上海八年级数学下几何证明

B CD AOB CE DA A CB ’ CA B C B ’ C 8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。

简记为HL 。

1、【定理证明】已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’ 求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（ ）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（ ）里打“×”. （1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （ ） _______ （2）AC=A’C’，BC=B’C’ （ ） _______ （3）AB=A’B’，BC=B’C’ （ ） _______ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （ ） ________3、【应用练习】 选择题1．下列说法正确的有（ ）① 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等② 两条边分别相等的两个直角三角形全等 ③ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ④ 斜边相等的两个等腰直角三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知，如图，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 与CE 相交于O ， 且BD=CE ，则图中全等的三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边 所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余或相等D ．相等或互补4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DBBC F E DABC FE D AB C F E D A5．如图，已知：AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,BF=CE.求证：AB ∥CD6．如图，已知：AB=AE, ∠B=∠E=90°,AF 垂直平分CD,求证：BC=DE7．如图，已知：AD 平分∠BAC,DB ⊥AB,DF ⊥AC 于点F ，ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8．已知：AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ， 求证：CE=DF二、直角三角形的性质 1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余（显然） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2、【定理证明】已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线.求证：AB CD 21例1．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，问：MN与DE有什么样的位置关系，并说明理由。

主题几何证明综合（二）教学内容1．掌握直角三角形判定定理，熟练运用直角三角形的判定定理进行几何证明；2．认识等腰直角三角形，熟练运用等腰直角三角形性质解决综合问题。

（以提问的形式回顾）等腰直角三角形具有哪些性质？请尽可能多的列举。

两个底角相等均为45°；两腰相等；斜边上的中线等于斜边的一半；“三线合一”：顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合；练习：1.如图，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是．（填一个条件）2.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是．3.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是．答案：∠D=∠A或∠E=∠ACB或DE=AC或BD=AB；1；45°第2题图ABCDE第1题图第3题图（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1：我们知道在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，其证明全等的条件是“边边角”，那么符合“边边角”条件的两个三角形，是否可以全等呢？ 为了解决案例1，我们先看看问题1；问题1：△ABC 与△DEF 中，AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ,且∠B 与∠E 均为锐角，是否有△ABC ≌△DEF 成立呢？若成立，说明理由；若不成立，请画出反例图形。

问题2：△ABC 与△DEF 中，AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ,且∠B 与∠E 均为钝角，是否有△ABC ≌△DEF 成立呢？若成立，说明理由；若不成立，请画出反例图形。

通过以上两个问题，概括出例1的结论。

答案：问题1：不成立；如下图所示问题2：成立；证明如下；分别过点A 、D 作AG ⊥CB 交CB 的延长线于点G ，DH ⊥FE 交FE 的延长线于点H . ∵∠ABC=∠DEF ∴∠ABG=∠DEH 而∠G=∠H=90°，AB=DE∴△ABG ≌△DEH （AAS ） ∴AG=DH ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ）∴∠C=∠F∴△ABC ≌△DEF （SAS ）例1：当“边边角”中所给的相等角为直角或钝角时，可以证明两三角形全等； 当“边边角”中所给的相等角为锐角时，不可以证明两三角形全等例2：如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，O 为BC 中点，联结OA ； 问题1：如图1，OA=OB=OC 成立吗？请说明理由；问题2：如图2，如果点M 、N 分别在边AB 、AC 上移动，且保持AN=BM ；请判断△OMN 的形状，并说明理DE FH AB C DE FAB CG由；问题3：如图3，若点M，N分别在线段BA、AC的延长线上移动，仍保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并说明理由。

第 1 页几何证明（一）1．如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ， 求证：（1）BE=DC （2）BE ⊥DC 。

2．已知，如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=108求证：BC=AB ＋DC 。

3．如图，D 为等边△ABC 内一点，且AD=BD ，BP=AB 4．已知：正方形ABCD ， 45=∠EAF ，AH ⊥ 5．已知：等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°；求证：BE=AD 。

6．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE 求证：BD 平分∠ABC 。

7．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD=BD ，∠1=∠2 8．已知：AD 是ABC ∆的中线，AE=EF ．求证：AC=BF 9．已知：△ABC ，△BDE 为等边三角形，C 、B 、D 求证：（1）AD=EC ；（2）BP=BQ ；（3）△BPQ 10.已知：如图所示，在ABC ∆中，BA=BC ，∠ABC 一点，ED=CD ，连结EC ．求证：EA=EC ． 1.如图，AB=CD ，E 为BC 的中点，∠BAC=∠BCA 2.如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE3.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 求证：∠ADC+∠B=180º4.如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，于E 点，求证：BD CE 21=． 5.如图所示，已知ABC ∆中，︒=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O BE+CD=BC ．6.已知：如图所示，AB=CD ，CDE ABE S S ∆∆=DOE BOE ∠=∠．12第 2 页 7.已知：如图所示，AD 平分BAC ∠，M 是BC 的中点，MF//AD ，分别交CA 延长线，AB 于F 、E ．求证：BE=CF ． 8.已知：如图所示，在ABC ∆中，BA=BC ，=∠45ABC 点，ED=CD ，连结EC ．求证：EA=EC ． 9.已知如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AC 、AB M 、N 分别是CE 、BD 上的点，若MA ⊥CE ，AN ⊥BD ，10.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，M 是AB 中点，（1）在AE 、EF 、FB （2）AE 、EF 、FB 11.如图，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，︒=∠60A 的面积． 12.已知：如图所示，在正方形ABCD 中，F 为DC 证：EF AF ⊥．B A BEC D。

1．（10分）如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP 的延长线上，且EF=DE，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；（2）求证：AG+CG=DG．2．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．3．（9分）如图，在梯形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点．（1）求证：四边形MENF是平行四边形；（2）若四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的，问AD、BC满足什么关系？4．如图，在四边形 ABCD 中，AD=12，DO=OB=5，AC=26，∠ADB=90°．（1）求证：四边形 ABCD 为平行四边形；（2）求四边形 ABCD 的面积．5、四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO.6、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长.7、如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE.(2)若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长.8、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°。

点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N，连接MD、AN。

(1)求证:四边形AMDN是平行四边形。

(2)当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由。

9.（6 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，且DE∥AC，AE∥B D．求证：四边形AODE 是矩形．10（9 分）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，E 是AD 边上的中点，过A 点作BC的平行线交CE 的延长线于点F，连结BF．（1）求证：四边形AFBD 是平行四边形．（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？请说明理由．10．（7 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB，AE 与DE 相交于点E，连结CE．（1）求证：BD =CD.（2）求证：四边形ADCE 是矩形．11.（9 分）如图，E、F 分别是矩形ABCD 的边BC、AD 上的点，且BE =DF.（1）求证：四边形AECF 是平行四边形.（2）若四边形AECF 是菱形,且CE = 10，AB = 8，求线段BE 的长.12.（7 分）如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AB 于点E，交AC 于点F，连结DE、DF.（1）求证：∠ADE=∠DAF.（2）求证：四边形AEDF 是菱形.13．【感知】如图①，四边形ABCD、AEFG 都是正方形，可知BE =DG ．【探究】当正方形AEFG 绕点A 旋转到图②的位置时，连结BE、DG．求证：BE =DG ．【应用】当正方形AEFG 绕点A 旋转到图③的位置时，点F 在边AB 上，连结BE、D G．若DG =13 ，AF = 10 ，则AB 的长为．14. （10 分）如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△BCE、△ABF.（1）求证：四边形ADEF 是平行四边形（2）△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？（3）△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？20．如图，将▱ABCD 的边 DC 延长到点 E ，使 CE=DC ，连接 AE ，交 BC 于点 F ． （1）求证：△ABF ≌△ECF ；（2）若∠AFC=2∠D ，连接 AC 、BE ，求证：四边形 ABEC 是矩形．18．（本题8分）如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE ∥AC ，且DE ＝21AC ，连接CE 、OE(1) 求证：四边形OCED 是平行四边形； (2) 若AD ＝DC ＝3，求OE 的长.21．（本题8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝3，BC ＝5，连接BD ，∠BAD 的平分线分别交BD 、BC 于点E 、F ，且AE ∥CD (1) 求AD 的长；(2) 若∠C ＝30°，求CD 的长.27．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE 的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）证明：BD=CD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．28．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．18. (本题满分12分)如图，DB∥AC，且DB＝12AC，E是AC的中点。

