n 22ln 2404ln g f -===-，不等式()xf ex <，即()ln 0xxf e e-<，即()()4x g e g <，根据单调性知04x e <<，即ln 44x e e <=，得ln 4x <，即2ln 2x <，故解集为(),2ln 2-∞. 故选：B. 【点睛】 思路点睛:利用导数解不等式时，常常要构造新函数，新函数一方面与已知不等式有关，一方面与待求不等式有关，再结合导数判断单调性，利用单调性解不等式.变式：1.已知奇函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且当(],0x ∈-∞时，()'1f x ＜，则不等式()()2101110102021f x f x x --+≥-的解集为（ ） A ．()2021,+∞ B ．[)2021,+∞ C ．(],2021-∞ D ．(),2021-∞【答案】C 【分析】利用()'1f x ＜构造函数g (x )，即可得到函数g (x )的单调性，再将所解不等式转化为用g (x )表达的抽象函数不等式而得解. 【详解】因()'1f x ＜，即()10f x '-<，令()()g x f x x =-，则()0g x '<，()g x 在(,0]-∞上递减， 又()f x 是R 上的奇函数，则()g x 也是R 上的奇函数，从而有()g x 在R 上单调递减， 显然()()f x g x x =+，则有()()2101110102021f x f x x --+≥-(21011)(21011)[(1010)(1010)]2021g x x g x x x ⇔-+--+++≥-(21011)21011(1010)10102021g x x g x x x ⇔-+--+--≥- (21011)(1010)g x g x ⇔-≥+由()g x 在R 上单调递减得2101110102021x x x -≤+⇔≤， 所以所求不等式的解集为(],2021-∞. 故选：C 【点睛】关键点睛：解给定导数值特征的抽象函数不等式，根据导数值特征构造对应函数是解题的关键.2.构造函数之乘积构造：例：1.()f x 在()0,∞+上的导函数为()f x '，()()2xf x f x '>，则下列不等式成立的是（ ）．A ．()()222021202220222021f f >B ．()()222021202220222021f f <C ．()()2021202220222021f f >D ．()()2202220222021021f f <【答案】A 【分析】构造()2()f x g x x =，求导得3()2()0()xf x g x f x x '-'=>，知()2()f x g x x=在()0,∞+上为增函数，进而由(2022)(20221)g g >即可判断.【详解】令()2()f x g x x =，则243()()2()()2()x f x xf x xf x g x f x x x''--'==， 因为在()0,∞+上的导函数为()()2xf x f x '>，所以在()0,∞+上()0g x '>，即()2()f x g x x=在()0,∞+上为增函数. 所以()()()()22202220212022202120222021f f g g >⇒>，即()()222021202220222021f f >.故选：A.2.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞-B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A 【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x =,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x =为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃.故选：A 【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.3.定义在R 上的连续函数()f x 的导函数为()'f x ，且cos ()(cos sin )()xf x x x f x '<+成立，则下列各式一定成立的是（ ） A ．(0)0f =B ．(0)0f <C ．()0f π>D ．02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π【答案】C 【分析】设cos () ()e xx f x g x ⋅=，由条件可得()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此卡判断选项A ，B ， C ， 将2x π=代入条件可得02f π⎛⎫>⎪⎝⎭，可判断选项D. 【详解】由题可得cos ()sin ()cos ()xf x xf x xf x '-<，所以(cos ())cos ()xf x xf x '<，设cos () ()e x x f x g x ⋅=则(cos ())cos ()()0e xxf x xf x g x '-'=<， 所以()g x 在R 上单调递减，且02g π⎛⎫=⎪⎝⎭由(0)()2g g g ππ⎛⎫>>⎪⎝⎭可得() (0)0e f f ππ>>-， 所以(0)0f >，()0f π>，所以选项A ､B 错误，选项C 正确.把2x π=代入cos ()(cos sin )()xf x x x f x '<+，可得02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以选项D 错误，故选：C . 