河北省高三数学上学期第二次模拟考试试题理

河北省唐山市2014届高三第二次模拟考试数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知a R ∈，若12aii+-为实数，则a =（ ） A ．2 B ．-2 C ．12- D ．122.已知命题P ：函数|1|x y e -=的图像关于直线1x =对称，q ：函数cos(2)6y x π=+的图像关于点(,0)6π对称，则下列命题中的真命题为（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∨⌝答案 A 解析试题分析：函数|1|x y e -=的图像如图所示：由图形可知图像关于直线x=1对称，所以命题P正确；考点：1.函数图象；2.命题的真假判断.3.设变量,x y 满足||||1x y +≤，则2x y +的最大值和最小值分别为（ ） A ．1，-1 B ．2，-2 C ．1，-2 D ．2，-14.执行下面的程序框图，若输出的S 是2047，则判断框内应填写（ ） A ．9?n ≤ B ．10?n ≤ C ．10?n ≥ D ． 11?n ≥+=，则tanα=（）5.已知sinααA B C．D．6.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()2f π=（ ）A ．B ．C D7.将6名男生、4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ）A ．240种B ．120种C ．60种D ．180种8.直三棱柱111ABC A B C -的球面上，AB AC ==，12AA =，则二面角1B AA C --的余弦值为（ ）A ．13-B ．12-C ．13D ．129.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B ． C D10.若正数,,a b c 满足24288c bc ac ab +++=，则2a b c ++的最小值为（ ）A B ． C ．2 D ．考点：函数的最值.11.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1[,1)2 B ． C ． D ．12.若不等式12(1)(1)lg(1)lg x x x xn a n x n n+++-+-≥-对任意不大于1的实数x 和大于1的正整数n 都成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞ B ．(,0]-∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,]2-∞试题分析：∵不等式12(1)(1)lg (1)lg x x x xn a n x n n+++-+-≥-对任意不大于1的实数x 和大于1的第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布2(10,0.1)N ，任取一袋大米，质量不足9.8kg 的概率为 .（精确到0.0001） 注：()0.6826p x μσμσ-<≤+=，(22)0.9544p x μσμσ-<≤+=， (33)0.9974p x μσμσ-<≤+=14.已知向量(2,1)a =，(1,2)b =-，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且5()()2c a c b -∙-=-，则向量c 的坐标为 .考点：向量的运算.15.已知12,F F 为双曲线22:13y C x -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =， 则12cos F PF ∠= .16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且090A C -=，则cos B = .三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22）、（23）、（24）题为选考题.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，31015a a +=，且2511,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设121111n n n n b a a a +-=+++，证明：112n b ≤<.18.（本小题满分12分）甲向靶子A射击两次，乙向靶子射击一次.甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分.（1）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；（2）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望.【答案】（1）0.18；（2）详见解析.【解析】19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD PC⊥，E是PA的中点.（1）求证：平面PAC⊥平面EBD；（2）若PA=AB=2，直线PB与平面EBD所成角的正弦值为14，求四棱锥P-ABCD的体积.试题解析：（Ⅰ）因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BD．20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆22:(2)1C x y -+=的两条切线，切点为A 、B ，||AB =（1）求抛物线E 的方程； （2）过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P 、Q ，若P ，Q ，O （O 为原点）三点共线，求点N 的坐标.因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，32s ．21. （本小题满分12分）已知函数2()ln f x x x ax =--，a R ∈.（1）若存在(0,)x ∈+∞，使得()0f x <，求a 的取值范围；（2）若()f x x =有两个不同的实数解,(0)μνμν<<，证明：'()12f μν+>.又'1()2f x x a x=--，所以请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF=FG.∆∆；（2）EF//CB求证：（1）DEF EAF23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，2BP PA =，点P 的轨迹为曲线C.（1）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程；（2）求点P 到点(0,2)D -距离的最大值24. （本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数()|||3|,f x x a x a R =--+∈.（1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤，求a 的取值范围.。

