抛物线及其标准方程1

第1页抛物线

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF|＝d(其中d为

点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点O(0,0)

对称轴y＝0x＝0

焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2

离心率e＝1

准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2

范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R

开口方向向右向左向上向下

焦半径|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2

1．抛物线定义的两点理解

(1)定点不在定直线上．

(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线．

2．抛物线的方程特点

方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝1ay，是焦点在y轴上的抛物线．第2

页3．结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：

(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；

(2)|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)，

S△OAB＝p22sinα；

(3)1|FA|＋1|FB|＝2p；

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．

(7)过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点O(0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，

交点为A，B(如图)．则直线AB过定点M(2p,0)；反之，若过点M(2p,0)的直线l与抛

物线y2＝2px(p＞0)，交于两点A，B，则必有OA⊥OB．

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

1 2.4.1 抛物线及其标准方程

（探究型实验课）--执教人倪渐邦

一、实验目标

（一）知识与技能

（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程

（二）过程与方法

通过 “观察”、“思考”、“实验”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，在实验的基础上，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想。

（三）情感态度与价值观

进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。

二、教学重点

抛物线的定义及标准方程

三、教学难点

抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导

四、教学实验准备软件和工具

几何画板及直尺

五、教学过程

一、抛物线的定义

P64 信息技术应用（课堂中几何画板演示画图过程）

1、先看一个实验：

如图：点B是定点，l是不经过点F的定直线，A是l上任意一点，拖动点A，观察点C的轨迹，你能发现点C满足的几何条件吗？(演示实验观察画图过程，学生讨论）

可以猜测，点C随着A运动的过程中，好像有|AC|=|BC|，即点C与定点B和定直线l的距离相等。

2、找几个点测量一下是否相等（演示）；

3、板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程

4、我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

师：对于“直线l经过点F”的情况，我们留到习题课再讨论。

二、抛物线的标准方程

1、回忆求曲线方程的步奏。

鸡西市第十九中学高二数学组

1 鸡西市第十九中学学案

2015年（ ）月（ ）日 班级 姓名

2．3.1 抛物线及其标准方程

学习

目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.

2.会求简单的抛物线的方程.

重点

难点 通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

【探究点一】抛物线定义

如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.

问题1 画出的曲线是什么形状？

问题2 |DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？

答案 是.AB是直角三角形的一条直角边.

问题3 点D在移动过程中，满足什么条件？答案 |DA|＝|DC|.

小结 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

问题4 在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？

答案 在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线.如到点F(1,0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线.

例1 方程2[x＋32＋y－12]＝|x－y＋3|表示的曲线是( )

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

解析 原方程变形为x＋32＋y－12＝|x－y＋3|2，它表示点M(x，y)与点F(－3,1)的距离等于点M到直线x－y＋3＝0的距离. 根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线.

抛物线的定义及标准方程

一、抛物线的定义

1. 定义内容

- 平面内与一定点F和一条定直线l(F∉ l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

2. 定义理解要点

- 强调“平面内”这一前提条件，因为在空间中满足到定点与定直线距离相等的点的轨迹是一个抛物面。

- 焦点F不在准线l上，如果F∈ l，则轨迹为过F且垂直于l的直线。

二、抛物线的标准方程

1. 建立坐标系推导标准方程

- 设抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作准线l的垂线，垂足为K，以线段FK的中点O为坐标原点，FK所在直线为x轴建立直角坐标系。

- 设|FK| = p(p>0)，则焦点F的坐标为((p)/(2),0)，准线l的方程为x =-(p)/(2)。

- 设抛物线上任一点M(x,y)，根据抛物线的定义，点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离。 - 点M到焦点F的距离| MF|=√((x - frac{p){2})^2+y^2}，点M到准线l的距离| x+(p)/(2)|。

- 由√((x - frac{p){2})^2+y^2}=| x+(p)/(2)|，两边平方可得(x-(p)/(2))^2 +

y^2=(x + (p)/(2))^2，展开并化简得y^2=2px(p>0)，这就是抛物线的一种标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上的抛物线。

2. 其他几种标准方程形式

- 当焦点在x轴负半轴上时，设焦点F(-(p)/(2),0)，准线l的方程为x=(p)/(2)，按照上述推导过程可得抛物线方程为y^2=-2px(p > 0)。

- 当焦点在y轴正半轴上时，设焦点F(0,(p)/(2))，准线l的方程为y =-(p)/(2)，设抛物线上一点M(x,y)，根据定义可得√(x^2)+(y-(p)/(2))^2=|

y+(p)/(2)|，化简后得到x^2=2py(p>0)。