高考数学考点突破——数列：数列的概念与简单表示法
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最新中小学教案、试题、试卷
数列的概念与简单表示法
【考点梳理】
1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数
有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
单调性 递增数列 an＋1>an
其中n∈N* 递减数列 an＋1
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
5．数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
6．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ S1，n＝，Sn－Sn－1，n
【考点突破】
考点一、由an与Sn的关系求通项an
【例1】(1)已知数列{an}的前n项和为Sn＝14n2＋23n＋3，则数列{an}的通项公式an＝________. 最新中小学教案、试题、试卷
(2)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15 B．16 C．49 D．64
[答案] (1)
4712，n＝1，12n＋512，n≥2 (2) A
[解析] (1)当n＝1时，a1＝S1＝4712，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝14n2＋23n＋3－14（n－1）2＋23（n－1）＋3
＝12n＋512，
经检验a1＝4712不满足上式
所以这个数列的通项公式为an＝4712，n＝1，12n＋512，n≥2.
(2)当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.
【类题通法】
已知Sn求an的3步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
【对点训练】
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________.
[答案] 4n－5
[解析] a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合上式，∴an＝4n－5.
2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝( ) 最新中小学教案、试题、试卷
A．10 B．15
C．－5 D．20
[答案] D
[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.
【例2】(1)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式an＝________.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
[答案] (1) (－2)n－1 (2) －1n
[解析] (1)由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，
两式相减，得an＝23an－23an－1，
∴当n≥2时，an＝－2an－1，即anan－1＝－2.
又n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，a1＝1，∴an＝(－2)n－1.
(2)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，
∴1Sn－1Sn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1.
又1S1＝－1，
∴1Sn是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－1n.
【类题通法】
Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 最新中小学教案、试题、试卷
【对点训练】
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝( )
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1 D．2n－2
[答案] A
[解析] 由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝( )
A．31 B．42 C．37 D．47
[答案] D
[解析] 由题意，得Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，故数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S5＋1＝3×24，所以S5＝47.
考点二、由递推公式求数列的通项公式
【例3】在数列{an}中，
(1)若a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，则数列{an}的通项公式an＝________.
(2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.
(3)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.
[答案] (1) 32n2＋n2 (2) 2n＋1 (3) 2n＋1－3
[解析] (1)由题意，得an＋1－an＝3n＋2，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋5＋2
＝n（3n＋1）2.
即an＝32n2＋n2.
(2)由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得anan－1＝nn＋1(n≥2).
所以an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1 最新中小学教案、试题、试卷
＝nn＋1·n－1n·n－2n－1·…·34·23·1
＝2n＋1，又a1也满足上式.
所以an＝2n＋1.
(3)设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.
故an＋1＋3＝2(an＋3).
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.
∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
【类题通法】
1.形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项.
2.形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为an＋1an＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1代入求出通项.
3.形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
【对点训练】
在数列{an}中，
(1)若a1＝3，an＋1＝an＋1n（n＋1），则通项公式an＝________.
(2)若a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式an＝________.
(3)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式an＝________.
[答案] (1) 4－1n (2) 122nn (3) 2·3n－1－1
[解析] (1)原递推公式可化为an＋1＝an＋1n－1n＋1，
则a2＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13， 最新中小学教案、试题、试卷
a4＝a3＋13－14，…，an－1＝an－2＋1n－2－1n－1，an＝an－1＋1n－1－1n ，以上(n－1)个式子的等号两端分别相加得，an＝a1＋1－1n，故an＝4－1n.
(2)由an＋1＝2nan，得anan－1＝2n－1(n≥2)，
所以an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1
＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝122nn.
又a1＝1适合上式，故an＝122nn.
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴an＋1＋1an＋1＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1．
考点三、数列的性质及应用
【例3】已知数列{an}满足an＋1＝11－an，若a1＝12，则a2 018＝( )
A．－1 B．12
C．1 D．2
[答案] D
[解析] 由a1＝12，an＋1＝11－an，得a2＝11－a1＝2，
a3＝11－a2＝－1，a4＝11－a3＝12，a5＝11－a4＝2，…，
于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 018＝a3×672＋2＝a2＝2.
【类题通法】
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
【对点训练】
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋1(n∈N*)，则a2 018＝________.
