高三数学一轮复习【立体几何】练习题

高三数学一轮复习【立体几何】练习题

1.空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，则下列说法正确的有( )

A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b

C.若a∥γ，b∥γ，则a∥b D.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c

答案 AB

解析 根据空间平行直线的传递性可知A正确；由直线与平面垂直的性质定理知B正确；若a∥γ，b∥γ，则a，b可能平行、相交或异面，故C错误；若a⊥b，b⊥c，则a，c可能相交、平行或异面，故D错误.

2.对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项正确的为( )

A.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

B.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥n

C.若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β

D.若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α

答案 ACD

解析 对A，令m，n分别为直线m，n的方向向量，因为m⊥α，n⊥β，所以m⊥α，n⊥β，又α⊥β，所以m⊥n，即m⊥n，所以选项A正确；

对B，如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，令平面ABCD为平面α，平面ABB1A1为平面β，直线A1C1为m，直线C1D为n，满足α⊥β，m∥α，n∥β，但m与n既不平行也不垂直，所以选项B错误；

对C，若m⊄β，过m作一平面γ分别与平面α和平面β相交，且交线分别为a，b，则m∥a，a∥b，所以m∥b，所以m∥β；若m⊂β，符合题意，所以选项C正确；

对D，若n⊂α，符合题意；若n⊄α，过直线n作一平面β与平面α相交，设交线为b，因为b⊂α，m⊥α，所以m⊥b，又m⊥n，且n，b在同一平面内，所以n∥b，所以n∥α，所以选项D正确.

综上，选ACD.

3.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( )

A.AE∥CD B.CH∥BE

C.DG⊥BH D.BG⊥DE

答案 BCD

解析 由正方体的平面展开图还原正方体如图，连接AH，DE，BG，BH，DG，HC.

由图形可知，AE⊥CD，故A错误；

因为HE∥BC，HE＝BC，所以四边形BCHE为平行四边形，所以CH∥BE，故B正确；

因为DG⊥HC，DG⊥BC，HC∩BC＝C，HC，BC⊂平面BHC，所以DG⊥平面BHC，又BH⊂平面BHC，所以DG⊥BH，故C正确；

因为BG∥AH，而DE⊥AH，所以BG⊥DE，故D正确.故选BCD. 4.用一个平面截正方体，所得的截面不可能是( )

A.锐角三角形 B.直角梯形

C.有一个内角为75°的菱形 D.正五边形

答案 BCD

解析 对于A，如图1，截面的形状可能是正三角形，故A可能；

图1 图2

对于B，首先考虑平面截正方体得到的截面为梯形，且QR与AA1不平行，如图2所示，不妨假设PQ⊥QR，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，PQ⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥PQ，从而有PQ⊥平面A1ABB1，这是不可能的，故B不可能；

对于C，当平面截正方体得到的截面为菱形(非正方形)时，只有如下情形，如图3，其中P，R为所在棱的中点，易知当菱形为PBRD1时，菱形中的锐角取得最小值，即∠PD1R最小.设正方体的棱长为2，则PD1＝RD1＝5，PR＝22，则由余弦定理，得cos∠PD1R＝PD21＋RD21－PR22PD1·RD1＝5＋5－82×5×5＝15<6－24＝

cos 75°，所以∠PD1R>75°，故C不可能；

图3

对于D，假设截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故D不可能.

综上所述，选BCD.

5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为AA1的中点，平面α过点D1且与CM垂直，则( )

A.CM⊥BD

B.BD∥平面α

C.平面C1BD∥平面α

D.平面α截正方体所得的截面图形的面积为92

答案 ABD

解析 如图，连接AC，则BD⊥AC.因为BD⊥AM，AM∩AC＝A，AM，AC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC，又CM⊂平面AMC，所以BD⊥CM，故A正确；

取AD的中点E，连接D1E，DM，由平面几何知识可得D1E⊥DM，又CD⊥D1E，DM∩CD＝D，DM，CD⊂平面CDM，所以D1E⊥平面CDM，又CM⊂平面CDM，所以D1E⊥CM.连接B1D1，过点E作EF∥BD，交AB于F，连接B1F，所以CM⊥EF，又D1E∩EF＝E，D1E，EF⊂平面D1EFB1，所以CM⊥平面D1EFB1，所以平面α截正方体所得的截面图形即梯形D1EFB1.

由EF∥BD，BD⊄平面α，EF⊂平面α，得BD∥平面α，故B正确；

连接AB1，AD1，易知平面AB1D1∥平面C1BD，而平面AB1D1∩平面α＝B1D1，所以平面C1BD与平面α不平行，故C不正确；

截面图形为等腰梯形D1EFB1，EF＝2，B1D1＝22，D1E＝B1F＝5，所以截面图形的面积S＝12×(2＋22)×（5）2－22－222＝92，故D正确.

