基本不等式(解析版)

专题18 基本不等式(解析版)基本不等式（解析版）不等式是数学中一种常见的关系表达形式，通常用来描述数值之间的大小关系。

基本不等式是指一些在数学中常用的不等式，这些不等式经过解析和推导后，可以得到一些有用的性质和结论。

本文将介绍一些常见的基本不等式，并探讨它们在数学中的应用。

一、一元一次不等式首先我们来看一元一次不等式。

一元一次不等式是指只包含一个未知数的一次函数不等式。

其中最常见的类型是形如ax + b > 0的一元一次不等式。

解这类不等式的方法与求一元一次方程类似，需要对x的取值范围进行分析，得出不等式的解集。

二、一元二次不等式一元二次不等式是指包含一个未知数的二次函数不等式。

解决一元二次不等式时，一种常见的方法是将其转化为标准形式，并利用一元二次方程的性质来解决。

同时要注意一元二次不等式在两边乘以负数时，不等号需反向转换。

三、绝对值不等式绝对值不等式是指包含绝对值符号的不等式。

解绝对值不等式通常需要将不等式分为两种情况进行讨论，一种是当绝对值内的表达式大于等于0，另一种是当绝对值内的表达式小于0。

这样可以得到两个关于未知数x的不等式，再根据这两个不等式解出x的取值范围。

四、加减平均不等式加减平均不等式是数学中常见的一种基本不等式。

它表示若有若干个数a1、a2、……、an，则它们的算术平均数大于等于几何平均数，并等号在且仅在这些数全相等的情况下成立。

也就是说，对于非负数a1、a2、……、an，有(a1+a2+……+an)/n ≥ (a1⋅a2⋅……⋅an)^(1/n)。

五、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种在数学分析和线性代数中常用的不等式。

对于两个n维向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，柯西-施瓦茨不等式可以表示为|(a1b1+a2b2+…+anbn)|≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)⋅√(b1^2+b2^2+…+bn^2)。

柯西-施瓦茨不等式的应用领域很广，包括向量空间中的内积、数列中的收敛性等。

专题14 基本不等式1．已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则=a b ． 【难度】★ 【答案】31-2．若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】(]8,∞-【解析】因为35++-x x 表示数轴上的动点x 到数轴上的点3-、5的距离之和，而()835min=++-x x ，所以当8≤a 时，a x x <++-35无解．热身练习3．不等式212+<-x x 的解集为 ． 【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-331， 4．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】3≥a 或3-≤a5．若关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对R x ∈恒成立，则=+b a ． 【难度】★★★ 【答案】10-1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．·基本不等式的几何解释：因为()02≥-y x ，令a x =，b y =，代入展开可得2b a ab +≤知识梳理模块一：利用基本不等式求最值·基本不等式的几何解释：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连结AD ，BD .由射影定理或三角形相似可得CD ＝ab ，由CD 小于或等于圆的半径a ＋b 2， 可得不等式ab ≤a ＋b2.当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．【例1】（1）已知，如果，那么的最小值为__________；（2）已知，如果，那么的最小值为______；（3）若，则的最小值为 ； （4）已知，且，则的最大值为.【难度】★【答案】（1）2 （2）12 （3）22 （4）1162．基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a >0，b >0，则a ＋b2a b +∈R 、1ab =a b +a b +∈R 、1a b +=22a b +0x >2x x+,x y R +∈41x y +=x y ⋅_____典例剖析≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a ∈R ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)几个常用的重要结论① b a ＋ab ≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)；② a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)；③ ab ≤2)2(ba (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b时取等号)；④ 21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b22(a ，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数【例2】已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）abba ≥+2； （2）abb a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+baa b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+abb a （7）222)(2b a b a +≥+）（【难度】★【答案】（2）（3）（6）（7）（1）错误。