2024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （ ）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（ ） A ．1B ．1−C ．iD ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得60分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN 的最小值是6 B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a−=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ）A ． 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B． 若E E 的实轴长为1C ． 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ． 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e = (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{13x x −<≤B ．{1x x >− C.{1x x ≤−,或}3x >D ．{3x x >【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可， 【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤−，又{}1B x x =>−R 则(){}1A B x x ∪=>−R ，故选：B.A ．1B ．1−C ．iD ．i −【答案】D【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=−+，又因为2z 为纯虚数，所以2220a b ab −= ≠，即0a b =≠（舍）或0a b =−≠， 所以i z a a =−，所以i z a a =+， 所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z −−−====−+++−. 故选：D3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A. jB. j −C. 2jD. 2j −【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t −−=，求得2t =−，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b j jj j+⋅⋅ ，计算即可得解. 【详解】由向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a与b共线，则240t −−=，所以2t =−，(1,2)a b +=−，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为： ()(1,2)(0,1)21a b j j j j j j+⋅−⋅⋅=⋅=， 故选：C4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>， 当a<0时，由1ab >，得10b a<<； 所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件. 因为01010a b ab a a>>>⇔− > ，所以1ab >， 所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.录用3人，有 353360C A = 种情况；录用4 人，有 4232354333162C C A C A −=种情况；录用 5 人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A −+−=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A. ()5,11,3 −−∪−+∞B. [)5,1,3−∞−∪+∞C. (][) ,21,−∞−∪+∞D. [)()2,11,−−−+∞【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥°，由此可求解. 【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a −+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=°.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形， 则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥°，故1sin sin 302r MPDPD ∠=≥°=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +−≥，解得[)5,1,3a∈−∞−∪+∞.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 6πC. 8πD. 9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥−P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ，∴sin PA PQ θ==≤PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1， 直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°， 所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°， 则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径R OB =，∴三棱锥−P ABC 的外接球的表面积224π4π6πS R ==×=．故选：B ．8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相【分析】由椭圆标准方程求得,a b 后再求得c ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a =2b =，则c ，离心率为e =A 正确；当长方形G 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，因此蒙，圆方程为2210x y +=，B 正确； 设矩形的边长分别为,m n ，因此22402m n mn +=≥，即20mn ≤，当且仅当m n =时取等号，所以长方形G 的面积的最大值是20，此时该长方形G 为正方形，边长为C 正确，D 错误． 故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的【分析】A ，根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断；B ，由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +；C ，D ，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A ，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >， 因为这些MN 倾斜角不为0， 则设直线MN 的方程为32x ky =+，联立抛物线得2690y ky −−=， 则12126,9y y k y y +=⋅=−，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=， 则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确； 对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小， 即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确； 对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误； 对D ，1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ） A. 