阿氏圆最值模型(学生版)

在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P 满足PA:PB＝1，则P 点轨迹为一条直线（即线段AB 的垂直平分线），如果这个比例不为1，P 点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。

接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k ≠1）时P 点的轨迹.对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P 且P 满足PA：PB＝k（k≠1），则动点P 的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：借助画板工具我们发现，动点P 在运动过程中，PA、PB 的长度都在变化，但是PA：PB 的比值始终保持不变，接下来我们在深入研究一下！法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线则AB DBAC DC=．（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D，则AB DBAC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED 且AD 平分∠BDE，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PA kMB PB==，故M 点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PA kNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：()()()()()()()()222222222222222222222122102201x m y k x m yx m y k x m k yk x y m k m x k mm k mx y x mk++=-+++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．例1.如图，正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上一动点，则的最小值为，的最大值为.【答案】最小值为5，最大值为5例2.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC 于D、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．【分析】注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP 的△CPA，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12PA ．【总结】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．例3.如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD 的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM，BM 长度的3倍即为本题答案．例4.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，点P为弧AB上一动的最小值.解：如图所示，连接PB、CO，AD与CO相交于点M，当A、P、D的值最小.∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90º,∴∠PAB＝∠PBA＝45º,∴PA＝PB,PO⊥AB,∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO＝90º∵AC＝PO＝1,∴四边形AOPC是平行四边形,而OA＝OP,∠CAO＝90º,∴四边形AOPC是正方形,PC＋PD＝PM＋PD＝DM,∵DM⊥OC,PC＋PD的值最小，最小值为.练习题部分：1.如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是.，，MO＝2，∠POM＝90º，Q则的最小值为.3.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135º，则2PD＋PC的最小值是.4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，的最小值为，PD﹣PC的最大值为.（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为，PD﹣PC的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．5．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明△FCD∽△ACF；（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF＋FA的最小值.7.如图，点A、B上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P（1）求2PC＋PD的最小值；（2）求2PC＋3PD的最小值.8.问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP＋BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋BP的最小值为．（2）在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP的最小值为．（3）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP ＋PC的最小值为．（4）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA＋PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．（5）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA＋PB的最小值．。

几何模型:阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆"又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PＢ=k(k≠1),则满足条件得所有得点Ｐ得轨迹构成得图形为圆。

这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆"。

A BPO【模型建立】如图1 所示,⊙O 得半径为Ｒ,点A、B 都在⊙O外,P为⊙O上一动点,已知R=OB,连接PA、PＢ,则当“ＰA+PB”得值最小时,P 点得位置如何确定？解决办法:如图2,在线段OB 上截取ＯC使ＯＣ=Ｒ,则可说明△ＢPＯ与△ＰCＯ相似,则有ＰB=PC。

故本题求“PA＋ＰB”得最小值可以转化为“ＰA+ＰC”得最小值,其中与A与C为定点,P为动点,故当A、P、C 三点共线时,“PＡ＋ＰＣ”值最小。

【技巧总结】计算得最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题:在圆上找一点P使得得值最小,解决步骤具体如下:1.如图,将系数不为1得线段两端点与圆心相连即OP,OB2.计算出这两条线段得长度比3.在ＯB上取一点C,使得,即构造△POM∽△BOP,则,4.则,当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题1、如图,在Rｔ△ABC中,∠Ｃ=90°,AＣ=4,BC=3,以点C为圆心,２为半径作圆Ｃ,分别交AC、BＣ于D、Ｅ两点,点P就是圆C上一个动点,则得最小值为________＿＿。

EABCDPMPDC BA【分析】这个问题最大得难点在于转化,此处P点轨迹就是圆,注意到圆Ｃ半径为2,ＣA=4,连接CP,构造包含线段AＰ得△CPA,在ＣＡ边上取点M使得CＭ＝2,连接ＰM,可得△CPＡ∽△CMP,故PA:ＰＭ＝2:1,即PM=.问题转化为PM+ＰＢ≥ＢＭ最小值,故当B,Ｐ,M三点共线时得最小值,直接连BM即可得.变式练习〉＞>1.如图1,在RＴ△AＢＣ中,∠ＡCＢ=９0°,CＢ＝４,CA=6,圆C得半径为2,点Ｐ为圆上一动点,连接AP,BP,求①,②,③,④得最小值。

