高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第六节 正弦定理和余弦定理及其应用 理

[练案25]第六讲 正弦定理、余弦定理A 组基础巩固一、单择题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( C ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.故选C.2．已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( D )A ．2B ．1C ． 3D ． 2[解析] 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得1sin π6＝b sinπ4，所以112＝b 22，所以b ＝ 2. 3．已知△ABC 中，A ︰B ︰C ＝1︰1︰4，则a ︰b ︰c ＝( A ) A ．1︰1︰ 3 B ．2︰2︰ 3 C ．1︰1︰2D ．1︰1︰4[解析] △ABC 中，A ︰B ︰C ＝1︰1︰4，所以A ＝π6，B ＝π6，C ＝23π，a ︰b ︰c ＝sin A︰sin B ︰sin C ＝12︰12︰32＝1︰1︰ 3.4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( C )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6[解析] 由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以sin C ＝cos C ．因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.故选C.5．(2020·某某武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，…，解得b ＝6，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( B )A ．A ＝30°，B ＝45° B ．C ＝75°，A ＝45° C ．B ＝60°，c ＝3D ．c ＝1，cos C ＝13[解析] 由C ＝75°，A ＝45°可知B ＝60°，又asin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2sin 60°sin 45°＝322＝6，符合题意，故选B.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状是( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∴△ABC 是等边三角形，故选C.二、多选题7．在△ABC 中，a ＝4，b ＝8，A ＝30°，则此三角形的边角情况可能是( ACD ) A ．B ＝90° B ．C ＝120° C ．c ＝4 3 D ．C ＝60°[解析] ∵asin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a＝1，∴B ＝90°，C ＝60°，c ＝4 3.故选A 、C 、D.8．(2020·某某某某期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是( ACD )A ．在△ABC 中，a ︰b ︰c ＝sin A ︰sinB ︰sinC B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝BC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin BD ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋csin B ＋sin C[解析] 对于A ，在△ABC 中，由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ，故A 正确；对于B ，若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，可得A ＝B 或A ＋B ＝π2，故B 错误；对于C ，若sin A >sin B ，根据正弦定理a＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，得a >b ，再根据大边对大角可得A >B .若A >B ，则a >b ，由正弦定理a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，得sin A >sin B ，故C 正确；对于D ，由a sin A ＝b sin B ＝csin C，再根据比例式的性质可知D 正确．故选A 、C 、D.三、填空题9．(2015·某某卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝__1__. [解析] ∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或5π6，又C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由a sin A ＝b sin B ，得3sin 2π3＝bsinπ6，∴b ＝1.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝__2__ [解析] 解法一：由正弦定理sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin (B ＋C )＝sin A ＝2sin B ，有a b ＝sin Asin B＝2.解法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，因此，ab＝2.解法三：由三角形射影定理，知b cos C ＋c cos B ＝a ，所以a ＝2b ，所以ab＝2.故填2. 11．(2017·某某节选)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是152.[解析] 取BC 中点E ，由题意，AE ⊥BC .△ABE 中，cos ∠ABC ＝BE AB ＝14，所以cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154，所以S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝152.故填152. 12．(2019·某某)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝1225，cos ∠ABD ＝7210.[解析] 在Rt △ABC 中，易得AC ＝5，sin C ＝AB AC ＝45.在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BCsin ∠BDC×sin ∠BCD ＝322×45＝1225，sin ∠DBC ＝sin [π－(∠BCD ＋∠BDC )]＝sin (∠BCD ＋∠BDC )＝sin ∠BCD cos ∠BDC ＋cos ∠BCD ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.又∠ABD ＋∠DBC ＝π2，所以cos ∠ABD ＝sin ∠DBC ＝7210. 三、解答题13．(2019·)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin (B ＋C )的值．[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝32＋c 2－2×3×c ×(－12)．因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×(－12)．解得c ＝5. 所以b ＝7.(2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin A ＝a b sin B ＝3314.在△ABC 中，B ＋C ＝π－A . 所以sin (B ＋C )＝sin A ＝3314.14．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[解析] 由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos (C ＋60°)＝－22. 由于0°<C <120°，所以sin (C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin (C ＋60°－60°)＝sin (C ＋60°)cos 60°－cos (C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. B 组能力提升1．(2020·某某省级示X 性高中联合体联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin A ＝2sin C ，b ＝5，cos C ＝－13，则a ＝(C)A ．3B ．4C ．6D ．8[解析] 由3sin A ＝2sin C 及正弦定理，得3a ＝2c ，设a ＝2k (k >0)，则c ＝3k .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25－5k 220k ＝－13，解得k ＝3或k ＝－53(舍去)，从而a ＝6.故选C.2．