相似及位似

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几何变换之 捆绑旋转

所有的动态问题几乎都是在一个不变的大背景或者说大框架下运动变化的，这就是“抓不变量”的审题策略与解题策略；运动的元素肯定是有规律的、是有迹可循的，只不过或“显性”或“隐性”而已！对于动态问题一定要树立良好的“轨迹意识”，常常问自己：题目中的动点是如何运动的，轨迹是什么等问题！“种瓜得瓜，种豆得豆”，要分清哪个是主动点，哪个是从动点，主动点如何运动，从动点必然一样的运动，主动点如何运动，从动点必然一样的运动，主动点如何运动，从动点必然一样的运动（重要的话说三遍！），而在“大小”上有时需作扩大或缩小，这也是整体与局部的关系；关键是要有一个定点，实质是旋转位似；

理论支撑：“旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置”、“经过位似变换之后的图形与原图形相似，即位似不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置”。

解法套路：第先用图形常见变换的眼光看待动点之间的关系，进而过渡到这两个动点的轨迹之间关系，借此画出从动点的轨迹，从而问题就被转化为点到这个轨迹的最值问题。

最值理论支撑：1、直线外一点到直线上的点的所有连线段中：垂线段最短！

2、非圆上的一点到定圆上一动点的连线段中，什么情况下连线段最短？最长？

例1、如图，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值与最小值．

练习：如图，点O在线段AB上，OA＝1，OB＝2．以点O为圆心，OA长为半径的圆为⊙O．在⊙O上取动点P，以PB为边作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝21，P，B，C三点为逆时针顺序．连结AC，求AC长的取值范围．

OyxACBCOABP

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例2、如图，边长为6的等边△ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，联结CE，将线段EC绕点C逆时针旋转60度得到FC,连结DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是______。

27．3 位似

教学目标：

(一)知识与技能1．进一步理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。

2．会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。

3．掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律。

(二)过程与方法

1、经历位似图形性质的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力、以及动手、动脑、手脑和谐一

致的习惯。

2、利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此过程中培养学生的数学应用意识，进一步培养学

生动手操作的良好习惯。

(三)情感态度与价值观

通过动手操作、探究与交流，发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。

教学重点和难点：本节教学的重点是图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小。

教学过程：

创设情景，构建新知

1．位似图形的概念

下列两幅图有什么共同特点？

如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,

这个点叫做位似中心.

2、引导学生观察位似图形

下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？

显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.

相似三角形的位似定理与垂心

相似三角形是几何学中的一个重要概念，它与形状变换与比例有着密切的关系。在相似三角形中，位似定理和垂心是两个重要的概念和定理。本文将介绍相似三角形的位似定理以及垂心的相关内容。

一、相似三角形的位似定理

相似三角形有一个重要的特点，即相似三角形的对应角相等，而对应边成比例。基于这一特点，我们可以得到相似三角形的位似定理，即相似三角形的顶点、垂心、中心重合。下面我们以一个具体的例子来说明这个定理。

假设有两个相似的三角形ABC与DEF，它们的对应边分别为AB与DE、BC与EF以及AC与DF。根据相似三角形的定义，我们可以得知∠A=∠D、∠B=∠E和∠C=∠F。根据位似定理，我们可以推断出三角形ABC的顶点A与三角形DEF的垂心D重合，即A=D；同理，B=E，C=F。这意味着相似三角形的顶点与垂心是重合的。

除了顶点与垂心的重合外，相似三角形的中心也与顶点与垂心重合。相似三角形的中心是三个中线的交点，中线指从三角形的一个顶点到对边中点的线段。由于相似三角形的对应边成比例，对应中线的长度也成比例。因此，中心与顶点与垂心也是重合的。这就是相似三角形的位似定理。

二、垂心的定义与性质 垂心是指一个三角形的三条高线的交点。高线是指从三角形的一个顶点到对边上的垂足所构成的线段。对于一个任意三角形ABC，它的三条高线分别为AD、BE和CF，其中D、E和F分别为三角形ABC的对边BC、AC和AB上的垂足。

垂心是三角形内部的一个点，具有以下性质：

1. 垂心到三边的距离相等：垂心到三角形的三条边的距离分别相等。

2. 垂心是三角形内角平分线的交点：垂心是三个内角平分线的交点。

3. 垂心关于三角形的边中点对称：垂心关于三角形的三条边中点对称。

垂心在三角形中起着重要的几何作用。它不仅可以用来证明相似三角形的位似定理，还可以用来确定三角形的重心、外心和内心等特殊点。

三、位似定理与垂心的应用举例

九年级下册位似的知识点

位似是九年级下册数学学习的一个重要知识点。位似是指两个多边形的形状相似，但是大小不同。在本文中，将探讨位似的定义、性质以及其在实际生活和其他学科中的应用。

一、位似的定义

位似，即位置似相似。在数学中，当两个多边形的对应角相等，并且对应边的比例相等时，我们可以说这两个多边形是位似的。位似的概念是相似三角形的推广，它不仅适用于三角形，也适用于其他形状的多边形。

二、位似的性质

1.对应角相等：两个位似的多边形的对应角是相等的，即对应角的度数相等。

2.对应边比例相等：两个位似的多边形的对应边的长度比例相等，即对应边的比值相等。

3.面积比例相等：两个位似的多边形面积的比例等于对应边的长度比例的平方。

三、位似的应用

1.建筑设计：在建筑设计中，位似的概念可以用来设计不同比例的建筑物。例如，在设计一个模型房屋时，需要按照实际房屋的尺寸比例缩小或放大建模，以便更好地展示设计效果。

2.地图制作：地图是我们生活中常用的工具之一。在制作地图时，为了让地图更加美观和实用，会使用位似的概念将真实地貌比例缩小到地图上。

3.计算测量：在实际测量中，我们可以利用位似的性质估算无法直接测量的距离或高度。通过已知的尺寸比例，我们可以推算出未知物体的尺寸。

4.数学推理：位似的概念也在数学推理中得到应用。利用位似的性质，我们可以推导出多边形的各种性质和公式，从而解决实际问题。

总结：

位似作为数学中的一个重要概念，可以帮助我们了解和解决各种实际问题。通过对位似的定义和性质的掌握，我们可以在实际生活和其他学科中更好地应用数学知识，提高问题解决能力。同时，位似也是几何学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握位似的概念和性质是非常重要的，将会为他们以后的学习打下坚实的基础。因此，我们应该通过实际问题的解决和推理，将数学知识与实际应用相结合，以帮助我们更好地理解和应用位似的概念。通过不断的学习和实践，我们可以在数学学习的道路上取得更好的成绩。