中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。

这个定理叫阿波罗尼斯定理。

【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。

②两点之间线段最短。

③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。

②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。

③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。

所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。

总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。

【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。

（2）求13AP BP+的最小值为。

【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。

练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。

（一）最短路径--------点P 在直线上运动------“胡不归”问题（PA+k·PB 型）如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P 作PQ⊥BN 垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。

“胡不归”一般解题步骤：构造新的线段，使其等于k ·PB.Ps ：一般系数k 满足0＜k ＜1时直接构造，若k ＞1时，需要先提取系数，如”PA+2PB=2(21PA+PB).【例题精讲】1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则AM+21BM 的最小值为___________.2.图1,抛物线与x 轴交于A(−1,0),B(3,0),顶点为D(1,−4)，点P 为y 轴上一动点。

(1)求抛物线的解析式；(2)在BC 下方的抛物线上，是否存在异于点D 的点E ，使S 三角形BCE=S 三角形BCD ？若存在，求出E 的坐标；(3)如图2,点M(−32,m)在抛物线上,求MP+22PC 的最小值。

3.如图,抛物线y=1/2x2+mx+n 与直线y=−1/2x+3交于A,B 两点,交x 轴于D,C 两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

初中数学最值一阿氏圆模型初中数学中的最值问题是数学中的重要问题之一。

数学教学中经常涉及到最大值和最小值的求解，而阿氏圆模型是解决这类问题的一种方法。

阿氏圆模型是一种简便的方法，可以用来解决初中数学中的最值问题。

它可以帮助我们更好地理解和解决这类问题。

下面我将通过详细的论述来介绍阿氏圆模型的原理和应用。

首先，我们来看最大值问题。

最大值是一组数中的最大数，我们要找出这个最大值。

在阿氏圆模型中，我们可以通过绘制一个圆形来表示一组数。

圆的半径表示这组数中的最大值。

圆心表示这组数的平均值。

通过观察圆的大小和位置，我们可以快速确定最大值。

例如，给定一组数{3，5，7，9}，我们可以计算它们的平均值为6。

然后，我们绘制一个以6为圆心的圆，然后找到圆上的最大值。

在这种情况下，最大值为9。

我们可以通过阿氏圆模型很容易地找到最大值。

接下来我们来看最小值问题。

最小值是一组数中的最小数，我们要找出这个最小值。

阿氏圆模型同样可以用来解决这类问题。

与最大值问题类似，我们也是通过绘制一个圆形来表示一组数。

圆的半径表示这组数中的最小值。

圆心代表平均值。

通过观察圆的大小和位置，我们可以迅速确定最小值。

例如，给定一组数{2，4，6，8}，我们计算它们的平均值为5。

然后，我们可以绘制以5为圆心的圆，并找到圆上的最小值。

在这种情况下，最小值为2。

阿氏圆模型同样帮助我们很容易地找到最小值。

阿氏圆模型不仅可以用来解决最大值和最小值问题，还可以扩展到其他数学问题中。

例如，我们可以用阿氏圆模型来求一组数的平均值。

通过将这组数放在一个圆的周围，我们可以找到圆心的位置，这个位置就是这组数的平均值。

这使得求平均值变得非常简单。

此外，阿氏圆模型还可以用来解决其他问题，如中位数、众数等统计问题。

阿氏圆模型在初中数学中的应用非常广泛，通过它我们可以更好地理解和解决各种数学问题。

总结起来，阿氏圆模型是一种在初中数学中解决最值问题的简便方法。

它通过绘制一个圆形来表示一组数，圆心代表平均值，圆的半径代表最大值或最小值。

高中阿氏圆数学模型阿氏圆是一个很古老的数学模型，它最早由土耳其数学家阿尔帕拉格斯于1637年发现，被称作“希腊部分卷轴”中的一部分。

在中文中，阿氏圆也有另外一个别名——“玄同圆”。

什么是阿氏圆？阿氏圆是由一条直线和一个不动点构成的一组有趣的几何结构。

在这组几何结构中，直线被不动点绕着旋转，同时与不动点连线上的任意点P距离的积始终相等。

这个距离积的值就被称作阿氏圆的半径。

阿氏圆的几何结构我们可以用数学公式来表示阿氏圆的一般式。

先设点F为阿氏圆的不动点，点P为直线与不动点之间的一个任意点，点O为不动点到直线的垂足，点H为垂足FO的中点，点N为直线与不动点的垂线与阿氏圆的交点，点M 为点N到垂线FO的垂足。