(2020·某某某某七中一诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋c )sin (A ＋C )＝(a ＋c )·(sin A －sin C )，则A ＝(C)A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 依题意，知(b ＋c )sin B ＝(a ＋c )(sin A －sin C )，由正弦定理，得(b ＋c )b ＝(a ＋c )·(a －c )，即b 2＋c 2－a 2＝－bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，所以A ＝120°.故选C.3．(2020·某某四校摸底调研)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin Asin B ＋sin C ＋ba ＋c＝1，则C ＝(B)A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋b a ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.故选B.4．(2020·某某某某部分重点中学第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为(B)A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形[解析] 由2a cos B ＝c 及正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C ．在△ABC 中，因为sin C＝sin (A ＋B )，所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，整理得sin (A －B )＝0，又A ，B ∈(0，π)，所以A ＝B .因为sin A sin B (2－cosC )＝sin 2C 2＋12，所以sin A sin B [2－(1－2sin 2C 2)]＝sin 2C 2＋12，即sin A sin B (1＋2sin 2C 2)＝12(1＋2sin 2C 2)，所以sin A sin B ＝12.又A＝B ，且A ，B ∈(0，π)，所以A ＝B ＝π4，所以C ＝π－A －B ＝π2，所以△ABC 是等腰直角三角形．故选B.5．(2019·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin (B ＋π2)的值．[解析] (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得23＝3c 2＋c 2－222×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )， 故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255. 因此sin (B ＋π2)＝cos B ＝255.。

第6讲 正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆的半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝□0112ac sin B ＝□0212ab sin C . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 A解析 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由ba＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．(3)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.(4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋62－422×5×6＝34，所以sin2Asin C＝2sin A cos Asin C＝2a cos Ac＝2×4×346＝1.题型一利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形1.(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________；(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b ＝6，c＝3，则A＝________.答案(1)1 (2)75°解析(1)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6，又C＝π6，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3，又a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.(2) 如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sin B，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°. 角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则cos5B ＝( )A.－32B.12C.12或－1 D ．－32或0 (2)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D ．3 3 答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b ＝1，c ＝3，A ＝π6，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋3－2×1×3×32＝1， 所以a ＝1.由a ＝b ＝1，得B ＝A ＝π6，所以cos5B ＝cos 5π6＝－cos π6＝－32.(2)由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝32＋42－1322×3×4＝12， ∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， ∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332. 角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解 (1)∵2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得2sin A cos C －sin C ＝2sin B,2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝2，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC2－2AB ·AC ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a ＝ 6.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角． ②用正弦定理求另外两条边． (2)已知两边及其中一边所对的角 ①用正弦定理(适用于优先求角的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例： a ．根据正弦定理，经讨论求B ；b ．求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°，求出C ；c ．再根据正弦定理a sin A ＝csin C ，求出边c .②用余弦定理(适用于优先求边的题) 以知a ，b ，A 解三角形为例：列出以边c 为元的一元二次方程c 2－(2b cos A )c ＋(b 2－a 2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c ，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B ，C .(3)已知两边和它们的夹角 ①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角． (4)已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63答案 C解析因为a＝62b，A＝2B，所以由正弦定理可得62bsin2B＝bsin B，所以622sin B cos B＝1sin B，所以cos B＝64.2.(2018·和平区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3 bc，且sin C＝23sin B，则角A的大小为________．答案π6解析由sin C＝23·sin B得c＝23b.∴a2－b2＝3bc＝3·23b2，即a2＝7b2.则cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b243b2＝32.又A∈(0，π)．∴A＝π6.3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.答案562解析在△ACD中，由余弦定理可得cos C＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C＝5314.在△ABC中，由正弦定理可得ABsin C＝ACsin B，则AB＝AC sin Csin B＝7×531422＝562.题型二利用正、余弦定理判定三角形的形状1.(2018·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 因为c b<cos A ，所以c <b cos A ， 由正弦定理得sin C <sin B cos A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 所以sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，又sin A >0，所以cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D ．