大学物理课后习题答案第六章大学物理第六章

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1 / 10 第6章 真空中的静电场 习题及答案

1。 电荷为q和q2的两个点电荷分别置于1xm和1xm处。一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？

解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q位于点电荷q的右侧，它受到的合力才可能为0,所以

200200)1(π4)1(π42xqqxqq

故 223x

2。 电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问：（1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?（2)这种平衡与三角形的边长有无关系？

解：（1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知，q为负电荷，所以

20220)33(π4130cosπ412aqqaq

故 qq33

（2）与三角形边长无关。

3. 如图所示，半径为R、电荷线密度为1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l、电荷线密度为2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。

解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强.在带电圆环上取dldq1，dq在带电圆环轴线上x处产生的场强大小为

)(4220RxdqdE

根据电荷分布的对称性知,0zyEE

23220)(41 cosRxxdqdEdEx

R

O 1

2

l

x y

z 大学物理课后习题答案第六章大学物理第六章

2 / 10 式中:为dq到场点的连线与x轴负向的夹角.

 23220)(4dqRxxEx

232210)(24RxRx232201)(2RxxR

下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dxdq2,dq受到的电场力大小为

dqEdFxdxRxxR2322021)(2

方向沿x轴正方向.

直线段受到的电场力大小为

dFFdxRxxRl02322021)(2

2/12202111RlRR2

方向沿x轴正方向。

4. 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为.求：

(1）圆心处O点的场强;

(2)将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O点场强。

解：（1）在半圆环上取Rdldqd，它在O点产生场强大小为

20π4RdqdEdR0π4 ，方向沿半径向外

根据电荷分布的对称性知，0yE

dRdEdExsinπ4sin0

RdREx000π2sinπ4

故 REEx0π2，方向沿x轴正向.

（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。 大学物理课后习题答案第六章大学物理第六章

3 / 10 5．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q,试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。

解:建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dxLqdxdq，dq在P点产生的场强大小为

202044xdxxdqdE，方向沿x轴负方向。

故 P点场强大小为

LddPxdxdEE204

Lddq04

方向沿x轴负方向。

6. 一半径为R的均匀带电半球面，其电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。

解:建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环,应用场强叠加原理求解。

在半球面上取宽度为dl的细圆环，其带电量rdldSdq2dRsin22，

dq在O点产生场强大小为(参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）

23220)(4rxxdqdE ,方向沿x轴负方向

利用几何关系，cosRx，sinRr统一积分变量，得

23220)(4rxxdqdE

dRRRsin2cos41230

dcossin20

因为所有的细圆环在在O点产生的场强方向均沿为x轴负方向，所以球心处电场强度的大小为

dEEdcossin22/0004

L d q P

x O

O R x

dl

r 大学物理课后习题答案第六章大学物理第六章

4 / 10 方向沿x轴负方向。

7。 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为,如图所示.试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强.

解：应用补偿法和场强叠加原理求解。

若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为的半径为R的带电圆盘，由场强叠加原理知,P点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。

“无限大”带电平面在P点产生的场强大小为

012σE，方向沿x轴正方向

半径为R、电荷面密度的圆盘在P点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）

022E)1(22xRx,方向沿x轴负方向

故 P点的场强大小为

220212xRxEEE

方向沿x轴正方向。

8。 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2）如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少？

解：（1)由高斯定理0dqSEs求解。立方体六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等，所以通过各面电通量为

06qe

（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a2的立方体，使q处于边长a2的立方体中心，则通过边长a2的正方形各面的电通量06qe

对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则024qe，如果它包含q所在顶点,则0e。

9。 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别 O R

x P •x

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5 / 10 为1和2,试求空间各处场强。

解:如图所示，电荷面密度为1的平面产生的场强大小为

012E，方向垂直于该平面指向外侧

电荷面密度为2的平面产生的场强大小为 022E，方向垂直于该平面指向外侧

由场强叠加原理得

两面之间，)(2121021EEE，方向垂直于平面向右

1面左侧,)(2121021EEE,方向垂直于平面向左

2面右侧,)(2121021EEE,方向垂直于平面向右

10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为1R和2R,电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为（0)。试求各区域的电场强度分布。

解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面.由高斯定理iSqSdE01得

iqrE0214

当1Rr时，0iq,所以

0E

当21RrR时，)3434(313Rrqi，所以

203133)(rRrE

当2Rr时，)3434(3132RRqi，所以 大学物理课后习题答案第六章大学物理第六章

6 / 10 2031323)(rRRE

11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为1R和2R（12RR），若大球面的面电荷密度为,且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度;（2)大球面内各点的电场强度。

解：（1）电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理iSqSdE01得

iqrE0214

当2Rr时，0E,0442122RRqi,所以

212)RR（

（2）当1Rr时，0iq,所以

0E

当21RrR时,222144RRqi，所以

022)rRE（

负号表示场强方向沿径向指向球心。

12. 一厚度为d的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为，求板内外的场强。

解：电场分布具有面对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到平板中心的距离均为x，底面圆的面积为S.由高斯定理iSqSdE01得

SSdEiqSESE010

当2dx时(平板内部）,Sxqi2，所以

0xE 大学物理课后习题答案第六章大学物理第六章

7 / 10 当2dx（平板外部）,Sdqi，所以

02dE

13。 半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为,求其场强分布。

解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l，底面圆半径为r，应用高斯定理求解。

iSqrlESE01π2d

(1） 当Rr时， lrqi2,所以

02rE

(2) 当Rr时，lRqi2,所以

rRE022

14.一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为,设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O点的电势。

解:取半径为r、dr的细圆环rdrdSdq2,则dq在O点产生的电势为

0024drrdqdV

圆盘中心O点的电势为

drdVVR00202R

15。 真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为l.两圆环均匀带电，电荷线密度分别是和。取两环的轴线为x轴,坐标原点O离两环中心的距离均为2l,如图所示。求x轴上任一点的电势。设无穷远处为电势零点。

解：在右边带电圆环上取dq，它在x轴上任一点P产生的的电势为

220)2/(4RlxdqdV

右边带电圆环在P产生的的电势为