OP × OM = OF^2其中OP为点P到不动点的距离，OM为点M到不动点的距离，OF为不动点到直线的距离。

阿氏圆的性质1.阿氏圆是一条曲线。

2.阿氏圆半径为它所在直线的垂线段的一半长度。

3.直线与它的阿氏圆始终相重叠。

4.阿氏圆由两部分组成，分别对应于点P在不动点与直线之间和不在它们之间两个条件下。

5.当点P在不动点与直线之间时，阿氏圆半径小于点P到直线距离的一半，当点P不在不动点与直线之间时，阿氏圆半径大于点P到直线距离的一半。

应用阿氏圆阿氏圆在工程学和物理学等领域有广泛应用，它被用于描述旋转现象，还可以用于测量机械振动和分析液体的流动情况等。

例如，当我们考虑一个旋转物体的惯性时，阿氏圆可以帮助我们计算出旋转物体的转动惯量。

此外，阿氏圆还可以被应用于衡量物体的辐射和冷却能力，以及对于热器的设计和改进。

总之，阿氏圆是一个重要的数学模型，它在不同领域都有着广泛的应用，对于理解旋转现象和液体流动等现象有着重要的贡献。

中考数学几何模型：阿氏圆最值模型在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A B P O【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。

故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。

【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值. EABC DPEABC DP例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55+的最小值为________.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.AB CDP例题3. 如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC ＝1，BD ＝2，P 为上一动点，求PC +PD的最小值．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD 为边长为4的正方形，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，则PD +PC 的最小值为 ；PD +4PC 的最小值为 ．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．当堂训练1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，则PC AP 22+的最小值________.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为________.3. 如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PB+PC 的最小值为________.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C 的半径为2，点P 是C 上的一动点，则12AP PB+的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少？。