钝角三角形答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．条件探究1 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“a cos A ＝b cos B ”，判断△ABC 的形状．解 因为a cos A ＝b cos B ， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin2A ＝sin2B ，又因为0<2A <2π，0<2B <2π，0<A ＋B <π， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．条件探究2 把举例说明2中△ABC 满足的条件改为“cos 2B 2＝a ＋c 2c”，判断△ABC 的形状．解 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以12(1＋cos B )＝a ＋c 2c ，在△ABC 中，由余弦定理得 12＋12·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2c. 化简得2ac ＋a 2＋c 2－b 2＝2a (a ＋c )， 则c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形.1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边．若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形； 若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.1.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝5t2＋11t 2－13t 22×5t ×11t<0，所以C 是钝角，△ABC 是钝角三角形.2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 根据正弦定理，由b cos C ＋c cos B ＝a sin A 得sin B ·cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2.所以△ABC 是直角三角形.题型 三 与三角形面积有关的问题(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形的面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.(2018·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝38，且△ABC 的面积为23，求a .解 (1)由b sin B ＋(c －b )sin C ＝a sin A 及正弦定理得b 2＋(c －b )c ＝a 2，即b 2＋c 2－bc ＝a 2， 所以b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可得b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin Csin A·sin A＝a 2sin B sin C2sin A＝2 3.又sin B sin C ＝38，sin A ＝32，∴38a 2＝23，解得a ＝4.高频考点 用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析 在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决．[典例1] (2018·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2D ．(1,2]答案 B解析 由正、余弦定理，得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C .即 2cos C sin(A ＋B )＝sin C .所以2cos C sin C ＝sin C ，因为sin C ≠0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，且 (a ＋b )2≥4ab ，所以ab ≤1. 所以c 2≥1，即c ≥1，又c <a ＋b ＝2. 所以1≤c <2.[典例2] (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.答案π3解析 解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得11 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3. 解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12. 又0<B <π，∴B ＝π3. [典例3] (2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，且2b cos B ＝a cos C ＋c cos A .(1)求B 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝Csin C可得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，∵sin B >0，故cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)由b ＝2，B ＝π3及余弦定理可得ac ＝a 2＋c 2－4， 由基本不等式可得ac ＝a 2＋c 2－4≥2ac －4，ac ≤4，而且仅当a ＝c ＝2时，S △ABC ＝12ac sin B 取得最大值12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3.方法指导 1.两种主要方法1全部化为角的关系，用三角恒等变换及三角函数的性质解答.2全部化为边的关系，用因式分解、配方等方法变形.2.基本原则1若出现边的一次式一般采用正弦定理；2若出现边的二次式一般采用余弦定理.。

2022版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形36正弦定理和余3．6正弦定理和余弦定理[知识梳理]1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3．三角形中常用的面积公式1(1)S＝ah(h表示边a上的高)．2111(2)S＝bcinA＝acinB＝abinC.222(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．24．在△ABC中，常有的结论(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[诊断自测]1．概念思辨(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．()aa＋b－c(2)在△ABC中，＝.()inAinA＋inB－inC(3)若a，b，c是△ABC的三边，当b＋c－a>0时，△ABC为锐角三角形；当b＋c－22222a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．()(4)在△ABC中，若inAinBin2A(1)(必修A5P10A组T4)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.inC答案1解析由正弦定理得inA∶inB∶inC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知coA＝b2＋c2－a225＋36－163in2A2inAcoA43＝＝，所以＝＝2某某＝1.2bc2某5某64inCinC64(2)(必修A5P20A组T11)若锐角△ABC的面积为103，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．答案711解析因为△ABC的面积S△ABC＝AB·ACinA，所以103＝某5某8inA，解得inA＝223122222，因为角A为锐角，所以coA＝.根据余弦定理，得BC＝5＋8－2某5某8coA＝5＋8221－2某5某8某＝49，所以BC＝7.23．小题热身(1)(2022·天津高考)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4答案A解析在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由c＝a＋b－2abcoC，222122得13＝9＋b－2某3b某－，即b＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A.24(2)(2022·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coA＝，coC55＝，a＝1，则b＝________.13答案21133123541263inAinB3135题型1利用正、余弦定理解三角形b(2022·郑州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若典例13coB＝，则coB＝()inA1133A．－B.C．－D.2222a边角互化法．答案B解析由正弦定理知inBinAπ＝＝1，即tanB＝3，由B∈(0，π)，所以B＝，33coBinAπ1所以coB＝co＝.