二叉树与三叉树模型

二叉树模型及三叉树模型思想及应用

摘要：现代金融理论的核心问题是金融衍生物定价问题，期权和期货是金融市场中比较重要的两种金融衍生物，期权是持有人在未来确定时间，按确定价格向出售方购入或售出一定数量和质量的原生资产的协议，但他不承担必须购入或售出的义务。二叉树模型是金融衍生物定价的常用方法之一，而并且三叉树的构建和求解过程与二叉树相似，但是三叉树模型较二叉树模型在应用效果上有更多的优势。而三叉树模型的计算结果则是平稳的趋近于B—S模型的结果。而且三叉树模型的收敛速度比二叉树模型快。在相同的精度要求下，由于三叉树模型较二叉树模型需要的步数更少，所以它即减少了计算量，又节省了时间。

关键词：二叉树模型 三叉树模型 期权定价 Matlab Excel

1.引言

现代金融理论的核心问题是金融衍生物定价问题，期权和期货是金融市场中比较重要的两种金融衍生物，期权是持有人在未来确定时间，按确定价格向出售方购入或售出一定数量和质量的原生资产的协议，但他不承担必须购入或售出的义务。期权按合约中有关实施的条款可分为欧式期权和美式期权，欧式期权是只能在合约规定的到期日实施。美式期权是能在合约规定的到期日以前（包括到期日）任何一个工作日实施。期权按合约中购入和销售原生资产可分为看涨期权和看跌期权，看涨期权是一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约，看跌期权是一张在确定时间，按确定价格有权出售一定数量和质量的原生资产的合约。期权定价问题是金融衍生物定价问题中的重要问题之一。Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点， 但是它的推导过程难以为人们所接受。在1979年， 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型， 称为二项式模型(Binomial Model)或二叉树法(Binomial tree)。 二项期权定价模型由考克斯（J.C.Cox）、罗斯（S.A.Ross）、鲁宾斯坦（M.Rubinstein）和夏普（Sharpe）等人提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。其优点在于比较直观简单，不需要太多数学知识就可以加以应用。

三叉树模型最早于1986年由PhelimBoyle提出，作 为二叉树模型的一个延伸和扩展，其中的上升因子和下降 因子就是由PhelimBoyle提出，至于为什么要选2△t而非二叉树模型中的△t，Boyle的考虑是，首先三叉树中股价 有三种变化情况，允许变化的时间更长一些；其次Boyle 是在联合两个二叉树之后生成了三叉树，所以相当于两个时间间隔的变化。在此之后Kamrad和Ritchken于1991年发现了另一种形式的三叉 树模型，他们对Boyle的三叉树模型做了简化，并且证明了 如果从二叉树中的某一阶段 跳过下一阶段直接到第三阶段，这样就可以相应产生出一个三叉树。三叉树网格定价模型作为一类基本的数值分析方法,

在金融衍生证券, 特别是在对基于较少标的变量的低维衍生证券的价格估计中,

得到了比较广泛的应用。但由于这些模型本身不足, 使得它们对许多金融衍生证券的价格估计不能取得理想的效果。相对于二叉树模型而言, 三叉树定价模型由于增加了所要估计的自由参数, 从而有效地缓解了时间区间的等分化离散方式假设对其造成的影响。因此, 该模型的价格估计收敛过程的波动性程度要比一般的二叉树模型小, 收敛速度也相对较快。但由于模型自由参数的增加, 加大了该模型的计算工作量。所以, 为了提高估计精度而增加时间步骤数时, 将往往致使该模型的计算工作有较大幅度的增加, 从而也在一定程度上降低了该模型的估计效率。因此, 提高三叉树定价模型的关键就在于如何有效地减少该模型的计算工作。

2.二叉树期权定价模型

2.1模型的假设

（1）资本市场是完全竞争的市场；

（2）不考虑交易成本的税收；

（3）无卖空限制；

（4）市场存在无风险资产，其利率是固定的；

（5）股票不支付红利； （6）投资者是理性的。

2.2二叉树模型思想

2.2.1单步二叉树模型构建

单步二叉树模型，又称之为单时段-双状态模型。所谓单时段是指交易要么在时段[0,T]的初始时刻t=0进行，要么在终止时刻t=T进行。而双状态时指风险资产的价格在未来t=T时刻有且只有两种可能的值，要么上涨，要么下跌。

假设风险资产S（如股票）在时间T内变化只有两种可能的情况。在初始时刻t=0的价格记为S0,在未来t=T时刻，如果股票价格上涨，记为Su；如果股票价格下跌则记为Sd。同时，金融衍生产品在股票上涨和下跌时的价值分别记为U和D，