专题21阿氏圆模型一、知识导航所谓“阿氏圆＂，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不力l）的点的栠合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k (k* I)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．pA下给出证明法一：首先了解两个定理(I)角平分线定理：如图，在6-ABC中，AD是乙BAC的角平分线则AB DBAC DCAB DcS BD S ABxDE AB AB DB 证明：一竺丛＝－－－坐上＝＝－－，即一一＝－－s AC/) CD S ACD ACxDF AC. AC DC(2)外角平分线定理；如图，在6.ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB DB AC DC ^EA,，｀｀B C\\\\IID证明：在B A 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BO,则6.ACD 兰6.AED (SAS), CD=ED 且AD DB ABAB DB 平分乙BDE ,则一一＝一一，即一一＝一一．DE AE AC DC接下来开始证明步骤：仁＇，，夕夕2A、、、、、、、、、、、、、MB'N如图，PA:PB=k,作LAPB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA —=—=k '故M 点为定MB PB点，即乙APB 的角平分线交AB 于定点；作乙APB 外角平分线交直线AB于N 点，根据外角平分线定理，NA PA—=—=k,故N 点为定点，即乙APB NB PB外角十分线交直线AB 于定点；又乙MPN=90°,定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆AN法二：达系不妨将点A 、B 两点置于x轴上且关于原点对称，设A (-m, 0)，则B (m, 0)，设P (x, y), PA=kPB, 即：J (x+m)2+y 2 =k J(x -m)2+ y 2 (x+m)2+y 2 =k 2(x -m )2+k 2y 2 （炉－1)(x2+ y 2)-(2m +2k 2m)x+(k 2-1)矿＝02 2m +2k'n /， X-+y-k 2-lx+ni 2 =0解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是固，且圆心与AB 共线．除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1)PA MA NA —=—=—=k.PB MB NB应用：祁据点A 、B的位置及k的值可确定M 、N及圆心0.OB OP(2) 6.0BPV>/:::,.QPA,即一一＝一一，变形为OP 2=OA-OB.OP OA 应用：粮据圆心及半径和A 、B其中一点，可求A 、B另外一点位置．(3)OP OB PA —=—=—=k .OA OP PB应用：已知半径及A 、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值．pAN匡I1如图，在L.ABC中，AB=4，AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，L.ACDv>L.ABCC8二二AAC AD觯：若6.ACDV)6.A B C 则有—-＝——即AC 2=AB·ADAB AC·: A B =4,AC =2AC2:. AD =—= 1AD故答案为I.2如图，点P 是半径为2的O O 上一动，点，点A 、B为o o 外的定点，连接PA 、P B,点B 与固心0的I距离为4要使PA+�PB 的值最小，如何确定点P,并说明理由．2ABI 思路分析）构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求A（详解J连接OB,OP ,在OB 上截取o c 亏1,连接AC 交('0于点P'，连接PC.OP OC l ·—=—=－，乙POC ＝乙BOPOB OP 2 :.�POC BOPPC ll :.—= －，即－PB =PC PB 2· 21:. PA+.:..PB= PA+PC�AC2当点A 、P 、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+�PB的2 根据阿氏圆可得OP 2=0B -OC即O P 2 22OC =—=—=1OB 4值最小．23如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3)，点E在以原点0为圆心，2力半径的圆上运动，求AE+�BE3 的最小值．y j.... ＿3一3-,（思路分析）在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值．（详解】如图，在y轴上取一点M(O,-:-)4 3 . OE OM 2 4，连接OE,EM, AM,则OE =2,0B =3, OM=-:-3＝＝－OB OE 3又？乙EOM＝乙BOE :. EOM =、BOE EM OM 2 2 :.—=—=－，即EM =::::_BEBE OE3. 3 2:. AE+::::_B E=AE+EM切AM3当A 、E 、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长在Rt ,.AOM 中，A M ＝拓夼言夼＝幸2:．当E 为线段A.11与o o 的交点时，AE +78E 有最小值为一—-．4而3 3y ·--3-3-'3 2.9 4.如图，已知抛物线y =－－x +－x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,44点E的坐标为(2,0)，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE'，旋转角力a(0°<a<90°)，连接BE'、2CE'，求BE'+�CE'的敢小值．3（思路分析】由旋转可知E'点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在笫一象限内的一段固弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可3 9（详解】解．？抛物线的解析式为y=－-x 2+－x+34 4 :. B (4,0),C(0,3) ·.．点E的坐标为(2,0):.,占、E'的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧4 如图在y轴上取一点M (O,-::)，连接OE',E'M,B M,则OE'=2, OC = 3, OM =-:: 43......3 . E'M OM 2..-=-=-OCOE' 3 又？L.E'OM＝乙COE':. E'OM(/) COE'. EM 2 2:.-—=－即E 'M=::..CE 'C E '33 2:. BE'+::..CE'=BE'+E'M�BM当B 、E',M三点共线时，BE'+E'M的值最小，最小值为BM的长·:BM＝豆二尸三3)32 4而：．当E'为BM与圆弧的交点时，BE'+7CE'有最小值为3 3I三、中考真题演练I.(2022广东惠州一模）如图1，抛物线y=，矿＋bx~4与X轴交于A、B两点，与Y轴交千点C,其中点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是迎线x=－．3 2yy图1图2(1)求抛物线的解析式：(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2,过点B 作BF 上BC 交抛物线的对称轴千点F,以点C 为圆心，2为半径作(,C'点Q 为C上的五一个动点，求－－B Q+FQ的最小值．42如图），抛物线）1＝成＋（a+3)..I,＋3(a'1'0)与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B,;{:丘轴上有一动点E(m,O )(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB千点N,交抛物线于点P,过点P作PM上AB千点M.y yxX图l(I)求a的值和且线AB的函数表达式：图2C. 6(2)设t:.PMN的周长为C,,t:.A EN的周长为C“若-=－求m的值C 5(3)如图2,在（2)的条件下，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE',旋转角为a (0°<a<90勺，连按E'A 、EB，求E'A＋二E＇B的最小值．33.(20l9山东中考真题）如图I,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B图1图2(l)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2,若P点是半径为2的0B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+�PA的2值最小，请求出这个最小值，并说明理由．4.