故选B.32典例2(2022·重庆期末)在△ABC中，已知AB＝43，AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的面积是()A．43B．83C．43或83D.3注意本题的多解性．答案C解析在△ABC中，由余弦定理可得AC＝4＝(43)＋BC－2某43BCco30°，解得BC＝4或BC＝8.当BC＝4时，AC＝BC，∠B＝∠A＝30°，△ABC为等腰三角形，∠C＝120°，111△ABC的面积为AB·BCinB＝某43某4某＝43.222111当BC＝8时，△ABC的面积为AB·BCinB＝某43某8某＝83.故选C.222方法技巧正、余弦定理在解三角形中的应用技巧1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a＝2RinA，b＝2RinB，c＝2RinC能够实现边角互化．见典例1.2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2.3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2.冲关针对训练1．(2022·河西五市联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b－a)inA＝(b－c)·(inB＋inC)，则角C等于() A.πππ2πB.C.D.36432222答案Aa2＋b2－c21解析由题意，得(b－a)a＝(b－c)(b＋c)，∴ab＝a＋b－c，∴coC＝＝，2ab2222π∴C＝.故选A.32．(2022·山东师大附中模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知1co2A＝－，c＝3，inA＝6inC.3(1)求a的值；(2)若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．解(1)在△ABC中，c＝3，inA＝6inC，由正弦定理＝，得a＝6c＝6inAinC某3＝32.12π622(2)由co2A＝1－2inA＝－得，inA＝，由03323则coA＝1－inA＝2222ac3.3由余弦定理a＝b＋c－2bccoA，化简，得b－2b－15＝0，解得b＝5(b＝－3舍去)．11652所以S△ABC＝bcinA＝某5某3某＝.22322题型2利用正、余弦定理判断三角形的形状典例(2022·陕西模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcoC＋ccoB＝ainA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形C．钝角三角形B．直角三角形D．不确定用边角互化法．答案B解析∵bcoC＋ccoB＝ainA，由正弦定理得inBcoC＋inCcoB＝inA，∴in(Bπ22＋C)＝inA，即inA＝inA.又inA>0，∴inA＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形．故2选B.[条件探究1]将本典例条件变为“若2inAcoB＝inC”，那么△ABC一定是()A．直角三角形C．等腰直角三角形B．等腰三角形D．等边三角形2答案B解析解法一：由已知得2inAcoB＝inC＝in(A＋B)＝inAcoB＋coAinB，即in(A－B)＝0，因为－πa2＋c2－b222由余弦定理得2a·＝ca＝ba＝b.故选B.2ac[条件探究2]将本典例条件变为“若△ABC的三个内角满足inA∶inB∶inC＝5∶11∶13”，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案C解析在△ABC中，inA∶inB∶inC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得a2＋b2－c225k2＋121k2－169k223coC＝＝＝－<0，22ab2某5某11k110π又∵C∈(0，π)，∴C∈，π，2∴△ABC为钝角三角形．故选C.[条件探究3]将本典例条件变为“若bcoB＋ccoC＝acoA”，试判断三角形的形状．解由已知得a2＋c2－b2a2＋b2－c2b2＋c2－a2b·＋c·＝a·，2ac2ab2bc∴b(a＋c－b)＋c(a＋b－c)＝a(b＋c－a)．∴(a＋c－b)(b ＋a－c)＝0.ππ222222∴a＋c＝b或b＋a＝c，即B＝或C＝.22∴△ABC为直角三角形．方法技巧判定三角形形状的两种常用途径222222222222222222提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后答案B解析解法一：由已知得2inAcoB＝inC＝in(A＋B)＝inAcoB＋coAinB，即in(A－B)＝0，因为－πa2＋c2－b222由余弦定理得2a·＝ca＝ba＝b.故选B.2ac[条件探究2]将本典例条件变为“若△ABC的三个内角满足inA∶inB∶inC＝5∶11∶13”，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案C解析在△ABC中，inA∶inB∶inC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得a2＋b2－c225k2＋121k2－169k223coC＝＝＝－<0，22ab2某5某11k110π又∵C∈(0，π)，∴C∈，π，2∴△ABC为钝角三角形．故选C.[条件探究3]将本典例条件变为“若bcoB＋ccoC＝acoA”，试判断三角形的形状．解由已知得a2＋c2－b2a2＋b2－c2b2＋c2－a2b·＋c·＝a·，2ac2ab2bc∴b(a＋c－b)＋c(a＋b－c)＝a(b＋c－a)．∴(a＋c－b)(b ＋a－c)＝0.ππ222222∴a＋c＝b或b＋a＝c，即B＝或C＝.22∴△ABC为直角三角形．方法技巧判定三角形形状的两种常用途径222222222222222222提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后。

第6讲 正弦定理和余弦定理1．正弦定理asinA ＝01bsinB ＝02csinC ＝2R ， 其中2R 为△ABC 外接圆的直径．变式：a ＝032R sin A ，b ＝042R sin B ，c ＝052R sin C . a ∶b ∶c ＝06sin A ∶07sin B ∶08sin C . 2．余弦定理a 2＝09b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝10a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝11a 2＋b 2－2ab cos C . 变式：cos A ＝12b2＋c2－a22bc；cos B ＝13a2＋c2－b22ac；cos C ＝14a2＋b2－c22ab.sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A .3．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况图形关系式 解的个数 A 为锐角a <b sin A15无解a ＝b sin A16一解b sin A <a <b17两解a ≥b18一解 A 为钝角或直角a >b 19一解a ≤b20无解4．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝2112ac sin B ＝2212ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cos C2；(4)cos A ＋B2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .1．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°答案 D解析 由正弦定理，得1sinA ＝2sin45°，得sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ＝45°.∴A ＝30°.故选D.2．(2020·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12 B ．1 C ．3D ．2答案 B 解析 ∵a ＝3，b ＝2，A ＝60°，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得3＝4＋c 2－2×2×c ×12，整理得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.故选B. 3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42B ．30 C.29D ．25答案 A解析 因为cos C ＝2cos 2C2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552－1＝－35，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC ·cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42.故选A.4．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.答案 2解析 因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________.答案1534解析 因为a ＝3，b ＝5，c ＝7，所以cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝9＋25－492×3×5＝－12，因此sin C ＝32，所以△ABC 的面积S ＝12×3×5×32＝1534.6．