高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线练习新人教A版选修4_4
- 格式：docx
- 大小：38.74 KB
- 文档页数：5
高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线练习新人教A版选修4_4
四渐开线与摆线
课后篇巩固探究
A组
1.下列说法正确的是()
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;
②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;
③圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.
其中正确的说法有()
A.②③
B.②
C.③
D.①③
2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是()
A.(π,0)
B.(π,1)
C.(2π,2)
D.(2π,0)
.
3.当φ=2π时,圆的渐开线(φ为参数)上对应的点是()
A.(6,0)
B.(6,6π)
C.(6,-12π)
D.(-π,12π) φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得
即所求的坐标为(6,-12π).
4.当φ=时,圆的摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是.
π+4,4)
5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=,那么该点的坐标为.
r=3,
所以圆的摆线的参数方程为(φ为参数).
把φ=代入得x=π-,y=3-.
故该点的坐标为.
6.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.
4,
所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是(φ为参数).
7.已知圆C的参数方程是(α为参数),直线l的普通方程是x-y-6=0.
(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?
(2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.
圆C平移后的圆心为O(0,0),它到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所 以直线和圆是相切的.
(2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是(φ为参数).
点A,B,并求出A,B两点间的距离.
φ=代入
得
所以A.
将φ=π代入
得所以B(-1,π).故A,B两点间的距离为
|AB|=.
9.已知圆的半径为r,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,圆上点M从起始处(点O处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹的参数方程.
x M=r·φ-r·cos=r(φ-sin φ),y M=r+r·sin=r(1-cos φ).故点M的轨迹
的参数方程为(φ为参数).
B组
1.我们知道图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为()
A.(φ为参数)
B.(φ为参数)
C.(φ为参数)
D.(φ为参数)
y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线关于直线y=x对称的曲线方程,只需把其中的x与y互换.
2.已知一个圆的参数方程为(θ为参数),则圆的摆线的参数方程中与φ=对应的点A与点B之间的距离为()
A.-1
B.
C. D.
,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为(φ为参数),把φ=代入参数方程中可得即A,
所以|AB|=.
线”,其中,…的圆心依次按B,C,D,A循环,则曲线段AEFGH的长是()
A.3π
B.4π
C.5π
D.6π
,是半径为1的圆周长,长度为是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH的长是5π.
4.已知渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为.
r=7,其方程为x2+y2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2
倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为+y2=49,整理可得=1,这是一个焦点在x轴上的椭圆.c==7. 故焦点坐标为(7,0)和(-7,0).
,0)和(-7,0)
摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.
y=0,可得r(1-cos φ)=0,由于r>0,即得cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).将其代入x=r(φ-sin φ),
得x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).又因为x=2,所以r(2kπ-sin 2kπ)=2,即得r=(k∈Z).又由实际可知r>0,所以r=(k∈N*).易知,当k=1时,r取最大值.故所求圆的摆线的参数方程为(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为
(φ为参数).
6.设圆的半径为4,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y的最大值.
M的轨迹是摆线,其参数方程为(φ为参数,且0≤φ≤2π).
其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.
易知,当x=4π时,y有最大值8,故该曲线上纵坐标y的最大值为8.
