高考数学 第三章 直线与方程 3.3.33.3.4 点到直线的距离、两条平行直线间的距离课时作业 新人教A版必修2

3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离A组1.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()A.4B.C.D.解析:∵两直线平行,∴m=4.方程3x+2y-3=0化为6x+4y-6=0.∴两直线的距离为.答案:D2.点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为()A.(8,0)B.(-12,0)C.(8,0)或(-12,0)D.(0,0)解析:设P(a,0),则=6,解得a=8或a=-12,∴点P的坐标为(8,0)或(-12,0).答案:C3.点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值是()A. B.2 C.D.2解析:|OP|的最小值就是原点O到直线x+y-4=0的距离,即|OP|==2.答案:B4.P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A. B. C.3 D.6解析:|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离.在直线3x+4y-12=0上取点(4,0),然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.答案:C5.过点(1,2),且与原点距离最大的直线方程为()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0解析:由已知得,所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线,∴所求直线的斜率k=-,∴y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.答案:A6.与两平行直线l1:3x-y+9=0,l2:3x-y-3=0等距离的直线方程为.解析:设所求直线方程为3x-y+c=0,由平行直线间的距离公式得|9-c|=|-3-c|,解得c=3.答案:3x-y+3=07.直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.解析:AB==5,当两直线均与AB垂直时,d=5;当两直线不与AB垂直时,0<d<5.所以d的取值范围是(0,5].答案:(0,5]8.已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.解:由两点式得直线AB的方程为,即x+2y+2=0.设过点M(-4,2)且平行于AB的直线l的方程为x+2y+m=0,将点M(-4,2)的坐标代入得m=0,所以过点M(-4,2)且平行于AB的直线l的方程为x+2y=0,此直线将三角形的面积分成两部分,其中△CPQ的边PQ上的高d1==2,△ABC的边AB上的高d2=,△CPQ的面积与△ABC的面积之比为,所以两部分的面积之比为.9.已知正方形的中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交点,正方形一边所在直线方程为x+3y-2=0,求其他三边所在直线的方程.解:由∴中心坐标为(-1,0).∴中心到已知边的距离为.设正方形相邻两边方程为x+3y+m=0和3x-y+n=0.∵正方形中心到各边距离相等,∴.∴m=4或m=-2(舍),n=6或n=0.∴其他三边所在直线的方程为x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0.B组1.若点(1,a)到直线x-y+1=0的距离是,则实数a为()A.-1B.5C.-1或5D.-3或3解析:由点到直线的距离公式得,解得a=-1或5,故选C.答案:C2.已知点A(0,4),B(2,5),C(-2,1),则BC边上的高等于.解析:直线BC:x-y+3=0,则点A到直线BC的距离d=,即BC边上的高等于.答案:3.若直线被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是①15°,②30°,③45°,④60°,⑤75°,其中正确答案的序号是.(写出所有正确答案的序号)解析:两平行线间的距离为d=,由题意知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.答案:①⑤4.已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0平行且距离相等,则直线l的方程为.解析:设所求的直线方程为2x-y+C=0,分别在l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0上取点A(0,3)和B(0,-1),则此两点到2x-y+C=0的距离相等,即,解得C=1,故直线l的方程为2x-y+1=0.答案:2x-y+1=05.已知x+y-3=0,则的最小值为.解析:设P(x,y),A(2,-1),且点P在直线x+y-3=0上,则=|PA|.故|PA|的最小值为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d=.答案:6.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积.解:如图,设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在直线的方程为,即x+y-4=0.点C(-1,0)到x+y-4=0的距离h=.因此,S△ABC=×2=5.7.已知A为直线y=4x-1上一点,点A到直线2x+y+5=0的距离等于原点到这条直线的距离,求点A的坐标.解:设点A的坐标为(x,4x-1),由题意可知,解得x=或-.当x=时,4x-1=4×-1=-;当x=-时,4x-1=4×-1=-7.故点A的坐标为.。