(2018广西柳州中考真题）如图，抛物线y= a.x2 +bx+c圭卢轴交千A(.J3,0), 8两点（点8在点A的左侧），与Y轴交于点C,且08=30A=./3oc'LO A C的平分线AD交Y轴于点D,过点A且垂直于AD的均线［交Y轴于点E,点P是X轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF..l.x轴，垂足为F,交直线AD千点H.(l)求抛物线的解析式：(2)设点P的横坐标为111,当FH=HP时，求1/1.的值：I(3)当归线P F为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，－H C为半径作1)H,点Q为o H上的一个动点，求2l�AQ+EQ的最小值4x专题21阿氏圆模型一、知识导航所谓“阿氏圆＂，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不力l）的点的栠合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k (k* I)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．pA下给出证明法一：首先了解两个定理(I)角平分线定理：如图，在6-ABC中，AD是乙BAC的角平分线则AB DBAC DCAB DcS BD S ABxDE AB AB DB 证明：一竺丛＝－－－坐上＝＝－－，即一一＝－－s AC/) CD S ACD ACxDF AC. AC DC(2)外角平分线定理；如图，在6.ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB DB AC DC ^EA,，｀｀B C\\\\IID证明：在B A 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BO,则6.ACD 兰6.AED (SAS), CD=ED 且AD DB ABAB DB 平分乙BDE ,则一一＝一一，即一一＝一一．DE AE AC DC接下来开始证明步骤：仁＇，，夕夕2A、、、、、、、、、、、、、MB'N如图，PA:PB=k,作LAPB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA —=—=k '故M 点为定MB PB点，即乙APB 的角平分线交AB 于定点；作乙APB 外角平分线交直线AB于N 点，根据外角平分线定理，NA PA—=—=k,故N 点为定点，即乙APB NB PB外角十分线交直线AB 于定点；又乙MPN=90°,定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆AN法二：达系不妨将点A 、B 两点置于x轴上且关于原点对称，设A (-m, 0)，则B (m, 0)，设P (x, y), PA=kPB, 即：J (x+m)2+y 2 =k J(x -m)2+ y 2 (x+m)2+y 2 =k 2(x -m )2+k 2y 2 （炉－1)(x2+ y 2)-(2m +2k 2m)x+(k 2-1)矿＝02 2m +2k'n /， X-+y-k 2-lx+ni 2 =0解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是固，且圆心与AB 共线．除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1) PA MA NA —=—=—=k .PB MB NB应用：祁据点A 、B的位置及k的值可确定M 、N及圆心0.OB OP(2) 6.0BPV>/:::,.QPA,即一一＝一一，变形为OP 2=OA-OB.OP OA 应用：粮据圆心及半径和A 、B其中一点，可求A 、B另外一点位置．(3)OP OB PA —=—=—=k .OA OP PB应用：已知半径及A 、B中的其中一点，即可知道PA:PB的值．pAN匡I1如图，在L.ABC中，AB=4，AC=2,点D为AB边上一点，当AD=时，L.ACDv>L.ABCC8二二AAC AD觯：若6.ACDV)6.A B C 则有—-＝——即AC 2=AB·ADAB AC·: AB =4,AC =2AC2:. AD =—= 1AD故答案为I.2如图，点P 是半径为2的O O 上一动点，点A 、B为o o 外的定点，连接PA 、P B,点B 与固心0的I距离为4要使PA+�PB的值最小，如何确定点P,并说明理由．2ABI 思路分析）构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求．A（详解J连接OB,OP ,在OB 上截取o c 亏1,连接AC 交('0于点P'，连接PC.OP OC l ·—=—=－，乙POC ＝乙BOPOB OP 2 :.�POC BOPPC ll :.—= －，即－PB =PC PB 2· 21:. PA+.:..PB= PA+PC�AC2当点A 、P 、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与P'重合时，PA+�PB的2 根据阿氏圆可得O P 2=0B -O C 即O P 2 22OC =—=—=1OB 4值最小．23如图，平面直角坐标系中，A(4,0),B(0,3)，点E在以原点0为圆心，2力半径的圆上运动，求AE+�BE3 的最小值．y j一3-,（思路分析）在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值．（详解】如图，在y轴上取一点M(O,-:-)4 3 . OE OM 2 4，连接OE,EM, AM,则OE =2,0B=3, O M=-:-3＝＝－OB OE 3又？乙EOM＝乙BOE :. EOM =、BOE EM OM 2 2 :.—=—=－，即EM =::::_BEBE OE3. 3 2:. AE+::::_B E=AE+EM切AM3当A 、E 、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长在Rt ,.AOM 中，AM ＝拓千言夼＝孛2:．当E 为线段A.11与o o 的交点时，AE +78E 有最小值为一—-．4而3 3y ·--3-3-'3 2. 94.如图，已知抛物线y =－－x +－x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,4 4点E的坐标为(2,0)，将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE'，旋转角力a(0°<a<90°)，连接BE'、2CE'，求BE'+�CE'的敢小值．3（思路分析】由旋转可知E'点的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在笫一象限内的一段圆弧，在y轴上找一点，构造相似三角形，再结合各点坐标求解即可3 9（详解】解．？抛物线的解析式为y=－－x 2+－x+34 4 :. B (4,0),C(0,3) ·.点E的坐标为(2,0):.,占、E'的运动轨迹为以原点0为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一段圆弧4 如图在y轴上取一点M (O,-::)，连接OE',E'M,BM,则OE'=2,OC=3, OM=-::43......3 . E'M OM 2..-=-=-OCOE' 3 又？L.E'OM ＝乙COE':. E'OM(/) COE'. EM 2 2:.-—=－即E 'M=::..CE 'C E '33 2:. B E'+::..CE'=BE'+E'M�BM当B 、E',M三点共线时，BE'+E'M的值最小，最小值为BM的长·:BM ＝芦言尸＝玉3 J3 2 4而：当E'为BM与圆弧的交点时，BE'+7CE'有最小值为3 3I三、中考真题演练I.(2022广东惠州一模）如图1，抛物线y=，矿＋bx~4与X轴交于A、B两点，与Y轴交千点C,其中点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是迎线x=－．3 2yy图1图2(1)求抛物线的解析式：(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2,过点B作BF上BC交抛物线的对称轴千点F,以点C为圆心，2为半径作(,C'点Q为C上的五一个动点，求－－B Q+F Q的最小值．4【答案】(I)y=入.2-3x-4(2)P{l,6)或(3,4)(3)扫3【分析】(I)根据点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=－．待定系数法求二次函数解析式即可，2(2)先求得直线BC解析式，设P(m,m2-3m-4)，则Q(m m-4)，过点P作PQ轴交直线BC千点Q,根据S四边彤A BPC= s AOC +S如，等干16建立方程，解一元二次方程即可求得Ill的值，然后求得P的坐标，五(3)在CB上取CE=－－，过点E作EG J_OC，构造CQE V>.C BQ，则当F,Q E三点共线时，取得最小值，最小值为FE,勾股定理解直角三形即可．【详解】（I)解：？抛物线y＝矿＋bx-4与X轴交于A、B两点，与Y轴交于点C,点A的坐标为-l,O),抛物线的对称轴是宜线x=－，3:. C(O,--4)，， 4 ， 。