【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，判断函数单调性判断函数值的符号，解答本题的关键是根据题意构造函数cos () ()e xx f x g x ⋅=，由条件得出其单调性，根据02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，判断选项，属于难题.变式：1.已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()sin cos 0f x x f x x '-<成立，则下列不等式成立的是（ ）A64f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．36f ππ⎫⎫⎛⎛<⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭C43ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．234f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【分析】 构造函数()()sin f x g x x=，求导后可确定其单调性，利用单调性比较大小可判断各选项． 【详解】设()()sin f x g x x =，则2()sin ()cos ()0sin f x x f x x g x x -''=<，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数， 所以()()64sin sin 64f f ππππ>()()64f ππ>，A 错；()()63sin sin 63f f ππππ>()()63f ππ>，B 正确； ()()34sin sin43f f ππππ>()()43ππ>，C 错；3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π⎛⎫ ⎪⎝⎭与23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭大小不确定，D 不能判断．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查比较大小问题，解题关键是构造新函数()()sin f x g x x=，由导数确定其单调性，从而可比较函数值大小．变式：2。

导数压轴题-----题型解法归纳一、导数在高考中的地位：常作为压轴题来考察，尤其是解答题，至少占到14分；当然在选择题或者是填空题里 也会出现1～2道，因此高考试卷中它占到了20分左右的比重二、导数可以结合考察的知识点：1、数列；2、不等式与方程；3、函数；4、解析几何其中最常见的就是和函数、不等式的结合，解决这类题目的汉族到思想是构造新函数， 利用导数求解单调性，进而证明不等式或者最值又或者是参数的X 围等等。

三、题型归纳：（新题、难题、考察知识点总结）（一）基础题目小试身手1.（不等式、函数的性质）已知函数mx x x f ++=21ln )(（Ⅰ）)(x f 为定义域上的单调函数，XX 数m 的取值X 围；（Ⅱ）当1-=m 时，求函数)(x f 的最大值；（Ⅲ）当1=m 时，且10≤<≤a b ，证明：2)()(34<--<b a b f a f2.（不等式恒成立问题）设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式a x f ≤)('恒成立，求a 的取值X 围3．（导数的简单应用）已知函数x x f ln )(=（Ⅰ）若)()()(R a xa x f x F ∈+=，求)(x F 的极大值； （Ⅱ）若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值X 围4.（不等式的证明）已知函数x x x f -+=)1ln()(．(1)求函数)(x f 的单调递减区间；(2)若1->x ，求证：111+-x ≤)1ln(+x ≤x5、（不等式、存在性问题）已知)0,[),ln()(e x x ax x f -∈--=，xx x g )ln()(--=，其中 e 是自然常数，R a ∈（1）讨论1-=a 时, )(x f 的单调性、极值;（2）求证：在（1）的条件下，21)()(+>x g x f （3）是否存在实数a ，使)(x f 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

构造函数解与导数有关的选填压轴题方法规律：1.注意逆向思谁，构造出的函数的导函数与已知条件相同，或者能够利用已知条件求解2.根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑： ①原函数是函数和差的组合； ②原函数是函数乘除的组合； ③原函数是函数与x 的乘除的组合； ④原雨数是函数与xe 的乘除的组合；⑤原函数是函数与)(cos sin x x 的乘除的组合； ⑥原函数是函数与x ln 的乘除的组合 3.