3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离1．点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． (2)公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．思考：在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？思考1 如图，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离d 同线段PS ，PR ，RS 间存在什么关系？思考2 根据思考1的思路，点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 怎样用A ，B ，C 及x 0，y 0表示？ 思考3 点到直线的距离公式对于A ＝0或B ＝0时的直线是否仍然适用？ 梳理 点到直线的距离(1)定义：点到直线的垂线段的长度． (2)图示：(3)公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．两平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． (2)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2． 思考：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ． 5 2．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为( )A ．3B ．2C ．1D ．123．分别过点A (－2，1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________． 4．若第二象限内的点P (m ，1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2，则m 的值为________．点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.(2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程．点到直线距离的求解方法(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．1．求垂直于直线x ＋3y －5＝0，且与点P (－1，0)的距离是3105的直线l 的方程．跟踪训练2 (1)若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________________． (2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为______．两条平行线间的距离【例2】 (1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．(2)已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________．求两条平行线间距离的方法求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．1．求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且与直线l 距离为3的直线方程．跟踪训练2 (1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程； (2)两平行直线l 1，l 2分别过P 1(1,0)，P 2(0,5)，若l 1与l 2的距离为5，求两直线方程．距离公式的综合应用[探究问题]1. 两条互相平行的直线分别过点A (6，2)和B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 同时旋转(旋转过程两直线保持平行)，如果两条平行直线间的距离为d，你能求出d的变化范围吗？2.上述问题中当d取得最大值时你能求出两条直线的方程吗？类型三利用距离公式求最值命题角度1由点到直线的距离求最值例3已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则x2＋y2－2y＋1的最小值为________．跟踪训练3(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．命题角度2有关两平行线间距离的最值例4两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.(1)求d的取值范围；(2)求d取最大值时，两条直线的方程．跟踪训练4已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为()【例5】已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x ＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．1．求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？距离公式综合应用的三种常用类型(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．(2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．(3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．一、选择题1．点(1，－1)到直线y ＝1的距离是( ) A. 2B.22C ．3D ．2 2．两平行线3x －4y －7＝0和6x －8y ＋3＝0之间的距离为( ) A.45 B ．2 C.1710D.1753．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A.79 B ．－13 C ．－79或－13 D ．－79或13 4．到直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0 C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0 D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0 5．点P (2,3)到直线：ax ＋(a －1)y ＋3＝0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为( ) A ．3，－3 B ．5,2 C ．5,1 D ．7,16．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0<d ≤3 B ．0<d ≤5 C ．0<d <4 D ．3≤d ≤57．过两直线x －y ＋1＝0和x ＋y －1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条8．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．23C ．3 3D ．4 2二、填空题9．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．10．若点(2，－k )到直线5x ＋12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 11．经过点P (－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l 的方程为________． 三、解答题12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．四、探究与拓展13．已知入射光线在直线l 1：2x －y ＝3上，经过x 轴反射到直线l 2上，再经过y 轴反射到直线l 3上．若点P 是直线l 1上某一点，则点P 到直线l 3的距离为( ) A ．6 B ．3 C.655 D.951014．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到l 的距离等于2.。

