22．2 二次函数与一元二次方程
1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．
2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．
3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．
一、情境导入
如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次方程
【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断
下列函数的图象与x只有一个交点的是( )
A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1
解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.
【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．
解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.
方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．
【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )
A．0 B．0或2
C．2或－2 D．0，2或－2
解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．由(m＋2)2－4m(12m＋1)＝0，解得m＝2或－2，当m＝0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．
22.2 二次函数与一元二次方程
一、教学目标
1．经历探索二次函数与一元二次方程联系的过程，使学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系．
2．使学生掌握用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式Δ＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数．
3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想．
二、教学重难点
重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题．
难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想．
教学过程（教学案）
一、情境引入
1.提出问题：同学们一起回忆一下，我们在学习一次函数时，从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系，那么二次函数与一元二次方程之间是否也有联系呢？
2.回忆旧知：同学们还记得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是什么吗？你是如何确定一元二次方程解的个数的？
3.教师过渡：实际上，二次函数与一元二次方程是亲密联系的，今天我们要来探索它们之间的联系，揭开二次函数与一元二次方程之间的秘密．
二、互动新授
1.教学P43“问题”
（1）出示“问题”
（2）提出问题，学生思考讨论
①小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的关系式是什么？(h＝20t－5t2.)
②小球的飞行高度达到15m，这“15m”对应解析式中的哪个字母？
（3）教师分析： 由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
（4）师生合作探究，共同解答.
2.学生合作交流： 二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系是什么？
教师总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系密切．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m.反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m，求自变量x的值．
二次函数与一元二次方程（一）
[预习自测]
例1．求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根
例2．如图，是一个二次函数y=f(x)的图象。
(1)写出这个二次函数的零点；
(2)写出这个二次函数的解析式；
(3)试比较f(-4)f(-1),f(0)f(2)与0的大小关系。
例3．二次函数f(x)= ax2+bx+c (x R)的部分对应值如下：
X -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
不求a,b,c的值，可判断ax2+bx+c=0的两根所在区间是 （ ）
A（-3，-1）（2，4）B（-3，-1）（-1，1） C（-1，1）（1，2）D（-，-3）（4，+）
例4．若方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是 （ ）
A a<-1 B a>1 C –1
[课内练习]
1．函数f(x)= x2-3x-4的零点是 （ ）
A 1，-4 B 4，-1 C 1，3 D 不存在
2．函数f(x)=x-x4的零点的个数是 （ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 无数个
3．已知函数f(x)= mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 （ ）
A （ 0，1 ） B (0,1] C （-，1） D(,1]
4． 关于x的方程|x2-4x+3|-a=x有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________.
一元二次方程与二次函数测试题 姓名_____________学号____________
一、选择题
1. 方程𝑥2+6𝑥−5=0的左边配成完全平方后所得方程为( )
A. (𝑥+3)2=14 B. (𝑥−3)2=14 C. (𝑥+3)2=4 D. (𝑥−3)2=4
2、𝑥=1是关于x的一元二次方程𝑥2+𝑎𝑥+2𝑏=0的解，则2𝑎+4𝑏的值等于( )
A. −2 B. −3 C. −1 D. −6
3、关于二次函数𝑦=2𝑥2−3，下列说法正确的是( )
A. 图象开口向下 B. 图象经过点（2，3） C. 图象的对称轴是直线𝑥=1 D. 最小值是−3
4、若二次函数𝑦=𝑎𝑥2的图象经过点𝑃(2,4)，则该图象必经过点( )
A. (−2,−4) B. (−2,4) C. (−4,2) D. (4,−2)
5、若点𝑃(−3,𝑦1)，𝑄(2,𝑦2)都在抛物线𝑦=−𝑥2+1上，则𝑦1与𝑦2的大小关系是( )
A. 𝑦1>𝑦2 B. 𝑦1=𝑦2 C. 𝑦1<𝑦2 D. 无法确定
二、填空题
6、方程022xx的解为___________
7、已知𝑥=2是关于x一元二次方程𝑥2+𝑘𝑥−6=0的一个根，则另一根是______．
8、若关于x的一元二次方程022mxx有两个不相等的实数根，则m的取值范围为____________
9、若1x，2x为方程0132xx的两个根，则____________2221xx
10、若二次函数𝑦=𝑎𝑥2的图象经过点(−1,2)，则二次函数𝑦=𝑎𝑥2的解析式是______________．
11、把抛物线𝑦=𝑥2向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式为______________．
