3.4高阶系统

§ 4 高阶导数

高阶导数的概念：

加速度 高阶导数

定义:

注意区分符号 和

以函数 为例介绍高阶导数计算方法.

高阶导数的记法: 函数在 处的 阶导数记为

相应的阶导数记为

二. 几个特殊函数的高阶导数:

1. 多项式: 多项式的高阶导数.

例1 求 和 .

2. 正弦和余弦函数: 计算 、、、 的公式.

3． 和的高阶导数：

4． 的高阶导数： 5． 的高阶导数：

6． 分段函数在分段点的高阶导数：

以函数 为例，求 .

三. 高阶导数的运算性质: 设函数 和 均 阶可导.

则

1．

2．

3． 乘积高阶导数的Leibniz公式：

例 设 求

利用萊布尼兹公式 ， 取

注意：利用萊布尼兹公式时要注意 与 的选取次序，否则会使计算复杂。

例2 求

解

例3 求

解

例4 其中二阶可导. 求

例5 验证函数 满足微分方程

并依此求

解

两端求导 即

对上式两端求 阶导数, 利用Leibniz公式, 有

可见函数满足所指方程. 在上式中令 得递推公式

注意到 和 , 就有 时, 时,

四. 参数方程所确定函数的高阶导数:

例6 求

解

习 题 课

一. 可导条件:

例1 设在点的某邻域内有 证明在点可导.

例2 设函数在点可导, 则在点 不可导.

例3 设函数定义在区间内, 试证明: 在点可导的充要条件是存在内

例4 的函数（仅依赖于和. 使在点连续且适合条件

机械工程控制基础讲稿（初）第三章 系统的时间响应分析

1 第3章 系统的时间响应分析

在建立系统的数学模型（微分方程或传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分析是重要的方法之一。

第3.1节 时间响应及其组成

一、时间响应的概念

所谓时间响应指系统在外加激励作用下，其输出量随时间变化的函数关系。

或者说 在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式；在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。

自变量为时间t，因变量为输出()[()]oxtyt

二、时间响应的组成

分析：第一、二项是由微分方程的初始条件（即系统的初始状态）引起的自由振动，即自由响应。

机械工程控制基础讲稿（初）第三章 系统的时间响应分析

2 第三项是由作用力引起的自由振动即自由响应，其振动频率均为n。应该说第三项的自由响应并不完全自由。因为它的幅值受到F的影响，当然，它的频率n与作用力频率无关，自由即在此。

第四项是由作用力引起的强迫振动即强迫响应，其振动频率即为作用力频率。

因此系统的时间响应可从两方面分类：

按振动性质可分为自由响应与强迫响应，

按振动来源可分为零输入响应（即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应）与零状态响应（即在“无输入时的系统初态”为零而仅由输入引起的响应）

所以我们的研究对象是：零状态响应。

另外还有两个需了解的概念：瞬态响应和稳态响应。

瞬态响应：系统在外加激励作用后，从初始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。反映了系统的快、稳特性。

稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态为稳态响应。反映系统的准确性。

三、系统方程的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡

0 例1 系统结构图如图所示。求开环增益K分别为10，0.5，0.09时系统的动态性能指标。

计算过程及结果列表

K

计算 10 0.5 0.09

开环

传递

函数 )1(10)(1sssG )1(5.0)(2sssG )1(09.0)(3sssG

闭环

传递

函数 1010)(21sss 5.05.0)(22sss 09.009.0)(23sss

特征参数

81arccos158.016.32116.310n

45arccos707.0707.021707.05.0n 67.13.0213.009.0n

特征根 12.35.02,1j 5.05.02,1j 9.01.02111.11021TT

动态

性能

指标 22100001.01160.43.53.570.5pnsntet

75.35238.610010022nsnptet 12211100931,0sspTTttTTt

1

调整参数可以在一定程度上改善系统性能，但改善程度有限

§3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施

（1） 测速反馈 —— 增加阻尼

（2） 比例+微分 —— 提前控制

例2 在如图所示系统中分别采用测速反馈和比例+微分控制，其中10K，216.0tK。分别写出各系统的开环传递函数、闭环传递函数，计算动态性能指标（％，st）并进行对比分析。

2 原系统、测速反馈和比例+分控制方式下系统性能的计算及比较

原系统 测速反馈 比例 + 微分

系统

结构图

开环

传递函数 )1(10)(sssGa )1()1(10)(sssKsGtb )1()1(10)(sssKsGtc

高阶偏导、全微分（理）3

一. 单选题 （共30题,共150分）

1. 设, 则( ) （5分）A.B.C.D.

★标准答案：C

☆考生答案：A

★考生得分：0 分 评语：

2. 设, 则( ) （5分）A.6B.3C.-2D.2

★标准答案：B

☆考生答案：A

★考生得分：0 分 评语：

3. 在点处,可微的充分条件是( ) （5分）A.的全部二阶偏导连续B.连续C.的全部一阶偏导连续D.连续且均存在

★标准答案：C

☆考生答案：B

★考生得分：0 分 评语：

4. 设在点处的全微分存在, 则下列结论不正确的是( ) （5分）A.在点处必连续B.在点处的两个偏导数必存在C.在点处的两个偏导数必连续D.在点处必有定义

★标准答案：C

☆考生答案：A

★考生得分：0 分 评语：

5. 设函数在点的某邻域内有定义. 在点处可微是该函数在点处连续的( ) （5分）A.必要条件而非充分条件B.充分条件而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件

★标准答案：B

☆考生答案：B

★考生得分：5 分 评语：

6. 二元函数在点处偏导数存在与可微的关系是( ) （5分）A.偏导数存在一定不可微B.偏导存在必可微C.可微必偏导数存在D.可微不一定偏导数存在

★标准答案：C

☆考生答案：A

★考生得分：0 分 评语：

7. 二元函数在处满足关系( ) （5分）A.可微(指全微分存在)=>偏导数存在=>连续B.可微=>偏导数存在=>连续C.可微=>偏导数存在, 或可微=>连续, 但偏导数存在不一定连续D.偏导数存在=>连续, 但偏导数存在不一定可微

★标准答案：C

☆考生答案：C

★考生得分：5 分 评语：

8. 二元函数在点处的两个偏导数存在, 则( ) （5分）A.在点连续B.在点连续

C.D.以上都不对

★标准答案：B

☆考生答案：A

★考生得分：0 分 评语：

9. 利用全微分计算的近似值为( ) （5分）A.B.C.D.

★标准答案：D