阿氏圆最值问题(超完整)一、定点在圆外--向圆内找点构造相似1.如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，CB =7，AC =9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP +BP 的最小值为( )A.7B.52C.4+10D.2132.如图，在ΔABC 中，BC =6，∠BAC =60°，则2AB +AC 的最大值为 ．3.【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足PA PB=k (k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在ΔABC 中，CB =4，AB =2AC ，则ΔABC 面积的最大值为 ．4.如图，已知菱形ABCD 的边长为8，∠B =60°，圆B 的半径为4，点P 是圆B 上的一个动点，则PD -12PC 的最大值为 ．5.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+12PC的最小值为 ．6.如图所示的平面直角坐标系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限内一动点，OP=2，连接AP、BP，则BP+12AP的最小值是 ．7.如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则2PA+PB的最小值为 ．8.已知：等腰RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，则PC+22PB的最小值是 ．9.如图，在RtΔAOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，⊙O的半径为1，M为⊙O上一动点，求AM+12BM的最小值．10.如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP．求①AP+12BP；②2AP+BP；③13AP+BP；④AP+3BP的最小值．11.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,2)，P是ΔAOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC的最小值是 ．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，22为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为 ．二、定点在圆内--向外找点构造相似13.如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A(0,1)，点B(2,0)，点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ．14.如图，在⊙O 中，点A 、点B 在⊙O 上，∠AOB =90°，OA =6，点C 在OA 上，且OC =2AC ，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则CM +2DM 的最小值为 ．15.如图，扇形AOB 中，∠AOB =90°，OA =6，C 是OA 的中点，D 是OB 上一点，OD =5，P 是AB上一动点，则PC +12PD 的最小值为 ．16.问题提出：如图1，在等边ΔABC 中，AB =12，⊙C 半径为6，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD=3，则有CD CP =CP CB=12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴ΔPCD ∽ΔBCP ，∴PD BP=12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP 的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD 中，BC =7，AB =9，P 为矩形内部一点，且PB =3，13AP +PC 的最小值为．(3)拓展延伸：如图4，扇形COD 中，O 为圆心，∠COD =120°，OC =4，OA =2，OB =3，点P 是CD上一点，求2PA +PB 的最小值，画出示意图并写出求解过程．17.⊙O 半径为2，AB ，DE 为两条直线．作DC ⊥AB 于C ，且C 为AO 中点，P 为圆上一个动点．求2PC +PE 的最小值．18.问题提出：如图1，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求AP +12BP 的最小值．(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，则有CD CP =CP CB =12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴ΔPCD ∽ΔBCP ．∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP 的最小值为　37　．(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP +BP 的最小值为 ．(3)拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是CD上一点，求2PA +PB 的最小值．三、一内一外提系数19.如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+6PD的最小值为 ．20.如图，正方形ABCD边长为4，L是CD的中点，Y在⊙C上，|2LY-YA|的最大值是 ，22LY+YA的最小值是 四、真题演练21.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，BE=2OE，延长AB至点D，使得BD=AB，P是弧AB(异于A，B)上一个动点，连接AC、PE．(1)若AO=3，求AC的长度；(2)求证：CD是⊙O的切线；(3)点P在运动的过程中是否存在常数k，使得PE=k∙PD，如果存在，求k的值，如果不存在，请说明理由．22.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C(0,6)，抛物线的顶点坐标为E(2,8)，连结BC、BE、CE．(1)求抛物线的表达式；(2)判断ΔBCE的形状，并说明理由；(3)如图2，以C为圆心，2为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+12EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．23.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．24.如图1，抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0<m<4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设ΔPMN的周长为C1，ΔAEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值；(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E′A、E′B，求E′A+23E′B的最小值．25.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，且C 为AE的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为(-2,0)，AE =8．(1)求点C 的坐标；(2)连接MG 、BC ，求证：MG ⎳BC ；(3)如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，OF PF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于点A 和C (1,0)，交y 轴于点B (0,3)，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE ，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AE ′，BE ′，求BE ′+13AE ′的最小值；27.如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4)，B(0,4)两点，直线AC:y=-12x-6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．。