第09讲基本不等式知识点一基本不等式与重要不等式1．算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．2．基本不等式如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立).3．两个重要不等式当a ，b ∈R 时，则（1）ab ≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)；（2）ab 2(当且仅当a ＝b 时，等号成立).知识点二基本不等式与最值对于正数a ，b ，在运用基本不等式时，应注意：(1)和a ＋b 为定值时，积ab 有最大值；积ab 为定值时，和a ＋b 有最小值；(2)a ＝b 时，ab .1．基本不等式的变形利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)(1)合理选择自变量，建立函数关系；(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)；(3)解题注意点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．考点一：利用基本不等式证明不等式例1已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥8.【证明】因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【总结】变式(1)已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.【证明】因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．(2)已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥10.【证明】因为a ，b ，c 都为正实数，＝4＋b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．所以111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥10.考点二：利用基本不等式求最值例2(1)已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________；(2)若0<x <12，则12x (1－2x )的最大值是________；(3)若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．【答案】(1)6(2)116(3)9【解析】(1)因为x >2，所以x －2>0，所以x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以12x (1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤142＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，等号成立，所以12x (1－2x )的最大值为116.(3)因为x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y＝5＋4y x ＋xy ≥5＋24y x ·xy＝9，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝13，y ＝16时取等号．变式求下列函数的最值．(1)已知x ＞1，求y ＝4x ＋1＋1x －1的最小值；(2)已知0＜x ＜1，求x (4－3x )的最大值；(3)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋2b ＝1,求2a ＋1b 的最小值．【解析】(1)∵x ＞1，∴x －1＞0，∴y ＝4x ＋1＋1x －1＝4(x －1)＋1x －1＋5≥24（x －1）·1x －1＋5＝9，当且仅当4(x －1)＝1x －1即x ＝32时取等号，∴y ＝4x ＋1＋1x －1的最小值为9.(2)∵0＜x ＜1，∴x (4－3x )＝13·(3x )·(4－3x )≤132＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取等号，故x (4－3x )的最大值为43.(3)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋2b ＝1，∴2a ＋1b (a ＋2b )＝4＋4b a ＋ab ≥4＋24b a ·ab＝8，当且仅当4b a ＝a b 且a ＋2b ＝1，即b ＝14，a ＝12时取等号，故2a ＋1b的最小值为8.考点三：利用基本不等式求参数的取值范围例3(1)已知函数y ＝x ＋ax＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是()A ．12B ．32C ．1D ．2(2)已知函数y ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，y ≥3恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】(1)C(2)－83，＋∞【解析】(1)由题意可得a ＞0，①当x ＞0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1．故选C ．(2)对任意x ∈N *，y ≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥3．设z ＝x ＋8x ，x ∈N *，则z ＝x ＋8x ≥42，当x ＝22时等号成立，又x ＝2时z ＝6，又x ＝3时z ＝173．∴a ≥－83，故a 的取值范围是－83，＋]【总结】变式已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．【答案】2【解析】依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2．又λ≥x ＋22xyx ＋y ，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．考点四：利用基本不等式解应用题例4某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m ，中间两道隔墙建造单价为248元/m ，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【解析】设隔墙的长度为x m ，总造价为y 元，则隔墙造价为2x ×248＝496x 元，池底造价为200×80＝16000元，x ＋2×400＝800元．因此，总造价为y ＝496x ＋800200x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋16000(0＜x ＜50)＝1296x ＋160000x＋16000≥21296x ·160000x ＋16000＝28800＋16000＝44800.当且仅当1296x ＝160000x，即x ＝1009时，等号成立．这时，污水池的长为18m ．故当污水池的长为18m ，宽为1009m 时，总造价最低，最低为44800元．【总结】变式某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y 1万元，隔热层的厚度为x 厘米，两者满足关系式：y 1＝k 2x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数).若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y 2为15年的总费用(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用).(1)求y 2的表达式；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y 2最小，并求出最小值．【解析】(1)依题意，当x ＝0时，y 1＝6，∴6＝k5，∴k ＝30.故y 1＝302x ＋5，y 2＝4x ＋302x ＋5×15＋10＝4x ＋4502x ＋5＋10(0≤x ≤10).(2)y 2＝4x ＋4502x ＋5＋10＝(4x ＋10)＋4502x ＋5＝2(2x ＋5)＋4502x ＋5≥22（2x ＋5）·4502x ＋5＝60，当且仅当2(2x ＋5)＝4502x ＋5，即x ＝5时，y 2取得最小值，最小值为60，∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元．1．下列不等式中，正确的是()A.a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥23【答案】D 【解析】a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝2，则1x ＋x y ＋1的最小值为()A.12＋536B ．13＋36C.13＋233D ．32【答案】C【解析】因为x ＋y ＝2，所以y ＝2－x ，又x ＞0，y ＞0，所以0＜x ＜2，1x ＋x y ＋1＝1x ＋x 2－x ＋1＝1x ＋x 3－x ＝13×3－x x ＋x 3－x ＋13，因为0＜x ＜2，所以3－x ＞0，所以13×3－x x ＋x 3－x＋13≥213×3－x x ×x 3－x＋13＝233＋13，当且仅当13×3－x x＝x 3－x ，即x ＝33－32时取等号，所以1x ＋x y ＋1的最小值为233＋13.故选C.3．(多选)下列各选项中y 的最大值为12的是()A.y ＝x 2＋116x 2B.y ＝x 1－x 2，x ∈[0,1]C.y ＝x 2x 4＋1D.y ＝x ＋4x ＋2，x >－2【答案】BC【解析】对于A,y ＝x 2＋116x2≥2x 2·116x 2＝12；对于B,y ＝x 1－x 2＝x 2（1－x 2）≤x 2＋1－x 22＝12；对于C,y ＝x 2x 4＋1＝1x 2＋1x2≤12；对于D,y ＝x ＋4x ＋2＝x ＋2＋4x ＋2－2≥4－2＝2.故选B 、C.4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为a 万元/次，一年的总存储费用为6ax 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是________．【答案】10【解析】设一年的总费用为y ，则y ＝600x ·a ＋6ax ≥2600ax·6ax ＝2×60a ＝120a ，当且仅当600ax＝6ax ，即x ＝10时等号成立，所以要使一年的总运费与总存储费之和最小，x 的值是10.5．甲、乙两同学分别解“设x ≥1，求函数y ＝2x 2＋1的最小值”的过程如下：甲同学：y ＝2x 2＋1≥22x 2·1＝22x ，又x ≥1，所以22x ≥22.从而y ≥22x ≥22，即y 的最小值是22.乙同学：因为y ＝2x 2＋1在x ≥1时的图象随着x 增大而逐渐上升，即y 随x 增大而增大，所以y 的最小值是2×12＋1＝3.试判断谁错，错在何处？【解析】甲错．甲直接利用基本不等式求最值，忽略了不等式成立的条件．当2x 2＋1≥22x 2时，有2x 2＝1，此时x 不在范围内，故此题不能用基本不等式求解．乙正确．利用函数图象，由图象判断y 的最小值．6．已知x >0，则9x＋x 的最小值为()A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】∵x >0，∴9x ＋x ≥2x ·9x ＝6．当且仅当x ＝9x即x ＝3时取得最小值6．7．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4则()A ．1a ＋1b ≤1B ．1a ＋1b ≥2C ．ab ≤4D ．ab ≥8【答案】C【解析】设a ，b 为正数，且a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．8．若a ＞0，且a ＋b ＝0，则a －1b＋1的最小值为________．【答案】3【解析】由a ＋b ＝0，a ＞0，得b ＝－a ，－1b ＝1a＞0，所以a －1b ＋1＝a ＋1a ＋1≥3，当且仅当a ＝1，b ＝－1时取等号．9．已知ab ＝1，a >0，b >0．则a ＋b 的最小值为________．【答案】2【解析】因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2．当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故a ＋b 的最小值为2．]10．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm 2．【答案】23【解析】设两段长分别为x cm ，(12－x )cm ，则S ＝34×＋34×＝336[x 2＋(12－x )2]≥336×(x ＋12－x )22＝23．当且仅当x ＝12－x ，即x ＝6时取等号，故两个正三角形面积之和最小值为23cm 2．1．已知P ＝a 2＋4a2(a ≠0)，Q ＝b 2－4b ＋7(1＜b ≤3).则P ，Q 的大小关系为()A.P ＞Q B ．P ＜Q C.P ≥Q D ．P ≤Q【答案】C【解析】P ＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当a ＝±2时等号成立，Q ＝b 2－4b ＋7＝(b －2)2＋3≤4，当b ＝3时等号成立，所以P ≥Q .故选C.2．已知a ＞0，b ＞0，则“ab ≤1”是“2aba ＋b≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】a ＞0，b ＞0，若ab ≤1，则由a ＋b ≥2ab 得2aba ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ≤1，充分性成立，若2ab a ＋b ≤1，例如a ＝23，b ＝2，则2ab a ＋b＝1，但ab ＝43＞1，因此必要性不成立．故选A.3．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 2＋b 2的最小值为()A.2B ．22C.4D ．42【答案】C【解析】∵a >0，b >0，∴1a ＋1b＝ab ≥21ab，ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，∴a 2＋b 2≥2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．综上，a 2＋b 2的最小值是4.故选C.4．若对x >0，y >0，有(x ＋2y )·21x y ⎛⎫+⎪⎝⎭≥m 恒成立，则m 的取值范围是()A.m ≤4B ．m >4C.m <0D ．m ≤8【答案】D【解析】由x >0，y >0，得(x ＋2y )21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2＋4y x ＋xy ＋2≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当2y ＝x 时取等号，则m ≤8.故选D.5．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界，若a ，b ∈R＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为()A.92B ．－92C.14D ．－4【答案】B【解析】由题意可知，只需求－12a －2b 的最大值即可，因此可先求12a ＋2b 的最小值，12a ＋2b＝12y a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(a ＋b )＝52＋b 2a ＋2a b ≥92，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝13，b ＝23时取等号，所以－12a －2b 的最大值是－92.故选B.6．(多选)设a ，b 是正实数，则下列各式中成立的是()A.a ＋b ≥2ab B ．b a ＋ab ≥2C.a 2＋b 2ab≥2abD ．a ＋b 2≤2aba ＋b 【答案】ABC 【解析】由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴A 成立；∵b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴B 成立；∵a 2＋b 2ab≥2abab＝2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴C 成立；∵a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a －b ）22（a ＋b ）≥0，∴a ＋b 2≥2aba ＋b ，∴D 不成立．