若E的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若EE 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅= D. 当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===，故A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a ==， 解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=°，则122221224PF PF a PF PF c −=+=， 整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=−==⋅=，故C 正确； D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF a QF QF a −=−= ，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +−=+=+， 所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥， 当且仅当84a a=，即a = 所以1F PQ周长的最小值为D 正确. 故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ）【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =− ，根据数量积为0得到BC m ⊥ ，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =−=− ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误； B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z −−−−=，即224222x xy y z z =− =− −=−，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ， 设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⋅=⋅=++=⋅=⋅=+= ， 令1a =，则0,1b c ==−，则()1,0,1m =−， 因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=−= ，故BC m ⊥ ，BC //平面1APB ， 故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =，故1A F 与平面1B EB则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⋅⋅−+− ⋅=⋅−=−+= ， 令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n = ， 则点1B 到平面1A EFD 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240 【解析】【详解】因为二项式nx+ 的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x+，则二项式展开式的通项3662166C C 2r r r r r rr T x x −−+=， 令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r −−++ ≥ ≥ ，解得111433r ≤≤， 因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x −×==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+′.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ′′=−⇔++=−()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +−⇔++−=12cos cos 1,0x x a ⇔=−=±=.故答案为014. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+ 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D Ay y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =−时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论． 【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =−，圆()22114x y +−=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =−=+=−=+，当l y ⊥轴时，则1A Dy y ==，所以113131622AB CD+=+++=； 当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =−，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n −++=， 所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。

河北省邢台市2014届高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一． 选择题：（每小题5分，共60分.下列每小题所给出选项只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.） 1.设全集U R =，集合{}14A x x =<<，{}1,2,3,4,5B =,则()C A B ⋃⋂等于( )A.{}2,3B.{}1,2,3,4C.{}5D.{}1,4,5 2.复数z 满足方程123ii z +=--（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为( )A.24B.30C.36D.404.已知()2,M m 是抛物线()220y px p =>上一点，则“1p ≥”是“点M 到抛物线焦点的距离不少于3”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知x 、y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为( )A.6-B.5C.10D.10-6.将函数()cos f x x x =-的图象向左平移m 个单位()0m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 ( )A.23πB.3πC.8πD.56π7.按下列程序框图来计算：如果输入的，应该运算的次数为( )A.3B.4C.5D.68. 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )A.112π B.1162π+ C.11πD.112π+9.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有 ( )A.48种B.72种C.78种D.84种 10.