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十字相乘法分解因式

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十字相乘法分解因式

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字分解法能把二次三项式分解因式（不一定在整数范围内）。对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）

十字相乘法分解因式练习：

1、232xx 2、672xx

3、2142xx 4、1522xx

5、8624xx 6、3)(4)(2baba

7、2223yxyx 8、234283xxx

9、342xx 10、1072aa

11、1272yy 12、862qq

13、202xx 14、1872mm

15、3652pp 16、822tt

17、2024xx 18、8722axxa

19、22149baba 20、221811yxyx 21、222265xyxyx 22、aaa12423

23、101132xx 24、3722xx

25、5762xx 26、22865yxyx

27、71522xx 28、4832aa

29、6752xx 30、1023522abba

31、222210173yxabxyba 32、22224954yyxyx

33、15442nn 34、3562ll

35、2222110yxyx 36、2215228nmnm

37、6)25)(35(22xxxx 38、24)4)(3)(2)(1(xxxx

答案：1、)2)(1(xx2、)6)(1(xx3、)7)(3(xx4、)5)(3(xx

5、)2)(4(22xx6、)3)(1(baba7、)2)((yxyx

8、)7)(4(2xxx9、)3)(1(xx10、)5)(2(aa11、)4)(3(yy

12、)4)(2(qq13、)5)(4(xx14、)9)(2(mm15、)9)(4(pp

16、)4)(2(tt17、)5)(4(22xx18、)8)(1(axax19、)7)(2(baba

20、)9)(2(yxyx21、)6)(1(2yyx22、)6)(2(aaa

23、)53)(2(xx24、)12)(3(xx25、)53)(12(xx

26、)45)(2(yxyx27、)7)(12(xx28、)23)(2(aa

29、)35)(2(xx30、)5)(25(abab31、)5)(23(xyabxyab

32、)32)(32)(1(22xxxy33、)52)(32(nmnm34、)73)(52(ll

35、)2)(10(yxyx36、)54)(32(nmnm

37、)35)(4)(1(2xxxx38、)8)(2)(3(2xxxx

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十字相乘法因式分解

十字相乘法因式分解

因式分解详解——注意中间项的符号！最后的符号同十字相乘列式的符号~

定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

有bxaxabxbax2

注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝试，直到符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项

例1 把2x2-7x+3分解因式。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1 1 3 1 -1 1 -3

2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1

1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3）

=5 =7 =-5 =-7

经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。

解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：

a1 c1

因式分解十字相乘法

因式分解十字相乘法

玖零教育（许）

1 十字相乘法

（一） 二次项系数为1的二次三项式2()xpqxpq

直接利用公式——2()xpqxpqxpxq进行分解

特点：（1）二次项系数为1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

【例1】分解因式：256xx

练习1、分解因式：⑴21424xx ⑵21536aa ⑶245xx

（二） 二次项系数不为1的二次三项式——2axbxc

条件：（1）12aaa；

（2）12ccc；

（3）1221bacac。

分解结果：21122()()axbxcaxcaxc

【例2】分解因式：231110xx

练习2、分解因式：⑴2576xx ⑵261110yy

（三） 二次项系数为1的齐次多项式

【例3】分解因式：228128aabb

玖零教育（许）

2 练习3、⑴2232xxyy ⑵2268mmnn ⑶226aabb

（四） 二次项系数不为1的齐次多项式

【例4】22276xxyy 【例5】2232xyxy

练习4、分解因式：⑴221574xxyy ⑵2268axay

综合练习：

⑴ 63871xx ⑵ 22121115xxyy

⑶ 2310xyxy ⑷ 2443abab

⑸ 222256xyxyx ⑹ 2244362mmnnmn

⑺ 2244243xxyyxy ⑻ 222252310ababab

十字相乘法分解因式

十字相乘法分解因式

十字相乘法讲解

观察下列各式

由上面各式得到：

等式特点：

(1) 等式左边是一个关于x的二次项系数为1的二次三项式.

(2) 等式左边的常数项可分解成两个因数的乘积,且这两个数的和等于一次项系数.

(3) 等式右边为两个关于x的一次因式的乘积.

例1 分解因式

归纳（1）十字相乘法主要对二次三项式进行因式分解；（2）基本步骤：①对二次项系数和常数项进行竖式分解；②验证交叉相乘后，和是否等于一次项系数；③横向相加，分解因式。 )2)(3(xx)3)(4(xx)7)(6(xx)2)(5(xx))((qxpx652xx122xx42132xx1032xxpqqxpxx2652xx)2)(3(xx122xx)3)(4(xx42132xx)7)(6(xx1032xx)2)(5(xx))(()(2qxpxpqxqpx1107.12xx82.22xx65.32xx107.42xx2310.5xx92721.62xx例2 分解因式

探索新知

计算：

反过来

首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解

例3 分解因式

86.124xx34.32baba107.222xyyx2223.4yxyx2044.5222xxxx)1)(32(xx3522xx3522xx)1)(32(xxcbxax2))((2211cxacxa276.12xx10113.22xx82315.32xx36196.42xx22865.5yxyx7)(15)(2.62baba22224954.7yyxyx223231.8yxyx例4 分解因式

补充作业

分解因式：

（1）232xx （2）672xx （3）2142xx

十字相乘法分解因式 2

十字相乘法分解因式 2

1 十字相乘法分解因式 同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？ 观察=，可知=。 这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。

下面举例具体说明怎样进行分解因式。

例1、 因式分解。 分析：因为

7x + (-8x) =-x

解：原式=（x+7）（x-8）

例2、 因式分解。

分析：因为

-2x+（-8x）=-10x

解：原式=（x-2）（x-8）

例3、 因式分解。

分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。

因为

9y + 10y=19y

解：原式=（2y+3）（3y+5）

例4、 因式分解。 分析：因为

21x + (-18x)=3x

解：原式=（2x+3）（7x-9）

例5、 因式分解。

分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。 2 因为

-25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2）

解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]

=（2x-1）（5x+8）

例6、 因式分解。 分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。

因为 -2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +（-4a）=-a

解：原式=[-2][ -12]

=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)

从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了