6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点，则( )

A.CM与PN是异面直线

B.CM>PN

C.平面PAN⊥平面BDD1B1

D.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

答案 BCD

解析 对于选项A，如图，连接NC，PC，则A，N，C三点共线.又M为AP的中点，N为AC的中点，所以CM与PN共面，故A错误；

对于选项B，因为P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，所以AC>AP.在△MAC中，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcos∠MAC＝AC2＋14AP2－AC·AP·cos∠MAC.在△PAN中，PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcos∠PAN＝AP2＋14AC2－AP·ACcos∠PAN，则CM2－PN2＝34(AC2－AP2)>0，所以CM>PN，故B正确；

对于选项C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易知AC⊥平面BDD1B1，即AN⊥平面BDD1B1，又AN⊂平面PAN，所以平面PAN⊥平面BDD1B1，故C正确；

对于选项D，连接A1C1，在平面A1B1C1D1内作PK∥A1C1，交C1D1于K，连接KC.在正方体中，A1C1∥AC，所以PK∥AC，PK，AC共面，所以四边形PKCA就是过P，A，C三点的正方体的截面，AA1＝CC1，A1P＝C1K，所以AP＝CK，即梯形PKCA为等腰梯形，故D正确.故选BCD.

7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，点P为线段AD1上一动点，则下列说法正确的是( )

A.直线PB1∥平面BC1D

B.三棱锥P-BC1D的体积为13

C.三棱锥D1-BC1D外接球的表面积为3π2

D.直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦值的最大值为53

答案 ABD

解析 对于A选项，连接B1D1，AB1，根据正四棱柱的性质可知AD1∥BC1，BD∥B1D1，因为BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，同理得BD∥平面AB1D1，又BC1∩BD＝B，所以平面AB1D1∥平面BC1D，又PB1⊂平面AB1D1，所以PB1∥平面BC1D，所以A选项正确；

对于B选项，易知AD1∥平面BC1D，所以VP-BC1D＝VA-BC1D＝VC1-ABD＝13×12×1×1×2＝13，所以B选项正确；

对于C选项，三棱锥D1-BC1D的外接球即正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球.设外接球的半径为R，则4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积为4πR2＝6π，所以C选项错误；

对于D选项，过P作PE∥AB，交BC1于点E，则PE⊥平面BCC1B1，连接B1E，则∠PB1E即直线PB1与平面BCC1B1所成的角，当B1E最小时，∠PB1E最大，此时B1E⊥BC1，由等面积法得S△BB1C1＝12BC1·B1E＝12BB1·B1C1，解得B1E＝25，在Rt△PB1E中，PE＝AB＝1，所以PB1＝12＋252＝35，所以∠PB1E的正弦值的最大值为PEPB1＝53，所以D选项正确.

故选ABD.

8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )

A.直线D1D与直线AF垂直

B.直线A1G与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面的面积为92

D.点A1和点D到平面AEF的距离相等

答案 BCD

解析 对于选项A，假设AF与D1D垂直，又D1D⊥AE，AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以D1D⊥平面AEF.因为EF⊂平面AEF，所以D1D⊥EF，这显然是错误的，所以假设不成立，故A错误；

图1

对于选项B，取B1C1的中点N，连接A1N，GN，如图1所示，易知A1N∥AE，又AE⊂平面AEF，A1N⊄平面AEF，所以A1N∥平面AEF.因为GN∥EF，EF⊂平面AEF，GN⊄平面AEF，所以GN∥平面AEF.又A1N，GN⊂平面A1GN，A1N∩GN＝N，所以平面A1GN∥平面AEF.

因为A1G⊂平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，

故B正确；

对于选项C，连接AD1，FD1，如图2所示，因为AD1∥EF，所以四边形AD1FE为平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，又AD1＝22＋22＝22，

图2

EF＝12＋12＝2，

D1F＝AE＝12＋22＝5，

所以四边形AD1FE为等腰梯形，

高为（5）2－222＝322，

则S梯形AD1FE＝12×(2＋22)×322＝92，故C正确；

对于选项D，连接A1D，如图2所示，由选项C可知A1D与平面AEF相交且交点为A1D的中点，所以点A1和点D到平面AEF的距离相等，故D正确.综上，选BCD.

9.已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP⊥MC，则下列结论中正确的是( )

A.点P的轨迹中包含AA1的中点

B.点P在侧面AA1D1D内的轨迹的长为5a4

C.MP长度的最大值为21a4

D.直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为55

答案 BCD

解析 如图，取A1D1的中点E，分别取A1A，B1B上靠近A1，B1的四等分点F，G，连接EM，EF，FG，MG，易知EM∥FG且EM＝FG，所以E，M，F，G四