专题14-1 坐标系与参数方程 -2018年高三数学理一轮总复习名师伴学 含解析 精品

1. 【2017天津，理11】在极坐标系中，直线错误！未找到引用源。与圆错误！未找到引用源。的公共点的个数为___________.

【答案】2

【考点】极坐标

【名师点睛】再利用公式错误！未找到引用源。 把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.

2. 【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为错误！未找到引用源。（t为参数），直线l2的参数方程为错误！未找到引用源。.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设错误！未找到引用源。，M为l3与C的交点，求M的极径.

【答案】(1) 错误！未找到引用源。；

(2) 错误！未找到引用源。

【解析】

试题分析：(1)利用题意首先得到曲线错误！未找到引用源。 的参数方程，然后消去参数即可得到曲线错误！未找到引用源。 的普通方程；

(2)联立两个极坐标方程可得错误！未找到引用源。，代入极坐标方程进行计算可得极径的值为错误！未找到引用源。

试题解析：（1）消去参数错误！未找到引用源。 得错误！未找到引用源。 的普通方程错误！未找到引用源。；消去参数m得l2的普通方程错误！未找到引用源。 .

设错误！未找到引用源。,由题设得错误！未找到引用源。，消去k得错误！未找到引用源。.

所以C的普通方程为错误！未找到引用源。.

【考点】 参数方程与直角坐标方程互化；极坐标中的极径的求解

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用.重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

3.【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系错误！未找到引用源。中，曲线错误！未找到引用源。的参数方程为错误！未找到引用源。，以坐标原点为极点，以错误！未找到引用源。轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线错误！未找到引用源。的极坐标方程为错误！未找到引用源。．

（I）写出错误！未找到引用源。的普通方程和错误！未找到引用源。的直角坐标方程；

（II）设点错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上，点错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上，求错误！未找到引用源。的最小值及此时错误！未找到引用源。的直角坐标.

【答案】（Ⅰ）错误！未找到引用源。的普通方程为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。的直角坐标方程为错误！未找到引用源。；（Ⅱ）错误！未找到引用源。．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线错误！未找到引用源。的参数方程普通方程，利用公式错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。代入曲线错误！未找到引用源。的极坐标方程即可；（Ⅱ）利用参数方程表示出点错误！未找到引用源。的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立错误！未找到引用源。的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点错误！未找到引用源。坐标即可．

试题解析：（Ⅰ）错误！未找到引用源。的普通方程为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。的直角坐标方程为错误！未找到引用源。. ……5分

（Ⅱ）由题意，可设点错误！未找到引用源。的直角坐标为错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。是直线，所以错误！未找到引用源。的最小值即为错误！未找到引用源。到错误！未找到引用源。的距离错误！未找到引用源。的最小值，错误！未找到引用源。. ………………8分

当且仅当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。取得最小值，最小值为错误！未找到引用源。，此时错误！未找到引用源。的直角坐标为错误！未找到引用源。. ………………10分

考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．

【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为错误！未找到引用源。，将其转化为三角问题进行求解．

考点 了解A 掌握B 灵活运用C

坐标系的有关概念 A

简单图形的极坐标方程

B

极坐标方程与直角坐标方程的互化 B

参数方程

B

直线、圆及椭圆的参数方程 B

参数方程与普通方程的互化 B

参数方程的简单应用 B

新课标高考试题坐标系与参数方程的命题呈现四大趋势，即极坐标中的运算，参数方程中任意点或动点问题，直线与圆锥曲线相交问题，交点坐标、线段长度、图形面积、轨迹方程等基本数学问题。其解法重在体现坐标系与参数方程的工具性，既灵活多变又有章可循。高考试题按解答方法划分：第一类，极坐标中的运算。第二类，参数方程中任意点或动点问题。第三类，直线与圆锥曲线相交问题。第四类，点的坐标、线段长度、图形面积、轨迹方程等的计算。

1．平面直角坐标系

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·x λ，y′＝μ·y μ的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：

 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ或 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yxx.

这就是极坐标与直角坐标的互化公式．

3．常见曲线的极坐标方程

曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r(0≤θ<2π)

圆心为(r,0)，半径为r的圆

ρ＝2rcos_θ(－π2≤θ

圆心为(r，π2)，半径为r的圆

ρ＝2rsin_θ(0≤θ

过极点，倾斜角为α的直线

θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)

过点(a,0)，与极轴垂直的直线

ρcos θ＝a(－π2

过点(a，π2)，与极轴平行的直线

ρsin_θ＝a(0

4．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么 x＝ft，y＝gt就是曲线的参数方程．

5．常见曲线的参数方程和普通方程

点的

轨迹 普通方程 参数方程

直线 y－y0＝tan α(x－x0)  x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)

圆 x2＋y2＝r2

 x＝rcos θ，y＝rsin θ(θ为参数)

椭圆 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)  x＝acos φ，y＝bsin φ(φ为参数)

抛物线 y2＝2px (p>0)

 x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)

题型一 极坐标

命题点1：极坐标与直角坐标的互化

典例1

(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程．

(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标．

【答案】见解析

(2)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ，所以曲线C1的直角坐标方程为y2＝x.由ρsin θ＝1，得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.由 y2＝x，y＝1得 x＝1，y＝1，故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)．

解题技巧与方法总结

(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin

θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．

【变式训练】

(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程．

【答案】见解析

命题点2：求曲线的极坐标方程

例2 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出曲线C的方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

【答案】（1）x2＋y24＝1. （2）ρ＝34sin θ－2cos θ.

【解析】 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 x＝x1，y＝2y1.

由 ＋y21＝1得x2＋(y2)2＝1，

即曲线C的方程为x2＋y24＝1.

(2)由 x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0，解得 x＝1，y＝0，或 x＝0，y＝2.

不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k＝12，

于是所求直线方程为y－1＝12(x－12)， 21x