常用的构造函数有：)()('x xf x f +构造)(x xf )()(2'2x f x x xf +构造)(2x f x )()('x f x xf -构造x x f )( )()('x f x f +构造)(x f e x)()('x f x f -构造x ex f )(等等（一）与等式有关的函数构造例1若函数)(x f 满足xe x xf x xf 3')()(=-，0)1(=f ，则当0>x 时，)(x f （ B ） A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值又无极小值解析：设x x f x F )()(=，则x xe x x f x xf x F =-=2'')()()(，所以C e x x x f x F x+-==)1()()( Cx e x x x f x +-=⇒)()(2，又由00)1(=⇒=C f ，所以x e x x x f )()(2-=2510)1()(2'+->⇒>-+=∴x e x x x f x 或251--<x 所以)(x f 在]215,0(-上递减，),215[+∞-上递增所以当0>x 时，)(x f 有极小值，无极大值，故选B练习1.函数)(x f 的导函数为)('x f ，满足x x x f x xf ln )(2)('=+，且ee f 21)(=，则)(x f 的极值情况为（ D ）A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值解析：设)()(2x f x x F =，则x x f x x xf x F ln )()(2)('2'=+=C x x x x f x x F +-==⇒ln )()(22ln )(x C x x x x f +-=⇒，221)(2eC e eC e f =⇒==∴，22ln )(x ex x x x f +-=∴3'2ln )(xex x x x f -+-=∴，设e x x x x g -+-=2ln )(，则e x x x g <<⇒>-=00ln 1)(' )(x g ∴在],0(e 上递增，),[+∞e 上递减0)()(=≤⇒e g x g ，即0)('<x f所以)(x f 在),0(+∞上递减⇒)(x f 在),0(+∞上既无极大值也无极小值，故选D 练习2.若函数)(x f 在R 上可导，且3)2(2)('2-+=x f x x f ，则（ C ）A .)4()0(f f < B. )4()0(f f = C. )4()0(f f > D.以上都不对 解析：4)2()2(24)2()2(22)('''''-=⇒+=⇒+=f f f f x x f ，38)(2--=∴x x x f ，其开口向上，对称轴为4=x ，所以)4()0(f f >，故选C练习 3.函数)(x f 在其定义域内满足xe xf x xf =+)()('（其中)('x f 为函数)(x f 的导函数），e f =)1(，则函数)(x f （ B ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值 解析：令)()(x xf x F =，则x e x f x xf x F =+=)()()(''，C e x xf x F x +==∴)()(x C e x f x +=⇒)(，0)1(=⇒=+=∴C e C e f ，x e x f x =∴)(，10)1()(2'>⇒>-=x xx e x f x ，)(x f ∴在)0,(-∞上递减，]1,0(上递减，),1[+∞上递增)(x f ⇒有极小值，无极大值，故选B（二）与不等式有关的函数构造例 2.已知定义在R 上的奇函数)(x f 的导函数为)('x f ，当0<x 时，)(x f 满足)()()(2'x xf x xf x f <+，则)(x f 在R 上的零点个数为（ D ）A.5B.3C.1或3D.1解析：设)0()()(2<=x e x f x x F x ，则0)]()()(2[)()()(2)('2'2'>-+=-+=x x e x xf x xf x f x e x f x x f x x xf x F )(x F ∴在)0,(-∞上递增，又0)0(=F ，0<∴x 时，0)0()()(2=<=F ex f x x F x0)(<⇒x f又)(x f 为奇函数，所以)(x f 仅有一个零点0=x ，故选D练习4.设)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有0)()('>+x xf x f ，则不等式0)1()2017()2017(>-+++f x f x 的解集为（ C ）A.)2017,(-∞B.)0,2018(-C.)2017,2018(--D.)2018,(--∞ 解析：设)()(x xf x F =，则)(0)()()(''x F x xf x f x F ⇒>+=在)0,(-∞上递增0)1()2017()2017(>-+++f x f x )1()2017(->+⇔F x F 020171<+<-⇒x20172018-<<-⇒x ，故选C练习5.定义在R 上的函数)(x f 与其导函数)('x f 满足xe xf x f ->+1')()(，则下列不等式一定成立的是（ A ）A.)1()0(ef e f <+B.)1()0(ef e f >+C.)1()0(f e f <+D.)1()0(f e f >+ 解析：设0)]()([)()()(''>-+=⇒-=e x f x f e x F ex x f e x F x x )(x F ⇒在R 上递增)1()0()1()0()1()0(ef e f e ef f F F <+⇒-<⇒<∴，故选A练习6.