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________________. 答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．考向一 利用正、余弦定理解三角形例1 (1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A.19B ．13C ．12D ．23答案 A解析 ∵在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，∴AB ＝3，∴cos B ＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理，得a sinA＝b sinB，即3sin2π3＝b sin π6，解得b＝1.(3)(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解 解法一：由sin A ＝3sin B 可得ab＝3，不妨设a ＝3m ，b ＝m (m >0)，则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3m 2＋m 2－2×3m ×m ×32＝m 2，即c ＝m .选择条件①： ac ＝3m ×m ＝3m 2＝3，∴m ＝1，此时c ＝m ＝1.选择条件②：cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝m2＋m2－3m22m2＝－12，则sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－122＝32，此时c sin A ＝m ×32＝3，则c ＝m ＝23.选择条件③：可得cb ＝mm ＝1，c ＝b ，与条件c ＝3b 矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵sin A ＝3sin B ，C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )，∴sin A ＝3sin(A ＋C )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6，即sin A＝3sin A·32＋3cos A·12，∴sin A＝－3cos A，∴tan A＝－3，∴A＝2π3，∴B＝C＝π6.若选①，ac＝3，∵a＝3b＝3c，∴3c2＝3，∴c＝1.若选②，c sin A＝3，则3c2＝3，c＝23.若选③，b＝c与条件c＝3b矛盾，则问题中的三角形不存在．解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍；②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．1.已知在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c＝()A．25B．5C．25或5D．均不正确答案 C解析∵asinA＝bsinB，∴sin B＝bsinAa＝155·sin30°＝32.∵b>a，∴B＝60°或120°.若B＝60°，则C＝90°，∴c＝a2＋b2＝25.若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c ＝5.2．(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5C．4 D．3答案 A解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝错误!＝错误!＝－错误!，∴错误!＝6.故选A.考向二利用正、余弦定理判断三角形形状例2(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 A解析∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，又0<C<π，∴C＝π3，又由2cos A sin B＝sin C，得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案 A解析根据正弦定理，得cb＝sinCsinB<cos A，即sin C<sin B cos A，∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)<sin B cos A，整理得sin A cos B<0，又三角形中sin A>0，∴cos B<0，∴π2<B<π.∴△ABC为钝角三角形．三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝a2R，cos A＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．提醒：(1)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．3.(2021·陕西安康模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 B解析∵b cos C＋c cos B＝a sin A，∴由正弦定理，得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又sin A >0，∴sin A ＝1，又A ∈(0，π)，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，cos 2B2＝a ＋c2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B 解析 因为cos2B 2＝a ＋c 2c，所以2cos2B 2－1＝a ＋cc －1，所以cos B ＝ac，所以a2＋c2－b22ac ＝ac，所以c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形．多角度探究突破考向三 正、余弦定理的综合应用 角度1 三角形面积问题例3 (2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积． 条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 解 选择条件①：(1)∵c ＝7，cos A ＝－17，a ＋b ＝11，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(11－a )2＋72－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17，∴a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos2A ＝437.由正弦定理，得asinA ＝c sinC ，∴8437＝7sinC ，∴sin C ＝32.∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×8×(11－8)×32＝63.选择条件②：(1)∵cos A ＝18，cos B ＝916，A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos2A ＝378，sin B ＝1－cos2B ＝5716.由正弦定理，得asinA ＝b sinB ，即a 378＝11－a5716，∴a ＝6. (2)sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝378×916＋5716×18＝74，S ＝12ab sin C ＝12×6×(11－6)×74＝1574.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．5.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．4C ．2D ．2或3答案 D解析 因为S △ABC ＝22＝12bc sin A ，sin A ＝223，且A ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以bc ＝6，cos A ＝13，又因为a ＝3，由余弦定理，得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，所以b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.6．(2020·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°. (1)若a ＝3c ，b ＝27，求△ABC 的面积； (2)若sin A ＋3sin C ＝22，求C .解 (1)由余弦定理可得b 2＝28＝a 2＋c 2－2ac cos150°＝7c 2， ∴c ＝2，a ＝23，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3.(2)∵A ＋C ＝30°， ∴sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C＝12cos C －32sin C ＋3sin C＝12cos C ＋32sin C ＝sin(C ＋30°)＝22. ∵0°＜C ＜30°，∴30°＜C ＋30°＜60°， ∴C ＋30°＝45°，∴C ＝15°. 角度2 三角形中的范围问题例4 (2020·浙江高考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b sin A ＝3a .(1)求角B ；(2)求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围． 解 (1)∵2b sin A ＝3a ，结合正弦定理可得2sin B sin A ＝3sin A ，∴sin B ＝32.