初二数学几何证明第一篇：初二数学几何证明1.已知△ABC是等边三角形，D是BC边延长线上一点，以AD为边作等边三角形ADE。

连接CE.求证：CE平分∠ACDEABCD2.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB边上的一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F.求证：∠DEC=∠FEC.3.已知△ABC、△DBE、△CEF是等边三角形，求证：四边形ADEF 是平行四边形.ADFBC4.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC 交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。

试说明BD=2CH。

A21C5.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过C点在△ABC形外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．(1)求证：MN=AM+BN(2)△ABC内，∠ACB=90°，AC=BC若过C点在△ABC内作直线MN，当MN位于何位置时，AM，BN和MN满足MN=AM-BN，并证明之．6.“等腰三角形两腰上的高相等”(1)根据上述命题，画出相关图形，并写出“已知’’“求证”，不必证明．(2)写出上述命题的逆命题，并加以证明．7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，DE、DC、DF将△ABC分成四个全等的三角形，△ABC的周长是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各个小三角形的周长．8.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，EF⊥BD，垂足为F．求证：BF=DF．BFADC9.已知，如图正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF 和DE交于点P．求证：CP=CD10.如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的长．(2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面积．11.如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD于E,CF⊥AD于F，点M 是BC的中点．求证：EM=FMABEC12.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。

初中数学42个几何模型证明初中数学中有许多几何模型需要通过证明来推导出相应的结论。

下面是42个几何模型的证明，按照题目的难易程度进行排列。

1. 证明平行线之间的距离在任意两个平行线上的点处相等。

2. 证明对角线相等的平行四边形是矩形。

3. 证明等腰三角形的底角相等。

4. 证明直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。

5. 证明等腰梯形两底角相等。

6. 证明三角形内角和为180度。

7. 证明一个等边三角形的内角都是60度。

8. 证明在一个同心圆中，半径较长的弦对应的圆心角较大。

9. 证明1/4圆面积公式：S = πr²/4。

10. 证明与弦垂直的半径平分弦。

11. 证明一个等腰三角形的高既是中位线也是角平分线。

12. 证明平行四边形的对角线互相平分。

13. 证明垂直于同一条直线的两条直线必相互垂直。

14. 证明等腰三角形的高通过顶点平分底边。

15. 证明两圆相切于切点处的半径互相垂直。

16. 证明正方体的面对角线相等。

17. 证明对角线的垂直平分线是平行四边形的对称轴。

18. 证明两直线平行，其上的任一点到另一直线的距离是相等的。

19. 证明半径等长的两圆相交，交点到两圆圆心的连线互相垂直。

20. 证明正方形的对边互相平分。

21. 证明矩形的对角线互相相等。

22. 证明底边垂直于直线平分子午线的梯形是等腰梯形。

23. 证明两对顶点互相对顶的平行四边形是全等的。

24. 证明外接圆的两切线互相垂直。

25. 证明两个互相垂直的直线的交角互为90度。

26. 证明外接圆的直径是角平分线。

27. 证明两条平行线割圆所得弦长度相等。

28. 证明两条互相垂直的直线之间的角度是90度。

29. 证明一个等腰梯形的中线平行于底边且长度等于底边长度之和的一半。

30. 证明三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。

31. 证明一个等边三角形的外角都是120度。

32. 证明相似三角形的对应角相等。

33. 证明互余角和互补角之和等于180度。

初二数学几何证明题（5篇可选）第一篇：初二数学几何证明题1.在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。

2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M 是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

3.。

如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。

4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。

5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC 且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。

1.求证四边形ABCD是菱形。

2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。

7.已知正方形ABCD中，角EAF=45度，F点在CD边上，E点在BC边上。

求证：EF=BE+DF第二篇：初二几何证明题1如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DCCF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=ACADCF的形状，并证明你的结论AEB第三篇：初二几何证明题初二几何证明题1.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E。

M为AB中点，联结ME,MD、ED求证：角EMD=2角DAC证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线与EF的延长线交于点H、D求证：∠AHE=∠BGE证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：∵E是CD的中点，且EM‖AD，∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF ∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF.3.写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,下面的反证法应该可以接受如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC证明:BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)==>BE=AB*BC/(BC+AC)同理:CD=AC*BC/(BC+AB)假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)AB>AC==>BC+ACAC*BC==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)==>BE>CDAB>AC==>∠ACB>∠ABC∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2==>∠BEC>∠BDC过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC (1)BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFDCF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC (2)(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立所以AB=AC。

八年级下册数学证明题的技巧八年级下册数学证明题技巧总结在八年级下册数学学习中，遇到证明题是一项非常重要的内容。

掌握证明题的解题技巧，不仅能够提高数学水平，还能培养逻辑思维和推理能力。

本文将详细介绍一些解决八年级下册数学证明题的技巧。

1. 矩形证明法矩形证明法是一种经典的证明思路，通常适用于关于几何形状（如矩形、三角形等）的证明题。

其基本思路是将需要证明的问题转化成一个矩形的性质，再通过对该矩形进行几何推理和计算，最终完成证明。

•确定证明目标•找到合适的矩形•运用几何推理和计算，证明目标得以实现2. 数学归纳法数学归纳法是一种常见的证明方法，通常适用于需要证明某个特定性质对任意正整数是否成立的问题。

其基本思路是通过证明当某个特定性质对某个正整数成立时，它对于下一个正整数也成立，再通过归纳推理证明该性质对所有正整数都成立。

•确定归纳假设•进行归纳基础的证明•进行归纳步骤的证明3. 逻辑推理法逻辑推理法是一种常用的证明方法，通常适用于需要推理判断的问题。

其基本思路是通过利用已知条件和逻辑关系，进行推理判断，得出需要证明的结论。

•确定已知条件•运用逻辑关系进行推理•得出结论，并进行论证4. 反证法反证法是一种常见的证明方法，通常适用于需要判断某个命题是否正确的问题。

其基本思路是通过假设命题不正确，得出与已知事实或已证明事实相矛盾的结论，从而反证命题的正确性。

•假设命题不正确•推理得出与已知事实或已证明事实相矛盾的结论•得出结论与已知事实或已证明事实相矛盾，证明命题的正确性5. 数学定理法当遇到一些已被证明的数学定理时，可以直接运用这些定理来解决相关的证明题。