在正四棱锥1111ABCD A B C D -中，2AB =,1AA =点A 、B 、C 、D 在球O 上，球O 与1BA ，的另一个交点为E ，与1CD 的另一个交点为F ，且1AE BA ⊥，则球O 表面积为 ( )A.6πB.8πC.12πD.16π11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且与渐近线b y x a =-平行的直线分别与双曲线的右支和另一条渐近线交于A 、B 两点，且FA AB =，则双曲线的离心率为 ( )A. 32212.已知函数()()2111x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意的*x N ∈，()3f x ≥恒成立，则a 的最小值等于 ( )A. 83- B.3-C.3-D.6-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()1,2a =-，()2,b x =，(),3c m =-，且//a b ，b c ⊥则x m += . 14. 若()5234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a = .15.已知函数()1,0112,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，设0a b >≥，若()()f a f b =，则()b f a 的取值范围是 = . 16. 如图，在ABC ∆中，sin2ABC ∠=2AB =,点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =则BC = .三、解答题17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32n n S a n =+ （1） 求证：数列{}2n a -是等比数列； （2） 求数列23n n a ⎧⎫⎨⎬⨯⎩⎭的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动.（1）试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会；若中一等奖，则获得数额为m 元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m 元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m 元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖的概率都是13，请问：商场将奖金数额m 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===,D 为AB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1DCA ；（2）求二面角11D CA C --的平面角的余弦值.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为点()3,1-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若动点P 在直线:l x =-P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，证明：直线`l 恒过定点，并求出该定点的坐标.21.（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1f x b x x x =+-+，斜率为1的直线与函数()f x 的图象相切于()1,0点.（1）求()()ln h x f x x x =-的单调区间；（2）当实数01a <<时，讨论()()()21ln 2g x f x a x x ax =-++的极值点.请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时请在答题卡涂上题号.22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O 的半径为2，AB 是直径，CD 是线，直线CD 、交AB 的延长线于P ，AE AC =,ED 交AB 于点F .（1）求证：PF PO PB PA ⋅=⋅； （2）若2PB BF =，试求PB 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆M 的参数方程为13cos 23sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(其中θ为参数) （1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线l 与圆M 相交于A 、B 两点，求直线 AM 与BM 的斜率之和.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数231x -≤的解集为[],m n . （1）求m n +的值； （2）若x a m-<求证：1x a <+.参考答案(理科)1.D 因为U A ＝{x |x ≤1或x ≥4}，所以(U A )∩B ＝{1，4，5}． 2．A 由1＋2i z －3＝－i ，得z －3＝1＋2i－i ＝－2＋i ，则z ＝1＋i.所以选A.3．Ck k ＋8＝24120，得k ＝2，∴C 种型号产品抽取的件数为120×310＝36. 4．B 若点M 到抛物线焦点的距离不少于3,则2+p2≥3,解得p ≥2,故选B. 5．A 画出可行域易知在点(3，－3)处有最小值－6. 6．A 因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)，所以f (x )＝2sin(x ＋m －π6)为偶函数，故m －π6＝2k ＋12π(k ∈Z )，从而m 的最小值为2π3. 7．C 第一次循环，x ＝3x －2＝28，不满足条件x ＞2014，再次循环； 第二次循环，x ＝3x －2＝82，不满足条件x ＞2014，再次循环； 第三次循环，x ＝3x －2＝244，不满足条件x ＞2014，再次循环； 第四次循环，x ＝3x －2＝730，不满足条件x ＞2014，再次循环； 第五次循环，x ＝3x －2＝2188，满足条件x ＞2014，结束循环， 因此循环次数为5次．8．D 由三视图可知，此几何体为半个圆台，由图中数据可知，上下底面半径分别为1，2，母线长为2，高为3，故该几何体的表面积为S ＝12[π×12＋π×22＋π(1＋2)×2]＋12()2＋4×3＝11π2＋3 3.9．A 先把两个穿红衣服的人和穿蓝衣服的人排成一排，再用插空法把穿黄衣服的两人排入，有A 33A 24＝72种排法，其中两个穿红衣服的人排在一起的排法有A 23A 22A 22＝24种情况，则满足要求的排法共有72－24＝48种．10．B 连结EF ，DF ，易证得BCFE 是矩形，则三棱柱ABE －DCF 是球O 的内接直三棱柱，∵AB ＝2，AA 1＝23，∴tan ∠ABA 1＝3，即∠ABA 1＝60°，又AE ⊥BA 1，∴AE ＝3， BE ＝1，∴球O 的半径R ＝1222＋12＋（3）2＝2，则球O 表面积S ＝4π(2)2＝8π.11．B ∵直线AB 与渐近线y ＝－bax 平行，∴∠BOF ＝∠BFO (O 为坐标原点)，设F (c ，0)，则点B 坐标为(c 2，bc 2a )，∵FA →＝AB →，∴点A 是BF 的中点，即A (3c4，bc 4a )，将点A 的坐标代入到双曲线方程得9c 216a 2－b 2c 216b 2a 2＝1⇒e ＝ 2. 12．A x ∈N *时，不等式f (x )≥3可化为a ≥－x －8x ＋3，设h (x )＝－x －8x ＋3，则h ′(x )＝－1＋8x 2＝－x 2＋8x 2，当x ∈(0，22)时，h ′(x )＞0，当x ∈(22，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以x ∈N *时，h (x )max ＝{h (2)，h (3)}max ＝－83，所以x ∈N *，f (x )≥3恒成立，只需a ≥－83即可．13．