因式分解之十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
（1）二次项系数为1的十字相乘法：如果二次三项式2++x px q 中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，且一次项系数p 恰好是+a b ，那么2++x px q 可以进行如下分解因式，即()()()22++=+++=++x px q x a b x ab x a x b ，用十字交叉线来表示：x+ax +b【要点诠释】①在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号（若0c <，则p q 、异号），然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；②若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止。
（2）二次项系数不为1的十字相乘法：在二次三项式2ax bx c ++（a ≠0）中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘、再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.【要点诠释】①分解思路为“看两端，凑中间”；②二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
基础强化练习【例1】因式分解：（1）21124x x ++=；（2）21024x x ++=；（3）2224x x --=；（4）2524x x +-=；（5）22524x x ++=；（6）21424x x ++=；（7）21024x x +-=；（8）22324x x --=.【例2】将下列各式因式分解：（1）2109x x ++（2）2212x xy y --（3）2310x x --（4）2243n mn m --（5）22712x y xy -+（6）2412n n x x --（7）2(2)6(2)27x y x y +++-（8）42536x x --（9）()()222812a a a a +-++（8）22483m mn n ++（9）22627x y xy +-（10）2215x x --（11）22443(2)2m mn n m n -+--+（12）632827x x -+（13）()()2222483482x x x x x x x ++++++（14）20322--x x （15）222064xy y x -++（16）256x x -++（17）22(1)7(1)3x x ++++（18）22()5()3x y x y -+--（19）()()421336a b a b +-++（20）()()21623122x y x y +-+-（21）2222(6)4(6)5x x x x ----（22）(1)(2)(3)(6)20x x x x +---+（23）22(1)(2)12x x x x ++++-（24）22(6)(8)24x x x x +-+--（25）()()2243123515x x x x +++++【例3】用十字相乘法解方程：（1）22730x x -+=（2）26750x x --=（3）22530x x --=（4）221570x x ++=（5）23840a a -+=（6）25760x x +-=（7）2611100y y --=（8）2250x -+=（9）2252x x -=-【例4】已知二次三项式218x ax +-能在有理数范围内分解因式，求整数a 的可能值，并分解因式。
十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（１）理解二次三项式的意义； （２）理解十字相乘法的根据； (３）能用十字相乘法分解二次三项式;（４)重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】 1．二次三项式多项式c bx ax ++2,称为字母x 的二次三项式,其中2ax 称为二次项，bx 为一次项,ｃ为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数,就是关于x 的二次三项式；如果把ｘ看作常数,就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ,就是关于a ｂ的二次三项式.同样,多项式12)(7)(2++++y x y x ,把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋ｙ的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法. 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(a ｘ+b ）(c ｘ+d )竖式乘法法则．它的一般规律是:（1）对于二次项系数为１的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项ｑ分解成两个因数a ，ｂ的积,并且a ＋b 为一次项系数ｐ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的ｘ可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2)对于二次项系数不是１的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ,c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21,c c c =⋅21,且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”,这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂,因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为了减少尝试次数,使符号问题简单化，当二次项系数为负数时,先提出负号，使二次项系数为正数,然后再看常数项；常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如:)45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤:先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要合适，四种方法反复试,结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式:（1）1522--x x ;（2)2265y xy x +-.点悟：(1)常数项-15可分为３ ×(-5),且3＋(－5)=－2恰为一次项系数;(2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－２y )(－3y ），而(－2y )＋（－3y )=(－5y )恰为一次项系数.解:(1))5)(3(1522-+=--x x x x ; (2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-. 例２ 把下列各式分解因式: (1）3522--x x ;(2）3832-+x x ．点悟:我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解:（１）)3)(12(3522-+=--x x x x ; （2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨:二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时,二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大,往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验,才能提高速度和准确性．例３ 把下列各式分解因式： （1)91024+-x x ;（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+; （3)120)8(22)8(222++++a a a a .点悟：（1)把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式； （2)提取公因式(x ＋ｙ)后,原式可转化为关于（x +y )的二次三项式； (3）以)8(2a a +为整体,转化为关于)8(2a a +的二次三项式. 解:（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x ＝(x +1)(x -1)(x +3)（ｘ-３).(2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝（x +y )[(ｘ+y )-1］［７（x +y )＋2] ＝(ｘ+y )(ｘ＋y －１）（7x +７y ＋2)． (3） 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体,才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解,如能分解,要分解到不能再分解为止．例４ 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x . 点悟:把x x 22+看作一个变量,利用换元法解之. 解:设y x x =+22,则 原式=(y -3)（y －24）＋９0162272+-=y y=(y －18)(ｙ－９）)92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨:本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外,)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解. 例5 分解因式653856234++-+x x x x . 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解:原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ，令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x .