熟练掌握常见的数学定理，并能够灵活应用，将会在解决证明题时起到事半功倍的效果。

•确定需要运用的数学定理•运用定理进行推理和计算•完成证明过程以上是一些常用的在八年级下册数学学习中解决证明题的技巧总结。

通过熟练掌握这些技巧，相信能够在数学学习中取得好的成绩，并培养自己的逻辑思维和推理能力。

ABC ED几何证明复习一、 命题与定理1．在命题：“三角形的一个外角大于三角形的每一个内角”、“底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等”、“两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直”中，真命题的个数有…………………………………………………………………………（ ） （A ）0个；（B ）1个；（C ）2个；（D ）3个．2．下列说法正确的是 ………………………………………………………………（ ） （A ） 所有命题都有逆命题； （B ）所有定理都有逆定理；（C ）真命题的逆命题一定是真命题； （D ）假命题的逆命题一定是假命题． 3.下列说法中，正确的是（ ） A. 真命题的逆命题也是真命题； B. 假命题的逆命题不一定是假命题；C. 命题“若x ＞0,y ＜0,则xy ＜0”的逆命题是真命题；D. 命题“对顶角相等”的逆命题是真命题.4．命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 ． 5．在下列各原命题中，逆命题为假命题的是…………………………………（ ）． (A) 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； (B) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(C) 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等； (D) 关于某一条直线对称的两个三角形全等．6.到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心.举例：如图若AD 平分∠CAB ，则AD 上的点E 为△ABC 的准内心. 应用：（1）如图AD 为等边三角形ABC 的高，准内心P 在高AD 上，且 PD =AB 21，则∠BPC 的度数为_____________度.（2）如图已知直角△ABC 中斜边AB=5，BC=3，准内心P 在BC 边上，求CP 的长.BACP DBFECAABC DP二、 轨迹1. A 、B 为线段AB 的两个端点，则满足PA-PB=AB 的动点P 的轨迹是______________________.2．经过定点A 、B 的圆的圆心的轨迹是 ． 3．到点A 的距离等于2厘米的点的轨迹是 ． 4．经过定点A 且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是 ． 5. 已知线段AB ，以线段AB 为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是 .三、 线段垂直平分线和角平分线1．已知在△ABC 中，CD 是角平分线，∠A =2∠B ，AD =3，AC =5，那么BC = ． 2．已知△ABC 中，AD 是BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足是E ，DF ⊥AC ，垂足是F ，且△ABC 的面积为28，AC=4，AB=10，则DE = ．3.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=56°，∠BAC 的平分线与AB 的 垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠， 点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为 度．4.如图，在△ABC 中，∠B =47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠ABE =__ ____°.5．（本题满分8分）如图，已知△ABC ．（1）根据要求作图：在边BC 上求作一点D ，使得点D 到AB 、AC 的距离相等，在边AB 上求作一点E ，使得点E 到点A 、D 的距离相等；（不需要写作法，但需要保留作图痕迹和结论）（2）在第（1）小题所作出的图中，求证：DE ∥AC ．6．（本题满分7分）已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，PE ⊥OB ，垂足为点E ，点M 、N 分别在线段OD 和射线EB 上，PM =PN ，∠AOB =68°．求：∠MPN 的度数．四、 直角三角形1．已知直角坐标平面中两点分别为A （2,-1）、B （5,3），那么AB = ． 2．如果点A 的坐标为（1 ,2），点B 的坐标为（3,0），那么线段AB 的长为___________．A OBP MN C（第24题图）D EABC（第25题图）3.已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A ．45oB ．75oC ．15oD ．前述均可4．在Rt △ABC 中，如果∠C =90°，∠A =60°，AB =14，那么BC = ．5．已知在Rt △ABC 中，P 为斜边AB 上一点，且PB =BC ，P A =2，AC =8，那么AB = 1 ． 6.若△ABC 的三条边分别为5、12、13，则△ABC 之最大边上的中线长为 6 ． 7.用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形的是……………………………（ ） （A ）51,41,31； （B ）4，5，6； （C ）1，3，32； （D ）17，8，15．8.在Rt △ABC 中，∠A =90︒，∠B 与∠C 的平分线相交于点O ，那么∠BOC 等于 ………………………………………………………………………………（ ） （A ）100度； （B ）120度； （C ）135度； （D ）150度． 9.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，且DC =3，则点D 到线段AB 的距离是 .10.若等腰三角形的腰为10，顶角为120°，则底边上的高为 .11.一根电线杆高为8米，为了安全起见，在电线杆顶端到与电线杆底部水平距离6米处加一根拉线，经测量这根斜拉线长为10.5米（不计捆缚和接头部分），则电线杆与地面 .（填“垂直”“不垂直”）.11．如图, ABC Rt ∆中, 090=∠C , 020=∠A , CM 是AB 边上的中线, AB CD ⊥于D , 则MCD ∠= 度．12．如图，△ABC 中，090=∠C ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果 CE ︰AE =1:2，则B ∠= 度．13．△ABC 中，AB =6，BC =8，∠B =60︒，则AC = ___________．14．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，如果CD 、CM 分别是斜边上的高和中线，2=AC ，BC =4，那么下列结论中错误的是 ……………（ ）． DMA A BCMD(第11题图)ABCDE（第12题图）(A) B ∠=30°； （B ）5=CM ；(C)554=CD ； (D) B ACD ∠=∠． 15． 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，如果CD ＝2，AB ＝8，那么△ABD 的面积等于 ．DBCA16． 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，DE 垂直平分AB ，如果∠1∶∠2＝2∶3，那么∠B ＝ 度．21D ECBA17．已知：如图，点G 为AH 上一点，GE //AC 且交AB 于点E ，GD ⊥AC ，GF ⊥AB ，垂足分别为点D 、F ，如果GE GD 21=，32EF GE =，那么∠DGA = 度． FDEAH G B C18．(本题满分5分) 已知：如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE ，G 是垂足。

