人教A版高中数学必修二：2.1空间点直线平面之间的位置关

第- 1 -页 共29页 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2．1.1 平面

预习课本P40～43，思考并完成以下问题

1．平面的表示方法有哪些？

2．公理1、公理2、公理3的内容是什么？

3．公理1、公理2、公理3各自的作用是什么？

4．点、线、面之间的位置关系用符号怎样表示？

[新知初探]

1．平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．

2．平面的画法

(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.

(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.

第- 2 -页 共29页 3．平面的表示法

图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.

[点睛] (1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；

(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．

4．平面的基本性质

公理 内容 图形 符号 作用

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 用来证明直线在平面内

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 用来确定一个平面

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点

[点睛] 对公理2必须强调是不共线的三点．

[尝试应用]

(1)空间不同三点确定一个平面( )

(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面( )

(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内( )

答案：(1)× (2)× (3)√

(1)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；

(2)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；

(3)平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．

A．0 B．1

C．2 D．3

3．根据右图，填入相应的符号：A__________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.

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答案：∈ ∉ ⊄ AC

文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

[典例] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

(1)点P与直线AB；

(2)点C与直线AB；

(3)点M与平面AC；

(4)点A1与平面AC；

(5)直线AB与直线BC；

(6)直线AB与平面AC；

(7)平面A1B与平面AC.

[解] (1)点P∈直线AB.

(2)点C ∉直线AB.

(3)点M∈平面AC.

(4)点A1∉平面AC.

(5)直线AB∩直线BC＝点B.

(6)直线AB⊂平面AC.

(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.

三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

[活学活用]

1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为( )

A．M∈a，a∈α B．M∈a，a⊂α

第- 4 -页 共29页 C．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α

解析：选B 根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确．

2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：

(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.

解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图(1)．

(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图(2)．

平面的基本性质的应用

题点一：点线共面问题

1.如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．

证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.

∵l∩a＝A，l∩b＝B，

∴A∈α，B∈α.

又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.

∵b∥c，∴b，c确定一个平面β.

同理可证l⊂β.

于是b⊂α，l⊂α，b⊂β，l⊂β，即α∩β＝b，α∩β＝l.

又∵b与l不重合，

∴α与β重合，

∴a，b，c，l共面．

点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2．解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；(3)反证法．通常情况下采用第一种方法．

第- 5 -页 共29页 题点二：点共线问题

2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．

证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.

∴BD1⊂平面A1BCD1.

同理BD1⊂平面ABC1D1.

∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.

∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，

∴Q∈平面ABC1D1.

又∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴Q∈平面A1BCD1.

∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，

∴B，Q，D1三点共线．

点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.解决此类问题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．

题点三：三线共点问题

3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．

证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.

∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，

∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，

则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，

∴P∈α∩γ＝l3，

∴l1，l2，l3相交于一点P.

证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．

层级一 学业水平达标

第- 6 -页 共29页 1．下列说法中正确的是( )

A．三点确定一个平面

B．四边形一定是平面图形

C．梯形一定是平面图形

D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点

解析：选C 不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C.

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选B ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．

3．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则( )

A．P一定在直线BD上

B．P一定在直线AC上

C．P在直线AC或BD上

D．P既不在直线BD上，也不在AC上

解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．

4．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( )

A．六边形 B．五边形

C．菱形 D．直角三角形

解析：选D 可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选D.

5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )

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解析：选D 在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.

6．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________．

答案：A∈l，l⊄α

7．如图，看图填空：

(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；

(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.

答案：A1B1 AC

8．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．

解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．

答案：1或4

(1)由点A，O，C可以确定一个平面；

(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.

解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．

(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.

10．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线．

解：以AB为其中一边，分别画出表示平面的平行四边形．如图．