第3章 动量守恒和角动量守恒

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第3章 动量守恒 角动量守恒

上一章我们研究了牛顿定律，特别是牛顿第二定律给出了力的瞬时作用规律。实际上，力对物体的作用总是要延续一段时间。在这段时间内，力的作用将积累起来产生一个总效果。力的时间积累效应的规律，就是动量定理。把动量定理应用于质点系，导出一个重要的守恒定律——动量守恒定律。对用于质点系，引入质心的概念，并说明了外力和质心运动的关系。然后，研究和动量概念相关的、描述物体转动特征的重要的物理量——角动量。在牛顿第二定律的基础上，导出角动量变化率和外力矩的关系——角动量定理，并进一步导出了另一条重要的守恒定律——角动量守恒定律。动量守恒定律、角动量守恒定律以及与之相关的动量定理、角动量定理和能量定理深刻反映了机械运动与其他运动形式相互转化之间的关系，具有普遍的意义，它们是自然界最基本、最普遍的规律。这一章我们着重研究动量守恒定律、角动量守恒定律以及与之相关的动量定理、角动量定理。

3.1 冲量与动量定理

3.1.1 冲量

物体运动状态的变化必须在物体运动的过程中受到力的作用，力作用到质点上，可以使质点的动量或速度发生变化。在许多实际情况下，我们要考虑力按时间积累的效果。这一效果可以直接从牛顿第二定律得出：

1、牛顿第二定律的微分形式

PddtF （3.1-1）

式中乘积dtF就表示力在时间dt内的积累量，叫做在时间dt内质点所受合外力的冲量。此式表明：在时间dt内质点所受合外力的冲量等于在同一时间内质点动量的增量。这一关系叫做动量定理的微分形式，实际上是牛顿第二定律公式数学形式的变化。

2、冲量的定义

将（3.1-1）式两边对1t到2t这段时间积分，则有

2121ttPPPddtF （3.1-2），

将 dtFItt21 （3.1-3）

称为质点的冲量。

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3.1.2 质点的动量定理

（3.1-3）式表示在1t到2t这段时间内合力的冲量。（3.1-3）式的物理意义是：在1t到2t这段时间内，合外力作用在质点上的冲量等于质点在该时间间隔内的动量的增量，这就是质点的动量定理。其数学表达式为：

12122121vmvmPPPddtFPPtt （3.1-4）

冲量I是矢量，一般地说，冲量的方向并不与动量的方向相同，而是与动量的增量方向相同。（3.1-4）式是动量定理的矢量表达式，写成直角坐标系的分量式为

21ttxxdtFI，21ttyydtFI，21ttzzdtFI （3.1-5）

在国际单位制中，冲量、动量的单位是 牛顿·秒 或 公斤·米/秒，用符号 N·s 或 smkg/ 表示。

动量定理在打击和碰撞等问题中特别有用，在打击和碰撞的极短时间内物体间的相互作用力称为冲力，其特点是作用时间极短，大小随时间而激剧变化。

冲力随时间变化的情况往往很复杂，有时无法知道冲力与时间的函数的关系。因此，引入平均冲量的概念，将其定义为：

121212211ttmvmvdtFttFttxx

式中xF为X轴方向上的平均冲力。同样可以定义Y轴、Z轴方向上的平均冲力yF和zF。因此，虽然无法确定每一瞬时的冲力，但是都可以通过测定冲力作用前后质点的动量。利用动量定理求出质点受到的冲力，却可以通过测定冲力作用前后质点的动量，利用动量定理求出质点受到的冲量。冲力示意图如图3.1-1所示。图中曲线就是冲力随时间变化的示意图，直线为平均冲力，曲线下面积与直线下面积相等，均为冲力在21tt时间的冲量。

图3.1-1

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例3.1-2、有一冲力作用在质量为0.3kg的物体上，物体最初处于静止状态。已知力的大小F与时间的关系为 ，02.00,105.2)(4tttF 和

07.002.0,)07.0(100.2)(25tttF，式中F的单位为N，t的单位为s。求

1、上述时间内的冲量和平均冲量的大小；

2、物体末速度的大小。

解题思路：由冲量、平均冲量的定义式和动量定理进行求解。

解：1、由冲量的定义式

有 )(3.13)07.0(100.2100.2207.002.0502.004sNdtttdtI

平均冲量的大小为 )(19000.007.03.1312NttIF

2、物体末速度的大小为 )/(3.443.03.130.012smmIvv。

由于动量定理的应用比较多的场合是在打击和碰撞过程中出现。因此，有些同学常常认为只有打击和碰撞这类问题才有动量问题。为了使同学们思路开阔一些，除了强调在打击或碰撞这类问题中动量定理的应用以外，再分析一些其它的例子，使学生对动量、冲量和动量定理有进一步的理解可能是有意义的。

