等比数列概念及性质

等比数列的概念：

一、观察下列数列：

（1）细胞分裂个数可以组成下面的数列：1，2，4，5，„；

（2）我国古代学者提出：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”，那么得到的数列是,161,81,41,21,1；

（3）一种通过电子邮件传播的计算机病毒，假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列为1，20，202，203，204，„；

（4）某人存入银行10000元，年利率是1.98%，按复利计算，5年内各年末得到的本利和分别是：10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10000×1.01985。

二、等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么该数列叫做等比数列，其中常数叫等比数列的公比，记做q。

即：qaann1（常数）

注：（1）在等比数列中，任何一项都不能力0，公比也不能为0；

（2）常数列一定是等差数，但不一定是等比数列。

三、等比数列的通项公式：

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为：an=a1qn-1，n∈N+„„第一通项公式

证明：法一：（归纳法）

法二：（累乘法）

法三：（迭代法）

注：第二通项公式：an=amqn-m，m，n∈N+

四、等比中项：

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，且baG

注：（1）任意两个实数一定有唯一的一个等差中项，而不一定有等比中项；

（2）只有当a，b同号，即ab>0，a与b才有等比中项，而且有两个，它们互为相反数；

若ab≤0，则a与b没有等比中项。

（3）在等比数列中，除首末两项外，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项。

五、典例分析：

例1：某等差数列首项不等于0，且第1，2，4项成等比数列，试证该数列的第4，6，9项也成等比数列；

1

教学内容

【知识结构】

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：1nnaa=q（q≠0）

1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

｛na｝成等比数列nnaa1=q（Nn,q≠0

2 隐含：任一项00qan且

“na≠0”是数列｛na｝成等比数列的必要非充分条件．

3 q= 1时，{an}为常数

2.等比数列的通项公式1: )0(111qaqaann

3.等比数列的通项公式2: )0(11qaqaammn

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

5．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±ab（a,b同号）

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则abGabGGbaG2，

反之，若G2=ab,则GbaG，即a,G,b成等比数列

∴a,G,b成等比数列G2=ab（a·b≠0）

6．等比数列的性质：若m+n=p+k，则kpnmaaaa

在等比数列中，m+n=p+q，kpnmaaaa,,,有什么关系呢？

由定义得：11n11 nmmqaaqaa 11k11 kppqaaqaa

2 221nmnmqaaa ，221kpkpqaaa

则kpnmaaaa

7．等比数列的增减性：当q>1, 1a>0或01, 1a<0,或00时, {na}是递减数列;当q=1时, {na}是常数列;当q<0时, {na}是摆动数列;

【热身练习】

求下列各等比数列的通项公式：

1.1a=2, 3a=8 2.1a=5, 且21na=3na 3.1a=5, 且11nnaann

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学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：

课 题 等比数列的概念及性质

授课日期及时段

教学目标

1、理解并掌握等比数列的概念，等比中项的概念；

2、掌握等比数列通项公式的求法；

3、掌握等比数列前n项和公式；

4、掌握等比数列的几种等价形式；

5、理解并掌握等比数列的重要性质。

教学内容

☆、知识点梳理

一、等比数列

（1）等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这样的数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母q表示.

【注意】

公比0q，也即等比数列中任意一项都不为0。

（2）等比中项

与等差中项的概念类似，如果bGa,,成等比数列，那么G叫做ba与的等比中项.

等比中项的性质：

① 如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的乘积.

② 在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项.

③ 以G为等比中项的三个数可表示为：,,GGGqq，体现了和谐性与对称性。 中国领先的中小学教育品牌

一、选择题

1. 下列命题正确的个数是（ ）

①公比1q的等比数列的各项均大于1；

②常数列是公比为1的等比数列；

③若,,abc成等比数列，则2bac；

④ lg2n是等差数列而不是等比数列.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 已知na是公比为q的等比数列，则这个数列的通项公式为（ ）

A. 23nnaqq B. 13nnaqq C. 33nnaqq D. 43nnaqq

3. 等比数列na中，11,28aq，则48aa与的等比中项是（ ）

A. 4 B. 4 C. 14 D. 14

4. na, nb是项数相同的等比数列，则下列数列：①nnab；②nnab；③

(0)ncac；④(0)nncabc；⑤nnab中，等比数列有（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 若实数,,abc成等比数列，则函数2()fxaxbxc的图象与轴交点的个数（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定

6. 如果19abc﹣，，，，﹣成等比数列，那么（ ）

A.39bac， B. 39bac， C. 39bac， D. 39bac，

7. 数列na的通项公式为*12()()3nnanN，则数列na是（ ）

A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列