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离知识导图学法指导1.对于点到直线的距离公式，应注意其只适用于直线的一般式方程． 2．用待定系数法求直线的方程时，注意讨论斜率的存在性．3．应用两条平行直线间的距离公式时，两直线方程应化成一般式且x ，y 对应的系数分别相等．高考导航高考较少单独考查点到直线、两条平行直线间的距离公式，若单独考查，则一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分.知识点 点到直线、两条平行线间的距离 1．点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．两条平行直线间的距离直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b|k 2＋－12.①两条平行线间的距离是分别在两条直线上的两点间距离的最小值； ②可化为一条直线上的点到另一条直线的距离；③只有两条直线方程的系数相同时才可应用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝y 0－b .( ) (2)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |.( ) (3)两直线x ＋y ＝m 与x ＋y ＝2n 的距离为|m －2n |2.( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x ＋2y －5＝0的距离d ＝|0＋0－5|12＋22＝5，故选D.答案：D3．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．3x ＋y －5＝0解析：所求为过点A (1,2)，且垂直OA 的直线，所以k ＝－12，故所求直线为y －2＝－12(x－1)，即x ＋2y －5＝0.故选A.答案：A4．求两平行直线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0之间的距离d ＝________. 解析：方法一 在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以点P 到直线l 2的距离即为l 1与l 2之间的距离，于是d ＝|2×4＋3×0－10|22＋32＝213＝21313. 方法二 因为l 1∥l 2，所以由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－8－－10|22＋32＝21313.答案：21313类型一 点到直线的距离例1 (1)求点P (3，－2)到下列直线的距离： ①y ＝34x ＋14；②y ＝6；③x ＝4.(2)求过点A (－1,2)，且与原点的距离等于22的直线方程． 【解析】 (1)①直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×－2＋1|32＋－42＝185. ②因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. ③因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1.(2)因为所求直线方程过点A (－1,2)，且斜率存在，所以设直线方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0，又原点到直线的距离等于22，所以|k ＋2|k 2＋1＝22，解得k ＝－7或k ＝－1.故直线方程为x ＋y －1＝0或7x ＋y ＋5＝0.先将直线方程化为一般式，然后再套用公式求距离．特殊的直线可以利用几何意义求解，也可以直接代入求解．方法归纳应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．跟踪训练1 求垂直于直线x ＋3y －5＝0，且与点P (－1,0)的距离是3510的直线l 的方程．解析：设与直线x ＋3y －5＝0垂直的直线l 的方程为3x －y ＋m ＝0，则由点到直线的距离公式知，点P 到直线3x －y ＋m ＝0的距离d ＝|3×－1－0＋m |32＋－12＝|m －3|10＝3510. 所以|m －3|＝6，即m －3＝±6，得m ＝9或m ＝－3， 故所求直线l 的方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0. 设出直线l 的方程，再利用点到直线的距离公式列方程求解．类型二 两平行线间的距离例2 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． 【解析】 方法一 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0.在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12×12＋C 52＋－122＝|C －6|13， 由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－122，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 利用平行先设直线方程，再由距离求直线方程． 方法归纳求两平行线间的距离一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．跟踪训练2 (1)两条平行线l 1：3x ＋4y ＝10和l 2：6x ＋8y ＝15间的距离是________； (2)与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0 C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0 D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：(1)l 1，l 2方程分别化为l 1：3x ＋4y －10＝0，l 2：3x ＋4y －152＝0，故l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－10－⎝ ⎛⎭⎪⎫－15232＋42＝12.(2)根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0或c ＝2.故所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选D. 答案：(1)12(2)D当系数不对应相等时，应化成系数对应相等，再利用公式求解．类型三 距离公式的综合应用例3 已知正方形ABCD 的中心M (－1,0)和一边CD 所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在的直线方程．【解析】 因为AB ∥CD ，所以可设AB 边所在的直线方程为x ＋3y ＋m ＝0. 又因为AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，故可设AD ，BC 边所在的直线方程为3x －y ＋n ＝0. 因为中心M (－1,0)到CD 的距离为d ＝|－1＋3×0－5|12＋32＝3105， 所以点M (－1,0)到AD ，AB ，BC 的距离均为3105，由|3×－1－0＋n |12＋32＝3105，得|n －3|＝6，解得n ＝9或－3. 由|－1＋3×0＋m |12＋32＝3105，得|m －1|＝6，解得m ＝7或－5(舍去)， 所以其他三边所在的直线方程分别为x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0. 利用正方形的平行关系设直线方程，再利用距离公式求直线方程． 方法归纳常见的距离公式应用问题的解题策略(1)最值问题①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．跟踪训练3 求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－23.(1)当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意．