学高一数学北师大版必修一学案1.1集合的含义与表示

莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

1 集合的含义与表示

1．集合的含义

(1)集合与元素

一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．集合中的每个对象叫作这个集合的元素，元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．

集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．

(2)集合中元素的三个性质

①确定性

给定一个集合A，任何一个对象a是不是这个集合的元素就确定了．要么a在集合A中，要么a不在集合A中，二者必居之一．不允许有模棱两可的情况出现．例如：“我们班的高个子同学”就不具备确定性，因为组成集合的标准不明确，身高是多少时算“高个子”？再如“著名科学家”“较大的数”等，都不能组成集合，原因是各对象间找不出公共特征、属性，即元素的“指定”．

②互异性

在给定的集合中，元素是互异的．也就是说，集合中的任何两个元素都不相同，因此，集合中的元素没有重复现象．例如，方程(x－1)2(x＋3)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－3，其中1是二重根，在写由该方程的根构成的集合时，1只能出现一次，即只能写成由1和－3两个元素组成的集合，而不能写成由1,1，－3三个元素组成的集合．

③无序性

集合中元素的无序性，是指在表示一个集合时，我们只需将某些指定的对象集中在一起，虽然习惯上会将某些元素按一定顺序来写出，但却不强调它们的顺序，例如：由元素a，b组成的集合与由元素b，a组成的集合是同一个集合．

(3)元素与集合的关系

关系 概念 记法 读法

元素与集

合的关系 属于 如果元素a在集合A中，就说a属于A a∈A “a属于A”

不属于 如果元素a不在集合A中，就说a不属于A aA “a不属于A”

破疑点 如何使用符号“∈”与“”

1．符号“∈”，“”是表示元素与集合之间关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系的，这一点务必牢记；

2．“a∈A”或“aA”取决于a是不是集合A中元素，如果是，用a∈A；否则，用aA.

【例1－1】下列语句：

①2012年伦敦奥运会上获得金牌的运动员可以构成一个集合；

②世界上所有的“大款”可以构成一个集合；

③由实数x，－x，2x，33x所组成的集合里最多有2个元素；

④小于5的正整数组成的集合中的元素可按顺序1,2,3,4书写，也可按顺序2,4,3,1书写．

其中正确的是________．

解析：在①中，由于获得金牌的运动员是确定的，因此它能组成一个集合．在②中，由于“大款”没有一个确定的标准，因而不能判定一个人到底是不是“大款”，故它不能组成集合．在③中，由于2,0,||,0,xxxxxx33xx，所以由集合中元素的互异性知，当x＝0时，由实数x，－x，2x，33x所组成的集合里只有一个元素0；当x≠0时，集合里有两个元素x和－x.④符合集合中元素的无序性．

答案：①③④

【例1－2】设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系正确的是( )． 莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

A．0∈M,2∈M B．0M,2∈M

C．0∈M,2M D．0M,2M

解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x＜0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0不是不等式3－2x＜0的解，故0M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2是不等式3－2x＜0的解，故2∈M.

答案：B

2．常用的数集及其记法

在数学中，最常用到的集合是关于数的集合，简称为数集．例如：不等式的解集、方程的解集等等．随着学习的深入，经常会用到自然数、整数、正整数、有理数、实数各自构成的集合，为了表达起来方便，对于这些常用的数集，我们专门指定一些大写字母来表示(如下表)：

数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

记法 N N＋ Z Q R

警误区 N与N＋的区别

在这些特定集合符号中，N与N＋的区别为：N比N＋多一个元素0，也就是说，自然数集包括数0,0是最小的自然数．再就是符号N＋中的“＋”号在下标位置，不能写成N＋.

【例2】给出下列几个关系式：2R；0.3∈Q；0∈N；0∈{0}；0∈N＋；12N＋；－π∈Z；－5∈Z.其中正确的关系式的个数是( )．

A．4

B．5 C．6 D．7

解析：判断数与常用数集之间的关系，关键是要牢记各数集字母所表示的集合的意义，以避免混用．由于2R，0.3∈Q,0∈N,0∈{0},0N＋，12N＋，－πZ，－5∈Z，所以正确的关系式有5个．

答案：B

3．集合的表示方法

集合的常用表示方法有列举法、描述法．

(1)列举法

把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫作列举法．一般来说，对于元素较少的集合常用列举法表示．例如：中国的直辖市构成的集合用列举法可表示为{北京，上海，天津，重庆}，关于x的方程x－a＝0的解集可写成{a}．

破疑点 用列举法表示集合的几点注意事项

用列举法表示集合时，必须注意如下几点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑元素出现的先后顺序；④集合的元素不能重复；⑤集合的元素可以表示任何事物，如人、物、地点、数等；⑥对含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，也可用列举法表示，但是必须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如N＋＝{1,2，3，…}，所有正偶数组成的集合可写成{2,4,6,8，…}．

