吉林省长春市普通高中2020届高三上学期质量监测试题(一) 数学(文)【含答案】
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吉林省长春市普通高中2020届高三上学期质量监测试题（一）
数学（文）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=－2+i的共扼复数z对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合A＝{x|x≥2或x≤－2}，B＝{x|x2－3x>0}，则A∩B＝
A.Φ B. {x|x>3或x≤－2} C. {x| x>3或x<0} D. {x| x>3或x<0}
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝15，a4＝5，则S9＝
A.45 B.63 C.54 D.81
4.已知条件p：x>1，条件q：x≥2，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为22018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析)，得到回归直线ˆ13.7433095.7yx，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个
③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个 A.0 B.1 C.2 D.3
6.己知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝
A.－3 B.1 C.－3或1 D.52
7.已知133131(),3,log33abc，则
A.a
8.己知a，b，c为直线，α，β，γ平面，则下列说法正确的是
①a⊥α，b⊥α，则a∥b；②α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；
③a∥α，b∥α，则a∥b；④α∥γ，β∥γ，则α∥β。
A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①④
9.函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<2)的图象(部分图象如图际)，则其解析式为
A.()2sin(2)6fxx B.()2sin()6fxx
C.()2sin(4)6fxx D.()2sin()6fxx
10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为512时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为
A.(35) B.(51) C.(51) D.(52)
11：已知F是抛物线y2＝4x的焦点，则过F做倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A、B(A在x轴上方) 两点，则AFBF的值为
A.3 B.2 C.3 D.4
12.已知函数1(0)()(0)xexfxxx，若存在x0∈R使得00()(1)1fxmx成立，则实数m的取值范围是
A.(0，+∞) B.[－1，0)∪(0，+∞)
C.(－∞，－1]∪[1，+∞) D.(－∞，－1]∪(0，+∞)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13.已知1sincos225，则sin＝
14.设变量x，y满足约束条件03420xyxyx，则z＝x－3y的最小值等于
15.三棱锥P－ABC中PA⊥底面ABC，AB⊥AC，PA＝10，AB＝2，AC＝2，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为
16.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若,mbcab，sin,s()insinnCAB，且mn，则A= ；若△ABC的面积为3，则△ABC的周长的最小值为
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
已知数列{an}中，12a，1122nnnaa，设2nnnab。
(I)求证：数列{an}是等差数列；
(II)求数列11{}nnbb的前n项和为Sn。
18.(本小题满分12分)
环保部门要对所有的新车模型进行广泛侧试，以确定它的行车里程的等级，右表是对100辆新车模型在一个耗油单位内行车里程(单位；公里)的测试结果。
(I)做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组了；
(II)用分层抽祥的方法从行车里程在区间[38，40)与[40，42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率。
19.(本小题满分12分)
在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC，平面ACC1A1，平面BCC1B1两两垂直。
(I)求证：CA，CB，CC1两两垂直；
(II)若CA=CB＝CC1=a，求三棱锥B1－A1BC的体积。
20.(本小题满分12分)
已知点M(－1，0)，N(1，0)若点P(x，y)满足|PM|＋|PN|＝4。
(I)求点P的轨迹方程；
(II)过点Q(－3，0)的直线l与(I)中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程。
21.(本小题满分12分)
已知函数1lnxfxxx＝。
(I)求函数f(x)的极值；
(II)若x∈(0，1)时，不等式1ln2(1)xxax恒成立，求实数a的取值范围。
(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4－4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为212222xtyt(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝3。
(I)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(II)直线l与圆C交于A，B两点，点P(1，2)，求|PA|·|PB|的值。
23.(本小题满分10分)选修4－5不等式选讲
己知函数f(x)＝|x＋3|－|x－1|。
(I)解关于x的不等式f(x)≥x＋1；
(II)若函数f(x)的最大值为M，设a>0，b>0，且(a＋1)(b＋l)＝M，求a＋b的最小值。
答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. C 2. B 3. B 4. B 5. D 6. C
7. C 8. D 9. A 10. A 11. C 12. D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）
13. 2425 14. 8 15. 16 16. ,63
三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查数列的相关知识.
【试题解析】（Ⅰ）证明：当2n时，111121222nnnnnnnnnaaaabb
11b，所以{}nb是以为1首项，为1公差的等差数列. （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，nbn，所以+11111nnbbnn， 所以1111111122311nSnnn. （12分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查概率与统计的相关知识.
【试题解析】（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图如图所示：
00.020.040.060.080.100.120.140.160.18频率/组距30 32 34 36 38 40 42 44 46 辆
由图可知，中位数在区间[36,38). （6分）
（Ⅱ）由题意，设从[38,40)中选取的车辆为,,ABC，从[40,42)中选取的车辆为,ab，则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为,,,,,,,,,ABACAaAbBCBaBbCaCbab，其中符合条件的有6种，,,,,,AaAbBaBbCaCb，所以所求事件的概率为35. （12分）
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查立体几何的相关知识.
【试题解析】（Ⅰ）证明：在ABC内取一点P，作,PDACPEBC，
因为平面ABC平面11ACCA，其交线为AC，所以PD平面11ACCA，1PDCC，
同理1PECC，所以1CC平面ABC，11,CCACCCBC，
同理ACBC，故1,,CCACBC两两垂直.
（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥11ABCB的高为11ACa，
1211122BCBSBCBBa，所以三棱锥11BABC的体积为316a. （12分）
20. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且24a，1c.
因此椭圆的方程为22143xy. （4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为3xty与椭圆22143xy交于点11(,)Axy， 22(,)Bxy，联立直线与椭圆的方程消去x可得
22(34)6330tyty，即1226334tyyt，122334yyt.
AOB面积可表示为212121211||||3()422AOBSOQyyyyyy△
22222222163332363()4934312343423434tttttttt
令231tu，则1u≥，上式可化为266333uuuu≤，
当且仅当3u，即63t时等号成立，
因此AOB面积的最大值为3，此时直线l的方程为633xy. （12分）
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）令21()0xfxx，1x（2分）
x (0,1) 1 (1,)
()fx
0 +
()fx 极小值
()= (1)2fxf极小值，无极大值； （4分）
（II）由题意可知，0a，则原不等式等价于2(1)ln01axxx，