《义务教育数学课程标准（2011年版》）（以下简称《标准》）中指出，自学能力对每个人都是终身有用的，阅读是提高自身能力的重要途径.数学阅读是理解数学语言的过程，是学生用特定的数学符号及符号之间的关系对自身原有认知结构进行改造、调整和建构；数学阅读也是心理活动的过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等；数学阅读还是一个不断假设、证明、想象、推理的思维认知过程.可见，数学阅读对提升学生的数学学习能力有着极大的价值，是促进学生数学思维和数学素养发展的重要途径.沪教版《九年义务教育课本·数学》（以下统称“沪教版教材”）中编排了许多阅读材料，按功能大致可以分为以下几类：介绍知识，开阔视野；激发兴趣，发展思维；培养爱国主义思想，增强民族自豪感；加强知识和技能的实际应用，培养学生的应用意识，提高解决问题的能力.值得一提的是，沪教版教材将平面向量的部分基础内容纳入初中数学课程中.一方面，为学生的几何学习提供了“新观点”和“新手段”；另一方面，有助于让学生逐步体会数学与物理等其他学科的联系.我们知道，一些平面几何问题经过转化，可以通过向量运算来解决.这样的学习经验可以促进学生数学思维的灵活性和创新性，有利于学生数学素养的培育.同时，教材对初中平面向量主要采用直观描述，控制了难度（仅限于认识向量、表示向量；用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减法、向量分解的作图操作；至于向量的数量积与坐标运算，仍然是高中的学习内容）.为此，作为一个良好的内容载体，本文谨以阅读材料“用向量方法证明几何问题”为例，谈谈对数学阅读课的教学实践与思考.一、教学实践“用向量方法证明几何问题”是沪教版教材八年级第二学期第二十二章“四边形”章末的一篇阅读材料，安排在第四节“平面向量及其加减运算”的学习之后，用举例说明的方式介绍了用向量方法证明一些简单平面几何问题的基本思路，是对向量知识的进一步拓展.希望学生通过阅读、讨论与交流，初步了解平面向量及其加减运算在平面几何中的运用，感受几何证明的新方法，开阔眼界；同时，在数学问题解决初中数学阅读课教学的实践与思考——以“用向量方法证明几何问题”一课为例罗佳骏收稿日期：2020-08-15作者简介：罗佳骏（1984—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.摘要：数学阅读是学生数学素养发展的重要方法之一.沪教版初中数学教材中编排了较多阅读材料，这些材料紧扣教材中的相关知识，丰富了教学内容，是拓展学生数学知识、提升学生数学阅读能力、激发学生数学学习兴趣、培养学生创新意识的有效载体.这些内容的教学成为上海市数学素质教育综合体现的重要组成部分.文章以“用向量方法证明几何问题”一课为例，给出关于初中数学阅读课教学的一些思考.关键词：数学阅读；数学交流；实践与思考··21过程中，增进对平面向量的理解，初步体会平面向量的工具价值，领略用向量方法证明一些几何问题的过程和优越性，激发学生学习向量知识的兴趣和运用向量知识的积极性.对于本节阅读课，笔者设计了“泛读—通读—精读—解读—延读”五个环节.1.泛读——初步感知泛读是本节课的准备阶段.通过观看微视频，梳理“四边形”这一章的主要内容，引起学生思考：将平面向量这一内容安排在“四边形”一章的原因，初步认识平面向量与四边形内容之间的联系；同时，梳理演绎证明的一般过程，为后面的学习做好铺垫. 2.通读——问题展示通读是整体感知阶段.通过通读初步了解阅读材料的主要内容和知识点.为了让学生的阅读有更明确的指向性，从而提高阅读效率，教师可以布置一些阅读任务，通常包含学习目标、导读问题、阅读检测、阅读体会等，带着任务阅读能使学生的阅读更有针对性，更能启发学生去思考、探究.这无疑对提高学生的阅读能力是很有帮助的.以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者布置的阅读任务如下：①圏划你认为重要的部分；②记录你在阅读过程中的困惑或不理解的地方；③比较用向量方法证明几何问题与演绎证明的区别与联系.学生通过通读阅读材料，初步了解向量知识在平面几何中的运用，感受用向量方法证明几何问题的新方法.通过比较阅读材料中给出的两道例题的不同解法，初步感受两种解法的区别与联系.由于学生的个体差异性，不同层次的学生在阅读后对新知会有不同程度的理解，形成自己尚不完善的认识，也会产生许多疑问.例如，下面是一些学生的疑问.生1：如何用向量方法证明几何问题？生2：如何选取合适的向量？生3：向量关系与几何关系如何转化？生4：已经学习了演绎证明的方法，阅读材料中给出的两道例题都可以通过演绎证明来解决，为什么还要学习向量方法？向量方法似乎并没有简单很多. 3.精读——问题解决精读是本节数学阅读课的核心环节.数学阅读的目的在于理解，每个数学概念、符号、术语都有其精确性和逻辑性.当一名学生试图阅读、理解一段阅读材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义.这就要求学生必须在通读材料、提出问题的基础上，运用分析、联想、类比、归纳、猜想、反思等思维方法，对疑难点各个击破.这里，活动的设计尤为关键，以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了讨论和交流两个活动，放手让学生自己解决问题，大胆地让学生展示自己的阅读与思考成果.以下为节选的部分小组交流片断.第一组：演绎证明是运用相关定义、定理、公理，按照逻辑规则进行推导，也就是从几何问题的已知条件出发得到结论.向量证明的方法是适当选取向量，进行正确的向量运算得到结论.第二组：我们分析比较了例1中的解法.例1是根据已知条件引出向量，给出的条件是“如图1，四边形ABCD，AC与BD交于点O，AO=OC，DO=OB”，求证“四边形ABCD是平行四边形”.首先，这个条件给出的意义是线段相等，还有AC和BD各自是一条直线，向量需要两个条件，一个是大小，一个是方向.已知条件已经给出了向量的大小，我们只要判断它的方向就可以从条件中选取向量，然后通过向量的加法，能得出AO+OB=AB，DO+OC=DC.相等向量所在的有向线段DC=AB，这是数量关系.还有平行关系，得出线段AB∥DC，且AB=DC，然后再回到几何证明.图1第三组：用向量方法证明几何问题是因为向量既具有代数的特征，又具有几何的形态.由于向量有运算系统，并且与几何图形有密切联系，所以它才可以用来证明几何问题.第四组：向量的证明方法比演绎推理的证明方法更加简洁.用几何方法要证明线段平行且相等，用向量方法只需要说明“向量相等”就能说明“两条线段平行且相等”.可以看到，整个活动过程中，学生的思维是无限··22的，在师生、生生合作交流中梳理形成用向量方法证明几何问题的基本步骤、要点和依据，提高了对“用平面向量的运算来作为推理方法”的认识，增进对平面向量“数”与“形”双重特征的理解.期间，笔者仅对学生分析过程中存在的不足做必要的补充和调整，让学生获得了准确、完整和深刻的认识，最终得到如图2所示的知识框架图.演绎推理方法证明几何题图24.解读——巩固练习解读是检验与完善的阶段.在学生对阅读内容有了比较清晰的认识以后，通过适当的练习加以巩固，进一步理解和内化知识.以“用向量方法证明几何问题”为例，笔者设计了如下一道练习题.已知：如图3，四边形ABCD 是平行四边形，CN =AM ，AE =CF.求证：四边形NEMF 是平行四边形.AB CD E FM N图3考虑到沪教版教材定位“在初中的向量教学中，不要求学生会用向量方法证明几何问题”，故而采用让学生独立思考与相互交流相结合的方式研究.以下是学生的交流片断.生1：根据已知条件，作 EA ， AM ， EM ，CF ， NC ，NF .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB 平行且等于CD.因为CN =AM ，所以 AM =NC .因为AE和CF 在同一直线上，且AE =CF ，所以 EA =CF .所以 EA + AM = CF + NC ，即 EM =NF .所以EM ∥NF ，且EM =NF.所以四边形NEMF 是平行四边形.5.延读——拓展延伸阅读型作业的思路来源是数学阅读教学和分层作业理念的结合.一方面，数学阅读课的目标之一是学生数学阅读能力的发展和自学能力的提升；另一方面，课堂教学的时间是有限的，教师可以根据相关知识点设计一些与阅读材料有关的问题，或者收集、编制一些阅读材料，让学生带着这些问题继续阅读、思考，并做出解答，以此来优化教学效果.以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了如下阅读作业.阅读下列材料，并完成证明.我们知道，两个相同的实数a 相加，结果为2a ，即a +a =2a .那么两个相同的向量a 相加，是否也有类似的结果呢？即a +a =2a 吗？如图4，已知向量a ，在平面内取一点O ，作向量OA =a ， AB =a ，由向量加法运算法则，得OB =a +a .aOA B图4同时，我们不难看到：向量OB 的方向与向量a 的方向相同，向量OB 的长度是向量a 的长度的2倍，即|| OB =2||a .我们把这样的向量OB 记为向量2a ，即OB =2a .由上可知，2a 表示这样的一个向量，其方向与向量a 的方向相同，且长度是向量a 长度的2倍.类似地，3a 表示这样的一个向量，其方向与向量a 的方向相同，且长度是向量a 长度的3倍.那么，32a 表示为；12()a +b 表示为.反过来，如果 MN =2PQ ，则意味着MN 和PQ 平行（或共线），且MN =2PQ .上述结论可用于研究几何中有关两直线平行及线段长度的问题，如三角形中位线定理.请同学们小组合作，用向量方法证明该定理.求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.已知：如图5，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点.求证：EF ∥BC ，EF =12BC .··23ACE F图5该作业的主要任务是开展“拓展阅读”.学生需要在完成阅读后，理解实数和向量的乘法的基本概念及其表示方法，然后用所学的向量方法尝试证明三角形中位线定理.其目的在于通过对阅读材料的学习，进一步让学生体会材料中用向量方法证明一些简单的平面几何问题的基本思路，了解平面向量及其运算在解决一些平面几何问题中的作用，增进对平面向量“数”与“形”双重特征的理解，体会平面向量的学习价值，发展自主学习和数学阅读的能力.在布置作业时，要求学生先独立阅读材料并尝试完成材料中提出的学习任务，然后撰写简单的学习体会并与其他学生交流.二、几点思考1.阅读课的目标定位读有所得、读有所疑、读有所悟、读有所用是一切阅读活动的共同目标.数学学科还有自己的特点，即高度的抽象、严密的逻辑和广泛的应用.这决定了数学阅读不同于一般的阅读，不仅要理解文本、获取知识，还要了解知识产生的背景和内在的逻辑关系，经历知识的形成过程，并能合理运用到实际生活中.在“用向量方法证明几何问题”一课的教学过程中，笔者布置了阅读任务，目的是让学生有充裕的阅读和思考的时间，使学生不仅仅了解用向量方法证明几何问题这个方法；还能在阅读和思考过程中不断产生疑问.例如，向量关系与几何关系如何转化？两种方法孰优孰劣？学生在交流合作中经历用向量方法证明几何问题的过程，梳理了知识框架图，从中获得数学阅读和思考的一般方法，引发对数学阅读和思考的兴趣.2.阅读课的主体定位数学阅读课的整个教学过程是教师协助学生主动建构知识的过程，这极大地凸显了学生的主体地位.在“用向量方法证明几何问题”这节课阅读课的教学过程中，笔者的任务首先是倾听，其次是捕捉、梳理和完善学生思维中零散、不完全准确的结论.学生在阅读中产生疑问，在交流中解决疑问，再围绕笔者提出的较深层次的问题阅读、思考、交流.这些做法使得学生获得了更多的自主阅读与思考的时间和空间.3.阅读课的方式定位数学阅读课的学习方式通常是开放式的.数学阅读过程是不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程，在向知识的广度和深度进军的过程中遇到问题或者困惑是在所难免的.开放的阅读方式能让学生在阅读与思考活动中分享信息结论和疑问，通过交流合作解决疑问，达到阅读和思考的最优效果.另外，在当今的信息时代，学生阅读的渠道不仅仅是教材和教师给予的阅读材料，还可以借助网络资源搜索相关资料进行深入学习.4.阅读素材的选择各地现行的初中数学教材普遍编排了许多阅读材料，主要包括：透过数学历史故事，学生可以感受到数学知识在研究过程中的曲折、艰辛，以及获得成功后的快乐，感悟理性精神；通过知识拓展或运用数学知识解决生活中的问题，可以增进数学与生活的联系，理解数学的学习价值等.随着数学学习的深入，笔者认为阅读不能仅仅局限于教材的阅读，应该给学生提供更多的课内外阅读资料.以平面向量为例，该部分知识虽然没有纳入《标准》，但是从上海市的经验来看，平面向量的初步知识在初中阶段的讲授还是具有较好的可操作性的.即使其他地区的数学教材中没有向量知识，教师也可以通过阅读材料的方式呈现给学生，让其自主学习.通过学习，学生有机会从运算的视角看待几何证明，丰富学生解决平面几何问题的手段，以更好地促进学生思考，挖掘学生的思维潜力，发展数学素养.5.阅读课的评价方式不同于重结果轻过程的传统数学评价，数学阅读课更侧重于学习过程，应采用多样化的评价方式.笔者认为可以从课堂评价和作业评价的转变开始.（1）课堂评价.学生的能力是多方面的，每名学生都有各自的优势.在阅读活动中，学生表现出来的能力不是单一维度的··24数值反映，而是多维度、综合能力的体现，因此对学生的学习评价应该是多方面的.在“用向量方法证明几何问题”一课的教学中，笔者采用了学生自评、小组互评和教师评价相结合的方式，从阅读表现、合作表现、交流表现、理答表现四个方面进行评价.（2）作业评价.传统的作业评价大多数基于知识与技能，更侧重于学生对知识的掌握情况、解题表现等，评价的维度比较单一.如何才能更好地发挥评价的导向、调控和激励功能？以“用向量方法证明几何问题”的阅读型作业为例，对于该作业的批改，笔者采用等第制评价的方法，学生互评和教师评价相结合，从阅读表现、解题表现和交流表现等方面重点开展评价，以下是评价标准.优秀：能圈划阅读材料中的关键词和重要信息，准确理解材料的内容；在解决问题的过程中，表现出对阅读材料介绍的方法的正确运用；解题过程完整，能用规范、简洁的语句进行交流；能清晰地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.良好：能圈划阅读材料，材料分析基本准确；解题过程基本正确；能用较为规范、简洁的语句进行交流；能较清楚地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.合格：基本理解阅读材料，材料分析不够准确；有解题过程，但解答存在一定错误；能与他人进行一定交流，但解题思路和阅读体会介绍较为简单. 6.阅读课的局限性（1）不同学生的差异.不同层次的学生受益效果不同，无法带动所有学生.笔者执教的班级学生水平差异较大，通过多次实践发现：原本学习能力强的学生在这样的课堂上学习方法能有提高，学习能力能有进步，对相关知识点的迁移，学习效率很高，他们学习的自信和主动性都会有飞跃；但是对于学困生却不一定有帮助.虽然笔者教学中一直关注个体差异，一有机会就会对学困生进行个别辅导，但是在自主阅读环节，学困生的学习效率非常低.没有了教师的教，学生不知道阅读和思考的方向，寸步难行.（2）阅读时间的把握.确定阅读时间是数学阅读课的重点和难点.阅读时间长了，留给学生对话交流的时间就少了，有些问题得不到解决，能力的发展受到限制，也就失去了阅读课的价值；阅读时间少了，学生对材料的理解不充分，思考的深度不够，也达不到效果.这就对教师提出了很高的要求，既要研读材料，把握教学的学习内容，又要研究学生，把握学生的学习水平，在此基础上，做出规划和预设.另外，数学阅读教学是学生、教师、文本之间对话的过程.学生作为读者，是富有巨大认知潜力和主观能动性的，尤其是经历交流对话后会生成新的学习需求，需要二次阅读甚至三次阅读，这就需要教师对预设的教学做出及时调整，朝着有利于加深对数学阅读文本的理解和感悟、有利于学生数学素养发展的方向转化.参考文献：［1］倪湘丽.初中数学阅读教学的实践研究：以苏科版教材七上、八上的教学实践为例［D］.苏州：苏州大学，2014.［2］朱丽霞.数学阅读为学生的思维进阶插上翅膀：以“三角形内接正方形的作法”阅读课为例［J］.上海中学数学，2020（1/2）：42-44，64.［3］谷荷莲.高中数学“阅读与思考”栏目的教学实践与思考：以《圆锥曲线的光学性质及其应用》阅读与思考教学为例［J］.数学教学通讯，2020（9）：3-4，10.［4］朱纪英.初中数学阅读教学有效性研究与实践［D］.上海：上海师范大学，2012.··25。