定义域为R 的可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，满足)()('x f x f >，且1)0(=f ，则不等式1)(<x ex f 的解集为（ B ） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)2,(-∞ D.),2(+∞解析：设x ex f x F )()(=，则)(0)()()(''x F e x f x f x F x ⇒<-=在R 上递减，又1)0(=F 0)0()(1)(>⇒<⇔<∴x f x F ex f x ，故选B 练习7.已知定义),0(+∞在上的函数)(x f 的导数为)('x f ，且满足)(2)ln )((2'x f x x x f >，则（ B ）A.)(3)(2)(623e f e f e f >> B.)(2)(3)(632e f e f e f << C.)(2)(3)(632e f e f e f >> D.)(3)(2)(623e f e f e f <<解析：)(2)ln )((2'x f x x x f >⇔)(2)ln 2)(('x f x x x f >⇒)()(ln 'x f x xf x >设0)(ln )()(ln )(ln )(1ln )()(ln )()(2'2''>-=-=⇒=x x x f x xf x x x f x x x f x F xx f x F )(x F ⇒在),0(+∞上递增)(2)(3)(63)(2)()()()()(323232e f e f e f e f e f e f e F e F e F <<⇒<<⇒<<∴，故选B练习8.设函数)(x f 是定义)0,(-∞在上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有)(3)('x f x xf <，则不等式0)2()2015()2015(83>-+++f x x f 的解集为（ C ）A.)2017,(--∞B.)0,2017(-C.)2015,2017(--D.)2018,(--∞解析：设3)()(xx f x F =，则)(0)(3)()(4''x F x x f x xf x F ⇒<-=在)0,(-∞上递减0)2()2015()2015(83>-+++f x x f 20152017020152)2()2()2015()2015(33-<<-⇒<+<-⇒--<++⇒x x f x x f 故选C（三）与三角函数有关的构造函数 例 3.定义在)2,0[π上可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，且0sin )(cos )('<+x x f x x f ，0)0(=f ，则（ A ）A.)3(2)6(ππf f >B.)3(2)4(ππf f <C.0)2(ln >fD.)4(2)6(ππf f < 解析：设x x f x F cos )()(=，则)(0cos sin )(cos )()(2''x F x x x f x x f x F ⇒<+=在)2,0[π上递减 )0)3()(3(2)3(3)6(21)3(23)6(0)3()6()0(<>>⇒>>⇒>>∴ππππππππf f f f f f F F F ，故A 对)3(2)4(21)3(22)4()3()6(ππππππf f f f F F >⇒>⇒>∴，故B 错0)2(ln 0cos )0(2ln cos )2(ln )0()2(ln <⇒<⇒<∴f f f F F ，故C 错)4(26)6(22)4(23)6()4()6(ππππππf f f f F F >⇒>⇒>∴，故D 错练习9.定义在)2,0(π上的函数)(x f ，)('x f 是它的导函数，且恒有)(cos x xf 0sin )('>+x x f 成立，则（ B ）A.)3(3)4(2ππf f > B.)6(211(1sin πf f >） C.)4(2)6(ππf f >D.)3(3)6(ππf f >解析：设)(0cos )(sin )()(sin )()(''x F x x f x x f x F x x f x F ⇒>+=⇒=在)2,0(π上递增)3(3)4(2)3(23)4(22)3()4(ππππππf f f f F F <⇒<⇒<，故A 错 )3(3)4(2)6(211sin )1()6()1(ππππf f f f F F <⇒>⇒>，故选B练习10定义在)2,0(π上的函数)(x f )满足: x x f x f tan )()('>恒成立，则下列不等式中成立的是（ A ）A.)3()6(3ππf f > B.1sin )3(332)1(πf f <C.)4()6(2ππf f <D.)3(2)4(3ππf f <解析：在)2,0(π上，x x f x xf x x f x f sin )()(cos tan )()(''>⇔>设x x f x F sin )()(=，则)(0sin cos )(sin )()(2''x F x x x f x x f x F ⇒<-=在)2,0(π上递减)3()6(323)3(21)6()3()6(ππππππf f f f F F >⇒>⇒>∴，故选A 迁移运用：1.奇函数)(x f 定义域为),0()0,(ππ -，其导函数是)('x f ，当π<<x 0时，有0cos )(sin )('<-x x f x x f ，则关于x 的不等式x f x f sin )4(2)(π<的解集为（ D ）A.),4(ππB.),4()4,(ππππ --C.)4,0()0,4(ππ -D.),4()0,4(πππ - 解析：设x x f x F sin )()(=，则当π<<x 0时，0sin cos )(sin )()(2'<-=xx x f x x f x F )(x F ⇒在),0(π上递减，又)(x F 为偶函数，所以)(x F 在)0,(π-上递增当0>x 时，x f x f sin )4(2)(π<πππππ<<⇒<⇔<⇔x f x F f x x f 4)4()(4sin )4(sin )(当0<x 时，x f x f sin )4(2)(π<04)4()(4sin )4(sin )(<<-⇒->⇔>⇔x f x F f x x f ππππ故选D2.