∵△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π3.(2)由(1)得C ＝2π3－A ，则cos A ＋cos B ＋cos C ＝cos A ＋12＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－A＝cos A ＋12－12cos A ＋32sin A＝32sin A ＋12cos A ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧0＜23π－A ＜π2，0＜A ＜π2可得π6＜A ＜π2，∴π3＜A ＋π6＜2π3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤32，1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＋12∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤3＋12，32. 即cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎥⎤3＋12，32.解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．7.(2020·陕西第三次教学质量检测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(a ＋b ＋c )·(a ＋b －c )＝3ab .(1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求a ＋b 的取值范围． 解 (1)由题意知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可知， cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由正弦定理可知，a sinA ＝b sinB＝2sin π3＝433，即a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，∴a ＋b ＝433(sin A ＋sin B )＝433⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sinA ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－A ＝23sin A ＋2cos A ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6，又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A<π2，0<B ＝2π3－A<π2，即π6<A <π2，则π3<A ＋π6<2π3，∴23<4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6≤4，综上，a ＋b 的取值范围为(23，4]．角度3 正、余弦定理解决平面几何问题例5 (2020·济南一模)如图，平面四边形ABCD 中，点B ，C ，D 均在半径为533的圆上，且∠BCD ＝π3.(1)求BD 的长度；(2)若AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，求△ABD 的面积． 解 (1)解法一：由题意可知，△BCD 的外接圆半径为533，由正弦定理BD sin∠BCD＝2R ＝2×533，解得BD ＝5.解法二：由题意可知，△BCD 的外接圆半径为533，设该外接圆的圆心为O ，则∠BOD ＝2π3，OB ＝OD ＝533，所以BD 2＝OB 2＋OD 2－2OB ·OD cos ∠BOD ＝25， 解得BD ＝5.(2)解法一：在△ABD 中，设∠ABD ＝α，α为锐角，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin2α＝AD sinα，所以AB 2sinαcosα＝3sinα，所以AB ＝6cos α.因为AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos α， 即9＝36cos 2α＋25－60cos 2α，所以cos α＝63，则AB ＝6cos α＝26，sin α＝33，所以S △ABD ＝12AB ·BD sin α＝52.解法二：在△ABD 中，因为∠ADB ＝2∠ABD ， 所以sin ∠ADB ＝sin2∠ABD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ， 所以AB ＝2AD cos ∠ABD ＝2AD ·AB2＋BD2－AD22AB·BD ，因为BD ＝5，AD ＝3，所以AB ＝26，所以cos ∠ABD ＝63，则sin ∠ABD ＝33，所以S △ABD ＝12AB ·BD sin ∠ABD ＝52.解法三：在△ABD 中，设∠ABD ＝α，α为锐角， 则∠ADB ＝2α，∠BAD ＝π－3α， 因为BD sin3α＝AD sinα，即5sin3α＝3sinα，又sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcos α＋cos2αsin α＝2sin αcos 2α＋sin α－2sin 3α＝3sin α－4sin 3α，所以sin 2α＝13，则sin α＝33，则cos α＝63，sin2α＝223，所以S △ABD ＝12AD ·BD sin2α＝52.平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．8.(2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1.(1)若AB＝32，求BC；(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.解(1)在△ABD中，AD＝BD＝1，AB＝3 2，由余弦定理，可得cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD22AB·BD＝34，因为CD∥AB，所以∠BDC＝∠ABD，在△BCD中，已知CD＝BD＝1，由余弦定理可得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD cos∠BDC＝1 2，故BC＝2 2.(2)设BC＝x，则AB＝2x，在△ABD中，cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD22AB·BD＝4x24x＝x，在△BCD中，cos∠BDC＝BD2＋CD2－BC22BD·CD＝2－x22，由CD∥AB可知，∠BDC＝∠ABD，所以cos∠BDC＝cos∠ABD，即2－x22＝x，整理可得x2＋2x－2＝0，因为x>0，解得x＝3－1，因此，cos∠BDC＝cos∠ABD＝x＝3－1.利用基本不等式破解三角形中的最值问题(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．解(1)∵sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C，由正弦定理可得BC2－AC2－AB2＝AC·AB，∴AC2＋AB2－BC2＝－AC·AB，∴cos A＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝－12.∵A∈(0，π)，∴A＝2π3.(2)解法一：由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，即(AC ＋AB )2－AC ·AB ＝9.∵AC ·AB ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ＋AB 22(当且仅当AC ＝AB 时取等号)， ∴9＝(AC ＋AB )2－AC ·AB≥(AC ＋AB )2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ＋AB 22＝34(AC ＋AB )2， ∴AC ＋AB ≤23(当且仅当AC ＝AB 时取等号)，∴△ABC 的周长L ＝AC ＋AB ＋BC ≤3＋23，∴△ABC 周长的最大值为3＋23. 解法二：由正弦定理，得ABsinC ＝ACsinB ＝BCsinA＝3sin2π3＝23，∴AB ＝23sin C ，AC ＝23sin B .∵A ＝2π3，∴C ＝π3－B .∴AB ＋AC ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－B ＋23sin B＝23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cosB －12sinB ＋23sin B＝3cos B ＋3sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π3.当B ＝π6时，AB ＋AC 取得最大值23，∴△ABC 周长的最大值为3＋23.答题启示利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．对点训练(2020·泰安三模)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2A ＋cos2B ＋2sin A sin B ＝1＋cos2C .(1)求角C ；(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为2，求CD 2的最小值． 解 (1)由已知可得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＋2sin A sin B ＝1＋1－2sin 2C ， 得ab ＝a 2＋b 2－c 2，所以cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝12，所以C ＝π3.