故选A 、B 、C.7．(多选)已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，那么下列不等式中，恒成立的有()A.ab ＜14B ．a 2＋b 2≥12C.a ＋b ≤2D ．1a ＋12b≥22【答案】BC【解析】A ，因为a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，所以ab 2＝14＋b ＝1，＝b ，即a ＝b ＝12时，等号成立，故A 错误；B ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故B 正确；C ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ＝1＋2a (1－a )＝1＋2－a 2＋a＝1＋≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，因此a ＋b ≤2，故C 正确；D ，1a＋12b ＝a ＋b a ＋a ＋b 2b＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2b a ·a 2b ＝32＋2＝a2b ，b ＝1，＝2－1，＝2－2时，等号成立，故D 错误．故选B 、C.8．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则1，ab ，a 2＋b 22的大小关系是________．【答案】ab ＜1＜a 2＋b 22【解析】因为a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，所以a ＋b ≥2ab ，即ab 2＝1，又a ≠b ，所以ab ＜1，因为(a －b )2＞0，所以a 2＋b 22＞ab ，则2(a 2＋b 2)＞(a ＋b )2＝4，a 2＋b 22＞1，所以ab ＜1＜a 2＋b 22.9．下列条件中能使b a ＋ab≥2成立的是________．①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b ＜0.【答案】①③④【解析】要使b a ＋a b ≥2成立，只需b a ＞0，a b ＞0即可，此时b a ＋ab≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝ab等号成立，若ba＜0，则不等式不成立，即只需a ，b 同号即可，故①③④满足．10．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园．设菜园的长为x 米，宽为y 米．若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为________；若使用的篱笆总长度为30米，则1x＋2y的最小值为________．【答案】20310【解析】若菜园面积为50平方米，则xy ＝50，所以篱笆总长x ＋2y ≥22xy ＝20，当且仅当x ＝2y ，即x ＝10，y ＝5时等号成立，故所用篱笆总长的最小值为20；若使用的篱笆总长度为30米，则x ＋2y ＝30，所以1x ＋2y ＝130×(x ＋2y)＝130＋2y x ＋≥130＋＝310，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立，所以1x ＋2y 的最小值为310.11．(1)已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝4，求ab 的最大值；(2)若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，求9a ＋1＋1b 的最小值．【解析】(1)ab ＝12a ×2b ≤122＝2，当且仅当a ＝2b ＝2即a ＝2，b ＝1时取等号．故ab 的最大值为2.(2)a ＋b ＝1，即(a ＋1)＋b ＝2，∵a ＞0，b ＞0，故9a ＋1＋1b ＝12[(a ＋1)＋b ]＝12＋9b a ＋1＋≥8，当且仅当9b a ＋1＝a ＋1b 时等号成立，又a＋b ＝1，∴a ＝b ＝12min＝8.12．已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为()A.2B ．2＋2C.4D ．2＋22【答案】D【解析】因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋bc ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋22.13．(多选)下列说法正确的为()A.若x ＞0，则x (2－x )最大值为1B.函数y ＝2（x 2＋4）x 2＋3的最小值为4C.|x ＋1x |≥2D.已知a ＞3时，a ＋4a －3≥2a ·4a －3，当且仅当a ＝4a －3即a ＝4时，a ＋4a －3取得最小值8【答案】AC【解析】选项A ，若x ＞0，则x (2－x )≤x ＋（2－x ）22＝1，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时等号成立，故选项A 正确；选项B ，y ＝2（x 2＋4）x 2＋3＝2（x 2＋3＋1）x 2＋3＝2(x 2＋3＋1x 2＋3)≥2×2x 2＋3·1x 2＋3＝4，当且仅当x 2＋3＝1x 2＋3，即x 2＝－2时等号成立，显然取不到最小值，故选项B 错误；选项C ，当x ＞0时，|x ＋1x |＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立；当x ＜0时，－x ＞0，所以|x ＋1x |＝(－x )＋1－x≥2（－x ）·1－x ＝2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时等号成立，所以|x ＋1x |≥2，故选项C 正确；选项D ，当a ＞3时，a ＋4a －3＝a －3＋4a －3＋3≥2（a －3）·4a －3＋3＝7，当且仅当a －3＝4a －3，即a ＝5时等号成立，故选项D 错误．故选A 、C.14．若正实数a ，b ，c 满足a 2－3ab ＋4b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，2a ＋1b －2c的最大值为________．【答案】1【解析】由条件可得c ＝a 2－3ab ＋4b 2，则abc ＝ab a 2－3ab ＋4b 2＝1a b －3＋4×ba，由a b －3＋4×b a ＝4×b a ＋ab －3≥24×b a ×ab－3＝1，当且仅当4×b a ＝a b ，即a ＝2b 时，ab c 有最大值，此时c ＝2b 2，所以2a ＋1b －2c ＝2b －1b 22＋1，当b ＝1时，2a ＋1b －2c 有最大值1.所以2a ＋1b －2c的最大值为1.15．“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图①)的两直角边长分别为a 和b ，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长．”公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图②和图③所示的解答，则图①中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为________，当内接正方形的面积为1时，则图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为________．【答案】aba ＋b2【解析】设内接正方形的边长为x ，则图②的面积为ab ，图③的面积为(a ＋b )x ，因为图②和图③的面积相等，则有ab ＝(a ＋b )x ，解得x ＝ab a ＋b ，故内接正方形的边长为aba ＋b.因为内接正方形的面积为1，所以内接正方形的边长x ＝1，则有a ＋b ＝ab ，利用基本不等式可得a ＋b ＝ab ≥2ab ，故ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab －2≥2，故图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为2.16．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %；方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q2%.其中p ＞q ＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？【解析】不妨设提价前的价格为1，则方案甲：两次提价后的价格为(1＋p %)(1＋q %)＝1＋p %＋q %＋0.01pq %，方案乙：两次提价后的价格为(1＋q %)(1＋p %)＝1＋p %＋q %＋0.01pq %，＋p ＋q2%＋p ＋q 2%＝1＋p %＋q %＋0.012%，由于p ＞q ＞0，由基本不等式p ＋q ≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立，2≥pq ，又p ≠q 2＞pq .因此方案丙提价最多，方案甲、乙少，且提价一样．17．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2＝4(ab )3，求ab 的值．【解析】(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1b ＝22≥21ab ，即ab ≥12(当且仅当a ＝b 时等号成立).因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为1a ＋1b＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2＝4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ＝4(ab )3，即(22ab )2－4ab ＝4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1＝0，(ab －1)2＝0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.18．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).(1)将2021年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数；(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？【解析】(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋－m＝－16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0).(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。

【高中新知识预习篇】第14讲 基本不等式解析版一、基本知识及其典型例题知识点一 基本不等式1.基本不等式的概念：当a ，b > 0，ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2.基本不等式的意义：一般地，对于正数a ，b ，a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即ab ≤ a ＋b2. 3.基本不等式的常见推论 :(1) (重要不等式) ∀a ，b ∀R ，有a 2＋b 2 ≥ 2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2) ab ≤ 2)2(b a +≤ a 2＋b 22 (R b a ∈、)；(3) b a ＋ab≥ 2 (a ，b 同号)；(4)a 2＋b 2＋c 2 ≥ ab ＋bc ＋ca (R c b a ∈、、). 4.利用基本不等式证明不等式(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2) 注意事项：∀多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；∀累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；∀对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.【例1】证明不等式: a ，b ∀R , ab ≤2)2(b a +≤a 2＋b 22,当且仅当a=b 时取等号.【证明】∀化简得：2)2(b a ab +≤.0)(,0224,422222222≥-≥+-++≤++≤b a b ab a b ab a ab b ab a ab 即，即即.时取等号当且仅)2(0)(2b a b a ab b a =+≤∴≥-当恒成立，恒成立， ∀)(22,2422)2(22222222222b a b ab a b a b ab a b a b a +≤+++≤+++≤+即化简得：.0)(,02222≥-≥+-b a b ab a 即即.2)2(222时等式成立恒成立，当且仅当同理，b a b a b a =+≤+综上， a ，b ∀R , ab ≤2)2(b a +≤a 2＋b 22,当且仅当a=b 时取等号.【变式1】已知x ，y 都是正数. 求证：(1)y x ＋xy ≥2； (2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3;（3）已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 【证明】 (1)∀x ，y 都是正数，∀x y > 0，yx > 0，∀y x ＋xy≥ 2y x ·x y ＝ 2， 即 y x ＋xy≥ 2， 当且仅当x ＝y 时，等号成立.(2)∀x ，y 都是正数，∀x ＋y ≥ 2xy > 0， x 2＋y 2 ≥ 2x 2y 2 > 0，x 3＋y 3 ≥ 2x 3y 3 > 0.∀(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥ 2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即 (x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥ 8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立. (3)∀a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ， ∀2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立..1.a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当…时，取等号”这句话的含义是：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.【例2】(多选题)设a >0，b >0，下列不等式中恒成立的有（ ） A.a 2＋1>a B.4)1)(1(≥++bb a a C.4)11)((≥++ba b a D.a 2＋9>6a .【解析】由于a 2＋1－a ＝2)21(-a ＋34>0，故A 恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∀4)1)(1(≥++bb a a ，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故B 恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b≥21ab， 故4)11)((≥++ba b a ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故C 恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故D 不恒成立. 综上，恒成立的是ABC.【变式2】下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（ ）. A．x y +≥B ．21x x +>2C ．2111x ≤+ D ．12x x+≥ 【答案】C【分析】取特殊值可得a,b,D 不恒成立，由211x +≥可得C 对应的不等式2111x ≤+恒成立，得解. 【解析】对于A ，当0x <时，根式无意义，故A 不恒成立； 对于B ，当1x =时，212x x +=，故B 不恒成立； 对于C ，211x +≥，所以2111x ≤+成立，故C 成立； 对于D ，当0x <时，12x x+<，故D 恒不成立， 即对任何实数x 都成立的一个式子是2111x ≤+ 【例3】已知，，若，证明：。