－10 ∵a ∥b ，∴x ＝－4，又∵b ⊥c ，∴2m ＋12＝0，即m ＝－6，∴x ＋m ＝－10.14．80 由题可知a 3为x 3的系数，根据二项式的通项公式有T r ＋1＝C r 5(2x )r＝C r 52r x r ，令r ＝3，得到x 3的系数为C 3523＝80.15．[34，2) 画出函数图象如图所示，由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )同时成立，12≤b <1，bf (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝(b ＋12)2－14∴34 ≤b ·f (a )<2.16．3 由sin ∠ABC 2＝33，得cos ∠ABC ＝13， 在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，由余弦定理得：9b 2＝a 2＋4－43a ，①又由∠ADB 与∠CDB 互补，∴cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，即4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b，化简得3b 2－a 2＝－6，②解①②得a ＝3，b ＝1，即BC ＝3.17．解：(1)由S n ＝3a n ＋2n ，得S n ＋1＝3a n ＋1＋2(n ＋1)，以上两式相减得a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ＋2，即a n ＋1＝32a n －1，所以a n ＋1－2＝32(a n －2)．又因为S 1＝a 1＝3a 1＋2，所以a 1＝－1，a 1－2＝－3.故数列{a n －2}是以－3为首项，32为公比的等比数列．(6分)(2)由(1)得a n －2＝－3×(32)n －1，所以a n ＝2－3×(32)n －1. 所以a n 2×3n ＝13n －12n ， 所以T n ＝13（1－13n ）1－13－12（1－12n ）1－12＝12n －12×3n －12.(12分) 18．解：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有C 38种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 36种．所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P (A )＝1－C 36C 38＝914.(5分)(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量X ，其所有可能的取值为0，m ，3m ，6m (单位：元)．X ＝0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P (X ＝0)＝(1－13)3＝827；同理，P (X ＝m )＝C 13×(1－13)2×13＝49；P (X ＝3m )＝C 23×(1－13)1×(13)2＝29； P (X ＝6m )＝C 33×(13)3＝127.顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E (X )＝0×827＋m ×49＋3m ×29＋6m ×127＝43m .由43m ≤100，解得m ≤75.故m 最高定为75元，才能使促销方案对商场有利．(12分)19．(法一)(1)证明：如图一，连结AC 1与A 1C 交于点K ，连结DK . 在△ABC 1中，D 、K 分别为AB 、AC 1的中点， ∴DK ∥BC 1.(3分)又DK ⊂平面DCA 1， BC 1⊄平面DCA 1， ∴BC 1∥平面DCA 1.5分(2)解：二面角D －CA 1－C 1与二面角D －CA 1－A 互补． 如图二，作DG ⊥AC ，垂足为G ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，∴DG ⊥平面ACC 1A 1. 作GH ⊥CA 1，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥CA 1， ∴∠DHG 为二面角D －CA 1－A 的平面角.(8分) 设AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，在等边△ABC 中，D 为中点，∴AG ＝14AC ，在正方形ACC 1A 1中，GH ＝38AC 1，∴DG ＝32，GH ＝38×22＝342，∴DH ＝304.∴cos∠DHG＝GHDH＝324304＝155.(11分)∴所求二面角的余弦值为－155.(12分)图一图二图三(法二)(1)证明：如图三，以BC的中点O为原点建立直角坐标系O－xyz，设AB＝BC＝CA＝AA1＝2.则A(0，0，3)，D(12，0，32)，B(1，0，0)，A1(0，2，3)，C(－1，0，0)，B1(1，2，0)，C1(－1，2，0)．设n＝(x，y，z)是平面DCA1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n·CD→＝0，n·CA1→＝0，又CD→＝(32，0，32)，CA1→＝(1，2，3)，∴⎩⎨⎧3x＋z＝0，x＋2y＋3z＝0.令x＝1，则z＝－3，y＝1，∴n＝(1，1，－3).(3分)∵BC1→＝(－2，2，0)，∴n·BC1→＝－2＋2＋0＝0.又BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1.(5分)(2)解：设m＝(x1，y1，z1)是平面CA1C1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m·CC1→＝0，m·CA1→＝0.又CC1→＝(0，2，0)，CA1→＝(1，2，3)，∴⎩⎨⎧y1＝0，x1＋3z1＝0.令z1＝1，则x1＝－3，∴m＝(－3，0，1).(8分)∴cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝－2325＝－155.(11分)∴所求二面角的余弦值为－155.(12分)20．解：(1)由题意知点(3，－1)在椭圆C 上，即9a 2＋1b 2＝1, ①又椭圆的离心率为63，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝(63)2＝23，②联立①②可解得a 2＝12，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(5分)(2)因为直线l 的方程为x ＝－22，设P (－22，y 0)，y 0∈(－233，233)， 当y 0≠0时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然x 1≠x 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2112＋y 214＝1，x 2212＋y 224＝1，则x 21－x 2212＋y 21－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2y 1＋y 2， 又PM ＝PN ，即P 为线段MN 的中点，故直线MN 的斜率为－13·－22y 0＝223y 0，又l ′⊥MN ，所以直线l ′的方程为y －y 0＝－3y 022(x ＋22)， 即y ＝－3y 022(x ＋423)， 显然l ′恒过定点(－423，0)；当y 0＝0时，直线MN 即x ＝－22，此时l ′为x 轴亦过点(－423，0)．综上所述，l ′恒过定点(－423，0)．(12分)21．解：(1)由题意知：f ′(x )＝b (ln x ＋x ＋1x )－1，f ′(1)＝2b －1＝1，b ＝1，h (x )＝f (x )－x ln x －x ＋1，h ′(x )＝1x －1，h ′(x )＝1x －1＞0，解得0＜x ＜1.h ′(x )＝1x－1＜0，解得x ＞1.