上海初中数学几何证明练习之全等三角形一、填空题（每小题2分，共20分）1.如图，△ABC ≌△DEB ，AB =DE ，∠E =∠ABC ，则∠C 的对应角为 ，BD 的对应边为 .2.如图，AD =AE ，∠1=∠2，BD =CE ，则有△ABD ≌△ ，理由是 ，△ABE ≌△ ，理由是 .（第1题） （第2题） （第4题） 3.已知△ABC ≌△DEF ，BC =EF =6cm ，△ABC 的面积为18平方厘米，则EF 边上的高是cm.4.如图，AD 、A´D´分别是锐角△ABC 和△A´B´C´中BC 与B´C´边上的高，且AB = A´B´，AD = A´D´，若使△ABC ≌△A´B´C´，请你补充条件 （只需填写一个你认为适当的条件）5. 若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、 或 与另一个三角形完全重合. 6. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度（第6题） （第7题） （第8题）7．已知：如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，则DN ＋MN 的最小值为__________．8．如图，在△ABC 中，∠B ＝90o ，D 是斜边AC 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ，若∠DAC ：∠DAB ＝2：5，则∠DAC ＝___________．9．等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90o ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AB ＋AD ＝8cm ，BAEDCE DABC1 2DA BC B´D´A´C´MND CBAECEDCBAH EDC B A B ′C ′D ′O ′A ′ODC BA（第14题）则底边BC 上的高为___________．10．锐角三角形ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝__________度．（第9题） （第10题） （第13题）二、选择题（每小题3分，共30分）11．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠A =56°，则高BD 与BC 的夹角为（ ）A ．28°B ．34°C ．68°D ．62°12．在△ABC 中，AB =3，AC =4，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ，则AD 的长的取值范围为（ ）A ．1＜A D ＜7B ．2＜A D ＜14C ．2.5＜AD ＜5.5 D ．5＜A D ＜1113．如图，在△ABC 中，∠C =90°，CA =CB ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，D E ⊥AB 于点E ，且AB =6，则△DEB 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 14．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明 ∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是 A ．（S ．S ．S ．）B ．（S ．A ．S ．） C ．（A ．S ．A ．）D ．（A ．A ．S ．15. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ） A.∠α=60º，∠α的补角∠β=120º，∠β>∠α B.∠α=90º，∠α的补角∠β=900º，∠β=∠α C.∠α=100º，∠α的补角∠β=80º，∠β<∠α D.两个角互为邻补角16. △ABC 与△A´B´C ´中，条件①AB = A´B´，②BC = B´C´，③AC =A´C´，④∠A=∠A´，⑤∠B =∠B´，⑥∠C =∠C´，则下列各组条件中不能保证△ABC ≌△A´B´C´的是（ ） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ②⑤⑥17．如图，在△ABC 中，AB =AC ，高BD ，CE 交于点O ，AO 交BC 于点F ，则图中共有全等三角形（ ）A ．7对B ．6对C ．5对D ．4对DC B A18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，D E ⊥AB 于点E ，若△DEB 的周长为10cm ，则斜边AB 的长为（ ）A ．8 cmB ．10 cmC ．12 cmD ． 20 cm19．如图，△ABC 与△BDE 均为等边三角形，A B ＜BD ，若△ABC 不动，将△BDE 绕点B旋转，则在旋转过程中，AE 与CD 的大小关系为（ ）A ．AE =CDB ．A E ＞CDC ．A E ＜CD D ．无法确定20．已知∠P =80°，过不在∠P 上一点Q 作QM ，QN 分别垂直于∠P 的两边，垂足为M ，N ，则∠Q 的度数等于（ ）A ．10°B ．80°C ．100°D ．80°或100° 三、解答题（每小题5分，共30分）21.如图，点E 在AB 上，AC =AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为 ， 你得到的一对全等三角形是∆ ∆≅ .（第21题）22.如图，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明.①AB =AC ，②DE =DF ，③BE =CF ， 已知：EG ∥AF ， = ， = ， 求证： 证明：（第22题）23. 如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明. ①AB =DE ，②AC =DF ，③∠ABC =∠DEF ，④BE =CFECDBAEA BD FC（第23题）24. 如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上.连结AE 、BF ，给出下列五个关系式：①AD ∥BC ；②DE =CE ③. ∠1=∠2 ④. ∠3=∠4 . ⑤AD +BC =AB 将其中的三个关系式作为假设，另外两个作为结论，构成一个命题.(1)用序号写出一个真命题，书写形式如：如果……，那么……，并给出证明； (2)用序号再写出三个真命题（不要求证明）； （3）真命题不止以上四个，想一想就能够多写出几个真命题EDAC 4321FB25.已知，如图，D 是△ABC 的边AB 上一点,DF 交AC 于点E , DE =FE , AB ∥FC . 问线段AD 、CF 的长度关系如何？请予以证明.（第25题）26.如图，已知ΔABC 是等腰直角三角形，∠C =90°.（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C 重合，使这个角落在∠ACB 的内部，两边分别与斜边AB 交于E 、F 两点，然后将这个角绕着点C 在∠ACB 的内部旋转，观察在点E 、F 的位置发生变化时，AE 、EF 、FB 中最长线段是否始终是EF ？写出观察结果.（2）探索：AE 、EF 、FB 这三条线段能否组成以EF 为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明.四、探究题 （每题10分，共20分）27.如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA的平分线，AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.OP AM N E B C DF A CE F B D 图① 图② 图③28.如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF 和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现）.E ACF BE ACFB图a 图b。

