第四章：
例1求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
起点：两个开环极点为 -pt = 一1, 一 p2 = _2 ；
终点：系统有一个开环零点为 _z - ~3。
2) 实轴上的根轨迹区间为 一：:，$ ］, ］。
3) 根轨迹的分离点、会合点计算
D'(s)N(s) - N '(s)D(s) =0
即
(S 1)(S 2) —(S 3) I(S 1) (s 2) I -0
S2 6S 7=0
S,2 =；(-6±j36 —28) =；(-6±j8)=弋±血
因为根轨迹在 ：；：_Q,七1和1-2, -1 1上,
所以，分离点为 -1.58，会合点为-4.42。
根轨迹如图4-1所示。
例2求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。
1) 起点：两个开环极点 -訪=-1 2, - p2 = -1
-「2。
终点：系统有一个开环零点-z - -2。 WK(S) Kg(s 3)
(S 1)(S 2)
(1) WK(S) 二 Kg(s 2)
S2 2S 3 图4-1根轨迹图 3）渐近线计算
_180 1 2」
n -m
n m
'、' Pj z
j 4 i4
n —m
求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为
―80(12 — 180
2—1
4 )求分离点，会合点
由 D'(s)N(s) _N'(s)D(s) =0 得
2 s 2s 3—(s 2)(2 s 2) =0
整理得s2 4s ^0
解得 s = -2 - E，S2 二-2 • 。
由于实轴上的根轨迹在 （-2,比）区间内，所以分离点应为 & =-2-J3痒-3.7。
5）出射角计算
■'n』 m x
由Rsc =180〃 -迟Bj亠迟%得
甘 7 丿
仁1 =180’，- 90'丿-54.7，=144」
同理，-sc2 - -144.7。
根轨迹如图4-2所示。
= —0,1,2,L
_ 2-2
一 一2 -1 =0 图4-2 例2根轨迹图
第四章
4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为()(1)(2)KGssss 试绘制该系统在正、负反馈情况下的根轨迹图。
解：（1）负反馈情况
令(1)(2)=0sss，解得 3个开环极点1230,1,2ppp
根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(2,0)jjj 终点均为无穷远处。
在实轴上的根轨迹为,2,1,0两段。
由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标111nmijijapznm
渐近线与实轴正方向的夹角为2121=3akknm（）（），（k=0,1,2）
当k=0,1,2时，计算得a分别为60°，180°，-60°
确定分离点，由111++=012ddd解得120.42,1.58dd由于2d不是根轨迹上的点，故不是分离点，分离点坐标为1d
确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程3232=0sssK令=sj
代入上式得3232=0jjK 写出实部和虚部方程
233=020K 可求得=0206KK或
因此，根轨迹在2处与虚轴相交，交点处的增益6K；另外实轴上的根轨迹分支在0处与虚轴相交。负反馈系统根轨迹如下图所示
（2）正反馈情况
令(1)(2)=0sss，解得 3个开环极点1230,1,2ppp
根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(2,0)jjj 终点均为无穷远处。
在实轴上的根轨迹为2,1,0,两段。 由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标111nmijijapznm
渐近线与实轴正方向的夹角为2=3ak，（k=0,1,2）
当k=0,1,2时，计算得a分别为0°，120°，-120°
自动控制原理第二版第四章课后答案
【篇一：《自动控制原理》第四章习题答案】
4-1 系统的开环传递函数为
g(s)h(s)?k*
(s?1)(s?2)(s?4) 试证明点s1??1?j3在根轨迹上，并求出相应
的根轨迹增益k*和开环增益k。
解 若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条
件?g(s)h(s)??(2k?1)?，如图解4-1所示。
对于s1= -1+j3，由相角条件
?g(s1)h(s1)?
0??(?1?j3?1)??(?1?j3?2)??(?1?j3?4)? 0??
2??
3??
6???
满足相角条件，因此s1= -1+j3在根轨迹上。将s1代入幅值条件：
g(s1)h（s1?k*?1
?1?j3?1??1?j3?2??1?j3?4
k
8*解出 ： k=12 ，k=*?3
2
4-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
解 根轨如图解4-2所示：
4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ g(s)?k
s(0.2s?1)(0.5s?1)
k(s?5)
s(s?2)(s?3)* ⑵ g(s)?
⑶ g
(s)?k(s?1)
s(2s?1)
解 ⑴ g(s)?k
s(0.2s?1)(0.5s?1)=10k
s(s?5)(s?2)
系统有三个开环极点：p1?0,p2= -2,p3 = -5
① 实轴上的根轨迹：
???,?5?, ??2,0? 0?2?57?????a??33② 渐近线： ?
???(2k?1)????,?a?33?
③ 分离点：
1
d?1
d?5?1
d?2?0
解之得：d1??0.88，d2?3.7863(舍去)。
④ 与虚轴的交点：特征方程为 d(s)=s3?7s2?10s?10k?0
?re[d(j?)]??7?2?10k?0令 ? 3im[d(j?)]????10??0?
1 4-1
（a）
00k0kkk j[]s
（b）
00k0kkk j[]s
（c）
0 j[]s
（d）渐近线与实轴交点0a，渐近线与实轴夹角90度
0 j[]s 2 4-2
0 j[]s31p10p 20p
1230, 0, 1ppp
1. 实轴上的根轨迹 (,1) (0,0)
2. 渐近线：3nm
3条根轨迹趋向无穷远处的渐近线相角为
180(21)60,180 (0,1)3aqq
渐近线与实轴的交点为
11001133nmiiijapznm
3. 分离点（会合点）：系统的特征方程为
21+()10(1)KGsss
即 232=(1)Kssss
2=320dKssds (32)0ss
根 10s， 20.667s（舍去）
4. 与虚轴的交点：令 sj 代入特征方程 21+()10(1)KGsss
2(1)=0ssK
2()(1)=0jjK 3 2(1)=0jK
2=0Kj
2=00K
=0 （舍去）
与虚轴没有交点，即只有根轨迹上的起点，也即开环极点 1,20p 在虚轴上。
4.5 开环传递函数为2()(6)(645)KGsssss
开环极点为123,40, 6, 36pppj
1. 实轴上的根轨迹： (6,0)
2. 渐近线：4nm，共有4条渐近线，4条根轨迹趋向无穷远处的渐近线相角
180(21)45,135 4aq
渐近线与实轴的交点为
116363634nmiiijapzjjnm