(2)由S △ABC ＝12ab sin C ， 即2＝12ab ·32，得ab ＝833.因为D 为AB 的中点，所以CD →＝12(CA →＋CB →)，所以CD →2＝14(CA →2＋CB →2＋2CA →·CB→)， 则CD →2＝14(b 2＋a 2＋2ab cos C )＝14(b 2＋a 2＋ab )≥14(2ab ＋ab )＝23，当且仅当a ＝b时取等号，所以CD 2的最小值为23.一、单项选择题1．(2020·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c＝( )A ．27B ．7C ．22D ．23 答案 D解析 由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝23.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24B ．－24C ．34D ．－34答案 B解析 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，所以cos C ＝a2＋b2－c22ab＝a2＋2a2－4a22a ×2a＝－24，故选B.3．(2020·广西南宁模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B ．32C ．1D ．34答案 A解析 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理，得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12.故选A.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 C解析 根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理，得cos C ＝a2＋b2－c22ab＜0，故C 是钝角．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a＝sinAsinC ＋sinB ，则B ＝( )A.π6B ．π4C ．π3D ．3π4答案 C解析因为c－bc－a＝sinAsinC＋sinB，所以c－bc－a＝ac＋b，即(c－b)(c＋b)＝a(c－a)，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝12，又B∈(0，π)，所以B＝π3.6．△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝()A.33B．±63C．－63D．63答案 D解析由正弦定理，得ACsinB＝ABsinC，∴sin C＝ABsinBAC＝2×sin60°3＝33，又AB<AC，∴0<C<B＝60°，∴cos C＝1－sin2C＝63.故选D.7．(2020·广东广雅中学模拟)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3b cos C＝c(1－3cos B)，则sin C∶sin A＝()A．2∶3 B．4∶3C．3∶1 D．3∶2答案 C解析由正弦定理，得3sin B cos C＝sin C－3sin C cos B,3sin(B＋C)＝sin C，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sin A＝sin C，所以sin C∶sin A＝3∶1，故选C.8．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a2c2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a2＋c2－b222，若a2sin C＝2sin A，(a＋c)2＝6＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为()A.32 B ．3C ．12D ．1答案 A解析 因为a 2sin C ＝2sin A ，所以a 2c ＝2a ，所以ac ＝2，因为(a ＋c )2＝6＋b 2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝6＋b 2，所以a 2＋c 2－b 2＝6－2ac ＝6－4＝2，从而△ABC 的面积为S △ABC ＝14×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＝32，故选A.二、多项选择题9．(2020·江苏南京师范大学附属中学期末)在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有( )A ．b ＝20，A ＝45°，C ＝80°B ．a ＝30，c ＝28，B ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D ．a ＝12，c ＝15，A ＝120°答案 AB解析 A 中，已知两角一边，三角形是确定的，只有唯一解；B 中，已知两边及夹角，用余弦定理解得第三边，有唯一解；C 中，由正弦定理得sin B ＝bsinA a＝16sin45°14＝427＜1，又b ＞a ，即B ＞A ，所以B 可能为锐角，也可能为钝角，有两解；D 中，a ＜c ，A 角只能为锐角，已知A 为钝角，三角形无解．故选AB.10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的命题是( )A ．若acosA ＝bcosB ＝ccosC ，则△ABC 一定是等边三角形B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形D ．若a 2＋b 2－c 2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形 答案 AC 解析 由a cosA＝b cosB＝c cosC，利用正弦定理可得sinA cosA＝sinB cosB＝sinC cosC，即tan A＝tan B ＝tan C ，A ＝B ＝C ，△ABC 是等边三角形，A 正确；由正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin2A ＝sin2B,2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，△ABC 是等腰或直角三角形，B 不正确；由正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B ，sin A ＝sin B ，则A ＝B ，△ABC 是等腰三角形，C 正确；由余弦定理可得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＞0，角C为锐角，角A ，B 不一定是锐角，D 不正确．故选AC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A ．sin A ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 外接圆半径为877答案 ACD解析因为(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，所以可设⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9x ，a ＋c ＝10x ，b ＋c ＝11x(其中x >0)，解得a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x ，所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，所以A 正确；由上可知，c 最大，所以三角形中C 最大，又cos C ＝a2＋b2－c22ab＝错误!＝18>0，所以C 为锐角，所以B 错误；由上可知，a 最小，所以三角形中A 最小，又cos A ＝c2＋b2－a22cb ＝错误!＝错误!，所以cos2A ＝2cos 2A －1＝错误!，所以cos2A ＝cos C .由三角形中C 最大且C 为锐角可得，2A ∈(0，π)，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以2A ＝C ，所以C正确；由正弦定理，得2R ＝csinC ，又sin C ＝1－cos2C ＝378，所以2R ＝6378，解得R ＝877，所以D 正确．故选ACD.12．(2020·烟台模拟)在△ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD ，cos ∠CDB ＝－55，则( )A ．sin ∠CDB ＝310B ．△ABC 的面积为8 C ．△ABC 的周长为8＋45D ．△ABC 为钝角三角形 答案 BCD解析 由cos ∠CDB ＝－55可得sin ∠CDB ＝1－15＝255，故A 错误；设CD ＝x ，CB ＝2x ，在△CBD 中，由余弦定理，可得－55＝9＋x2－4x26x，整理可得，5x 2－25x －15＝0，解得x ＝5，即CD ＝5，CB ＝25，所以S △ABC ＝S △BCD ＋S △ADC ＝12×3×5×255＋12×5×5×255＝8，故B正确；由余弦定理，可知cos B＝BC2＋BD2－CD22BC·BD＝BC2＋AB2－AC22BC·AB，即20＋9－52×3×25＝20＋64－AC22×8×25，解得AC＝25，故周长AB＋AC＋BC＝8＋25＋25＝8＋45，故C正确；由余弦定理，可得cos∠ACB＝20＋20－642×25×25＝－35<0，故∠ACB为钝角，D正确．故选BCD.三、填空题13．