点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙,令人眼花瞭乱.但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x .点悟:方法1：依次按三项,两项,一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2:把字母y 看作是常数,转化为关于x 的二次三项式． 解法1: 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x 6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x .解法２: 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x )1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-==(x -y －6)(ｘ－y +1).例7 分解因式：c ａ（c －a )＋bc (b -c )＋ａb (a －ｂ). 点悟:先将前面的两个括号展开,再将展开的部分重新分组． 解:ca (c －a )＋bc (ｂ-ｃ)+ａb (ａ－b ）)(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-= )()()(222b a ab b a c b a c -+---= )())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--= ])()[(2ab b a c c b a ++--==(a －ｂ）(c －a )(c -b )．点拨:因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组.此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含ａ-ｂ的因式,从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ,求a 值和这个多项式的其他因式.点悟:因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x (a 、ｂ是待定常数)，故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式,可求出a ，b 的值． 解：设另一个多项式为32++bx x ,则12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ,∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，ａ＝－1,b ＝1, 代入②,等式成立．∴ a =-1，另一个因式为32++x x ．点拨:这种方法称为待定系数法，是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法,在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式:22210235y aby b a -+． 错解：∵ －１0＝5×(－2),5＝１×5，5×5＋1×(－2)＝２3，∴ 原式=（5ab ＋５y )（－2a ｂ＋５ｙ). 警示:错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解:∵ 5＝１×５,-10＝5×(－２)，5×5＋1×(-２)=2３.∴ 原式=(ab ＋5ｙ)（５ａb -2y ). 【同步练习】 一、选择题1.如果))((2b x a x q px x ++=+-,那么p 等于 （ ） A ．a ｂ B .a +b C ．－ab D ．－(a +b )2.如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 （ ）A .5B .-6C ．-５D .６3．多项式a x x +-32可分解为(x -5)(x －ｂ),则a ，b 的值分别为 （ ) A ．１０和－2 B .-10和２ C ．10和2 D ．-１0和-24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x x Ｄ．22865y xy x --５.分解结果等于(x ＋ｙ－4)(２ｘ+2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D .20)(9)(22++-+y x y x6.将下述多项式分解后，有相同因式x -1的多项式有 （ ) ①672+-x x ; ②1232-+x x ； ③652-+x x ; ④9542--x x ; ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A .2个 Ｂ．3个 C .4个 D ．５个二、填空题7.=-+1032x x ____＿＿_＿__. 8．=--652m m （m ＋a )（m ＋b )． ａ=_＿_＿______,b ＝_＿_＿______． 9．=--3522x x (x -3)(_＿________).10.+2x ＿__＿=-22y (ｘ－y ）(_＿_____＿__)．1１.22____)(____(_____)+=++a mna . １2．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(＿_＿__＿_＿__）. １３．若x -y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为_＿_____＿＿＿. 三、解答题1４．把下列各式分解因式:（1)6724+-x x ； (2）36524--x x ；(3)422416654y y x x +-； (４)633687b b a a --;(５）234456a a a --; (６）422469374b a b a a +-． 1５.把下列各式分解因式:（1）2224)3(x x --;(2)9)2(22--x x ； （3）2222)332()123(++-++x x x x ; (4)60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ； （6)48)2(14)2(2++-+b a b a ． 1６．把下列各式分解因式: （1)b a ax x b a +++-2)(2;(２)))(()(222q p q p pq x q p x -+++-; （３)81023222-++--y x y xy x ; (４)310434422-+---y x y xy x ;(5)120)127)(23(22-++++x x x x ； (6)4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17.已知60197223+--x x x 有因式2x -5，把它分解因式． １8．已知x +y =2,ｘy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值． 参考答案 【同步练习】1．Ｄ 2．B 3.Ｄ 4.Ｃ 5.A 6.C 7．(ｘ+５)(x －2) 8．1或－6,-6或1 9.2x +110.x ｙ,x ＋2y 11.224m n ，a ,mn212．－2,3ｘ＋1或x ＋2 1３.17 14.(1） 原式)6)(1(22--=x x)6)(1)(1(2--+=x x x(2) 原式)4)(9(22+-=x x)4)(3)(3(2+-+=x x x(3) 原式)16)(4(2222y x y x --=)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=(4) 原式))(8(3333b a b a +-=))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=(5） 原式)456(22--=a a a)43)(12(2-+=a a a(6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1) 原式)23)(23(22x x x x +---=)1)(3)(1)(3(-++-=x x x x(２) 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x )32)(1)(3(2+-+-=x x x x（３） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x)1)(2)(455(2+-++=x x x x（４) 原式)5)(12(22-+-+=x x x x)5)(3)(4(2-+-+=x x x x(5) 原式)12)(82(22++-+=x x x x2)1)(4)(2(++-=x x x(6）原式)82)(62(-+-+=b a b a 1６.(１） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a (2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x)2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x )2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x)3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x(5) 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x120)45)(65(22-++++=x x x x---- 1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（６) 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++= )2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示:)52()601972(23-+--÷x x x x )3)(4(122+-=--=x x x x1８.∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+]3))[((2xy y x y x -++=,又∵ 2=+y x ,xy ＝ａ＋４,2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ， 解之得,a =-7．。
