北师大版八年级数学下册专题-1.1

2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】

专题1.1等腰三角形的性质

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2020秋•长春期末)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为( )

A．30° B．25° C．15° D．10°

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB，再根据等腰三角形的性质求出∠BCD，再根据角的和差关系即可求解．

【解析】在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，

∴∠ACB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，

∵BD＝BC，

∴∠BCD＝(180°﹣60°)÷2＝60°，

∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝75°﹣60°＝15°．

故选：C．

2．(2020秋•建华区期末)下列四个说法：

①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；

②等腰三角形的两腰上的中线长相等；

③等媵三角形的高、中线、角平分线互相重合；

④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25．

其中正确的个数为( )

A．1个 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形性质即可判断①，画出图形证△BDC≌△CEB，即可判断②，根据直角三角形性质即可判断根据等腰三角形的三线合一性质即可判断③，根据三角形的三边关系定理即可判断④．

【解析】如图1，∵在△ABD中，∠BDA＝90°，则AC＝AB≥BD，

∴等腰三角形的腰一定大于或等于其腰上的高，故①错误；

如图2，∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，

∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．

在△BDC和△CEB中，

{𝐵𝐶=𝐵𝐶∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐶𝐵𝐸𝐶𝐷=𝐵𝐸，

∴△BDC≌△CEB(SAS)．

∴BD＝CE，故②正确；

∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故③错误；

∵等腰三角形的一边长为5，一边长为10，

∴只能三边是10，10，5，

∴它的周长是25，故④错误．

故选：A．

3．(2020秋•喀什地区期末)下列说法错误的是( )

A．等腰三角形的两个底角相等

B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等

D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍 【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．

【解析】A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；

B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；

C.

过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，

∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，

∴OM＝ON，ON＝OQ，

∴OM＝ON＝OQ，

即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；

D.

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠EAC＝∠B+∠C，

∴∠EAC＝2∠B，

即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；

故选：B．

4．(2020秋•香坊区期末)等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为( )

A．10 B．13 C．17 D．13或17

【分析】①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，②当等腰三角形的三边长是3，7，7，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合，求出三角形的周长即可．

【解析】①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形； ②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；

综合上述：三角形的周长是17，

故选：C．

5．(2020秋•武都区期末)已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是( )

A．65°，65° B．80°，50°

C．65°，65°或80°，50° D．不确定

【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，分为两种情况：①当底角∠B＝50°时，②当顶角∠A＝50°时，根据∠B＝∠C和三角形的内角和定理求出即可． 【解析】

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，

∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；

②当顶角∠A＝50°时，

∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，

∴∠B＝∠C=12×(180°﹣∠A)＝65°；

即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，

故选：C．

6．(2020秋•肇州县期末)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为( )

A．20° B．22.5° C．25° D．30° 【分析】可设∠C＝x，根据等腰三角形的性质可得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质可得∠EDB＝25°+12x，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠A＝12.5°+14x，再根据三角形内角和为180°，列出方程即可求解．

【解析】设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质得∠EDB＝25°+12x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A＝12.5°+14x，

依题意有12.5°+14x+x+130°＝180°，

解得x＝30°．

故选：D．

7．(2020秋•崆峒区期末)如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于( )

A．54° B．60° C．72° D．76°

【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质，由角的和差关系可求∠BCO，再根据等腰三角形的性质可求∠B．

【解析】∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A＝36°，

∵BC∥AO，

∴∠BCA＝∠A＝36°，

∴∠BCO＝72°，

∵OB＝OC，

∴∠B＝72°．

故选：C．

8．(2020秋•松桃县月考)若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为( )

A．40° 100° B．70° 70°

C．40° 100°或70° 70° D．以上都不对

【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解． 【解析】①当这个角为顶角时，底角＝(180°﹣40°)÷2＝70°；

②当这个角是底角时，底角＝40°，顶角为180°﹣2×40°＝100°；

综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．

故选：C．

9．(2020秋•西湖区校级期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝α，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE的大小为( )

A．α B．34𝛼 C．23𝛼 D．12α

【分析】由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，则{𝑥+𝑧=𝛼𝑥=𝑧+2𝑦，解得y+z＝35°，由此即可解决问题．

【解析】∵AB＝BD，AC＝CE，

∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，

设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，

则{𝑥+𝑧=𝛼𝑥=𝑧+2𝑦，

解得y+z=12α，

∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE=12𝛼；

故选：D．

10．(2020秋•江州区期中)已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为( )

A．5cm B．10cm C．11cm D．5cm或11cm

【分析】根据分成的两个部分的周长的差等于腰长与底边的差，再分两种情况求出腰长，然后根据三角形的三边关系判断即可．

【解析】设腰长为xcm，

根据题意得x﹣8＝3或8﹣x＝3，

解得x＝11或x＝5， 当x＝11时，三角形的三边分别为11cm、11cm、8cm，能组成三角形，

当x＝5时，三角形的三边分别为5cm、5cm、8cm，能组成三角形．

综上所述，腰长为5cm或11cm．

故选：D．

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上

11．(2020秋•沙河口区期末)等腰三角形两边长分别为2cm，5cm，该三角形的周长是 12cm ．

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解析】当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，舍去；

当腰长是5cm时，因为2+5＞5，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．

故答案为：12cm．

12．(2020秋•南关区期末)如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝CD．若∠BAD＝40°，则∠C的大小为 35 度．

【分析】在△ABD中利用等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠ADB的度数，然后利用∠ADB是三角形ADC的一个外角即可求得答案．

【解析】∵AB＝AD，∠BAD＝40°，

∴∠B＝∠ADC=12(180°﹣40°)＝70°，

∵在三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，

∴∠BDA＝∠DAC+∠C，

又∵AD＝CD，

∴∠C＝∠DAC，

∴∠C=12×70°＝35°，

故答案为：35．

13．(2020秋•讷河市期末)已知等腰三角形的一个外角等于130˚，则它的顶角等于 50˚或80˚ ．