(2020·北京海淀模拟)在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.答案 1解析由题意知sin 2π3＝3sin C，∴sin C＝12，又0<C<π3，∴C＝π6，从而B＝π6，∴b＝c，故bc＝1.14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B＝________.答案π3解析解法一：由2b cos B＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A.∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.15.(2020·海南一模)顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观．如图所示，△ABC 是黄金三角形，AB ＝AC ，作∠ABC 的平分线交AC 于点D ，易知△BCD 也是黄金三角形．若BC ＝1，则AB ＝________；借助黄金三角形可计算sin234°＝________.答案5＋12－5＋14解析 由题可得∠A ＝∠ABD ＝∠DBC ＝36°，∠C ＝∠BDC ＝72°，所以△ABC ∽△BCD ，得AB BC ＝BC CD，且AD ＝BD ＝BC ＝1.设AB ＝AC ＝x ，则CD ＝x －1，所以x1＝1x －1，解得x ＝5＋12(负值舍去)．因为sin234°＝sin(180°＋54°)＝－sin54°＝－cos36°.在△ABC 中，根据余弦定理可得cos36°＝x2＋x2－12x2＝5＋14，所以sin234°＝－5＋14.16.(2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝_________.答案 －14解析 ∵AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝1，由勾股定理得BC ＝AB2＋AC2＝2，同理得BD ＝6，∴BF ＝BD ＝6.在△ACE 中，AC ＝1，AE ＝AD ＝3，∠CAE ＝30°，由余弦定理，得CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos30°＝1＋3－2×1×3×32＝1，∴CF ＝CE ＝1.在△BCF 中，BC ＝2，BF ＝6，CF ＝1，由余弦定理，得cos ∠FCB ＝CF2＋BC2－BF22CF·BC ＝1＋4－62×1×2＝－14.四、解答题17．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ； (2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．解 (1)因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54，所以sin 2A ＋cos A ＝54，即1－cos 2A ＋cos A ＝54，解得cos A ＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)证明：因为A ＝π3，所以cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝12，即b 2＋c 2－a 2＝bc .① 又b －c ＝33a ，②将②代入①，得b 2＋c 2－3(b －c )2＝bc ， 即2b 2＋2c 2－5bc ＝0，而b ＞c ，解得b ＝2c ， 所以a ＝3c .所以b 2＝a 2＋c 2，即△ABC 是直角三角形．18．(2020·烟台一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,2a cos A ＝3(b cos C ＋c cos B )． (1)求角A ； (2)若b ＝23，BC 边上的高为3，求c .解 (1)因为2a cos A ＝3(b cos C ＋c cos B )，由正弦定理，得2sin A cos A ＝3(sin B cos C ＋sin C cos B )，即2sin A cos A ＝3sin(B ＋C )，又B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ， 所以2sin A cos A ＝3sin A .因为0＜A ＜π，sin A ≠0，所以cos A ＝32，所以A ＝π6.(2)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12a ·h BC ，将b ＝23，h BC ＝3，sin A ＝12代入，得a ＝3c3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 于是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 32＝(23)2＋c 2－2×23×32c ，即c 2－9c ＋18＝0，解得c ＝3或c ＝6.19．(2020·淄博二模)下面给出有关△ABC 的四个论断：①S △ABC ＝32；②b 2＋ac＝a 2＋c 2；③ac ＝2或12；④b ＝3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若________，则________(用序号表示)，并给出证明过程．注：如果选择不同方案分别解答，按第一个解答计分． 解 方案一：若①②③，则④.证明：由②得ac ＝a 2＋c 2－b 2，得cos B ＝12，即B ＝60°；由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，且B ＝60°，得ac ＝2； 由③a c ＝2或12，不妨取ac ＝2，联立ac ＝2，得a ＝2，c ＝1.由②得，b 2＝a 2＋c 2－ac ＝4＋1－2＝3，得b ＝3，④成立．方案二：若①②④，则③.证明：由②得ac ＝a 2＋c 2－b 2，得cos B ＝12，即B ＝60°；由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，且B ＝60°，得ac ＝2；由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3，从而(a ＋c )2＝3＋6＝9⇒a ＋c ＝3，(a －c )2＝3－2＝1⇒a －c ＝±1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，得a c ＝2或12，③成立． 方案三：若②③④，则①.证明：由②得ac ＝a 2＋c 2－b 2，得cos B ＝12，即B ＝60°；由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3；由③a c ＝2或12，不妨取ac ＝2，代入a 2＋c 2－ac ＝3，即3c 2＝3，得c ＝1，a ＝2，从而得12ac sin B ＝32，S △ABC ＝32，①成立．20．(2020·济宁三模)如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，________，DC ＝2，在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答计分)①3AB ＝4BC ，sin ∠ACB ＝23；②tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫∠BAC＋π6＝3；③2BC cos ∠ACB ＝2AC －3AB .(1)求∠DAC 的大小； (2)求△ADC 面积的最大值． 解 若选①：(1)在△ABC 中，由正弦定理可得ABsin∠ACB ＝BCsin∠BAC，又3AB ＝4BC ，sin ∠ACB ＝23，可得sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝π6.又AB ⊥AD ，∴∠BAD ＝π2，∴∠DAC ＝π3.(2)在△ADC 中，DC ＝2，由余弦定理，可得DC 2＝4＝AC 2＋AD 2－AC ·AD ≥AC ·AD ，即AC ·AD ≤4.∴S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠DAC ≤12×4×32＝3，当且仅当AC ＝AD 时取“＝”． 若选②：(1)由tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫∠BAC＋π6＝3，可得∠BAC ＝π6.又AB ⊥AD ，∴∠BAD ＝π2，∴∠DAC ＝π3.(2)在△ADC 中，DC ＝2，由余弦定理，可得DC 2＝4＝AC 2＋AD 2－AC ·AD ≥AC ·AD ，即AC ·AD ≤4. ∴S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠DAC ≤12×4×32＝3，当且仅当AC ＝AD 时取“＝”． 若选③：(1)2BC cos ∠ACB ＝2AC －3AB ，由正弦定理，得2sin ∠BAC cos ∠ACB ＝2sin ∠ABC －3sin ∠ACB ，∴2sin ∠BAC cos ∠ACB ＝2sin(∠ACB ＋∠BAC )－3sin ∠ACB ，∴2sin ∠BAC cos ∠ACB ＝2sin ∠ACB cos ∠BAC ＋2cos ∠ACB sin ∠BAC －3sin ∠ACB ，即2sin ∠ACB cos ∠BAC ＝3sin ∠ACB .∵sin ∠ACB >0，∴cos ∠BAC ＝32.∵∠BAC ∈(0，π)，∴∠BAC ＝π6.又AB⊥AD，∴∠BAD＝π2，∴∠DAC＝π3.(2)在△ADC中，DC＝2，由余弦定理，可得DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，即AC·AD≤4.∴S△ADC＝12AC·AD sin∠DAC≤12×4×32＝3，当且仅当AC＝AD时取“＝”．。