(2)当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ，则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋－12＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.先联立方程求交点坐标，再利用距离公式求直线方程，注意讨论斜率．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．点(1,2)到直线y ＝2x ＋1的距离为( ) A.55 B.255C. 5 D ．2 5解析：直线y ＝2x ＋1即2x －y ＋1＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|2×1－2＋1|22＋－12＝55，故选A.答案：A2．已知点(3，m )到直线x ＋3y －4＝0的距离等于1，则m 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－33 D.3或－33解析：由|3＋3m －4|2＝1，解得m ＝3或－33，故选D.答案：D3．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为( ) A ．－6或12 B ．－12或1C ．－12或12D ．0或12解析：|3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或12.答案：A4．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是( ) A ．3x －4y ＋4＝0B ．3x －4y ＋4＝0或3x －4y －2＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0解析：在直线3x －4y ＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x －4y ＋1＝0平行的直线方程为3x －4y ＋m ＝0，则|3×1－4×1＋m |32＋－42＝3，解得m ＝16或m ＝－14，即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0.答案：D5．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0解析：∵k AB ＝3－－13－5＝－2，过P 与AB 平行的直线方程为y －1＝－2(x －0)，即：2x ＋y －1＝0，又AB 的中点C (4,1)，∴PC 的方程为y ＝1.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．直线5x ＋12y ＋3＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________． 解析：直线10x ＋24y ＋5＝0可化为5x ＋12y ＋52＝0，所以两平行直线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－5252＋122＝126. 答案：1267．已知点P 为x 轴上一点，且点P 到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为________．解析：设P (a,0)，则有|3a －4×0＋6|32＋－42＝6，解得a ＝－12或8，∴点P 的坐标为(－12,0)或(8,0)．答案：(－12,0)或(8,0)8．与直线7x ＋24y ＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________． 解析：由题意设所求直线方程为7x ＋24y ＋c ＝0，则有|c －－5|72＋242＝3，解得c ＝70或c ＝－80.即所求直线方程为7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0.答案：7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0 三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解析：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得|3×－2＋4×5＋C |32＋42＝3， 即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．解析：∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.故所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. (2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.故所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.[能力提升](20分钟，40分)11．求直线x ＋2y －1＝0关于直线x ＋2y ＋1＝0对称的直线方程( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y ＋3＝0 C ．x ＋2y －2＝0 D ．x ＋2y ＋2＝0解析：解法一 设对称直线方程为x ＋2y ＋c ＝0 ∵|1＋1|1＋4＝|c －1|1＋4∴|c －1|＝2，∴c ＝3或－1(舍) 解法二 设对称直线方程为x ＋2y ＋c ＝0取直线x ＋2y －1＝0上一点A (1,0)，直线x ＋2y ＋1＝0上一点B (－1,0)，A 关于B 对称点C (－3,0)代入x ＋2y ＋c ＝0得c ＝3.答案：B12．平行于直线3x ＋4y －2＝0，且与它的距离是1的直线方程为______________________．解析：设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠－2)，则d ＝|－2－c |32＋42＝1，∴c ＝3或c ＝－7，即所求直线方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0. 答案：3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝013．已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)． (1)求BC 边上的高所在直线的一般式方程； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)由斜率公式，得k BC ＝5，所以BC 边上的高所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)，即x ＋5y ＋3＝0.(2)由两点间的距离公式，得|BC |＝26，BC 边所在的直线方程为y ＋2＝5(x －3)，即5x －y －17＝0，所以点A 到直线BC 的距离d ＝|5×2＋1－17|52＋－12＝626， 故S △ABC ＝12×626×26＝3.14．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ 解析：(1)①当l 的斜率k 不存在时显然满足要求， ∴l 的方程为x ＝2；②当l 的斜率k 存在时，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由点到直线距离公式得|－2k －1|1＋k 2＝2， ∴k ＝34，∴l 的方程为3x －4y －10＝0.故所求l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)易知过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与 PO 垂直的直线，由l ⊥OP 得k l k OP＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线， 最大距离为|－5|5＝ 5.。