八年级下册几何证明题若盘1淀帽圾段相壽城鶴棚吾两兼矯段或两个划轴菩是平面几何证朗中彌本也是最亜要閱一神稲第关帚很多基它问题确都可化归为此娄I可题寂证亠证明两空裁段国两耳柑茸耐市用的方览足利用全工三甬牺的［谒.基它卯找段中亟找酌性僮、ffl 平分我的性厳注睡膺二角形的判良弓性质聲也经H月到*例 1 EJOL 如图L 浙示.j^ABC中"ZC=9C°;AC = BC r AD=DB, AE = CF淞证：D& = DF分祐由MHC呈等輕宜角三角形可刘，m = MB =45° ＞B DMAS中鼠M考虑谨結CD禺得8= AD, zncF = 456＞从而不难友现iPCF = QE说割；在亘焉三角形中，愕耕边上的中线是冃用时艳助袋；在諄搐三角形中，作玖苗的平分践或庶逼上的中彼或吾是常用的器助馥.显撚.在等脸亘吊三闻形中.虫应潼连给CD,因芮CD抵是捋边上的中练乂是鹰妙上的中隸.本題亦叮延民HD到G, ffiDG=DE・珪结BO.证凹氏樂等腰曲三甫孰育兴趣的同学K妬一试BAE7；火/ /FC F E制：已知’知團二所示，AB-CD* AD-BC. AE-CFu求证* ZE= ZF说明.飙1用三角形全手辽明赣段来角H手.幣须傑辅助堀制适全手三角形.这时应汪意「(1)刹道的全弄—津形应分別邑拷琨证中-北，＜：)廉轴助氏世歸直振骨到酌两仕第三闪射*2、^L>MH.«TTrW4<±l守两呆頁空的倚肓天缺平行耳垂頁呈两秤特秣柯悔百*运两亘纬平厅.可用同伉电*冋请角肃同番內爲的关系来证，也可通过迪对应成比例、三角形电位疲定理还明*证两糸宜线垂宜，可韩化为证一亍角等于90° , 車利用两牛锐角互苏.爭弄禮三角形“三議甘一”来证.例弓如圈弓所示.谆RP、CQ予MECM內角平廿线.AH.人K分别为A到RP、匚Q的垂纬*球证，KH^TJC分祈「匚已知* BH平分/ARC卫.BH丄AH,延世AH兗EC于K，则B A=BNi AH=HN^同理，延长AK^BC i~M,R|JCA=CM- AK=KA“从面由三曲刑鬧中检统定理.SO KH BC □讣咽=延-^AH X BC于& 延怅丸K袞BC于MTRH 平分ZABC :.竺= £科EH又BH丄兀匕，-.ZAHB = ANHB= 90°..M閃=IBM [AS.4）BH=BH.-.BA- 5.V, AH HN同理.CA =C\t,AK = KA1二畑担JU3 ⑺电位线「.直占V.V 即KH BC说明*当一‘I二銷宪中出毘萌平吩践、冲些实長甥虫2时.则此三第出必为零將三滑刑・我们也可理斛应押- 5百（6一悒屯:沼垂口E讪朋祈（■轴对隊）而吐-沖翌HS一111上.祟证| FD_LED（o.育勇荐三角死栄件对*忡属辺上的高.然靠辰仞上中鑑.或罪呗角平令址是市用离朝第（：）.证明前宜誌丢亘的方法却P①苜九号析亲杵*规幕能否歸捋供垂自的定理帚到.包括■诱常臣辅助纯、刀丰題证二"②掴剥待证三直线所覩感的三甬形.证明耳中两个税対互余.③诃田二自嶽的夬角弄干90° ,氛址朋一终民和的间題（1）在较快戡段上魅取一线段尋一較握蚓曇证瞄真金部分尋于另一線理线段.1?1 5.已知，如亜勺所示社二也亡中"一£-60= ZBAt\ ZBCA的曲平另或蠱1XCE相农于6取证=AC = AE + CD图6 戲寿脚’ H AC二出験AF = AL a易剂上运。

上海教材八年级第十九章几何证明知识整理一、知识梳理：重要定理：★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

如图：•/ MN垂直平分线段AB••• PA=PB逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

女口图：•/ PA=PBN •••点P在线段AB的垂直平分线上★角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

如图：•/ 0P平分/ AOBPD丄0A , PE丄0B• PD=PE逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

女口图：•/ PD=PEPD丄0A , PE丄0B• 0P平分/ A0B★基本轨迹轨迹1和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。

轨迹2：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。

轨迹3:到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆。

★直角三角形的全等判定直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等, 那么这两个直角三角形全等。

（H.L ）★直角三角形的性质及判定定理1直角三角形的两个锐角互余。

如图：•••/ C=90°•••/ A+ / B=90 °定理2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

如图：•••/ ACB=90 ,且点D是AB的中点1• CD -AB （CD=AD=BD，或AB=2CD ）2推论1在直角三角形中，如果一个锐角等于 于斜边的一半。

如图：•••/ C=90°,Z A=30°1••• BC 》AB2推论2:在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半一，那么这条直角边所对的角 等于301如图：•••/ C=90°, BC AB 2•••/ A=30°★勾股定理及逆定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。