微专题03 基本不等式和积问题【方法技巧与总结】 一．重要不等式,a b R ∀∈，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．二．基本不等式如果0a >，0b >2a bab +≤，当且仅当a b =时，等号成立． 2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数ab a ，b 的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．三．与基本不等式相关的不等式（1）当,a b R ∈时，有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．（2）当0a >，0b >时，有211ab a b≤+a b =时，等号成立．（3）当,a b R ∈时，有22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立． 四．利用基本不等式求最值 已知0x >，0y >，那么（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值2P （2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S ． 【题型归纳目录】题型一：比较大小及不等式证明问题 题型二：简单的和为定值或积为定值型 题型三：含+y x x y 或1+t t以及可以转化为此的类型 题型四：含22,,,++=++y x ax by ax by xy ax by a b ab类型 【典型例题】题型一：比较大小及不等式证明问题例1．（多选题）（2022·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x ，y 满足x y >，则下列结论正确的是（ ）A ．11x y> B ．11x y< C ．2x yy x+≥D ．22222x y x y ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】CD【解析】当0x y >>时，得11x y<，A 错； 当0x y >>时，11x y>，B 错； 0,0x y y x >>，2x y x y y xyx+≥⋅=，当且仅当x y =时，等号成立．C 正确；,x y 是实数，则222x y xy +≥，222222()2()x y x xy y x y +≥++=+，所以22222x y x y ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，D 正确． 故选：CD ．例2．（多选题）（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）设a ＞0，b ＞0，则（ ） A ．12(2)9a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．2221)a b a b +≥++（C ．22a b a b b a++≥D ．2abab a b≤+【答案】ACD 【解析】a ＞0，b ＞0，对A ：122222(2)5529b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故选项A 正确； 对B ：因为()()222221)114a b a b a b +-++=-+--（4≥-，所以选项B 错误； 对C ：因为22222222a b a b b a b a a b b a b a +++≥⨯⨯=+，所以22a b a b b a++≥，当且仅当a b =时等号成立，故选项C 正确；对D ：因为2a b ab +≥，所以(2a b ab ab +≥，即2abab a b≤+a b =时等号成立，故选项D 正确． 故选：ACD ．例3．（2022·河南·高一期中）已知x 、y 、z 都是正数． （1）求证：0x y y z z xyz zx xy---++≥；（2）若()2221122x y m m y x x y ⎛⎫+≥--+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）证明：要证0x y y z z xyz zx xy---++≥， 左右两边同乘以xyz 可知即证2220x xy y yz z xz -+-+-≥， 即证222x y z xy yz xz ++≥++．因为x 、y 、z 都是正数，由基本不等式可知222x y xy +≥，222y z yz +≥，222x z xz +≥， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号成立，将上述三个不等式两边分别相加并除以2，得222x y z xy yz xz ++≥++． 所以，原不等式得证．（2）()()33222222112222x y x y x xy y m m m m y x x y xy x y xy ⎛⎫+-++≥--+⇔--≤= ⎪+⎝⎭，因为221211x xy y x y x yxy y x y x -+=+-≥⋅=，当且仅当x y =时等号成立， 所以，2221m m --≤，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤， 故实数m 的取值范围为13m -≤≤．例4．（2022·广东茂名·高一期末）已知,,a b c 均为正数，且3a b c ++=，证明：2221116a b c ab bc ac+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立．【解析】证明：因为,,a b c 均为正数，所以2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++． 所以222a b c ab bc ac ++++①故222111111a b c ab bc ac ab bc ac ab bc ac++++++++++， 而111111226ab bc ac ab bc ac ab bc ac ab bc ac+++++≥⋅⋅⋅．① 所以原不等式成立．当且仅当①式和①式等号成立，即当且仅当,1a b c ab bc ac =====时，故当且仅当1a b c ===时，原不等式等号成立． 例5．（2022·辽宁沈阳·高一期中）已知a ，b ，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++．【解析】因为a ，b ，0c >，则20a b >，20b c >，20c a>，于是得2222a a b b a b b+≥⋅=，当且仅当2a b b =，即a b =时等号成立，2222b b c c b c c+≥⋅=，当且仅当2b c c =，即b c =时等号成立，2222c c a a c a a+≥⋅=，当且仅当2c a a =，即c a =时等号成立，将上述三个不等式相加得：222222a b c b c a a b c b c a+++++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，因此有222a b c a b c b c a ++≥++，所以，当a ，b ，0c >时，222a b c a b c b c a++≥++．例6．（2022·江苏·高一单元测试）设a >0，b >0，a +b ＝2． （1）证明：(1)(1)a b ab++≥4；（2）证明：a 3+b 3≥2．【解析】（1）证明：因为0a >，0b >，2a b +=．()()13111ab a b aba a bb ab+++++==+． 且()214a b ab +≤=（当且仅当a b =时取等号）， 故331141ab +≥+=． 所以()()114a b ab++≥（2）证明：()3322333a b a a b ab b +=+++()333a b ab a b =+++336a b ab =++()23333664a b a b a b +++⋅=++≤当且仅当1a b ==时取等号， 又()3328a b +==， 故332a b +≥．题型二：简单的和为定值或积为定值型例7．（2022·陕西安康·高一期中）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．2ab ≥ B 2a b ≤C ．213a b+≥D ．222a b +≥【答案】D【解析】对于选项A ：∵212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，∴A 错误；对于选项B ：12a b a b++≤=2a b ≤，∴B 错误； 对于选项C ：()2112112322322b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3223+< ∴C 错误； 对于选项D ：∵2222a b a b ++，当且仅当a b =时取等号， ∴222a b +≥，D 正确； 故选：D例8．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数,a b 满足1a b +=，则（ ）A ．ab 有最大值14B ．11a b +有最大值4 C ．ab 有最小值14D ．11a b+有最小值2 【答案】A【解析】因为正实数,a b 满足1a b +=所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故A 正确、C 错误． 2111142+=≥=⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ab a b ，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故B 、D 错误． 故选：A例9．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数x y ，满足 4x y +=，则xy 的最大值（ ） A ． 2 B ．4C ． 6D ．8【答案】B【解析】因为正数x y ，满足 4x y +=，所以有4224x y xy xy xy =+≥⇒≤，当且仅当2x y ==时取等号， 故选：B例10．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若()0,4,x ∈则()4x x -的最大值是（ ） A ．4 B ．1C ．0D ．不存在【答案】A【解析】因为()0,4x ∈，所以()40,4x -∈，所以()()24442x x x x ⎡⎤+--≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当4x x =-，即2x =时取等号；故选：A例11．（2022·河南郑州·高一期中）设正实数x ，y 满足x +2y =1，则下列结论正确的是（ ）A ．x 的最大值为14B ．224x y +的最小值为12，C ．y x +1y的最大值为4 D 2x y 2【答案】B【解析】正实数x ，y 满足x +2y =1，则1x <，无最大值，A 错误；由基本不等式得：()2222441x y x xy y +=++=，而2244xy x y ≤+，所以22142x y +≥，当且仅当2x y =，即11,24x y ==时，等号成立，B 正确；111112212y x y y x x x y +=+-=+-+，其中()111115922222222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，所以1111422y x y x y +=-++≥，故y x +1y的最小值为4，C 错误； 20x y ，其中(2222212x yx y xy xy =++=+221224x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,24x y ==时，等号成立，所以(221222x yxy =+≤，所以022x y 2x y2D 错误．． 故选：B例12．（2022·山东青岛·高一期末）已知,,x y z 都是正实数，若1xyz =，则 ()()()x y y z z x +++ 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】由0,0,0x y z >>>可知20x y xy +≥>（当且仅当x y =时等号成立）20y z yz +≥>（当且仅当y z =时等号成立）20x z xz +≥>（当且仅当x z =时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得()()()22288x y z x y y z z x ≥++=+（当且仅当1x y z ===时等号成立）故选：D例13．（2022·江苏·常州市第一中学高一期末）若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】∵72x ≥，∴30x ->， ∴()()()223161011()=32323333x x x f x x x x x x x -+-+==-+≥-⨯----， 当且仅当133x x -=-，即4x =时，等号成立，即()f x 有最小值2． 故选：D ．例14．（2022·湖北黄石·高一期中）若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】因为1x >，所以10x ->， 所以()2142211x x y x x x x -++=+=+--()()4442132137111x x x x x x =++=-++≥-⋅=---， 当且仅当()411x x -=-，即3x =时取等号， 所以函数221x y x x +=+-的最小值为7； 故选：C例15．（2022·云南楚雄·高一期末）下列函数中最小值为8的是（ ） A ．16y x x=+B ．16sin sin y x x=+C ．22644x y x=+D ．227y x x =-+【答案】C【解析】对于A ，当0x <时，显然不满足题意； 对于B ，因为0sin 1x <，又16y x x=+在(]0,1上单调递减，所以当sin 1x =时min 17y =，所以其最小值不为8，B 不符合题意；对于C ，226421684x y x=+=，当且仅当216x =，即4x =±时取等号，所以其最小值为8，C 符合题意；对于D ，()2227166y x x x =-+=-+≥，当1x =时，取得最小值，D 不符合题意． 故选：C例16．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数x ，y 满足2x y +=-，则1x y的最小值为（ ） A ．0 B ．1- C ．2-D ．3【答案】A【解析】根据题意有2x y =--，故11122xy yyyy1220yy，当且仅当1y =-，1x =-时取等号．故选：A题型三：含+y x x y 或1+t t以及可以转化为此的类型 例17．（2022·四川·华阳中学高一期中）若正实数x ，y ，z 满足2243x y z xy =++，则当xyz取最大值时，1112x y z+-的最大值为______． 【答案】12【解析】正实数x ，y ，z 满足2243x y z xy =++ 则2234z x xy y =-+ 则2234xy xy z x xy y =-+ 143x y y x+=- 4231x y y x⋅-=，当且仅当2x y =时取得等号 所以max1xy z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时2x y =所以222234z x xy y y =-+= 所以1112x y z+-2111222y y y=+- 211111222y ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭所以1112x y z+-的最大值为12 故答案为：12例18．（2022·四川内江·高一期末（文））已知正实数a 、b 满足4a b +=，则11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．222 B ．4C ．254D ．221【答案】B【解析】∵正实数a 、b 满足4a b +=，∴11112224a b ab ab b a ab ab ⎛⎫⎛⎫++=++⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当1ab ab=，即1,4ab a b =+=时，取等号， 故选：B ．例19．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．9 B ．16 C ．49 D ．81【答案】D【解析】由题意得3327627ab a b ab =++≥，得)627930ab ab ab ab -=≥9ab ，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立． 故选：D例20．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期中）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴221114344323===-++-⋅-xy xy x y zx xy y x y y xy x， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D例21．（2022·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a 和b 满足ab +a +2b =7，则14299a b +++的最小值为（ ） A ．49B 815C ．1327D 13375-【答案】A【解析】因为ab +a +2b =7， 所以72+1b a b -=，72+2297+2,+112b b a b b b -+==<+， 所以141414422999999999b b a b b b +++=+≥⋅=++++， 当且仅当51,2b a ==时等号成立， 故选：A例22．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高一期中）若正实数x ，y 满足()()1419x y ++=，则4x y +的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．265D ．425【答案】B【解析】()()()2242141914124x y x y x y +++++⎛⎫=++≤=⎪⎝⎭， 可得()24236x y ++≥，426x y ++≥，所以44x y +≥， 所以4x y +的最小值为4， 故选：B例23．（2022·江西省丰城中学高一期中）已知正实数a ，b ，若()1126a b a b+++=，z a b =+，则z 的取值范围是（ ）A ．{}13z z ≤≤B ．{}12z z ≤≤C ．{}23z z ≤≤D ．{}34z z ≤≤【答案】B【解析】由()()111226a b a b a b ab ⎛⎫+++=++= ⎪⎝⎭， 得()2661422a b aba b +=≤+++，化简得()()2320a b a b +-++≤，解得12a b ≤+≤，即z 的取值范围为{}12z z ≤≤， 故选：B ．例24．（2022·河南三门峡·高一期末）若正实数x ，y 满足30x y xy ++-=，则x y +的最小值为（ ） A ．3 B ．2C 3D 3【答案】B【解析】由题意，正实数,x y 满足30x y xy ++-=，则23()2x y x y xy +⎛⎫-+=≤ ⎪⎝⎭，令(0)x y t t +=>，可得232t t ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即24120t t +-≥，解得2t ≥，或6t ≤-（舍去），所以当且仅当1x y ==时，x y +取得最小值2， 故选：B ．例25．（2022·贵州·六盘水红桥学校高一期中）设x ，y ，z 为正实数，满足0x y z -+=，则2yxz的最小值是（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14【答案】A【解析】由题设，y =x+z ，∴22()y x z xz xz+=，又x ，y ，z 为正实数，则2()4x z xz +≥， ∴24y xz ≥，当且仅当2y x z ==时等号成立． ∴2y xz的最小值是4． 故选：A例26．（2022·重庆八中高一期中）已知0a >，0b >，2a b +=，则22a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ）A ．8B ．434C ．9D ．34【答案】C【解析】由题意得，()22222244222222aa b a a a a a b a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-+=-++-+ ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭224(2)412(2)2(2)4(2)(2)a a a a a a a a a a +-+=--+=-+---，因()0,2a ∈，所以(](2)0,1a a -∈，结合对勾函数的性质得，12(2)4(2)a a a a -+--在(2)1a a -=时取得最小值9．故选：C ．题型四：含22,,,++=++y x ax by ax by xy ax by a b ab类型 例27．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．14 D ．16【答案】A【解析】因为8ab =，所以()222216a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---．因为a b >，所以0a b ->，所以1616()8a b a b a b a b -+≥-⋅--，即28a b a b+≥-，当且仅当4a b -=时，等号成立，故222a b a b+--的最小值是6． 故选：A例28．（2022·全国·高一单元测试）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．22D 3【答案】A【解析】因为a ，b 均为正实数，则()222222222222222ab bc a c a c a b c a c a c b bb b ++=≤++++++⨯()222222*********22222222a ac c ac ac a c a c a c ++=++=++⨯， 当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c +++的最大值为12． 故选：A ．例29．（2022·湖北恩施·高一期末）若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．22【答案】C【解析】因为2a >，3b >，所以22224499492310232323a b a b a b a b a b a b -+-++=+=-++-++------ ()()492223102023a b a b ≥-⋅-+=--（当且仅当4,6a b ==时，等号成立），所以2223a b a b +--的最小值是20． 故选：C例30．（2022·天津·南开中学高一期中）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________．【答案】2【解析】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=， 又因为224(1111111()4424)xy xy y y x xy xy xy x -+=+=+≥⋅，当且仅当14xy xy =，即22,22x y ==等号成立，所以21=14x y+≥．故答案为：2例31．（2022·云南丽江·高一期末）若正数a ，b 满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为___________． 【答案】9【解析】因为正数a ，b 满足2a b ab +=， 所以121b a+=，则()212222522529b a b a a b a a b b a b a b ⎛⎫+=++≥+⋅ ⎪⎝+=+⎭， 当且仅当22b a a b =且121b a+=，即3a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为9． 故答案为：9．例32．