1§3.3.3-3.3.4点到直线的距离—两平行线间的距离年级：高一一、温故互查1．已知平面上两点),(),,(222111y x P y x P ，则21,P P 的距离=21P P ______________________ (1)若)1,3(),3,8(B A -，则=AB ___________ (2)若)1,9(),1,2(N M ，则=MN _________ 2.已知点P 的横坐标为2，点P 与点)6,1(-Q 间的距离为103，则点P 的纵坐标__________ 3.已知点)0,10(B ),5(与a A -间的距离是17，则 =a ____________________ 二、设问导读（一）探究：1.点到直线的距离1、在平面直角坐标系中，若点P 到直线l 的距离是指____________________________2、在平面直角坐标系中，若点P 的坐标为),(00y x ，直线0:=++C By Ax l ,则当0B 0==或A 时，怎样用点P 的坐标和直线l 的方程表示点P 到直线l 的距离呢?3、在平面直角坐标系中，若点P 的坐标为),(00y x ，直线0:=++C By Ax l ,则当0B 0≠≠或A 时，又怎样用点P 的坐标和直线l 的方程表示点P 到直线l 的距离呢?通过探索发现，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点________),(1x R ； 作y 轴的平行线，交l 于点)(_______,2y S ，由⎩⎨⎧=++=++020011C By Ax C By x A 得：⎩⎨⎧==________________________________21y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=____________________________2010y y PS x x PR ，那么 _________________________________)(_________)(_________22⨯=+=RS4、设d Q P =0,怎么求d 呢？5、当0B 0≠≠或A 时，上述公式是否成立？6、两条平行直线间的距离是指：7、思考（1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？（2）如何取点，可使计算简单？ 结论：两条平行直线0A 021=++=++C By x C By Ax 与间的距离为：2221BA C C d +-=三、自学检测例5：点)2,1(0-P 到直线23:=x l 的距离.思考：还有其他解法吗？例6：已知点),0,1(),1,3(),3,1(-C B A 求ABC ∆的面积.思考：还有其他解法吗？例 7：已知直线,01216:,0872:21=--=--y x l y x l 1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离.四、巩固训练：1. 求原点到下列直线的距离：（1）02623=-+y x （2）y x =2. 求下列点到直线的距离： （1）0343:),3,2(=++-y x l A （2）033:),0,1(=-+y x l B4.求下列两条直线间的距离： （1）;01832,0832=++=-+y x y x （2）043,1043=+=+y x y x5.求两条平行直线012y -x 30123=+=--与y x 间的距离五、拓展延伸1. 已知点)3,6(),4,3(B A --到直线01:=++y ax l 的距离相等，求a 的值2.求两条平行直线011801243=++=-+y ax y x 与间的距离.3.已知)6,(a A 到直线0243=--y x 的距离d 为下列各值，求a 的值： （1）4=d （2）4<d （3）4>d4.求平行于直线,02=--y x 且与它的距离为22的直线的方程.。

