四阶幻方练习题

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四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图

------数阵图基础（1）

1、掌握什么是数阵图

2、会灵活应用多种方法求数阵图

1、 掌握数阵图的概念。

2、 灵活应用数阵图的求解方法。

例题1：把1～5这五个数分别填在右图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9？

例题2：将1～7这七个自然数填入右图的七个○内，使得每条线上的三个数之和都等于10。

例题3：将 10～20填入右图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

例题4：下把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。

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（即是该课程的课后测试）

练习1：如图，将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12或10。

练习2：如图将1～9这九个数分别填入图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。

练习3：如图，将1～9这九个数分别填入图中的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。（至少找出两种本质上不同的填法）

练习4：如图，将3～9这七个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。

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练习5：如图，将1～11这十一个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

练习1：解析：

练习2：

解析：

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练习3：

解析：

练习4：

解析：

练习5：

解析：中心数是重叠数，并且重叠4次。所以每条直线上的三数之和等于

［（1＋2＋…＋11）＋重叠数×4］÷5＝（66＋重叠数×4）÷5。

为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。

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四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图

------数阵图基础（2）

1、掌握什么是数阵图

2、会灵活应用多种方法求数阵图

1 ▎四年级·第7讲·尖子班·例题详解 ▎

【分析】 方法一：第一步：求幻和：1239315（）

第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即15460，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：604535（）

第三步：确定四个角上的数．由于在同一条直线上的三个数的和是15，所以如果某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同，所以四个角上的数必为偶数．

第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共8解，下图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：

987654321

方法二（对易法）：

南宋数学家杨辉概括为:“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”．即：先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对调，最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了． 33的正方形中，在每个格子里分别填入1~9的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）． 幻 方 的 构 造 7 数 表 与 幻 方

数表与幻方

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2 ▎四年级·第7讲·尖子班·例题详解 ▎ 789456123 729654183 381456927

方法三（阶梯法）：

阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的．这个方法看起来有点像对易法，但又完全不一样，十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方．这个方法把n阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把2n个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方．下图表示了如何用阶梯法构成3阶幻方．

方法二和方法三中将1~9按8个不同的方位排列就可以得到本题8个不同的解．

幻方

知识点：

1、幻方：在一个正方形中，将其分为nn个（九个、十六个、二十五个、三十六个……）小方格，填上给定的数（九个、十六个、二十五个、三十六）个数字，使每一横行、每一竖行以及每一斜行上的n个数相加的和都相等。像这样的正方形，我们把它叫做n阶幻方。在幻方中这个相等的和就叫做幻和。

2、三阶幻方：如果一个3×3的方阵中，每一横行、每一竖列及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为三阶幻方（又叫九宫格或九宫图），这个相等的和叫做幻和，填在幻方中心位置的数称为中间数或中心数。

3、三阶幻方的性质：

（1）幻和=中心数×3；中心数=幻和÷3；

（2）幻和=填入的所有数总和÷3；

（3）“斜T法”：在三阶幻方中，四个角上的数，等于它对角上相邻两旁两个数的平均数(例如：i位置的数=（b位置的数+d位置的数）÷2；a和f、h位置也有此规律)。

（4）在三阶幻方中，最大与最小的数不能填在对角线上；

（5）一个三阶幻方，经过翻折，或者旋转90°以后，仍为幻方.

例题1：下面是幻方吗？是的在括号里打“√”，不是在括号里打“×”。

( )123456789 ( )191817161514131211

【答案】×；√；

【分析】要求每行、每列、两条对角线上的和都相等。

例题2：在下图中，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。

【答案】如图所示

【分析】我们知道幻和是中心数的三倍，因此6+12=18是中心数的2倍，由此可知，中心数为：18÷2=9，幻和为：9×3=27。接着一一填出各个空格中的数。

例题3：如图，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。

【答案】如图所示

【分析】先根据斜T法算出右下角（27+15）÷2=21；中心数=（17+21）÷2=19；幻和=19×3=57。接着一一填出各个空格中的数。

例题4：把1到9这9个数分别填在如下三行三列的方格内，使之成为幻方。

小学专题训练

专题奥数--------幻方

知识地图

）交错行列数关系（性质）（性质四角与行列中间数关系其他两个性质）配对位置关系（性质）幻和（性质）对称配对（性质）中间数（性质）幻方构成数（性质性质四阶三阶分类幻方7654321

幻方

幻方中的各数互不相同，且横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33的数阵称为三阶幻方，44的数阵称为四阶幻方，„„

这里我们以上图为例，重点介绍三阶幻方的主要性质。

性质1：能组成幻方的数必须是从小到大排列，首尾对应相加均相等且等于中间数两倍的九个数数列。如：1,2,3,6,7,8,11,12,13中1+13=2+12=3+11=6+8=7×2，一般为等差数列（不完全是）。

性质2：幻方的中心数为数列中的中间数，如上一个数列中的 7必须位于幻方的中心。

性质3：幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数，如上数列中得1，13和4,10的平均数均为7。

性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍。如幻和为21，等于中心数7的3倍。

性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，只能出现在中间位置，依次可以得知第二大与第二小数的配对只能出现在四角，在构造幻方的过程中，如果能够遵循这个规律可以很快的出结论。

性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。如：2等于1、3的平均，6等于1、11的平均，12等于11、13的平均，8等于3、13的平均。

性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。

经典题型 小学专题训练

口诀: 一、三、七、九定十字

例题1：请你将2～10这9个数字填入右图的空格内，使每行、每列、每条对角线上的3个数字之和相等。

例题2：在右图的9个方格中填入不大于12且互不相同的9个自然数（其中一个已经填好），使得任一行、任一列及两条对角线上的3个数之和都等于21。