已知)(x f 是定义在R 上的函数，)('x f 是)(x f 的导单数，且满足)(3)('x f x f >，e f =)31(，则3)(ln x x f <的解集为（ B ） A.),0(e B.),0(31e C.),1(e D.),1(31e解析：设x ex f x F 3)()(=，则)(0)(3)()(3''x F e x f x f x F x ⇒>-=在R上递增，又1)31()31(==e f F 所以3)(ln x x f <313031ln )31()(ln 1)(ln e x x F x F xx f <<⇒<⇒<⇔<⇔，故选B 3.已知可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，2018)0(=f ， 若对任意的R x ∈都有)()('x f x f >，则不等式x e x f 2018)(<的解集为（ A ）A.),0(+∞B.)(21∞+，e C.)1,(2e -∞ D.)0,(-∞ 解析：设x e xf x F )()(=，则)(0)()()(''x F e x f x f x F x⇒<-=在R 上递减，又2018)0()0(==f F x e x f 2018)(<0)0()(2018)(>⇒<⇔<⇔x F x F ex f x ，故选A 4.已知)(x f 是定义在区间),0(+∞上的函数，其导函数为)('x f ，且不等式)(2)('x f x xf <恒成立，则（ B ）A.）2()1(4f f <B.）2()1(4f f >C.）2(4)1(f f <D.）2(4)1('f f <解析：设2)()(xx f x F =，则0)(2)()(3''<-=x x f x xf x F )(x F ⇒在),0(+∞上递减 )2()1(44)2()1()2()1(f f f f F F >⇒>⇒>∴，故选B 5.函数)(x f 的导函数为)('x f ，对R x ∈∀都有)()('x f x f >成立，若2)2(e f =，则不等式xe xf >)(的解是（ A ）A.),2(+∞B.)10(，C.),1(+∞D.)2ln ,0(解析：设x e x f x F )()(=，则)(0)()()(''x F e x f x f x F x ⇒>-=在R上递增，又1)2()2(2==e f F 所以xe xf >)(2)2()(1)(>⇒>⇔>⇔x F x F e x f x，故选A 6.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足2)('<x f ，则不等式x e x x f x 32)2ln()1(1+>-+-++的解集为（ A ）A.)1,2(--B.),1(+∞-C.)2,1(-D.),2(+∞解析：设0321)1()(32)2ln()1()(1''1<--+-+=⇒---+-+=++x x e x x f x F x e x x f x F 对)2(∞+-∈，x 恒成立，)(x F 在)2(∞+-，上递减，又0312)0()1(=+--=-f F 所以0)(>x F 的解集为)1,2(--，故选A7.已知函数)(x f 的定又域为R ，)('x f 为)(x f 的导函数，当),0[+∞∈x 时，0)(cos sin 2'>-x f x x ，且R x ∈∀，12cos )()(=++-x x f x f ，下列说法一定正确的是（ B ）A.)32(43)65(41ππ-->--f f B.)34(43)65(41ππ-->--f f C.)43(21)3(43ππf f ->- D.)3(43)43(21ππf f ->-- 解析：设)(sin )(2x f x x F -=，则)(0)(cos sin 2)(''x F x f x x x F ⇒>-=在),0[+∞上递增12cos )()(=++-x x f x f )(sin )()(sin sin 22cos 1)()(222x x f x f x x x x f x f ---=-⇔=-=-+⇔)()(x F x F --=⇔)(x F ⇒为奇函数，又0)0(0)0(=-=f F ，所以)(x F 在R 上递增)34(43)65(41)34(65(ππππ-->--⇒->-∴f f F F ，故选B 8.函数)(x f 在R 上的导函数为)('x f ，对于任意的实数x ，都有x x f 40342017)('<+，若t t f t f 40342017)()1(++-<+，则实数t 的取值范围是（ A ） A.),21(+∞-B.),23(+∞-C.)21,(--∞D.)23,(--∞ 解析：设x x x f x F 20172017)()(2+-=，则)(020174034)()(''x F x x f x F ⇒<+-=在R 上递减 所以t t f t f 40342017)()1(++-<+)()1(t F t F -<+⇔t t t f t t t f t F t F 20172017)()1(2017)1(2017)1()()1(22---<+++-+⇔-<+⇔211->⇒->+⇔t t t ，故选A9.