（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x ，y 满足111x y+=，则4x y +最小值为______．【答案】9【解析】正数x ，y 满足：111x y+=，∴()1144445529y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即2x y =，233x y ==，时 “=”成立， 故答案为：9．例33．（2022·青海青海·高一期末）已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为（ ）A ．74B ．92C ．134D ．1【答案】B【解析】因为2x y +=，所以1414141422x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为x ，y 都是正数，由基本不等式有：4424y x y xx y x y+≥⋅， 所以141491422y x x y x y ⎛⎫+=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2,? 2,y x x y =⎧⎨+=⎩即2,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“＝”．故A ，C ，D 错误．故选：B ．例34．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知 x y ， 为正实数， 且 2x y xy +=， 则 2x y + 的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】因为x y ， 为正实数， 所以2121x y xy y x+=⇒+= 所以214(2)()44248y xx y y x x y++=++≥+= 当且仅当42y x x y x y xy ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即2,4x y ==时，取等号， 故2x y + 的最小值为8． 故选：C例35．（2022·江西·高一期中）已知0a >，0b >，且12a b +=，则4b a+的最小值是（ ）2【答案】A【解析】由题意可得411414522b a b ab a b a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为0a >，0b >，所以44ab ab +≥，则492b a +≥， 当且仅当43a =，32b =时，等号成立． 故选：A例36．（2022·广东·化州市第三中学高一期中）下列结论中，所有正确的结论是（ ） A ．若3x <-，则函数13y x x =++的最大值为3- B ．若0xy >，234x y xy +=，则2x y +的最小值为23C ．若x ，(0,)∈+∞y ，223x y xy ++=，则xy 的最大值为1- D ．若2x >，2y >-，22x y +=，则11224x y +-+的最小值为322+【答案】B【解析】对于A ，若3x <-，则函数 ()()()1111333323()353333y x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++-=--++----+⋅--=- ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦， 当且仅当4x =-时等号成立，故A 错误； 对于B ，若0xy >，234x y xy +=，则234y x+=， 所以()13214314322628223444x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++++⋅=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当2243x y =时等号成立，故B 正确； 对于C ，若x ，(0,)∈+∞y ，223x y xy ++=，则由222x y xy +可得：323xy xy xy +=，即1xy ，故C 错误； 对于D ，若2x >，2y >-，22x y +=，则()()11111124212422242221224422442244224y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+-+-⎡⎤+=+-++=+++⋅= ⎪ ⎪⎣⎦ -+-+-+-+⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当224x y -=+，即4x =，1y =-时等号成立，故D 错误． 故选：B ．例37．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知p ，q 为正实数且3p q +=，则1121p q +++的最小值为（ ）3345【答案】A【解析】由3p q +=可知216p q +++=，11112111212121663612p q p q p q p q q p ⎛⎫⎛⎫++++⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11212236123p q q p ++≥+⨯⋅=++， 当21p q +=+，即12p q =⎧⎨=⎩时，“=”成立，故选：A ．例38．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134 B ．94C ．74D ．95【答案】B【解析】∵2m n +=， ∴()()114m n +++=，即11144m n +++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++ ()11521414n m m n ++≥⋅++94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立．故选：B ．例39．（2022·江苏·常州市第一中学高一期中）已知0x >，0y >，2x y +=，则11xx y ++的最小值为（ ）． A ．1532B ．133C ．1233+D ．32【答案】C【解析】因为2x y +=， 所以2y x =-， 又0x >，0y >， 所以02x <<，111131=1213333x x x x x x y x x x x x x -+=+=+⨯+++-+--， 因为02x <<， 所以30x ->，所以13113123123333333x x x x x x x x --⨯++≥⨯⨯--， 当且仅当13=33x x x x -⨯-，即333x -所以11x x y ++2313，故选：C【过关测试】 一、单选题1．（2022·江苏·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．220,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)abab a b a b ≤>>+ D ．220,0)22a b a b a b ++>>【答案】D【解析】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=， 因为FO FC ≤，所以2222a b a b ++≤a b =时取等号． 故选：D ．2．（2022·福建三明·高一期中）已知正实数,a b 满足418a b +=，使得11a b+取最小值时，实数,a b 的值为（ ） A ．94a =，9b = B ．2a =，10b = C ．3a =，6b = D ．185a =，185b = 【答案】C 【解析】418a b +=，21918a b∴+= 1111252521291818189181892a b b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2189b aa b =，即2418b a a b =⎧⎨+=⎩，即36a b =⎧⎨=⎩时，等号成立故当3a =，6b =时，11a b+取最小值． 故选：C3．（2022·浙江杭州·高一期末）若a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+（ ）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】A ．都不大于2，结论不一定成立，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c +，1c a+都大于2，所以选项A 错误；B ．都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如1,2,a b ==则12a b+<，所以选项B 错误； C ．至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c +，1c a+都大于2，所以选项C 错误． 由题意，∵a ，b ，c 均为正实数，∴1111112226a b c a b c b c a a b c+++++=+++++≥++=．当且仅当a b c ==时，取“=”号， 若12 a b +<，12b a+<，12c c +<，则结论不成立， ∴1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2，所以选项D 正确；故选：D ．4．（2022·云南玉溪·高一期末）现有以下结论： ①函数1y x x=+的最小值是2； ①若a 、b R ∈且0ab >，则2b aa b+≥；①2233y x x ++2；①函数()4230y x x x=-->的最小值为243-． 其中，正确的有（ ）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断①①①的正误． 【详解】对于①，当0x <时，10y x x=+<，①错误； 对于①，若a ，b R ∈且0ab >，说明0b a >，0a b >，则22b a b aa b a b+≥⨯，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，①正确；对于①，22221323233y x x x x =+≥+⨯++，2233x x +=+231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正确，①错误；对于①，因为0x >，所以433x x+≥ 函数()4230y x x x=-->的最大值为23-①错误． 故选：B ．5．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知0a >，0b >，且115a b a b+++=，则a b +的取值范围是（ ） A ．14a b ≤+≤ B ．2a b +≥C ．14a b <+<D ．4a b +>【答案】A【解析】当2a b ==时，115a b a b+++=，4a b +=，所以CD 选项错误． 当12a b ==时，115a b a b +++=，1a b +=，所以B 选项错误．211452a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b ++=+++=++≥++=++++⎛⎫⎪⎝⎭， 即45a b a b++≤+当且仅当2a b ==或12a b ==时等号成立．则()()2540a b a b +-++≤，()()140a b a b +-+-≤，解得14a b ≤+≤． 故选：A6．（2022·甘肃兰州·高一期末）已知x ，y R ∈，且0x >，0y >，2x y +=，那么xy 的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】根据题意，0x >，0y >，2x y +=，则212x y xy +⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，即xy 的最大值为1． 故选：C7．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数,1x y >11x y -+- ）A ．1B 2C ．2D ．2【答案】C【解析】因为,1x y >，所以10,10x y ->->， 221121111x y x y x y -+-+=-+--+-2112211x y x y --+-+-11x y -=-x y =时取等号，1111x y x y -+-=-+-11222211x y x y -+-≥⋅=-+-，1111x y x y -+-=-+-2x y ==时取等号，11x y -+-2，故选：C8．（2022·河南新乡·高一期末）已知0x >，0y >，且22x y +=，则321x y+的最小值为（ ） A ．24 B ．25C ．26D ．27【答案】B【解析】因为0x >，0y >，且22x y +=， 所以()321132116464234172522y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫⎛⎫+=++=++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当64y x x y =，即85x =，15y =，等号成立． 所以321x y+的最小值为25， 故选：B 二、多选题9．（2022·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（ ） A ．21x y x+=的最小值为2B ．任意的正数a b 、， 且1a b +=2a bC ．若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D ．设x 、y 为实数，若2291x y xy ++=，则3x y +221【答案】BCD【解析】选项A ：211+==+x y x x x， 当0x > 时，11.2y x x x x=+≥= ，当且仅当1x =时有最小值． 故A 不正确． 选项B ()()2212a b a ba b ab ab ++++对于任意正数a b 、 ，a b ab +≥，而1a b += ，所以21ab ， 当且仅当12a b ==时取得最大值． +2a b ≤，当且仅当12a b ==时取得最大值． 故B 正确．选项C ：对于正数x y 、，23x y xy += ，所以213x y+=所以()()1121232233x y x y x y x y ⎛⎫+=⨯+=++ ⎪⎝⎭122122552333y x y x x y x y ⎛⎛⎫=++≥+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝ 当且仅当22y xx y= ，即1x y ==时取得最小值． 故C 正确．选项D ：因()2229351x y xy x y xy ++=+-=所以()2253+315()32x y x y xy +-=≤⨯ ，即()21237x y +≤ 所以2212213x y ≤+≤，当且仅当213x y ==时等号成立． 故D 正确． 故选：BCD ．10．（2022·福建·福州三中高一期末）已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A ．22a b +的最小值为15B ．ab 的最大值为18C ．1a b +的最大值为43D ．11a b+的最小值为42【答案】AB【解析】对于A ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当25b =时，22a b +有最小值15，故A 正确． 对于B ：由0a >，0b >，122a b ab =+≥18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以ab 的最大值是18，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以111121a b b b b -==+-+-，因为102b <<，所以1112b -<-<-， 所以1211b -<<--，所以1121b -<<-，即112a b <<+，故C 错误；对于D ：11222212332a b a b b a b aa b a b a b a b+++=+=+++≥+⋅=+ 当且仅当2b a a b =，即22b -=21a =时取等号，故D 错误； 故选：AB11．（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）若0a >，0b >，且5a b +=，则（ ） A ．ab 的最大值为254B a b 10C ．22a b +的最小值为252D ．11a b+的最小值为45【答案】ACD【解析】因为5a b ab +=≥52a b ==时，等号成立），所以254ab ≤，A 正确．因为25510a ba b ab ab a b =++=+≤++=，（当且仅当52a b ==时，等号成立）10a b ≤B 错误． 因为()22222252252a b a b ab a b +=++=≤++（当且仅当52a b ==时，等号成立），所以22252a b +≥，C 正确．()111111142225555b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝， （当且仅当52a b ==时，等号成立），D 正确， 故选：ACD12．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知,0,260x y x y xy >++-=，则（ ） A ．xy 2B ．2x y +的最小值为4 C ．x y +的最小值为423- D ．22(2)(1)x y +++的最小值为1 【答案】BC【解析】由,0,2622x y x y xy xy >+=-≥32200202xy xy xy xy ≤⇒<⇒<≤，当且仅当2,1x y ==时等号．故A 错，()()()222112,0,262622228x y x y x y x y x y x y ++⎛⎫>⋅=-+≤⇒-+≤ ⎪⎝⎭， 进而可得：()()21224024x y x y x y +++-≥⇒+≥，当且仅当2,1x y ==取等号，故B 正确， 令x y m +=，则0m >，所以y m x =-，故260x y xy ++-=可化为2()()60x m x x m x +-+--=，整理得2(1)620x m x m +-+-=，由0∆，得2(1)4(62)0m m --⨯-，即26230m m +-，解得423m -或423m --（舍去），C 正确，D ，22(2)(1)2(2)(1)2(22)16x y x y xy x y +++++=+++=，当且仅当222,221x y ==时等号成立，D 错误故选：BC ．13．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a ＞0，b ＞0，则（ ） A ．12(2)()9a b ab++≥ B ．222(1)a a b b +++≥ C ．22a b a b b a++≥D ．22a b ab a b+≥+【答案】ACD【解析】A ．122222(2)()5529≥++=+++⋅b a b aa b aba b a b ，当且仅当22b a a b=时，等号成立，故正确；B ．因为()()2222121-2b-2=-4-++--a a b b a ，正负不定，故错误；C ．2222222+≥2++⋅⋅=+a b a b a b b a a b b a b a ，当且仅当2a b b =，2b a a =时，等号成立，故正确；D ．()()()()23322443322--⎛⎫++---==≥ ⎪+++⎝⎭a b a ba b a b a b ab ab a b a b a b ，故正确；故选：ACD 三、填空题14．（2022·江苏扬州·高一期中）若20,x y >>则2y xx y y+-的最小值为_________． 122【解析】因为20x y >>，则20x y ->，221212222222222y x y x y y y x y y x y x y y x y y x y y x y y -+--∴+=+=++≥⋅----1122222=+=，当且仅当222y x yx y y-=-，即当(122y x =时，等号成立， 因此，2y x x y y +-122． 122．15．（2022·湖北十堰·高一期中）已知1x >，则2241x x x -+-的最小值为___________．【答案】23【解析】由1x >，则()()22132433121231111x x x x x x x x x -+-+==-+≥-⋅---- 当且仅当311x x -=-时，即31x =时取等号，此时取得最小值3 故答案为：2316．（2022·上海交大附中高一期中）已知正实数a ，b ，满足6a b +=，则2211a ba b +++的最大值为___． 110+【解析】因为正实数a ，b ，满足6a b +=，则222222222226(1)6(1)6(1)11(1)(1)()1()237(1)36a b ab a b a b ab ab ab a b a b ab a b ab ab ab +++++++====+++++++-+-+， 因为6a b +=，0a >，0b >， 所以20()92a b ab +<=，当且仅当3a b ==时取等号， 令1=-t ab ，18t -<， 则原式26(2)36t t +=+ 26(2)611040(2)4(2)4040242(2)422t t t t t t t ++==+-++++-+⋅-++当且仅当4022t t +=+，即2102t =110+， 110+ 17．（2022·江西·上高二中高一期末（理））已知a ，b 为正实数，且()(2)9a b a b a b ++++=，则34a b +的最小值为___________． 【答案】621【解析】由,a b 为正实数，且()(2)9a b a b a b ++++=，可化为()(21)9a b a b +++=， 则(22)(21)18a b a b +++=所以341(22)(21)2(22)(21)21862a b a b a b a b a b ++=++++≥+⨯++== 当且仅当2221a b a b +=++时，即1a =时，等号成立， 所以34a b +的最小值为621． 故答案为：621．18．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知0x >，0y >，1x y +=，则311y x x y++的最小值为__．【答案】6 【解析】311y x x y++3y x y x y x x y ++=++311y yx x x y =++++ 42y x x y =++422y xx y≥⋅=6，当且仅当析23x =，13y =时，等号成立． 故答案为：6 四、解答题19．（2022·河南焦作·高一期中）已知a ，b 是正实数，且2a b +=，证明下列不等式并指出等号成立的条件：（1）222a b +≥；（2）()()334a b a b ++≥．【解析】（1）因为222a b ab +≥，所以()()22222224a b ab a b a b +≥++=+=所以222a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立；（2）()()()233443344222224a b a b a b ab a b a b a b a b ++=+++≥++=+≥当且仅当33ab a b a b ⎧=⎨=⎩即1a b ==时等号成立．20．（2022·全国·高一单元测试）已知a ，b ，c 均为正数． （1）若40a b ab +-=，求a b +的最小值；（2）若1a b c ++=，求证：()()()1118a b c abc ---≥． 【解析】（1）由40a b ab +-=得411a b+=，所()41445529b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当4b aa b=时，等号成立，即6a =，3b =．故a b +的最小值为9，此时6a =，3b =； （2）因为1a b c ++=，所以()()()()()()111a b c b c a c a b ---=+++又因为a ，b ，c 均为正数，所以2a b ab +≥2b cbc +≥2a a c c +≥ 所以()()()8a b b c a c abc +++≥，故()()()1118a b c abc ---≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立．。

