人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系

3.1 不等关系与不等式（导学案）

（集美中学 杨正国）

一、学习目标

1、了解不等式与不等式组的实际背景；掌握常用不等式的基本基本性质；会将一些基本性质结合起来应用.

2、通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

二、本节重点

用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

三、本节难点

用不等式（组）正确表示出不等关系。

四、知识储备

“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质

① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有2200xx，，|x|0，-|x|0等.

② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.

③常用的不等式的基本性质 (1),(2)(3),0(4),0abbcacabacbcabcacbcabcacbc

五、通过预习掌握的知识点

实数的运算性质与大小顺序之间的关系

对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b是正数;如a

1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式。

例如：a>b，c>d，是同向不等式

异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，c

2．不等式的性质： (1),(2)(3),0(4),0abbcacabacbcabcacbcabcacbc

六、知识运用

①.比较233xx与的大小，其中xR.

②.比较当0a时，2222(21)(21)(1)(1)aaaaaaaa与的大小.

③.设实数,,abc满足22643,44,,,bcaacbaaabc则的大小关系是_____________.

④.配制,AB两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂B药需甲料5毫克，乙料4毫克。今有甲料20毫克，乙料25毫克，若,AB两种药至少各配一剂，则,AB两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2．1 等式性质与不等式性质

最新课程标准

1.梳理等式的性质．

2．理解不等式的概念．

3．掌握不等式的性质． 学科核心素养

1.能从等式的性质类比不等式的性质．(数学抽象)

2．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小．(数学运算)

3．掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质．(逻辑推理)

4．灵活运用不等式的基本性质解决求范围问题、证明不等式．(逻辑推理)

第1课时 不等关系与不等式

教材要点

要点一 不等式与不等关系

1．不等式的定义所含的两个要点

(1)不等符号________________或________．

(2)所表示的关系是________________．

2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换

文字

语言 大于 大于

等于 小于 小于

等于 至多 至少 不少于 不多于

符号

语言 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤

状元随笔 不等式a≥b或a≤b的含义

(1)不等式a≥b含义是指“a＞b, 或者a＝b\”，等价于“a不小于b\”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．

(2)不等式a≤b含义是指“a＜b，或者a＝b\”，等价于“a不大于b\”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．

要点二 比较两个实数a，b大小的依据

1．文字叙述

如果a－b是________，那么a＞b；

如果a－b________，那么a＝b；

如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．

2．符号表示

a－b＞0⇔a________b；

a－b＝0⇔a________b；

a－b＜0⇔a________b.

状元随笔 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等． 要点三 重要不等式

目录

不等关系与不等式 ................................................................................................. 错误!未定义书签。

考点1:不等关系与不等式 .....................................................................................................2

考点2:等式性质与不等式性质 ............................................................................................7

专题03 不等关系与不等式

考点1:不等关系与不等式

知识点一 基本事实

两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即a>b,a＝b,a

依据 如果a>b⇔a－b>0.

如果a＝b⇔a－b＝0.

如果a

结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小

思考 x2＋1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见．你能想个办法,比较x2＋1与2x的大小吗?

正确答案 作差:x2＋1－2x＝( x－1)2≥0,所以x2＋1≥2x.

知识点二 重要不等式

∀a,b∈R,有a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时,等号成立．

题型1:用不等式( 组)表示不等关系

例1 《铁路旅行常识》规定:

一、随同成人旅行,身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票( 以下称儿童票),超过1.5米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票．

……

十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……

不等关系与不等式

预习课本P72～74，思考并完成以下问题

(1)如何用不等式(组)来表示不等关系？

(2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法？

(3)不等式的性质有哪几条？

[新知初探]

1．不等式的概念

我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．

2．比较两个实数a，b大小的依据

文字语言 符号表示

如果a>b，那么a－b是正数；

如果a

如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然 a>b⇔a－b>0

a

a＝b⇔a－b＝0

3.不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔b

(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；

(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c；

推论(同向可加性)： a>bc>d⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性： a>bc>0⇒ac>bc； a>bc<0⇒ac

推论(同向同正可乘性)： a>b>0c>d>0⇒ac>bd；

(5)正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)；

(6)正数开方性：a>b>0⇒na>nb(n∈N*，n≥2)．

[点睛] (1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．

(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2( )

(2)若a

(3)若a>b，则ac>bc一定成立( )

(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d( )

解析：(1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．

(2)正确．不等式a≤b表示a

(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由a>b，则ac>bc不一定成立，故此说法是错误的．