2．3.1 平面向量基本定理-1
2．3.1 平面向量基本定理
知识点一 平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识点二 两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．
(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.
概念理解：
1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( )
2．零向量可以作为基向量．( )
3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( )
类型一 对基底概念的理解
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，
那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
2.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－12e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1＋3e2
类型二 用基底表示向量
将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
1.在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试以a，b为基底表示DE→，BF→.
高一数学向量知识点总结
一、向量的基本概念
1. 向量的定义
- 既有大小又有方向的量叫做向量。例如力、位移等都是向量。
2. 向量的表示
- 几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的向量记作→AB。
- 字母表示：用小写字母→a,→b,→c·s表示向量。
3. 向量的模
- 向量→AB或→a的大小称为向量的模，记作|→AB|或|→a|。模是一个非负实数。
4. 零向量
- 长度为0的向量叫做零向量，记作→0，零向量的方向是任意的。
5. 单位向量
- 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。与非零向量→a同向的单位向量为(→a)/(|→a|)。
二、向量的运算 （一）向量的加法
1. 定义
- 已知向量→a、→b，在平面内任取一点A，作→AB=→a，→BC=→b，则向量→AC叫做→a与→b的和，记作→a+→b，即→a+→b=→AB+→BC=→AC。这种求向量和的方法叫做三角形法则。
- 平行四边形法则：已知向量→a、→b，作→AB=→a，→AD=→b，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则→AC=→a+→b。
2. 运算律
- 交换律：→a+→b=→b+→a。
- 结合律：(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
（二）向量的减法
1. 定义
- 向量→a与→b的差→a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量，→b与-→b大小相等，方向相反。求两个向量差的运算叫做向量的减法。
- 几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。
（三）向量的数乘 1. 定义
- 实数λ与向量→a的积是一个向量，记作λ→a，它的长度|λ→a|=|λ||→a|，当λ> 0时，λ→a的方向与→a的方向相同；当λ < 0时，λ→a的方向与→a的方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。
高一数学讲义 第七章 平面向量
7.1 向量的基本概念及表示
现实生活中，有些量在有了测定单位之后只需用一个实数就可以表示，例如温度，时间，面积，这些只需用一个实数就可以表示的量叫作标量．还有些量不能只用一个实数表示，例如位移，力，速度等既有大小又有方向的量，这些既有大小又有方向的量叫作向量．向量既有大小又有方向，因此向量不能比较大小．
数学中常用平面内带有箭头的线段来表示平面向量．以线段的长来表示向量的大小：以箭头所指的方向（即从始点到终点的方向）来表示向量的方向．一般地，以点P为始点，点Q为终点的向量记作PQ．为书写简便，在不强调向量的起点与终点时，向量也可以用一个小写的字母并在上面画一个小箭头来表示，如a．PQ的大小叫作PQ的模，记作PQ，类似地，a的模记作a．
1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0；0的方向是任意的．
2．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．
3．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量）．
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
5．负向量：与a的模相等，方向相反的向量叫作a的负向量，记作a．我们规定：0的相反向量仍是零向量．易知对任意向量a有aa．
向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在一条直线上；而有向线段共线则线段必须在同一条直线上．规定。与任一向量平行．
cba图7-1
图7-1三个向量a、b、c所在的直线平行，易知这三个向量平行，记作abc∥∥，我们也可以称这三个向量共线．
例l．如图7-2所示，128AAA、是O上的八个等分点，则在以128AAA、及圆O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少?模等于半径2倍的向量有多少个? A8A7A6A5A4A3A2A1图7-2
解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是128iOAi、共8个；另一类是128iAOi、也有8个．两类合计16个．
高中数学平面向量知识及注意事项
一、向量基础知识
1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1)结合律：λ(μa)=(λμ) a；(2)第一分配律：(λ+μ) a=λa+μa；
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2、向量的数量积的运算律：(1) a·b= b·a （交换律）；注:cbacba)()(
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）；(3)（a＋b）·c= a ·c +b·c.
3、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ11e+λ22e．不共线的向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
4、投影：向量b在向量a方向上的投影为|b|cosθ。
5、a与b的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cosθ．
6、a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
7、平面向量的坐标运算：
(1)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy.
(2)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy.
(3)设A11(,)xy，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxxyy.
(4)设a=(,),xyR，则a=(,)xy.
(5)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a·b=1212xxyy.
8、两向量的夹角公式：121222221122cosxxyyxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy).