专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤(a +a 2)2(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a +a 2)2(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【题型1 利用基本不等式求最值（拼凑法）】【例1】（2020•德阳模拟）已知x ，y 为正实数，则4x x+3y+3y x的最小值为（ ）A ．53B ．103C ．32D ．3【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 【解答】解：∵x ，y 为正实数， ∴4x x+3y+3y x=41+3y x+（1+3yx ）﹣1 ≥2√41+3y x(1+3yx )−1＝4﹣1＝3， 当且仅当(1+3yx )2=4即x ＝3y 时“＝”成立， 故选：D ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道基础题． 【变式1-1】（2020•天津模拟）设x ＞y ＞0，则x +4x+y +1x−y 的最小值为（ ） A ．3√2B ．2√3C ．4D ．3√102【分析】原式可变形为x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y]，然后根据基本不等式即可求出原式的最小值． 【解答】解：∵x ＞y ＞0， ∴x ﹣y ＞0，∴x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y ]≥2√2+√2=3√2，当且仅当12(x +y)=4x+y，12(x −y)=1x−y，即x =3√22，y =√22时取等号．故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式求最小值的方法，利用基本不等式时需说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．【变式1-2】（2021•浙江模拟）已知正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则a 2+1a+2b 2b+1的最小值是（ ）A ．94B ．73C ．174D ．133【分析】变形利用基本不等式即可得出结论． 【解答】解：∵正实数a ，b 满足a +2b ＝2, ∴a 2+1a +2b 2b+1=a +1a +2b +2﹣4+2b+1=1a +2b+1, =14(a +2b +2)(1a+2b+1)=14(1+4+2b+2a +2a b+1)≥14×(5+2√2b+2a ×2a b+1)=94, 当且仅当a =43，b =13时，取得最小值， 故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式1-3】（2021•和平区校级模拟）实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．32D ．83【分析】利用基本不等式得到ab 的范围，可解决此题． 【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，∴4＝a +b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤4． ∴a 2a+1+b 2b+1=a 2(b+1)+b 2(a+1)(a+1)(b+1)=a 2+b 2+ab(a+b)ab+a+b+1=(a+b)2−2ab+4abab+5=16+2ab ab+5=2(ab+5)+6ab+5=2+6ab+5∈[83，165）．∴最小值为83． 故选：D ．【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题． 【题型2 利用基本不等式求最值（常数代换法）】【例2】（2021•丙卷模拟）若a ＞0，b ＞0，且ab ＝a +b ，则4a +9b 的最小值为（ ） A ．25B ．5C ．26D ．13【分析】由ab ＝a +b 可得1a+1b =1，再由4a +9b 转化（1a+1b）（4a +9b ）可解决此题．【解答】解：由ab ＝a +b 可得1a +1b=1，又a ＞0，b ＞0，∴4a +9b =(4a +9b)(1a +1b )=13+9b a +4a b ≥13+2×√9b a ×4a b=13+12=25， 当且仅当9b a=4a b，且1a+1b=1，即a =52，b =53时，等号成立，所以4a +9b 的最小值为25，故选：A ．【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．【变式2-1】（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数m ，n 满足m （n ﹣1）＝4n ，则m +4n 的最小值是（ ） A ．25B ．18C ．16D ．8【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为m （n ﹣1）＝4n ，可得mn ﹣m ＝4n ，整理可得1=4m +1n， 所以m +4n ＝（m +4n ）（4m+1n）＝8+m n +16n m ≥8+2√m n ⋅16n m=16， 当且仅当m n=16n m时，即m ＝8，n ＝2时等号成立，所以m +4n 的最小值为16． 故选：C ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题． 【变式2-2】（2021•辽阳一模）已知a ＞0，b ＞0，a +4b ＝4，则4a+9b 的最小值为 ．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解即可． 【解答】解：因为4a+9b=14(a +4b)(4a+9b)=14(40+16b a+9a b)，16b a+9a b ≥2√16b a⋅9a b=24，当且仅当a ＝1，b =34时，等号成立．所以4a+9b≥16．故答案为：16．【点评】本题考查均值不等式的应用，考查运算求解能力，是基础题． 【变式2-3】（2021•红桥区二模）已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为 ．【分析】将a 2+4a+b 2+1b变形再代入a +b ＝1，利用基本不等式可得答案．【解答】解：已知正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则a 2+4a+b 2+1b=a +4a +b +1b =a +b +4a +1b =1+4a +1b =1+（a +b ）（4a +1b）＝1+5+ab +4b a ≥6+2√a b ⋅4b a=10， 当且仅当a b=4b a且a +b ＝1时，取等号，即a =23，b =13时取等号，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为10；故答案为：10．【点评】本题考查基本不等式的运用，属于基础题． 【题型3 利用基本不等式求最值（消元法）】【例3】（2021•浙江模拟）若正实数x ，y 满足1x +1y+x y=4，则x +1x +1y的最小值为 ．【分析】先由已知关系式求出y 的表达式，代入所求的关系式中化简，然后利用基本不等式即可求解． 【解答】解：由1x +1y+x y=4可得：x+1y=4−1x=4x−1x,所以y =x(x+1)4x−1, 则x +1x+1y =x +1x +4x−1x(x+1)＝x +x+1+4x−1x(x+1)=x +5x+1=(x +1)+5x+1−1 ≥2√(x +1)⋅5x+1−1=2√5−1,当且仅当x +1=5x+1,即x =√5−1时取等号， 此时x +1x+1y的最小值为2√5−1, 故答案为：2√5−1．【点评】本题考查了基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 【变式3-1】（2021•海曙区校级模拟）已知正数a ，b 满足1a +1b=2，则3b+1−a 的最大值为 ．【分析】利用已知的等式，将所求的式子进行消元，得到关于a 的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：因为1a+1b=2，所以a +b ＝2ab ，当a =12时，1b=0，不符合题意，所以b =a 2a−1(a ＞12)， 则3b+1−a =3a2a−1+1−a =2−(13a−1+3a−13)−13，因为a ＞12,则a ＞13，所以3a ﹣1＞0，则13a−1+3a−13≥2√13a−1⋅3a−13=2√33， 当且仅当13a−1=3a−13，即a =1+√33时取等号， 所以2−(13a−1+3a−13)−13≤2−2√33−13=5−2√33, 则3b+1−a 的最大值为5−2√33． 故答案为：5−2√33． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．【变式3-2】（2021•鄞州区校级模拟）若实数x ，y 满足2x 2+xy ﹣y 2＝1，则5x 2﹣2xy +2y 2的最小值为 ． 【分析】由已知2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1，而5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2，然后利用基本不等式即可求解，【解答】解：因为2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1， 令t ＝2x ﹣y ,则x +y =1t,则5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2=t 2+1t 2≥2√t2⋅1t 2=2, 当且仅当t 2=1t 2，即t ＝±1时取等号，此时5x 2﹣2xy +2y 2取最小值2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．【变式3-3】（2021•嵊州市二模）已知x ＞0，y ＞0，若x •（y +1）＝2，则x −1y的最大值为 ． 【分析】根据条件可得x −1y =x−x 22−x ，设t ＝2﹣x ，则x −1y =−（t +2t ）+3，然后利用基本不等式求出最大值即可．【解答】解：因为x ＞0，y ＞0，x •（y +1）＝2，所以y=2−xx，则x−1y=x−x2−x=x−x22−x，设t＝2﹣x，则由0＜x＜2，得0＜t＜2，所以x−1y=−(2−t)2+2−tt=−（t+2t）+3≤3−2√2，当且仅当t=2t，即t=√2时取等号，所以x−1y的最大值3﹣2√2．故答案为：3﹣2√2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．【题型4 基本不等式的综合（求参数）】【例4】（2021•广东模拟）当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8【分析】当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，只需m≤（x+4x−4）min，求出x+4x−4的最小值即可．【解答】解：∵x＞4，∴x﹣4＞0，∴x+4x−4=x﹣4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x＝6时取等号，∵当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤（x+4x−4）min＝8．∴m的取值范围为：（﹣∞，8]．故选：A．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．【变式4-1】（2020•藁城区校级模拟）若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4＜m2﹣m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【分析】将不等式x+y4＜m2﹣m有解转化为m2﹣m＞（x+y4）min即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：若不等式x +y 4＜m 2﹣m 有解，即m 2﹣m ＞（x +y 4）min 即可， ∵1x +4y=2，∴12x+2y =1，则x +y4=（x +y4）（12x +2y）=12+24+2xy +y8x ≥1+2√2xy ⋅y8x =1+2×√14=1+2×12=1+1＝2， 当且仅当2x y=y 8x，即y 2＝16x 2，即y ＝4x 时取等号，此时x ＝1，y ＝4，即（x +y 4）min ＝2，则由m 2﹣m ＞2得m 2﹣m ﹣2＞0，即（m +1）（m ﹣2）＞0， 得m ＞2或m ＜﹣1，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）， 故选：D ．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键． 【变式4-2】（2020•湖北模拟）若不等式1x +11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1x+11−4x 的最小值为9，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，x ∈（0，14），则1﹣4x ＞0，则1x+11−4x=44x+11−4x=[4x +（1﹣4x ）]（44x+11−4x）＝5+4(1−4x)4x +4x1−4x≥5+2×√4(1−4x)4x ×4x 1−4x=9，当且仅当1﹣4x ＝2x 时等号成立， 则1x +11−4x 的最小值为9，若不等式1x+11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，即式1x+11−4x≥m 恒成立，必有m ≤9恒成立，故实数m 的最大值为9； 故选：C ．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形，属于基础题． 【变式4-3】（2021•浙江模拟）已知x ＞0、y ＞0，且2x +1y=1，若2x +y ＞m 2+8m 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（﹣1，9）B ．（﹣9，1）C ．[﹣9，1]D ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）【分析】先把2x +y 转化为（2x +y ）（2x+1y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x +y ＞m 2+8m 恒成立求得m 2+7m ≤9，进而求得m 的范围． 【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +1y=1，∴（2x +y ）（2x+1y）＝5+2x y +2y x ≥5+2√2x y ⋅2yx=9，当且仅当x ＝3，y ＝3时取等号， ∵2x +y ＞m 2+8m 恒成立， ∴m 2+8m ＜9，解得﹣9＜m ＜1， 故选：B ．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力． 【题型5 基本不等式与其他知识综合】【例5】（2021•河北模拟）已知函数f （x ）＝x +21+e x ，若正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2，则2m+1n的最小值为（ ） A ．8B ．4C ．83D ．89【分析】直接利用函数的单调性和对称性的应用及基本不等式的应用求出结果． 【解答】解：函数f （x ）＝x +21+e x ， 所以f （﹣x ）＝﹣x +21+e −x ， 所以f （x ）+f （﹣x ）＝2．由于函数f （x ）＝x +21+e x 在定义域上单调递增， 故正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2， 故9﹣m ＝2n ， 所以m +2n ＝9， 所以2m+1n=19⋅（m +2n ）（2m +1n）=19(4+4n m +m n )≥19×(4+2√4)=89（当且仅当买m ＝2n 时，等号成立）． 故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，函数的单调性和对称性的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【变式5-1】（2021•金凤区校级一模）已知函数f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn ＞0，则1m +2n的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．4【分析】由对数函数的性质可求A （﹣2，﹣1），代入直线方程可得2m +n ＝4，从而有1m+2n=14（1m+2n）（2m +n ），利用基本不等式即可求解．【解答】解：f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx +ny +4＝0上， ﹣2m ﹣n +4＝0即2m +n ＝4， ∵mn ＞0， ∴m ＞0，n ＞0， ∴1m+2n=14（1m +2n ）（2m +n ）=14(4+n m +4m n )≥14(4+4)=2，当且仅当4m n=n m且2m +n ＝4即m ＝1，n ＝2时取得最小值2．故选：C ．【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，试题具有一定的综合性． 【变式5-2】（2020•济宁模拟）已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N *，满足a m a n 2＝a 42，则2m+1n的最小值为 ，等号成立时m ，n 满足的等量关系是 ．【分析】设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)，根据a m a n 2＝a 42，可得到m ，n 的关系式，然后结合基本不等式求解即可．【解答】解：设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)， ∵a m a n 2＝a 42，∴a m +2n ＝a 8，∴m +2n ＝8，m ，n ∈Z +． ∴2m+1n=18(m +2n)(2m+1n)=18(4+4n m+m n)≥18(4+2√4n m×m n)=1．当且仅当n ＝2，m ＝4时取等号，此时m ＝2n ． 故答案为：1，m ＝2n ．【点评】本题主要是考查了基本不等式的应用．注意适用条件的判断．属于中档题．【变式5-3】（2020•河南三模）存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列．若点A （1，m ）在直线ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，则1a+2b 的最小值为 ．【分析】运用两角差的正弦公式，化简可得y ＝2sin （x −π6），可得0＜m ≤2，讨论m 的范围，结合三角函数的图象和等差数列的定义，可得m ＝2，将A 代入直线方程，可得a +2b ＝2，再由乘1法和基本不等式即可得到所求最小值． 【解答】解：由√3sin x ﹣cos x ＝2（√32sin x −12cos x ）＝2sin （x −π6）， 存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列， 即有0＜m ≤2．若0＜m ＜2，由y ＝2sin （x −π6）的图象可得：直线y ＝m 与函数y ＝2sin （x −π6）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若m ＝2，即有x −π6=2k π+π2，即为x ＝2k π+2π3，k ∈Z ， 可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π， 则m ＝2，由点A （1，2）在直线ax +by ﹣2＝0上， 可得a +2b ＝2，a ，b ＞0， 即b +12a ＝1， 则1a +2b =（1a+2b）（b +12a ）＝2+12+b a +ab≥52+2√b a ⋅ab =52+2=92．当且仅当a ＝b =23时，取得最小值92．故答案为：92．【点评】本题考查最小值的求法，注意运用基本不等式，运用乘1法，同时考查三角函数的化简，以及等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题． 【题型6 利用基本不等式解决实际问题】【例6】（2021•湖南模拟）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．【分析】先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．【解答】解：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x ，y 2=k2x∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20， ∴运费与仓储费之和为5x +20x∵5x +20x ≥2√5x ×20x =20，当且仅当5x =20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元 故答案为：2，20【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，正确确定函数解析式是关键．【变式6-1】（2020秋•浙江期中）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为y =x 210−30x +4000．问：（1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润； （2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成．【分析】（1）根据题意得出z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250），利用二次函数求解即可． （2）得出函数式子W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250），运用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）年产量为x ，年利润为z 万元，根据题意得： z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250）， 当x ＝230时，z max ＝1290（万元），（2）年产量为x 吨时，每吨的平均成本为W 万元，为y =x 210−30x +4000．∴W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250）， ∵x +40000x≥2√40000=400，（x ＝200等号成立）， ∴x ＝200时，W 最小=110×400﹣30＝10．故年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．【点评】本题考查了函数，基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．【变式6-2】（2020秋•虹口区期末）某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m 2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【分析】设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x+48，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x +48≥2√8x ⋅7200x+48＝528， 当且仅当8x =7200x ，即x ＝30（m ）时取等号，S min ＝96（m 2），此时1200x=40（m ）， 所以矩形停车场的南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，才能使人行通道占地面积最小， 最小面积是528m 2．【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．【变式6-3】（2020秋•大丰区校级期末）合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ．（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值．【分析】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，可得整个矩形广告面积，再利用基本不等式，即可求得最值．（2）由题意得b ≥2a ，b =20000a ，求得a 的范围，由（1）可得S ＝30（a +40000a）+60600，函数确定为减区间，即可得到何时取得最小值．【解答】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝20000，所以b=20000a，广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），广告的面积S＝（a+20）（3b+30）＝30（a+2b）+60600＝30（a+40000a）+60600≥30×2√a×40000a+60600＝72600，当且仅当a=40000a，即a＝200时，取等号，此时b＝100．故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm，时可使广告的面积最小为72600cm2．（2）由题意得，b≥2a，b=20000a，解得0＜a≤100，由（1）可得S＝30（a+40000a）+60600，当a＝100时，广告的面积最小为75600cm2．故当广告矩形栏目的高为100cm，宽为200cm，可使广告的面积最小为75600cm2．【点评】本题考查函数模型的构建，基本不等式的运用，解题的关键是正确表示整个矩形广告面积，属于中档题．。