*例3.1-2 如图3.1-2所示,质量为m的物体做圆锥摆运动,其速率为v,圆半径为R,

圆锥的夹角为θ。

分析：（1）、质点绕行半周，作用在质点上中力的冲量mgI；

（2）、质点由a到b绕行半周，绳的张力T的冲量。

解：因为质点作圆周运动运动的周期为T=vR2，重力是恒力，所以质点绕行半周，作用在质点上中力的冲量为

vRmgTmgImg2，方向向下。

（2）、因为质点做圆周运动，绳中的张力cosmgF，虽然张力的大小不变，图3.1-2

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但是张力的方向随其运动不断地变化，张力的冲量不等于2TF，为了计算张力的冲量，先把张力分解为水平和垂直两个分量：rzTFFF，

所以张力的冲量babaFrFzrzFIIdtFdtFI；又因为zF的大小和方向都不变，所以vRmgTFTFIzFz2cos2，与重力的冲量大小相等，方向相反。

张力的冲量rI有两种解法：一是矢量叠加法；二是动量定理法。

下面用动量定理法求解：∵babFmgmvvmvmII2，PbFIvmI2

如图3.1-3所示，在矢量三角形中，有：

2222)()2()2(vRmgmvImvIPbF

RgvImvtgP222

例3.1-3 如图3.1-4所示，传送带以3 m/s的速率水平向右运动，砂子从高h=0.8 m处落到传送带上,即随之一起运动.求传送带给砂子的作用力的方向．

（g取10 m/s2）

解：设沙子落到传送带时的速度为1v，随传送带一起运动的速度为2v，则取直角坐标系，x轴水平向右，y轴向上．ivjjghv3,4221

设质量为m 的砂子在t时间内平均受力为F,则

)3(jitmtmmtpF412vv,

由此式即可得到砂子所受平均力的方向,设力与x轴的夹角为则tg1(4/3)= 53°,力方向斜向上。

图3.1-3

图3.1-4

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3.1.3 质点系的动量定理

* 1、 质心动量

质心是力学一个重要的概念，涉及到质点系动力学问题都回避不了这个概念。质点系动量可以表示为质心的动量。

由动量定义

iiiiiiiiirmdtddtrdmvmP （3.1-6）

以m表示质点系的总质量，则iimm，质点系的动量可表示为：

dtdrmPc （3.1-7）

式中 iiiiicmrmr （3.1-8），

此式为质心矢径的定义。

cr与参考系有关，可以证明由（3.1-8）式所确定的质心C点，相对于一定质量分布的质点系是完全确定的。质心是质点系的物理量，它是由质点系的质量决定的，与其质量分布有关，是质点的位矢对质量的加权平均。

（3.1-7）式中dtrdc是质心运动速度，用cv表示，则

cvmP （3.1-9）

可见，我们可以把质点系的动量看成是这样一个“质点”的动量，这个“质点”集中了质点系全部质量并以质心速度运动。

2、质点系动量定理：

系统外的质点对系统内的质点的作用称为外力，系统内质点之间的相互作用力称为内力。为了简单起见，我们先讨论由两个质点所组成的系统。设两质点的质量分别为1m和2m，在碰撞时间12ttt内，除内力12F和21F外，还分别受到外力1F和2F的作用，如图3.1-5图3.1-5

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所示。则两质点所受力的冲量和动量分别为：

2110111121)(ttvmvmdtFF，2120222212)(ttvmvmdtFF，

将两式相加，有

21)(121ttdtFF+)()()(202101221121221vmvmvmvmdtFFtt

由牛顿第三定律可知：12F和21F是系统的内力，应满足12F=-21F，所以上式变成

)()()(20210122112121vmvmvmvmdtFFtt （3.1-10）

（3.1-10）式表明：作用在两个质点组成的系统的外力的矢量和的冲量等于系统内两质点动量的增量。把这一结论推广到有n个质点组成的质点系统，（3.1-10）式写成

niiniiiivmvmdtF101外， 即

0PPI （3.1-11）

P和0P分别表示系统的末动量和初动量，上式表明：作用于系统的外力的矢量和的冲量等于系统动量的增量，这就是质点系的动量定理。

*3、质心运动定律：作用在质点系上的合外力等于质点系质量m与质心加速度ca的乘积。

ciivmddtF()外，

icciamdtvmdF)(外 （3.1-12）

（3.1-12）式的质心运动定律也可以从牛顿运动定律导出。

3.2 动量守恒定律

动量守恒定律是物理学中普遍适用的几个守恒定律之一，在经典力学范围内，这个定律可由动量定理直接推导出来。

由 niiniiiivmvmdtF101外，

若外F=0，则有

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niiivmP1 = 恒矢量 （3.2-1）

上式说明：如果系统运动过程中所受外力的矢量和为零，则系统的总动量保持不变，这一结论就是动量守恒定律。

应用动量守恒定律解决力学问题时，可以不考虑系统在内力作用下发生的复杂变化，只需研究变化前后系统的总动量，因此可带来很大的方便。应用动量守恒定律应注意以下几点：

1、系统动量守恒的条件是：0外F，即系统所受外力的矢量和为零。在一些实际问题中，系统所受外力的矢量和虽然不为零。但是，却远远地小于内力，这时仍然可视为满足动量守恒的条件。比如：碰撞、爆炸、冲击等过程；

2、动量守恒是矢量守恒，具体应用时可用直角坐标分量式：