2019年第10期故爹敉学10-1几何证明—初中数学分叉点研究之三黄喆1陈飞2梁珍3陈永明4(1.上海市张江集团学校，上海201203; 2.上海市西南模范中学，上海200237;3.上海市紫阳中学，上海200231;4.上海市徐汇区教育学院，上海200032)几何证明是初中数学公认的难点,也是初中数学最明显的一个分叉点.初中数学教师中流传着这么一个顺口溜：初一相差不大，初二两极分化，初三天上地下.几何证明题使初中学生的数学成绩两极分化达到“天上地下”的程度.1几何证明难在哪里？张奠宙先生在“中国特色的数学教育理论刍议”一文中说，“数学有思辨性知识和程序性知识的区分.中国数学教育特色，更多地反映在程序性知识的教学上……，我们应当研究学生掌握程序性知识和思辨性知识的不同规律.”张先生说的思辨性知识，涵义可能更广些，但平面几何证明题肯定不属于程序性知识，我们应该按照张先生说的，要努力研究学生掌握几何证明的规律.几何证明难，大致有以下原因.(1)在人门阶段之后，基本的知识，包括 逻辑、语言、图形方面的障碍基本解决，但尚未在运用中巩固.(2)几何学科的解题程序没有代数那么 清晰.(3)几何证明题在已知和求证之间的联 系往往需要添辅助线才能显现，而添线没有一般规律.2关于联想能力笔者曾经把数学难通俗地归结为三种：想不通，想不到，理不清[n，几何证明中遇到的困难主要是属于“想不到”，一旦别人将辅助线添出，已知和求证之间的联系很快接通.笔者认为,几何证明的主要困难不是逻辑思维能力不够，而是联想能力不够•联想是思维的一种形式.所谓联想，就是由一件事的触发而想到了另一件事的思维.几何证明中的联想，有其自己的特点.(1) 一般认为，联想属于发散思维，而几何证明中涉及的联想，既有发散思维的成分，也有集中思维的成分，因为最后总要达到题目里的“求证”的要求•(2)几何证明是利用解题者的知识经验 建立已知与结论之间的联系，即建立已知条件和已有知识经验之间的联想，和建立求证结论和已有知识经验之间的联想.在这个二重联想里，已知条件是联想的起点，这就是通常说的“由因索果”；其实求证的结论也是联想的起点，这就是通常说的“执果寻因”.就是综合法和分析法都要运用.(3)心理学家指出联想的多种方式，几何 证明中可能都会用到，其中等价联想和因果联想显得更为重要.3怎么培养联想能力联想能力的强弱，有天赋的因素.著名的教育家、上海中学的老校长唐盛昌认为：有数学天分的孩子“思维的跳跃性和缜密性能完美结合”，思维的跳跃性需要要求更高的联想能九波利亚说:“在考察新问题时，尽量找出熟悉的成分；在熟悉的东西中努力找出有用的(对新问题）东西.”超常的联想能力（显示出思维的跳跃性）可能有天赋的因素，一般的联想能力是可以培养的.那么怎么在几何证明阶段培养联想能力呢？笔者认为涉及两个方面.3.1教学方法在讲课时，特别是讲解题目时，要用启发10-2故学故学2019年第10期式，即使对于有套路的题，讲解的时候都不能 满堂灌.例如,在面对题目和图形时，不要急于 讲怎么证，可以问学生这个图形里有没有特殊 三角形、四边形？有几对平行线？有没有全等 三角形、相似三角形？等等.还可以适当运用发现法，适当地解些开放 题，鼓励发散思维.3.2知识技能上增加积累.心理学里有图式理论，认为专家和新手的 差别之一,就是头脑里储存的图式的多寡和质 量.心理学里有个相同要素论，认为新的问题 和人们原有的认知有相同要素，那么原有的知 识经验就可以迁移到新的问题中去.这些理论 都强调原有知识和经验是重要的.在几何证明 里，无论从已知条件出发联想，还是从求证结 论出发联想，都要先联想到已有的知识和经验，这就需要积累.4几何证明的知识技能积累4.1 “反应块”理论“反应块”理论是华南师大傅学顺教授提 出的,他认为：“优秀生脑海里不仅储存有定理 及其证明，而且储存有另外的许多基本问题及 其解法.一拿到数学问题，通过联想（或其他思 维方法诱发），可以迅速认出问题中包含的一 个个基本问题（称为反应块），从而把难题分解,迅速降低难度……”[2]由于脑子里有不少 反应块，学生在调用时，会产生“一看到……就 想到……”的反应.傅先生说：脑子里的反应块 多了，反应就“快”了.“反应块”理论强调要把公式的一些推论、典型例题、基本图形性质、小经验等“副产品”记住，以便在需要时可以迅速调用.这就是张 奠宙先生在《中国数学双基教学》一书中说的 “记忆通向理解形成直觉……而后进生往往是 ‘从〇开始有些老师可能有异议：“反应块”理论不 是让学生增加记忆负担吗？难道学数学也要 死记硬背？华罗庚教授十分重视积累，他的名言是: “天才在于积累，聪明在于勤奋.”可见积累的 重要性.没有积累，就没有了联想的出发点，联 想就成了无源之水.因此记住定理公式的一些 推论，完全有必要的，这一点不必怀疑.4.2命题联想系统命题联想系统是上海陈永明数学教学研 究团队提出的，华罗庚既强调积累，也有“由薄 到厚，由厚到薄”的观点.因此在记住这些推论 时，不要死记硬背.一要通过整理，尽量将这些 需要记忆的素材有序化.二要有重点记忆，通 过转化，带出其他.记住重点，学会转化，这样 就可以压缩记忆量.陈永明团队学习了张景中院士的解题“中巧说”，还借鉴了傅学顺教授的“反应块”理论 之后，提出了解题模块和命题联想系统这样两 个落实中巧说的具体做法[3].通过联想，把两个或多个命题按照一定的 关系（主要是因果关系）联系在一起，深深地印 刻在头脑中，就形成了一个认知结构——命题 联想系统.具体地有三种命题联想系统.4.2.1等价命题系统和命题A等价的所有命题组成命题A的等价命题系统.有些等价命题看起来不值一提，譬如“点4在直线MTV上”和“直线M V经 过点V是同义的，当然也是等价的.但思考的 角度是不同的，一个是着眼于“点，’，另一个 是着眼于“直线M A T.解题的思考过程，某种程 度上说，就是不断地问自己：“这个说法A意 味着什么？”，如果A意味着B，那么“B又意味 着什么?”……，这就是一串等价命题.特别是 学困生，一定要带着他们讨论定理的等价命题.等价命题系统有两种，一种是所涉及的对 象没有变化，只是叙述问题的角度发生了变化，如前面例子即是.另一种是叙述的对象发生了变化，如“点 4(1, 2)在直线M V:+ 3 上”转为“；c=l，y= 2适合方程y= + 3”就是把几何问题转为代数问题了.4.2.2下游命题系统我们已经有了命题A，可以推得命题B，我 们把命题B叫做命题A的“下游命题”，研究从 A可以推出的命题就是命题A的下游命题 系统.4.2.3上游命题系统为了得到命题A,寻找命题B,即由命题B 可推得命题A，我们把命题B叫做命题A 的2019年第10期故争敉学10-3“上游命题”，如果某些命题都可以推得命题A,这就得到命题A的上游命题系统.命题联想系统和“反应块”理论都强调把 教科书上的定理、公式予以推广,得到更多“副 产品”，与原先的定理公式一并记忆.并尽量把 这些“副产品”组成一个系统，使解题时更容易 找到规律，体现“中巧说”的特征.等价系统体现的是等价联想，上游系统和 下游系统则是因果联想.4.3命题联想系统的建构命题联想系统的建构大致有三个环节.4.3.1讲授新课时要品味讲一个定理公式，不要就事论事，而后让 学生背定理公式.应该让学生细细“品味”这个 定理公式.正面品，逆向品（品逆命题），反面品 (品否命题），分解品（品要素），找推论，找特 例……，即要找和定理公式等价的命题，以及 可以推出的结论,组成这个定理的等价命题系 统和下游命题.我们在听课时遇到下面的情况.例1用向量证明三角形中位线定理.A图1已知：点£>、E分别是仙、此的中点.证m：D E// BC, DE = —BC.2证明应该是这样的：g=瓦？+这=丄互？+丄H=丄应，222'所以，DE // BC, DE =+BC.但在课堂上，题目一出，全班鸦雀无声.注 意，这是个民办初中，生源是比较好的.其实关键在第一步，学生根本想不到应可以等于向量益的和.如果在一开始讲解向量的加 法法则（三角形法则）时，就让学生“品味”一下公式的等价命题，让学生知道，S+ ? = ?等价于? = 5 +?，后者的意义在于一个向量可以分解成两个向量的和，那么遇到这题，困难可能也就不会出现了.在讲授新命题时，要尽可能多地找出下游命题或等价命题.例如,一看到a2 + 62 = 1，应该联想到：(1)以a、6为直角边，斜边为1的直角三 角形；(2)以原点为圆心，半径等于1的圆.找等价命题和下游命题，这是新课讲授时的一个任务，除此之外还要将新定理纳入相应的上游命题之中.例如讲了等腰三角形判定定理，就要提醒学生，“证明两线相等又多了一个方法——三角形的等角对等边”，并要求把这个方法记录在“证明两线段相等的上游命题系统”里.这种如同“滚雪球”似的做法，十分有利于旧知的巩固，也有利于新知的吸收，最终完善自己的认知结构.4.3.2解题时从全面罗列到合理筛选首先是全面罗列•要将习题的已知条件，尽量找出它的等价命题和下游命题.甚至可以一边读题，一边联想•有老师运用“分段读题法”，读一小段，联想,再读一小段,再联想……，甚至先不理会求证什么，只是一味地罗列条件的等价形式和下游命题.然后，再看求证的结论.如果求证某某两条线段相等，开始时，也是先不理会具体的求证的是哪两条线段相等，只是问：“要证明两段线段相等，有哪些办法?”让学生把上游命题一一列出.然后是合理筛选.上游命题，下游命题两边一靠，连接条件和结论的通路就容易被发现.我们强调“全面罗列”，不要以为这样做太死板了，其实是很必要的，至少对有些基础较差的班应该强调全面罗列，至少开始教几何证明时要这样训练.多次让学生全面罗列之后，学生遇到题目会如此考虑问题，慢慢地就不需要这么死板了，这就是先笨后活.为了说明全面罗列的重要性，这里举个我们在听课的时候遇到过的例子.10-4故事轧学2019年第10期例2证明矩形判定定理2:对角线相等 的平行四边形是矩形.学生的思路是利用“有一个内角是直角的 平行四边形是矩形”，这是正确的.为此要证明 一个内角是直角，这时候，学生们遇到了瓶颈•老师见没有人回答，就启发说：因为是平行四 边形，一组对边平行，可以引出什么结果？还 是没有人回答.教师又启发说：从平行这个条件中，可以 得出同旁内角和为180°的结果，那么怎么找一 个角等于90。