阿氏圆最值模型阿氏圆最值模型的提出和发展，是对一系列极值问题进行形式化、抽象化的产物。

在这个模型中，我们希望找到一些变量的取值，使得某个函数取得最大值或最小值。

然而，由于一些约束条件的存在，这些极值问题通常会变得非常复杂，难以直接求解。

阿氏圆最值模型的出现，为这类问题的求解提供了一种新的途径。

阿氏圆最值模型的核心思想是将原始的极值问题，通过适当的变量替换和转化，转化为阿氏圆最值问题。

这样一来，原始的问题就可以转化为阿氏圆上的问题。

由于阿氏圆具有一些独特的性质，比如对称性、直径定理等，因此可以利用这些性质来简化问题，进而求解。

阿氏圆最值模型的求解思路是比较清晰的。

首先，我们需要将原始的极值问题转化为阿氏圆上的问题，即找到一种变换，将原始问题转化为阿氏圆的问题。

其次，我们需要利用阿氏圆的性质来简化问题，比如利用对称性或直径定理等。

最后，我们需要重新转化回原始问题，找到变量的取值，使得原函数取得最大值或最小值。

要成功应用阿氏圆最值模型，需要具备一定的数学功底和分析能力。

首先，我们需要对阿氏圆的性质有一定的了解，比如对称性、直径定理等。

其次，我们需要具备将原始问题转化为阿氏圆问题的能力，这需要一定的数学技巧和灵活性。

最后，我们需要有足够的耐心和毅力去解决复杂的阿氏圆最值问题。

阿氏圆最值模型广泛应用于各个领域。

在经济学中，它常被用来解决一些最优化问题，如最大利润、最低成本等。

在管理学中，它可以帮助管理者做出最优决策，比如最大化市场份额、最小化生产成本等。

在医学中，它可以帮助医生做出最优治疗方案，最大化治疗效果，最小化副作用等。

在实际应用中，阿氏圆最值模型通常都需要借助计算机软件进行求解，比如MATLAB、Python等。

这些软件提供了强大的数学求解能力，可以帮助我们迅速求解复杂的阿氏圆最值问题。

因此，对于应用阿氏圆最值模型的人来说，熟练运用这些软件也是非常重要的。

总的来说，阿氏圆最值模型是一种重要的数学模型，它为一些复杂的最值问题的求解提供了一种新的途径。