基本不等式解析版1. 简介本文档将介绍基本不等式的概念及其解析方法。

基本不等式是数学中常见的不等式形式，对于解决各种数学问题和证明数学定理都具有重要意义。

2. 定义基本不等式是指仅含有线性项（例如一次幂），不含有高于一次幂的项的不等式。

一般形式可表示为：$$ax + b > 0$$其中，$a$ 和 $b$ 分别为实数。

3. 解析方法解析基本不等式的方法主要包括如下几种：3.1 首先化简不等式对于给定的基本不等式，可以首先进行化简。

例如，如果不等式中含有分式，则可以通过通分的方式将其化简为整式形式。

3.2 确定不等式的解集解析基本不等式的关键是确定其解集，即不等式的满足条件的实数解范围。

这可以通过分析不等式的各个部分的取值范围来确定。

3.3 使用数轴图解不等式为了更直观地理解不等式的解集，可以使用数轴图来图解不等式。

在数轴上标注出各个关键点，然后根据不等式的符号关系来确定解集所在的区间。

3.4 利用性质和方法求解不等式在解析基本不等式时，可以利用不等式的性质和一些常用的方法来求解。

例如，可以利用加减法、乘除法的性质来变形不等式，以便更容易找到解。

4. 总结基本不等式是数学中重要的不等式形式，解析基本不等式主要包括化简不等式、确定不等式的解集、使用数轴图解不等式以及利用性质和方法求解不等式等步骤。

掌握这些解析方法可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。

以上是对基本不等式解析版的简介，希望对您有所帮助！> 注意：本文档内容仅供参考，具体解析过程可能因具体不等式的情况而有所差异。

在实际情况中，应根据具体问题和要求进行进一步的分析和求解。

高考数学复习考点知识归纳专题解析专题20基本不等式考点知识归纳常考点01 不等式性质及其应用 (1)【典例1】 ................................................................................................................................................ 1 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 2 【变式演练1】 ........................................................................................................................................ 2 常考点02不等式解法 . (3)【典例2】 ................................................................................................................................................ 3 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 4 【变式演练2】 ........................................................................................................................................ 4 常考点03 含参不等式恒成立问题的求解策略 .. (4)【典例3】 ................................................................................................................................................ 5 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 6 【变式演练3】 ........................................................................................................................................ 7 常考点04基本不等式应用 .. (8)【典例4】 ................................................................................................................................................ 8 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 9 【变式演练4】 ........................................................................................................................................ 9 常考点05线性目标函数的最值问题 .. (10)【典例5】 .............................................................................................................................................. 10 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................. 11 【变式演练5】 ...................................................................................................................................... 11 【冲关突破训练】 .. (12)常考点01 不等式性质及其应用【典例1】1．（2021年天津卷）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A.a b c <<B.c a b <<C.b c a <<D.a c b <<【答案】D【解析】22log 0.3log 10<=，0a ∴<，122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>=，1b ∴>，0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a c b ∴<<.故选：D.2．（2021年新高考2卷）已知，，，则下列判断正确的是（） A. B.C.D.【答案】C【解析】，即.故选：C.【考点总结与提高】比较大小的常用方法：（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论． 注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. （4）利用单调性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.【变式演练1】1.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则()5log 2a =8log 3b =12c =c b a<<b a c <<a cb <<a bc <<55881log 2log log log 32a b =<==<=a c b <<A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 【答案】B 【解析】依题意， ， 因为， 所以， 所以.故选B ．2．(设3.0log 3.0log 22.0==b a ，，则( )A ．0<<+ab b aB ．0<+<b a abC ．ab b a <<+0D ．b a ab +<<0 【答案】B【解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=， 所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a bab+<<． 又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．常考点02不等式解法【典例2】1．（2021年浙江卷）设集合{}|1A x x =≥，{}|12B x x =-<<则A B =（）.A ．{}|1x x >-B ．{}|1x x ≥C ．{}|11x x -<<D ．{}|12x x <【答案】D【解析】由交集运算，得{|12}AB x x =≤<，故选D ．2．设全集U =R ，集合{}2{1},230A xx B x x x =<=--<∣∣，则()U A B =（） A ．{31}xx -<∣ B ．{11}x x -<∣ C ．{13}x x -<<∣ D ．{13}xx <∣ 【答案】D【解析】因为集合{1}A xx =<∣，所以{1}U A x x =∣C ． 因为{()(){}2230}310{13}B xx x x x x x x =--<=-+<=-<<∣∣∣，所以(){13}U A B x x ⋂=<∣． 故选：D ．22log 0.2log 10a ==＜0.20221b ==＞0.3000.20.21=＜＜0.30.201c =∈（，）a c b ＜＜【考点总结与提高】由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下： （1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>；（2）计算：求出相应的一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的根，有三种情况：0,0∆,∆∆=0<>；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．【变式演练2】1．已知集合{}2|log 2A x x =≤，{}2|60B x x x =--≤，则A B =（）A ．{}|04x x <≤B ．{}|24x x -≤≤C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x x <≤或 【答案】C【解析】∵{}{}2|log 2|04A x x x x =≤=<≤，{}{}2|60|23B x x x x x =--≤=-≤≤，∴{}|03A B x x =<≤， 故选：C ．2．记全集U =R ，集合{}260A x x x =--≤，集合401x B xx -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()UA B =（）A ．()1,4B ．[]0,2C ．()1,3D ．[]1,3【答案】D【解析】由260x x --≤得()()3+20x x -≤，即23x -≤≤，所以集合[]2,3A =-， 由401x x -≥-得4x ≥或1x <，所以集合()[),14,B =-∞+∞，所以[)U14B =，，所以()[]U13AB =，，故选：D.常考点03 含参不等式恒成立问题的求解策略【典例3】1．已知函数222,0,()ln(1),0,x x x f x x x ⎧---≤=⎨+>⎩若关于x 的不等式1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．12e -⎡⎢⎣B ．122,e ⎤⎥⎦C．12e -⎡⎢⎣D．12e ⎡⎢⎣【答案】A【解析】画出函数()f x 的图像如图所示.1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立即函数()y f x =的图像恒在直线12y ax a =+-的图像的下方， 且直线12y ax a =+-过定点11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当直线与ln(1)(0)=+>y x x 相切时，设切点()()00,ln 1P x x +，11y x '=+， 可得()0001ln 11211x x x ++=++，解得120e 1x =-，则直线斜率为12e -，即12e a -=； 当直线与222(0)y x x x =---≤相切时，此时由21222ax a x x +-=---， 得23(2)02x a x a ++++=，令2(2)460a a ∆=+--=，得a =a =，所以由图像可知12e a -≤≤2.已知不等式()22log 251ax x -+>的解集为R ，则a 的取值范围是________【答案】103a <<【解析】所给条件等价于22252250ax x ax x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩的解集为R ，即2230ax x -+>的解集为R ，由此可得：4120a a >⎧⎨∆=->⎩解得：103a << 答案：103a <<【考点总结与提高】解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果. （2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a < (或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥); ②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a > (或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤); ③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到.（4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数.在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷．【变式演练3】1已知不等式()22log 362ax x -+>的解集为()(),1,+b -∞∞，则a =___，b =____【答案】1,2a b ==【解析】所解不等式()22222360log 36log 4364ax x ax x ax x ⎧-+>⎪⎨-+>⇒-+>⎪⎩，即22360320ax x ax x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩，观察可得只要x 让第二个不等式成立，则第一个一定成立。