B几何证明复习一、 命题与定理 1．在命题：“三角形的一个外角大于三角形的每一个内角”、“底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等”、“两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直”中，真命题的个数有…………………………………………………………………………（ B ） （A ）0个；（B ）1个；（C ）2个；（D ）3个．2．下列说法正确的是 ………………………………………………………………（ A ） （A ） 所有命题都有逆命题； （B ）所有定理都有逆定理；（C ）真命题的逆命题一定是真命题； （D ）假命题的逆命题一定是假命题． 3.下列说法中，正确的是（ B ） A. 真命题的逆命题也是真命题； B. 假命题的逆命题不一定是假命题；C. 命题“若x ＞0,y ＜0,则xy ＜0”的逆命题是真命题；D. 命题“对顶角相等”的逆命题是真命题.4．命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 角平分线相等的三角形是等腰三角形 ． 5．在下列各原命题中，逆命题为假命题的是…………………………………（ D ）． (A) 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； (B) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(C) 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等； (D) 关于某一条直线对称的两个三角形全等．6.到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入 如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心. 举例：如图若AD 平分∠CAB ，则AD 上的点E 为△ABC 的准内心. 应用：（1）如图AD 为等边三角形ABC 的高，准内心P 在高AD 上，且 PD =AB 21，则∠BPC 的度数为_____________度. （2）如图已知直角△ABC 中斜边AB=5，BC=3，准内心P 在BC 边上，求CP 的长.（1）90，（2分）DE A（2）由勾股定理易知AC=4，过P 作PD ⊥AB 根据题意知PC=PD ，AD=AC=4，（4分）设CP= x ,在直角△BDP 中BP=3—x ,DP= x ,BD=1由勾股定理得CP= x =34.（6分） 二、 轨迹1.A 、B 为线段AB 的两个端点，则满足PA-PB=AB 的动点P 的轨迹是__线段AB 的延长线(含端点B)______________________.2．经过定点A 、B 的圆的圆心的轨迹是 线段AB 的垂直平分线 ．3．到点A 的距离等于2厘米 以点A 为圆心，2厘米长为半径的圆 ．4．经过定点A 且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是以A 为圆心3cm 为半径的圆 ．5.已知线段AB ，以线段AB 为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是 线段AB 的垂直平分线（不包含AB 中点） .三、 线段垂直平分线和角平分线1．已知在△ABC 中，CD 是角平分线，∠A =2∠B ，AD =3，AC =5，那么BC = 8 ． 2．已知△ABC 中，AD 是BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足是E ，DF ⊥AC ，垂足是F ，且△ABC 的面积为28，AC=4，AB=10，则DE = 4 ．3.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=56°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠， 点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为118 度． 4.如图，在△ABC 中，∠B =47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠ABE =__23.5____° .5．（本题满分8分）如图，已知△ABC ．（1）根据要求作图：在边BC 上求作一点D ，使得点D 到AB 、AC 的距离相等，在边AB 上求作一点E ，使得点E 到点A 、D 的距离相等；（不需要写作法，但需要保留作图痕迹和结论） （2）在第（1）小题所作出的图中，求证：DE ∥AC ． 5．（1）作图，略．…………………………………………………………………（1分，1分）结论：点D 和点E 就是所求作的点．……………………………………（1分，1分） （2）∵点D 到AB 、AC 的距离相等，AB （第25题图）∴∠BAD =∠CAD ．…………………………………………………………………（1分） ∵EA =ED ，∴∠EAD =∠EDA ．……………………………………………………（1分） ∴∠CAD =∠EDA ．…………………………………………………………………（1分） ∴DE ∥AC ．…………………………………………………………………………（1分）6．（本题满分7分）已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，PE ⊥OB ，垂足为点E ，点M 、N 分别在线段OD 和射线EB 上，PM =PN ，∠AOB =68°．求：∠MPN 的度数．6．解：∵OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，PE ⊥OB ，垂足为点E ，∴PD =PE ．………………………………………………………………………（1分）∵PM =PN ，∴Rt △PDM ≌Rt △PEN ．……………………………………………（2分） ∴∠DPM =∠EPN ．…………………………………………………………………（1分）又∵∠AOB =68°，∴∠POD =∠POE =34°．……………………………………（1分） ∴∠OPD =∠OPE =56°．…………………………………………………………（1分） ∴∠MPN =∠OPD+∠OPE =112°．………………………………………………（1分）四、 直角三角形1．已知直角坐标平面中两点分别为A （2,-1）、B （5,3），那么AB = 5 ． 2．如果点A 的坐标为（1-,2），点B 的坐标为（3,0），那么线段AB 的长为_____52______． 3.已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为（ D ） A ．45oB ．75oC ．15oD ．前述均可4．在Rt △ABC 中，如果∠C =90°，∠A =60°，AB =14，那么BC =5．已知在Rt △ABC 中，P 为斜边AB 上一点，且PB =BC ，P A =2，AC =8，那么AB = 17 ．6.若△ABC 的三条边分别为5、12、13，则△ABC 之最大边上的中线长为 6.5 ．7.用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形的是……………………………（ D ）（A ）51,41,31； （B ）4，5，6； （C ）1，3，32； （D ）17，8，15． 8.在Rt △ABC 中，∠A =90︒，∠B 与∠C 的平分线相交于点O ，那么∠BOC 等于 ………………………………………………………………………………（C ） （A ）100度； （B ）120度； （C ）135度； （D ）150度． 9.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，且DC =3，则点D 到线段AB 的距离是 3 .10.若等腰三角形的腰为10，顶角为120°，则底边上的高为 5 .11.一根电线杆高为8米，为了安全起见，在电线杆顶端到与电线杆底部水平距离6米处加一根拉线，经测量这根斜拉线长为10.5米（不计捆缚和接头部分），则电线杆与地面 不A O BPM C（第24题图）D垂直 .（填“垂直”“不垂直”）.11．如图, ABC Rt ∆中, 090=∠C , 020=∠A , CM 是AB 边上的中线, AB CD ⊥于D , 则MCD ∠= 50 度．12．如图，△ABC 中，090=∠C ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果 CE ︰AE =1:2，则B ∠= 60 度．13．△ABC 中，AB =6，BC =8，∠B =60︒，则AC= ___．14．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，如果CD 、CM 分别是斜边上的高和中线，2=AC ，BC =4，那么下列结论中错误的是 ……………（ A ）． (A) B ∠=30°； （B ）5=CM ；(C)554=CD ； (D) B ACD ∠=∠．15． 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，如果CD ＝2，AB ＝8，那么△ABD 的面积等于 8 ．DB16． 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，DE 垂直平分AB ，如果∠1∶∠2＝2∶3，那么∠B ＝ 27 度．B第18题图B(第16题图)（第17题图）FED CBABA17．已知：如图，点G 为AH 上一点，GE //AC 且交AB 于点E ，GD ⊥AC ，GF ⊥AB ，垂足分别为点D 、F ，如果GE GD 21=，EF =，那么∠DGA = 75 度．DAH C18．(本题满分5分) 已知：如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE ，G 是垂足。