点到直线的距离、两条平行直线间的距离教材分析⒈教材的地位和作用“点到直线的距离”是高中课本第二册必修2,3.3.4,“直线”的最后一节,其主要内容是:点到直线的距离公式的推导及应用。

在此之前,学生已经学习了两点间的距离公式、定比分点公式、直线方程、两直线的位置关系,同时也学习了用代数方程研究曲线性质的“以数论形,数形结合”的数学思想方法。

在这个基础上,教材在第一章的最后安排了这一节。

点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具,它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。

点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离,求三角形的高,求圆心到直线的距离等等,借助它也可以求点的轨迹方程,如角平分线的方程,抛物线的方程等等。

教学目的1、知识目标:掌握点到直线距离的公式的推导及其运用；2、能力目标:培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力,数形结合、转化(或化归)、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；3、德育目标:引导学生用联系与转化的观点看问题,了解和感受探索问题的方式方法,在探索问题的过程中获得成功的体验。

教学重点:公式的推导及其结论以及简单的应用。

教学难点:发现点到直线距离公式的推导方法。

教学方法:启导法、讨论法。

教学过程:一、创设情景给出定义某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题.离它最近的只有一条线路通过,要完成这项任务,至少需要多长的电缆？经过测量,若按照部门内部设计好的坐标图(即以电信局为原点),得知这个小区的坐标为P(－1,5),离它最近线路其方程为2x+y+10=0.[板书]点到直线的距离二、提出问题初探思路“求点P(-1,5)到直线l:2x+y+10=0的距离。

