高中数学必修五 余弦定理

高中数学必修五公式

声明：本文非原创，由于界面阅读感不好而本人进行重新排版。

第一章 三角函数

一．正弦定理：2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）

变形：2sin(sin)22sin(sin)22sin(sin)2aaRAARbbRBBRccRCCR

推论：::sin:sin:sinabcABC

二．余弦定理：

三．三角形面积公式：111sinsinsin,222ABCSbcAacBabC

第二章 数列

一．等差数列： 1.定义：an+1-an=d(常数)

2.通项公式：dnaan11或dmnaamn

3.求和公式:dnnnnaaaSnn21211

4.重要性质(1)aaaaqpnmqpnm

(2) m,2m,32mmmSSSSS仍成等差数列

二．等比数列：1.定义： )0(1qqaann

2.通项公式：qaann11或qaamnmn

3

.求和公式: ）（1q,1naSn

）（1q11)1(11qqaaqqaSnnn

2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab

4.重要性质（1）aaaaqpnmqpnm

(2)m,2m,32q1mmmmSSSSS仍成等比数列或为奇数

三．数列求和方法总结：

1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).

2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和,

若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.

注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。

教学设计-------§1.1.2 余弦定理导学案

学习目标

1. 掌握余弦定理的内容和推论；理解用向量方法证明余弦定理；

2. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

3.理解正弦定理与余弦定理在解三角形中的不同应用。

学习过程

一、课前准备

复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 =

= ．

复习2：在三角形中，利用正弦定理可以解决什么样的问题？

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

二、新课导学

探究新知

问题：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.

∵BC

，

∴BCBC ，

同理可得： 2222cosbacacB，

2222coscababC．

新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的

的和减去这两边与它们的夹角的

的积的两倍．

思考1：请问你还有其他的证明方法与大家分享吗？（提示如：两点间距离公式，三角形方法）

思考2：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

222cos2bcaAbc，cosB ，cosC ．

知识拓展

余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

问题导学

应用1、已知三角形的三边解三角形

例1（1）△ABC中，33a，2c，150B，求b．

（2）△ABC中，2a，2b，31c，求A．

应用2、利用三角形三边判断三角形形状

word整理版

学习参考资料 高中数学“余弦定理”教学设计与反思

基本信息

课题 §2.1.2 余弦定理 （新课标北师大版高中数学·必修5）

作者及工作单位 王金玲 江西省九江县第一中学

教材分析

北师大版《普通高中课程标准实验教科书数学·必修5》第二章《解三角形》第一节第二节课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

学情分析

本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。

教学目标

1.知识与技能：掌握余弦定理，并能运用定理解三角形。

2.过程与方法：掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。

3.情感、态度与价值观：在利用数量积证明余弦定理的过程中，体会向量工具在解三角形度量问题中的作用，进一步认识和体会数学知识之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点和难点

教学重点：余弦定理的发现过程及定理的应用；

教学难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。

1

课题：1.1.2 余弦定理

高二数学 教·学案

主备人： 执教者：

【学习目标】

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【授课类型】新授课

【教 具】课件、电子白板

【学习方法】

【学习过程】

一、引入：

1.什么是正弦定理？什么是解三角形？

2.思考：如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和C，求边c

二、新课学习：

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则

222 2 2cccababaabbababab

从而2222coscababC

同理可证 2222cosabcbcA

2222cosbacacB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 个性设计

2 高二数学 教·学案

即 2222cosabcbcA

2222cosbacacB

2222coscababC