如图所示

现在同样构造一个投资组合，在卖出一份衍生产品的同时，出售方为控制风险，买出a股股票与它对冲。此刻，投资组合的初始价值为

Φ0=V0-aS0

同样对应两种可能情况：

（1）当股票价格上涨时

Φu=U-aSu

（2）当股票价格下跌时

Φd=D-aSd

我们求得衍生产品价格与每个投资人对未来股价的期望无关，此时令

U-aSu=D-aSd

由此，求得

这个比率为股权的变化与股价变化之比。在投资决策过程中，该比率为德尔塔量。

由于该投资组合是没有风险的，设即期无风险利率为r,这是一定有

S0 Su

Sd

V0 U

D

股票价格和衍生产品价格的二叉树图 存在两个时刻，时刻0表示现在，时刻1表示将来，用S表示在0时刻的股票价格，在时刻1的股票价格是随机变量。设有两种状态：价格上涨u倍（1u），下跌d倍（1d），设无风险利率为fr，令frr1，如果市场不存在套利机会，则druf11，股票上涨的概率为q，股票价格变化如图1所示。

0t 1t 0t 1t uc

S C

dc

图1.股票价格的变化 图2.期权价格的变化

设施权价为E，当1t时，如果股票价格上涨，则期权的价值为：)0,max(Euscu；如果股票价格下跌，期权的价值)0,max(Edscd，期权在0时刻的价值为C，则期权的价格变化如图2所示。

现在我们构造一个组合，选择份股票和无风险资产B，使该组合复制期权的价值。为此，和B满足如下条件：

rBuscu （1）

式（1）表示在时刻1股票上涨时，资产组合的价值等于期权的价值。

rBdscd （2）

式（2）表示在时刻1股票下跌时，资产组合的价值等于期权的价值。

由方程（1）和（2）解得

)(dusccdu （3）

rdudcucBud)( （4）

根据无套利原则，因为资产组合的价值在时刻1与期权的价值相同，所以在时刻0，期权的价值C与资产组合的价值相等。因此，在时刻0应有：

BSC （5）

将式（3）和式（4）代入式（5），得

][1ducdurucdudrrC （6）

注意到1durududr，令dudrp，则durup1，于是 us

ds ])1([1ducppcrC

2.2.2风险中性概率

假设金融市场由风险资产（设为股票）S和无风险资产B（设为债券）组成，如果存在一个投资组合Φ错误！未找到引用源。（其中a，b为常数）使得t=T时刻，投资组合Φ的值与金融衍生产品V的值相同，即错误！未找到引用源。，这时Φ称为金融衍生产品V的复制。

假设无风险资产为债券，并设债券的初值为1，即期利率为r，那么在时间t债券的价值将是错误！未找到引用源。。资产组合在t=0时刻的价值为

在t=T时刻，其价值有两种可能：

上涨状态：错误！未找到引用源。

下跌状态: 错误！未找到引用源。

令

错误！未找到引用源。 （1）

错误！未找到引用源。 （2）

这样，该投资组合就复制了金融衍生产品V。

由于该投资组合和衍生产品在t=T时刻有相同的价值，根据价格单一定律，它们在t=0时刻也应该有相同的价值。

于是

错误！未找到引用源。 （3）

由（1）和（2）可以解出a和b，分别为

代入（3）得

如果把U和D两项分开，整理后得

这里U和D两项的系数有特殊的含义，忽略指数项，U的系数是

错误！未找到引用源。 （4）

D的系数是。

P的表达式可以作为一概率来看待，

这里错误！未找到引用源。表示（4）给出的概率P下随机变量错误！未找到引用源。的数学期望。p称之为风险中性概率。

2.2.3多期二叉树期权定价模型

对于多期二叉树定价模型期权的价格变化可用图表示。

图3. 股票价格的变化

图4 多期二叉树定价模型期权价格的变化

当时间为0时，股票价格为错误！未找到引用源。，时间为错误！未找到引用源。时，证券价格要么上涨到Su，要么下跌到Sd;时间为2错误！未找到引用源。时，股票价格就有3种可能，分别为错误！未找到引用源。，以此类推，在时间i错误！未找到引用源。，股票价格有i+1种可能，用公式表示为

其中，j=0,1,2,3,…,i=1,2,3,…。

期权定价从树形图末端开始，采用倒推定价法进行。由于在T时刻欧式看跌期权现金流为max(K-错误！未找到引用源。,0)，求解错误！未找到引用源。时刻每一节点上的期权价格时都可以通过将T时刻齐全现金流预期值以无风险收益率进行贴现求出。

假设将欧式看跌期权的存续期分成N个长度为错误！未找到引用源。的小区间设错误！未找到引用源。表示在时刻i错误！未找到引用源。第j个节点处的欧式看跌期权价格，也称错误！未找到引用源。为节点（i,j）的期权价值，同时错误！未找到引用源。表示节点（i,j）处的标的价格，欧式看跌期权到期价值是max(K-错误！未找到引用源。,0),所以有

错误！未找到引用源。,0错误！未找到引用源。