(2)描述法

用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法．

用描述法表示集合的具体方法是：在大括号内先写上表示这个集合元素的代表符号及取值范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出这个集合中元素所满足的条件．例如，不等式x＋5＜1的整数解组成的集合可以表示为{x∈Z|x＋5＜1}；方程x2－2x－3＝0的解集可以表示为{x|x2－2x－3＝0}；函数y＝－3x＋1图像上的点(x，y)的集合可以表示为{(x，y)|y＝－3x＋1}．

破疑点 用描述法表示集合的几点注意事项

使用描述法表示集合时注意：①弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式；②弄清元素所满足的条件是什么，当用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑；③当条件中出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围；④当集合的元素有无数多个，或者集合的元素是有限个但比较多时，用列举法显然不能或不容易表示出集合，这时就采用描述法． 莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

【例3－1】不等式|8－3x|＞0的解集是( )．

A． B．R

C．8|3xx D．83

解析：由|8－3x|＞0可知，8－3x≠0，即83x，所以不等式|8－3x|＞0的解集是8|3xx.

答案：C

【例3－2】用列举法表示下列集合：

①小于7的所有正偶数组成的集合；

②方程x3＝x2的解集．

分析：列举法是把集合中的全部元素一一列举出来写在大括号内的方法，因此①中要明确小于7的所有正偶数有哪些；②中要明确方程x3＝x2的实数根的大小，即要解方程．

解：①∵小于7的正偶数有2,4,6，

∴小于7的所有正偶数组成的集合为{2,4,6}．

②由x3＝x2得，x2(x－1)＝0，∴x＝0或x＝1.

∴方程x3＝x2的解集为{0,1}．

【例3－3】用描述法表示下列集合：

①函数y＝－2x2＋x－9图像上的所有点组成的集合；

②不等式2x－3＜1的解组成的集合；

③如图中阴影部分的点(含边界)的集合．

分析：描述法是用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法，在应用时，关键是写出这个集合中元素的代表符号及其所满足的条件．①集合中的元素是点，因此元素的代表符号可用(x，y)表示，元素满足的条件是y＝－2x2＋x－9；②集合中的元素是不等式的解，可用不等式中未知数x来表示元素，满足的条件是2x－3＜1；③集合中的元素也是点，用(x，y)来表示元素，满足的条件可由阴影部分点的横坐标x和纵坐标y的取值范围来确定．

解：①函数y＝－2x2＋x－9的图像上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x－9}．

②不等式2x－3＜1的解组成的集合可表示为{x|2x－3＜1}，即{x|x＜2}．

③图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为31(,)|1,1,022xyxyxy.

4．集合的分类

按集合中元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集．

(1)有限集：含有限个元素的集合叫有限集，如{0,1,9}，有限集常用列举法表示．

(2)无限集：含无限个元素的集合叫无限集，如{x|x＞7}，无限集常用描述法表示．

(3)空集：不含有任何元素的集合叫作空集，记作.如小于5且大于6的实数组成的集合是空集．引进空集的概念是出于实际的需要，在集合论中，空集有重要的意义．如“方程在某个数集中无解”就可以说成“在某个数集上方程的解集是空集”．

警误区 {0}与的区别

{0}与的区别：{0}表示含有一个元素0的集合，是一个非空集合，而表示空集，不含任何元素． 莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

【例4－1】判断下列集合是有限集，还是无限集，并选择适当的方法表示．

①1和70组成的集合；

②大于1且小于70的自然数组成的集合；

③大于1且小于70的实数组成的集合．

分析：观察本题中的三个集合，可以看出均是用文字语言来描述的集合．①中集合仅有两个元素，是有限集，用列举法表示；②中集合有68个元素，是有限集，但元素个数较多，所以可用描述法表示；③中集合有无数个元素，是无限集，用描述法表示．

解：①设1和70组成的集合为A，则集合A中仅有两个元素，是有限集，用列举法可表示为A＝{1,70}．

②设大于1且小于70的自然数组成的集合为B，则集合B中有68个元素，用描述法可表示为B＝{x∈N|1＜x＜70}．

③设大于1且小于70的实数组成的集合为C，则集合C中有无数个元素，用描述法可表示为C＝{x∈R|1＜x＜70}．可简记为{1＜x＜70}．

【例4－2】下列四个集合中，表示空集的是________．

①{x∈N||x|＝5}；②{x|x＞2，且x＜1}；③{x|2x2＋3x－2＝0}；④{(x，y)|y2＝－x2}．

解析：空集是不含任何元素的集合．在①中由|x|＝5得x＝±5，又因为x∈N，所以x＝5，故①中集合含有一个元素5，不是空集；在②中，因为没有大于2且小于1的实数，所以②中集合是空集；在③中，因为方程2x2＋3x－2＝0的解是x＝－2或12x，所以③中集合有两个元素－2，12，不是空集；在④中，由y2＝－x2知，x2＋y2＝0，所以x＝y＝0，故④中集合有一个元素(0,0)，不是空集．

答案：②

5．集合中元素的“三性”问题