所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．（6分）(2)g (x )＝f (x )－(a ＋x )ln x ＋12ax 2＝(1－a )ln x ＋12ax 2－x ＋1，∴g ′(x )＝1－a x ＋ax－1＝ax 2－x ＋1－a x ＝[ax －（1－a ）]（x －1）x ＝a [x －（1a －1）]（x －1）x，由g ′(x )＝0得：x 1＝1a －1，x 2＝1.①若0＜1－1＜1，a＞0即1＜a＜1，0＜x1＜x2，此时g(x)的最小值点为x＝1，极大值点x＝1a－1.②若1a－1＝1，a＞0即a＝12，x1＝x2＝1，则g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点．③若1－1＞1，a＞0即0＜a＜1，x1＞x2＝1，此时g(x)的极大值点为x＝1，极小值点x＝1 a.综上所述：当12＜a＜1时，g(x)的极小值点为x＝1，极大值点x＝1a－1；当a＝12时，g(x)无极值点；当0＜a＜12，g(x)的极大值点为x＝1，极小值点为x＝1a－1.（12分）22．解：(1)∵AE＝AC，∴∠EDC＝∠AOC, ∴∠POC＝∠FDP，∠P是公共角，∴△POC∽△PDF，∴POPC＝PDPF，∴PD·PC＝PF·PO，∵PD·PC＝PB·P A，∴PF·PO＝PB·P A.（5分）(2)∵PB＝2BF，∴设PB＝x，则BF＝12x，PF＝32x.又∵⊙O半径为2，∴PO＝x＋2，P A＝x＋4.由(1)知PF·PO＝PB·P A，故32x(x＋2)＝x(x＋4)，解得x＝2，x＝0(舍去)．∴PB＝2.（10分）23．解：(1)∵ρsin(π4－θ)＝ρ(sinπ4cos θ－cosπ4sin θ)＝2，∴22ρcos θ－22ρsin θ＝2，∴其直角坐标方程为x－y－2＝0.（5分）(2)将圆M的参数方程代入直线方程x－y－2＝0，得1＋3cos θ＋2－3sin θ－2＝0，即sin θ－cos θ＝1 3，两边平方整理得sin θcos θ＝49，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝49， ∴4tan 2θ－9tan θ＋4＝0，∴k AM ＋k BM ＝－－94＝94.（10分）24．解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1 得1≤x ≤2，（3分）∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.（6分）(2)若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.（10分）。

唐山市2023年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数 学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－2}，B ＝{x |－4＜x ＜0}，则A ∪B ＝ A ．{x |－4＜x ＜－2} B ．{x |x ＜0} C ．{x |－2≤x ＜0} D ．{x |x ＞－4} 2．i(3－i)的共轭．．复数为A ．3＋i B ．3－iC ．1＋3iD ．1－3i 3．某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为 A ．220 B ．240C ．250D ．3004．函数f (x )＝2sin (2x ＋π3)的单调递减区间为A ．(k π＋π12，k π＋7π12)，k ∈Z B ．(k π＋π12，k π＋5π6)，k ∈ZC ．(k π＋π6，k π＋5π6)，k ∈Z D ．(k π＋π6，k π＋7π12)，k ∈Z5．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＝0，圆C 2：(x －3)2＋(y －1)2＝4，则C 1与C 2的位置关系是 A ．外切 B ．内切 C ．相交 D ．外离6．从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为 A ．336 B ．252 C ．216 D ．1807．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2与E 交于A ，B 两点，△ABF 1为直角三角形，且|AF 1|，|AB |，|BF 1|成等差数列，则E 的离心率为A ．12B ．22C ．32D ．348．已知函数f (x )＝e x ＋e －x －ax 2有三个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长均为2，∠BAD ＝60︒，则A ．AB 1与BC 1所成角的余弦值为14B ．AB 1与BC 1所成角的余弦值为34C ．AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为64D ．AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为10410．如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到△A 1B 1C 1，再连接△A 1B 1C 1的各边中点得到△A 2B 2C 2，…，如此继续下去，设△A n B n C n 的边长为a n ，△A n B n C n 的面积为M n ，则A ．M n ＝34a 2nB ．a 24＝a 3a 5C ．a 1＋a 2＋…＋a n ＝2－22－nD ．M 1＋M 2＋…＋M n ＜3311．已知向量a ＝(cos α，cos β)，b ＝(sin α，sin β)，c ＝(1，1)，下列命题成立的是 A ．若a ∥b ，则α＝β＋k π（k ∈Z ）B ．若a ·b ＝1，则α＋β＝2k π＋π2（k ∈Z ）C ．若(a ＋b )⊥(a －b )，则α＋β＝k π＋π2（k ∈Z ）D ．设a ·c ＝m ，b ·c ＝n ，当m 2＋n 2取得最大值时，α＝β＋2k π（k ∈Z ）12．已知函数f (x )及其导函数g (x )的定义域均为R ．f (2x )＝f (4－2x )，f (x )＋f (－x )＝0，当x ∈[2，4]时，g '(x )＜0，g (1)＝1，则 A ．f (x )的图象关于x ＝1对称 B ．g (x )为偶函数C ．g (x )＋g (x ＋4)＝0D ．不等式g (e x )≥1的解集为(－∞，0]∪[ln(8k －1)，ln(8k ＋1)]（k ∈N *）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．某种产品的广告费支出 x根据上表数据得到y 关于x a 的值为_______． 14．已知直线l ：3x －y －23＝0过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点，且与C 的一条渐近线平行，则C 的实轴．．长为________．15．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过D 1，E ，F 做该正方体的截面，则截面形状为________，周长为________． 16．∀x ＞0，a e x －ln x ＋ln a ≥0，则实数a 的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin A sin B cos C ＝sin 2C ．（1）求a 2＋b 2c2的值；（2）若c ＝2，求△ABC 面积S 的最大值． 18．（12分）党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示，并在全国卫生与健康大会上强调，推进职业病危害源头治理。