已知函数)(x f 的定义域为R ，其图像关于点)0,1(-中心对称，其导函数为)('x f ，当1-<x 时，0)]()1()()[1('<+++x f x x f x ，则不等式)0()1(f x xf >-的解集为（ A ）A.),1(+∞B.)1,(--∞C.)1,1(-D.),1()1,(+∞--∞ 解析：设)()1()(x f x x F +=，则0)()1()()(''>++=x f x x f x F 对)1,(--∞∈x 恒成立)(x F ∴在]1,(--∞上递增，又)(x F 关于)0,1(-对称，且0)1(=-F ，)(x F ∴在R 上递增所以)0()1(f x xf >-101)0()1(>⇒>-⇒>-⇔x x F x F ，故选A10.设函数)(x f 在R 上存在导数)('x f ，R x ∈∀有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <)('，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ A ）A.),2[+∞B.]2,2[-C.),0[+∞D.),2[]2,(+∞--∞解析：设221)()(x x f x F -=，则0)()(''<-=x x f x F 对0>x 恒成立，)(x F ∴在),0(+∞递减2)()(x x f x f =+-)()()()()(2121)(22x F x F x F x f x x x f ⇒--=⇔---=-⇔为奇函数又)(x f 连续)(x F ⇒连续，)(x F ∴在R 上递减所以m m f m f 48)()4(-≥--)()4(21)()4(21)4(22m F m F m m f m m f >-⇔-≥---⇔24≥⇒≤-⇒m m m ，故选A。

导数压轴题十种构造方法大全以及解题方法导引方法一 等价变形，转化构造 方法导读研究函数的性质是高考压轴题的核心思想，但直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变形，通过恒等变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。

方法导引例1 已知函数f(x)=a e x (a ∈R )，g(x)=lnx x+1.（1）求函数g(x)的极值；（2）当a ≥1e 时，求证：f(x)≥g(x). 解析:（1）由g (x )=ln x x+1，得g ′(x )=1−ln x x 2，定义域为(0,+∞).令g ′(x )=0，解得x =e ， 列表如下：结合表格可知函数g (x )的极大值为g (e )=1e +1，无极小值. （2）要证明f (x )≥g (x )，即证ae x ≥ln x x+1，而定义域为(0,+∞)，所以只要证axe x −ln x −x ≥0，又因为a ≥1e，所以axe x −ln x −x ≥1exe x −ln x −x ， 所以只要证明1e xe x −ln x −x ≥0.令F (x )=1e xe x −ln x −x ，则F ′(x )=(x +1)(e x−1−1x )， 记ℎ(x )=e x−1−1x ，则ℎ(x )在(0,+∞)单调递增且ℎ(1)=0，所以当x ∈(0,1)时，ℎ(x )<0，从而F ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x )>0，从而F ′(x )>0，即F (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，F (x )≥F (1)=0. 所以当a ≥1e 时，f (x )≥g (x ).例2已知a ∈R ，a ≠0，函数f (x ) =e ax -1-ax ，其中常数e =2.71828.（1）求f (x ) 的最小值；（2）当a ≥1时，求证:对任意x >0 ，都有xf (x ) ≥ 2ln x +1-ax 2. 解析：（1）因为()1ax f x eax -=-，则()()11ax f x a e -'=-，()210ax f x a e -'=>'故()f x '为R 上的增函数，令()0f x '=，解得1x a= 故当()1,,0x f x a ⎛⎫∈-∞< '⎪⎝⎭，()f x 单调递减； 当()1,,0x f x a ⎛⎫∈+∞>'⎪⎝⎭，()f x 单调递增， 则()10min f x f a ⎛⎫==⎪⎝⎭故函数()f x 的最小值为0.（2）证明：要证明xf (x ) ≥ 2ln x +12ax - 等价于证明121ax xe lnx -≥+由（1）可知：10ax e ax --≥，即1ax e ax -≥ 因为0x >，故12ax xe ax -≥ 故等价于证明221ax lnx ≥+即()2210,0,ax lnx x --≥∈+∞令()221g x ax lnx =--，即证()()0,0,g x x ≥∈+∞恒成立.又())21122g x ax x x+-=-='令()0g x '=，解得x =故当(),0x g x⎛'∈< ⎝，()g x 单调递减； 当(),0x g x⎫∈+∞>'⎪⎭，()g x 单调递增；故()2g x g lna≥== 有因为1a ≥，故0lna ≥ 故()0g x lna ≥≥即证.即对任意x >0 ，都有xf (x ) ≥ 2ln x +1-ax 2. 方法二：构造常见典型函数 方法导读常见典型函数主要包括xlnx ，x/lnx ，lnx/x ; xe x ,xe x ,e x /x 等，通过变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。