随机变量与概率分布

§2.4 随机变量函数的概率分布

1.随机变量函数的概念：设是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.

2.离散型随机变量的概率分布

设离散型随机变量的分布律为

则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为

但是，若 有相同的情况，则需要合并为一项.

故Y的分布律为

有时我们只求Y=g（X）在某一点y处取值的概率，有

，

即把满足的 所对应的概率相加即可。

3.连续型随机变量函数的概率密度

定理：设为连续型随机变量，其密度函数为 .设是严格单调的可导函数，其值域为，且.记的反函数，则 的概率密度为

.

证明：略

解：利用例2-27所得的结论，fx（x）＝

（1）,则

（2）·

即.

例2-28说明两个重要结论：当 时，,且随机变量称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换 仍是正态随机变量，即aX+b～，这两个结论十分有用，必须记住。

第二章 小 结

一、内容分布律

二、试题选讲

1.（1016）抛一枚硬币5次，记正面向上的次数为，则＝____________.

【答疑编号：12020308针对该题提问】

答案：

2.（0404）设随机变量的概率密度为则 ＝（ ）. A.

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020309针对该题提问】

答案：A

3.（1004）设随机变量的概率密度为则常数等于（ ）.

A. －1

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020310针对该题提问】

答案：D

4.（1003）设随机变量在区间[2，4]上服从均匀分布，则 ＝（ ）.

A. B. C. D.

【答疑编号：12020311针对该题提问】

答案：C

5.（1015）设随机变量，已知标准正态分布数值，为使，则常数 ___________.

随机变量和分布函数

随机变量是指随机试验结果的某个数值，例如掷骰子可能的结果是1~6，其中每个结果就是一个随机变量。随机变量可以分为离散和连续两类。

离散随机变量的取值有限且可数，例如掷骰子所得点数、对一本书的销售量等等，可以用概率分布函数来描述其概率分布。

连续随机变量的取值是一定区间内的任意实数，例如一个人的身高、一支股票的收盘价等等，可以用密度函数来描述其概率分布。

分布函数是描述随机变量概率分布的一种方式，也称为累积分布函数。对于随机变量X，它的分布函数F(x)定义为：

F(x) = P(X <= x)

即X小于等于x的概率，可以理解为随机变量所有小于等于x的取值的概率之和。对于离散随机变量，分布函数可以表示为：

F(x) = P(X <= x) = ∑ P(X = xi)

其中xi为X的所有取值，对于连续随机变量，分布函数可以表示为：

F(x) = P(X <= x) = ∫ f(t)dt (-∞ < x < ∞)

其中f(t)为X的概率密度函数。分布函数具有以下性质：

1. F(x)是一个非降函数。

2. F(-∞) = 0，F(∞) = 1。

3. F(x)是右连续的。

4. P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)。

分布函数有时也称为累积分布函数，意思是F(x)可以看作在（-∞，x]上的概率密度的积分，即“累积”概率密度函数。

§2.4 随机变量函数的概率分布

1.随机变量函数的概念：设是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.

2.离散型随机变量的概率分布

设离散型随机变量的分布律为

则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为

但是，若 有相同的情况，则需要合并为一项.

故Y的分布律为

有时我们只求Y=g（X）在某一点y处取值的概率，有

，

即把满足的 所对应的概率相加即可。

3.连续型随机变量函数的概率密度

定理：设为连续型随机变量，其密度函数为 .设是严格单调的可导函数，其值域为，且.记的反函数，则 的概率密度为

.

证明：略

解：利用例2-27所得的结论，fx（x）＝

（1）,则

（2）·

即.

例2-28说明两个重要结论：当 时，,且随机变量称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换 仍是正态随机变量，即aX+b～，这两个结论十分有用，必须记住。

第二章 小 结

一、容分布律

二、试题选讲

1.（1016）抛一枚硬币5次，记正面向上的次数为，则＝____________.

【答疑编号：12020308针对该题提问】

答案：

2.（0404）设随机变量的概率密度为则 ＝（ ）.

A.

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020309针对该题提问】

答案：A

3.（1004）设随机变量的概率密度为则常数等于（ ）.

A. －1

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020310针对该题提问】

答案：D

4.（1003）设随机变量在区间[2，4]上服从均匀分布，则 ＝（ ）.

A. B. C. D.

【答疑编号：12020311针对该题提问】

答案：C

5.（1015）设随机变量，已知标准正态分布数值，为使，则常数 ___________.

概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 23 第二章 随机变量及其概率分布

【授课对象】理工类本科二年级

【授课时数】8学时

【授课方法】课堂讲授与提问相结合

【基本要求】1、了解随机变量的概念；

2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质；

3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质；

4、理解分布函数的概念，并知道其性质；

5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率；

6、会求简单的随机变量函数的概率分布；

7、了解二维随机变量的概念，知道二维随机变量的边缘（边际）分布、联合分布函数等概念；

8、了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数的概念及性质，进一步掌握其边缘分布与联合分布的关系，并会计算有关事件的概率；了解二维连续型随机变量独立性的概念。

【本章重点】随机变量的概念；连续型（离散型）随机变量的密度函数（分布律）的概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质；二维随机变量的边缘分布、联合分布函数等概念；随机变量函数的概率分布以及二维随机变量独立性的概念。

【本章难点】随机变量的概念及性质；连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的性质与相关计算；二维连续型随机变量的边缘分布与联合分布的关系以及独立性的概念。

【授课内容及学时分配】

§2.1 随机变量的概念

在第一章里，我们主要研究了随即事件及其概率，同学们可能会注意到在某些例子中，随即事件和实数之间存在着某种客观的联系。例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期在工概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 24 作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。对于这类随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。比如，在投硬币问题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系，但我们可以通过指定数“1”代表正面，“0”代表反面，为了计算n次投掷中出现的正面就只须计算其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系。