斐波那契数列

斐波那契数列 母函数

斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个用递归的方式定义的数列，通过定义一个公式来递推得到。

数列的第 n 项为 f(n)，f(0) = 0，f(1) = 1，f(i) = f(i-1) + f(i-2)，其中 i≥2。这个序列的前几项为：0、1、1、2、3、5、8、13、21…以此类推。

斐波那契数列在数学上有很多有趣的性质和应用，例如：黄金分割、螺旋形等等。

我们可以将斐波那契数列看作是一种数学对象，可以用一种数学工具——母函数表示。

什么是母函数？

母函数是一个常用于组合数学中的数学工具，它可以将一个离散的序列（如组合数、拉格朗日插值多项式等）表示成一个函数形式，以便更方便的进行分析。母函数在生成函数、离散概率分布、计数问题等方面都有重要的应用。

母函数表达方式

我们可以把斐波那契数列表示成一个母函数 F(x) 的形式：

F(x) = x + x² + 2x³ + 3x⁴ + 5x⁵ + 8x⁶ + 13x⁷ + 21x⁸ + …

这个式子的含义是什么呢？举个例子：F(3) = 3，表示斐波那契数列里第三个数为 2。又比如：F(7) = 68，表示斐波那契数列里第七个数为 13。

这个数列的前若干项，用母函数表达式表示如下：

F(x) = x + x² + 2x³ + 3x⁴ + 5x⁵ + 8x⁶ + 13x⁷ + 21x⁸ + …

= x + (x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + …) + 2(x⁴ + x⁵ + x⁶ + …)

+ 3(x⁵ + x⁶ + …) + 5(x⁶ + …) + 8(x⁷ + …) + 13(x⁸ + …) + …

= x + x² F(x) + x³ F(x) + x⁴ F(x) + x⁵ F(x) + x⁶ F(x) + …

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阅读与思考

----关于斐波那契数列

山西省长治市武乡中学 魏春妍

高中数学必修五《数列》一章中有一篇阅读与思考---斐波那契数列。斐波那契数列也称“兔子数列”，这是一个非常有趣的数列，它是自然界中经过长期的适应和进化隐藏着的神秘的数学规律，而且在现代物理、化学、经济等领域都有直接的应用。为此，笔者对斐波那契数列进行了粗浅的收集整理，以供学生参考学习。

一、斐波那契数列

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,

...

二、相关公式

（1）递推公式

，，（n>=3,n∈N*）

（2）前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3+……+an

=1+a1+a2+a3+……+an-1

=a2+a1+a2+a3+……+an-1

=a3+a2+a3+……+an-1 2 =a4+a3+……+an-1

……

=an+an-1+an-1

=2an+an-1-1

（3）通项公式：

三、斐波那契数列的由来

兔子繁殖问题：斐波那契数列又因数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”。

问 题：一般而言，若一对成年兔子每个月恰好生下一对小兔子(一雌一雄)。在年初时，只有一对小兔子。在第一个月结束时，他们成长为成年兔子，并且第二个月结束时，这对成年兔子将生下一对小兔子。这种成长与繁殖的过程会一直持续下去，并假设生下的小兔子都不会死，那么一年之后共可有多少对小兔子？

繁殖的过程可以通过一棵“家族树”来表示： 3 让我们来推算一下在第五个月结束时兔子的总数：

第1个月：只有1对兔子；

第2个月：兔子没有长成，仍然只有1对兔子；

第3个月：这对兔子生了1对小兔子，这时共有2对小兔子；

第4个月：老兔子又生了1对小兔子，而上个月出生的兔子还未成熟，这时共有3对兔子；

第5个月：这时已有2对兔子可以生殖，于是生了2对兔子，这时共有5对兔子；

斐波那契数列

定义

斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和 。

通项公式的推导

斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。那么这句话可以写成如下形式：

F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2），

显然这是一个线性递推数列。 方法一：利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为：

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。

∵F(1)=F(2)=1。

∴C1*X1 + C2*X2。

C1*X1^2 + C2*X2^2。

解得C1=√5/5，C2=-√5/5。

∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）。

方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）

设常数r，s。

使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。

则r+s=1， -rs=1。

斐波那契数列的十六个性质

斐波那契数列的十六个性质为：

性质一：模除周期性

数列的数模除某个数的结果会呈现一定周期性，因为数列中的某个数取决与前两个数，一旦有连着的两个数的模除结果分别等于第0第一项的模除结果，那麽代表着一个新的周期的的开始，如果模除n，则每个周期中的元素不会超过n×n。

性质二：黄金分割

随着i的增大Fi/Fi－1接近于0.618.

性质三：平方与前后项

从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多一，每个偶数项的平方比前后两项之积少一。

性质四：斐波那契数列的第n＋2项代表了集合{1，2，...n}中所有不包含相邻正整数的子集的个数。

性质五：求和。

斐波那契数列的特点：

斐波那契数具有很多有趣且令人惊讶的特性，在此我将举例说明和证明其中两个。两种证明都将使用数学归纳法

1．数学归纳法

如果您不熟悉数学归纳法，请这样考虑。想象一下，我拥有一套永无止境的多米诺骨牌，而我将把它们全都站起来，形成一串多米诺

骨牌，它们将永远相互撞倒。为确保发生这种情况，我需要了解以下内容：

第一个多米诺骨牌被击倒了。

2．碰到任何多米诺骨牌都会导致下一个多米诺骨牌被碰倒。

以类似的方式，我们可以通过证明以下事实来证明对于所有数字n都是正确的：

1．n＝1时成立（称为归纳开始）

2．如果n＝k成立，那么n＝k＋1也成立。（这被称为归纳步骤。即证明如果所有n≤k都成立，那么n＝k＋1也成立。）