”提问学生解题思路,估计学生的思路:先求过点P的l的垂线'l的方程；再联立l、'l求垂足Q,最后用两点间距离公式求│PQ│。

[使学生巩固已学过的知识和方法,同时也为问题二的解决作铺垫。

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离A 级 根底稳固一、选择题1．两直线3x ＋4y －2＝0与6x ＋8y －5＝0的距离等于( C ) A ．3 B ．7 C ．110D ．12[解析] 在3x ＋4y －2＝0上取一点(0，12)，其到6x ＋8y －5＝0的距离即为两平行线间的距离，d ＝|0＋8×12－5|62＋82＝110. 2．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,6)、B (－4,3)、C (2，－3)，那么点A 到BC 边的距离为( B )A ．92 B ．922C ．255D ．4 3[解析] BC 边所在直线的方程为y －3－3－3＝x ＋42＋4，即x ＋y ＋1＝0；那么d ＝|2×1＋6×1＋1|2＝922.3．假设点A (－3，－4)、B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，那么实数a 的值为( C )A ．79 B ．－13C ．－79或－13D ．79或13 [解析] 由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 4．假设点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，那么点P 的坐标为( C )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，那么有 ⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＋y 0－5＝0|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2y 0＝－1.5．点A (1,3)、B (3,1)、C (－1,0)，那么△ABC 的面积等于( C ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] 设AB 边上的高为h ，那么S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x＋yC 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.6．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，那么直线l 的方程是( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[解析] 方法1：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.方法2：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0.二、填空题7．直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么l 1与l 2间的距离为52或510.[解析] ∵l 1∥l 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3×－2－2k －34－k ＝0－2×1－4－k ×3≠0，解得k ＝3或k ＝5.当k ＝3时，l 1：y ＝－1，l 2：y ＝32，此时l 1与l 2间的距离为52；当k ＝5时，l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0，此时l 1与l 2间的距离为|3－2|42＋－22＝510. 8．过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是3x －y ＋10＝0. [解析] 当原点与点A 的连线与过点A 的直线垂直时，距离最大．∵k OA ＝－13，∴所求直线的方程为y －1＝3(x ＋3)，即3x －y ＋10＝0.三、解答题9．三条直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3mym 的值，使它分别满足以下条件：(1)l 1，l 2，l 3交于同一点；(2)l 1，l 2，l 3不能围成三角形．[解析] (1)由4x ＋y －4＝0得y ＝－4x ＋4代入l 2，l 3的方程中分别得x 1＝－4m －4，x 2＝6m ＋31＋6m， 由－4m －4＝6m ＋36m ＋1，解得m ＝－1或23，经检验都符合题意． (2)首先由(1)知，当m ＝－1或23时，不能围成三角形；又kl 1＝－4，kl 2＝－m ，kl 3＝23m，假设l 1∥l 2，那么m ＝4；假设l 1∥l 3，那么m ＝－16；由于kl 2与kl 3异号，显然l 2与l 3不平行． 综上知，m ＝－1，－16，23或4.B 级 素养提升一、选择题1．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，那么|PQ |的最小值为( C ) A ．95 B ．185C ．3D ．6[解析] |PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ |的最小值为3.2．(2021·潍坊高一检测)与直线l ：3x －4y －1＝0平行且到直线l 的距离为2的直线方程是( A )A ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0B ．3x －4y －11＝0C ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0D ．3x －4y ＋9＝0[解析] 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意得|m －－1|32＋－42＝2，解得m ＝9或－11.3．到两条直线l 1：3x －4y ＋5＝0与l 2：5x －12y ＋13＝0的距离相等的点P (x ，y )必定满足方程( D )A ．x －4y ＋4＝0B ．7x ＋4y ＝0C ．x －4y ＋4＝0或4x －8y ＋9＝0D ．7x ＋4y ＝0或32x －56y ＋65＝0[解析] 结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得|3x －4y ＋5|32＋－42＝|5x －12y ＋13|52＋－122，即3x －4y ＋55＝±5x －12y ＋1313，化简得7x ＋4y ＝0或32x －56y ＋65＝0.4．(2021·定州中学高一期末)两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，那么它们之间的距离为( D )A ．4B ．21313C ．52613 D ．72010 [解析] ∵直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行， ∴63＝m 1≠1－3，解得m ＝2. 因此，两条直线分别为3x ＋y －3＝0与6x ＋2y ＋1＝0， 即6x ＋2y －6＝0与6x ＋2y ＋1＝0.∴两条直线之间的距离为d ＝|－6－1|62＋22＝740＝72010. 二、填空题5．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，那么x 2＋y 2的最小值是8. [解析] x 2＋y 2表示直线上的点P (x ，y )到原点距离的平方， ∵原点到直线x ＋y －4＝0的距离为|－4|2＝22，∴x 2＋y 2最小值为8.6．(2021·江西省赣州市高一期末)过点A (1,2)且与点P (3,2)距离最大的直线方程是x ＝1.[解析]如右图，当过点A 的直线恰好与直线AP 垂直时，所求直线与点P 的距离最大，故所求直线方程为x ＝1.7．(2021·湖南省长沙市岳麓区高三模拟)a ＋b ＝3，那么a 2＋b 2＋10a －4b ＋29的最小值为3 2.[解析] 由题意易得点P (a ，b )在直线x ＋y －3＝0上， 而a 2＋b 2＋10a －4b ＋29＝a ＋52＋b －22，因此原问题可以转化为求点P (a ，b )与点A (－5,2)的距离的最小值，又点A (－5,2)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|－5＋2－3|2＝32，故a 2＋b 2＋10a －4b ＋29的最小值为3 2.三、解答题8．(2021·定州中学高一期末)△ABC 三边所在直线方程：l AB ：3x －2y ＋6＝0，l AC ：2x ＋3y －22＝0，l BC ：3x ＋4y －m ＝0(m ∈R ，m ≠30)．(1)判断△ABC 的形状；(2)当BC 边上的高为1时，求m 的值．[解析] (1)直线AB 的斜率为k AB ＝32，直线AC 的斜率为k AC ＝－23，所以k AB ·k AC ＝－1，所以直线AB 与AC 互相垂直， 因此，△ABC 为直角三角形．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋6＝02x ＋3y －22＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝6，即A (2,6)．由点到直线的距离公式得d ＝|3×2＋4×6－m |32＋42＝|30－m |5， 当d ＝1时，|30－m |5＝1，即|30－m |＝5，解得m ＝25或m ＝35.9．直线l 经过点A (2,4)，且被平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上．求直线l 的方程．[解析] 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，那么点M 到l 1、l 2的距离相等，即|t －3－t ＋1|2＝|t －3－t －1|2，解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又l 过点A (2,4)， 由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －yM 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝32.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)，故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0. 解法三：由题意知直线l 的斜率必存在， 设l ：y －4＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －4＝k x －2x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2k －3k －1y ＝3k －4k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k x －2x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1.∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1.又点M在直线x＋y－3＝0上，∴2k－4k－1＋2k－4k－1－3＝0，解得k＝5.故所求直线l的方程为y－4＝5(x－2)，即5x－y－6＝0.。