专题2.1 基本不等式的应用技巧(解析版)基本不等式的应用技巧基本不等式是数学中常见的一种重要工具，通过它可以解决各种问题。

本文将介绍一些基本不等式的应用技巧，并通过解析版的方式进行具体分析。

1. 不等式的加减变形不等式的加减变形是不等式求解中常用的技巧。

通过对不等式两边同时加减同一个数，可以改变不等式的形式，从而更好地进行化简和求解。

例如，对于不等式 a + x < b，我们可以通过减去 a 并加上负数 x，得到 x < b - a。

这样，原不等式就被转化为一个更简单的形式，使得求解变得更加容易。

2. 不等式的乘除变形和加减变形类似，不等式的乘除变形也是常见的求解技巧之一。

通过对不等式两边同时乘除同一个数（要求该数不为0），可以改变不等式的方向以及取值范围。

例如，对于不等式 a/x > b，若 a 和 b 均为正数，我们可以将不等式两边同时乘以正数 x，得到 a > b*x。

这样，原不等式的方向被颠倒，变为大于号，并且取值范围也随之改变。

3. 绝对值不等式的应用绝对值不等式是基本不等式中的一个重要分支。

它关注的是具有绝对值符号的不等式，需要特别注意其取值范围的变化。

例如，对于不等式 |x - a| < b，我们可以通过分情况讨论来解决。

当x - a > 0 时，原不等式可以简化为 x - a < b；当 x - a < 0 时，原不等式可以简化为 a - x < b。

通过进一步化简和求解，可以得到不等式的解集。

4. 不等式的应用实例分析接下来，我们通过一个具体实例来进行不等式的应用分析。

假设有一条长为 20m 的绳子，要将其分成两段，其中一段的长度是另一段的3倍。

我们需要求解这两段绳子的长度。

设绳子的一段长度为 x，则另一段长度为 3x。

根据题意，我们可以得到以下不等式：x + 3x = 20，即 4x = 20。

通过解方程，可得 x = 5，因此一段绳子的长度是 5m，另一段绳子的长度是 15m。

第六篇 不等式、推理与证明专题6.4 基本不等式【考纲要求】1. 了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【命题趋势】对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.【核心素养】本讲内容主要考查逻辑推理、数学建模的核心素养 【素养清单•基础知识】 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．几个重要不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋b2 ，几何平均数为 ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值，是 2p (简记：积定和最小)；(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是p24(简记：和定积最大)．【真题体验】1.【2019年高考浙江卷】若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.2.【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．【答案】【解析】方法一：.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.方法二：.当且仅当时等号成立，故的最小值为.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立. 3.【2018年高考天津卷理数】已知，且，则的最小值为 .【答案】14【解析】：a ，b ∈R ，且a ﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a +18b =6122a a ++=61222a a +⋅14， 当且仅当2a=612a +．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：14． 故答案为：14． 【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 4. 【2018年高考江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为___________．【答案】9 【解析】由题意得12acsin120°=12asin60°+12csin60°， 即ac=a+c ，得1a+1c=1，得4a+c=（4a+c）（1a+1c）=ca+4ac，当且仅当ca=4ac，即c=2a时，取等号，故答案为：9．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”不等式的另一边必须为定值）、“等（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.5. 【2017年高考天津卷理数】若，，则的最小值为___________．【答案】【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）．【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．【考法解码•题型拓展】考法一利用基本不等式求最值归纳总结:(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；二是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．【例1】(1)已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23 【答案】B【解析】因为0<x <1，所以x (3－3x )＝3x (1－x )≤32(1)2x x +-⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．(2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为__________． 【答案】1【解析】因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为__________． 【答案】4【解析】a 4＋4b 4＋1ab ＝a 3b ＋4b 3a ＋1ab ，由基本不等式，得a 3b ＋4b 3a ＋1ab ≥2a 3b ×4b 3a ＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a 3b ＝4b 3a ，4ab ＝1ab 同时成立，即a 2＝22，b 2＝24时，等号成立.【例2】 (1)已知x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为__________． 【答案】18【解析】因为x ，y ＞0，x ＋y ＝1，所以8x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋216＝18，当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时，等号成立(2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6【解析】)由已知得9－(x ＋3y )＝xy ＝13×x ×3y ≤13×2(3)4x y +，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时，等号成立．此时xy 最大，又因为xy 与(x ＋3y )之和为定值，所以x ＋3y 取最小值．故(x ＋3y )min ＝3＋3×1＝6. (3)已知x 为正实数，且x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为________．【答案】324【解析】因为x >0，所以x 1＋y 2＝2x 2⎝⎛⎭⎫12＋y 22≤22⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 22.又x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 22＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 22＋12＝32.所以x 1＋y 2≤22×32＝324，当且仅当x 2＝12＋y 22，即x ＝32时，等号成立．故(x 1＋y 2)max ＝324. 考法二 利用基本不等式解决实际应用问题 归纳总结(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【例3】 (2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】 30【解析】 一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时，等号成立，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 考法三 基本不等式的综合应用 归纳总结(1)与函数、数列等知识交汇的最值问题：此类问题常以函数、数列等知识为载体，以基本不等式为研究工具，求解最值或取值范围．(2)求参数值或取值范围：对于此类题目，要观察题目特点，利用基本不等式确定相关关系式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．【例4】 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2 【答案】 A【解析】圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c－1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋bc ＋5.因为b ，c ＞0，所以4c b ＋bc ≥24c b ·b c ＝4，当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是__________． 【答案】92【解析】a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝(1)2n n +，所以S n ＋8a n ＝(1)82n n n++＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时，等号成立．所以S n ＋8a n 的最小值是92.(3)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________. 【答案】36【解析】因为x ＞0，a ＞0，所以f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值．又因为f (x )在x ＝3时取得最小值，所以a ＝4×32＝36. 【易错警示】易错点 忽视等号成立条件的一致性【典例】 已知正数x ，y ∈R 且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为__________．【错解】：因为x 2＋1y 2≥2|x ||y |，1x 2＋4y 2≥2×2|y ||x |，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2≥2|x ||y |·2×2|y ||x |＝8.故所求的最小值为8.【错因分析】：本题在求解过程中分别两次使用基本不等式，但等号成立的条件却不相同，即等号不可能成立，因此最小值不可能是8，因而出错． 【正解答案】9【正解】：原式＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时，等号成立，所以最小值为9.误区防范：应用基本不等式解题时应注意的三点(1)利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”，忽视哪一个都可能致误． (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．(3)对使用基本不等式时等号取不到的情况，应考虑使用函数y ＝x ＋mx (m ＞0)的单调性．【跟踪训练】 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝2，则⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值为__________．【答案】 4【解析】 由题得⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b ＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3ab ＋1，因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，所以a ＋b ＝2≥2ab ，所以ab ≤1，所以1ab ≥1.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥4(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值是4.【递进题组】1．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】 因为x >2，所以x －2>0，所以f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即(x －2)2＝1时，等号成立，所以x ＝1或3，又因为x >2，所以x ＝3，即a ＝3. 2．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1) 【答案】B【解析】 由32x－(k ＋1)3x＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .因为3x＋23x ≥22，所以k ＋1<22，即k <22－1.3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 【答案】B【解析】 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时，等号成立．4．若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是__________． 【答案】 2【解析】 因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.5．若直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是__________． 【答案】 3＋2 2【解析】 直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，求直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值即求a ＋b 的最小值．由直线l 经过点(1,2)，得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2ab 时，等号成立，所以(a ＋b )min ＝3＋2 2.【考卷送检】 一、选择题1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )的( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 【答案】C【解析】 因为x ＜0，所以f (x )＝－1()x x ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时，等号成立．2．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0) C.2aba ＋b ≤ab (a ＞0，b ＞0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)【答案】D【解析】 由AC ＝a ，BC ＝b 可得圆O 的半径r ＝a ＋b 2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC2＋OF 2＝2()4a b -＋2()4a b +＝a 2＋b 22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b 2≤a 2＋b 22.故选D.3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D ．2 2 【答案】C【解析】 因为a ≥0，b ≥0，所以a ＋2b ≥0，又因为a (a ＋2b )＝4，所以4＝a (a ＋2b )≤2(2)4a ab +-，当且仅当a ＝a ＋2b ＝2时，等号成立．所以(a ＋b )2≥4，所以a ＋b ≥2.4．(2019·永州模拟)已知三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋bsin C ＝2a ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 【答案】C【解析】 因为c sin B ＋b sin C ＝2a ，由正弦定理可得2sin A ＝sin C sin B ＋sin B sin C ≥2sin C sin B ·sin B sin C ＝2，即sin A ≥1，所以sin A ＝1，当且仅当sin C sin B ＝sin B sin C ，即B ＝C 时，等号成立，所以A ＝π2，b ＝c ，所以△ABC 是等腰直角三角形，故选C.5．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( ) A ．1 B.94 C ．9 D ．16【答案】B【解析】 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋4b ＋1·a ＋＋b ＋4＝14×14(1)1411b a a b ++⎡⎤+++⎢⎥++⎣⎦≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(1)1a b ++，即b ＋1＝2(a ＋1)时，等号成立．故选B. 6．(2019·南昌模拟)不等式x 2＋2x ＜a b ＋16b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)【答案】C【解析】 不等式x 2＋2x ＜a b ＋16b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x ＜⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min ，因为a b ＋16b a ≥2a b ·16b a ＝8(当且仅当a ＝4b 时，等号成立)，所以x 2＋2x ＜8，解得－4＜x ＜2.二、填空题7．设P (x ，y )是函数y ＝2x (x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．【答案】 2 2【解析】 因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时，等号成立．8．(2019·湖北八校联考)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为________．【答案】 2【解析】 z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4y x ≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝2y 时等号成立．此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，所以当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2.9．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为________．【答案】 2＋ 3【解析】 由题意设BC ＝x (x ＞1)，AC ＝t (t ＞0)，依题设AB ＝AC －0.5＝t －0.5，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 60°，即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ，化简并整理得t ＝x 2－0.25x －1(x ＞1)，即t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝1＋32时，等号成立，此时t 取最小值2＋ 3.三、解答题10．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求a 2b ＋b 2c ＋c 2a 的最小值．【答案】 见解析【解析】 因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.所求最小值为1.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．【答案】 见解析【解析】 (1)因为x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0，所以xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ，所以xy (xy －8)≥0，又xy ≥0，所以xy ≥8，即xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即8y ＋8y －4y 2＝0，即y ＝4，x ＝16时，等号成立，所以xy 的最小值为64.(2)因为2x ＋8y ＝xy >0，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x ＝18，当且仅当2x y ＝8y x ，即x ＝2y ，即4y ＋8y －2y 2＝0，即y ＝6，x ＝12时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为18. 12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？【答案】 见解析【解析】 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x －1，所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400⎝⎛⎭⎫240x －1＋240x (x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ＜240.故y 与x的函数关系为y ＝96 000x ＋240x －160(0＜x ＜240)．(2)y ＝96 000x ＋240x －160≥296 000x ·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x ＝240x ，即x ＝20时，等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．13．若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋12y 的最大值为( ) A ．－1＋322 B ．－1＋332C ．1＋332D ．－1－322【答案】A【解析】由(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)得(2xy －1)2＝9y 2－(2y ＋2)2，即(2xy －1)2＋(2y ＋2)2＝9y 2，所以⎝⎛⎭⎫2x －1y 2＋⎝⎛⎭⎫2＋2y 2＝9.因为⎝⎛⎭⎫2x －1y 2＋⎝⎛⎭⎫2＋2y 2≥⎝⎛⎭⎫2x －1y ＋2＋2y 22＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＋222，当且仅当2x －1y ＝2＋2y 时，等号成立．所以⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＋22≤18，所以2x ＋1y ≤32－2，即x ＋12y ≤32－22.所以x ＋12y 的最大值为322－1.。

专题18 基本不等式一、三个不等式关系：(1)a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 二、.算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)四、对于f (x )＝x ＋ax ，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)为增函数；在(－a ，0)，(0，a )为减函数． 注意 在解答题中利用函数f (x )＝x ＋ax 的单调性时，需要利用导数进行证明．五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题。

基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。