2016版高考数学(文科)专题演练第六章不等式(含两年高考一年模拟)

2016年高考文科数学仿真卷(全国新课标II卷)2016年高考文科数学仿真卷（全国新课标II卷）本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。

第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分。

在答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，并按照规定进行答题。

选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B＝A。

{x|2≤x≤3}B。

{x|2≤x＜3}C。

{x|2＜x≤3}D。

{x|－1＜x＜3}2.(1－i)/(1＋i) + (1＋i)/(1－i) =A。

－1B。

1C。

－iD。

i3.a、b是两个单位向量，且(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为A。

30B。

60C。

120D。

1504.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4为A。

15B。

8C。

7D。

165.已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：x∈R，|x＋1|≤x，则A。

p∨q为真命题B。

p∨q为真命题C。

p∧q为真命题D。

p∧q为假命题6.空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A。

8＋25B。

6＋25C。

8＋23D。

6＋2327.执行右边的程序框图，则输出的S是A。

5040B。

4850C。

2450D。

25508.偶函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为奇函数，且f(1)＝1，则f(9)＋f(10)＝()A。

－2B。

－1C。

0D。

19.将函数f(x)＝sinωx（其中ω＞2π/6）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于x＝π对称，则ω的最小值是A。

6B。

392/443C。

443/392D。

2π/610.过双曲线2x^2－y^2＝2的点P(x0，y0)，作双曲线的渐近线，交x轴于点A，y轴于点B，过点P的切线交x轴于点C，y轴于点D，若AC=2BD，则x0y0=()A。

1．y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．302．(2015·广东)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4，0≤q <s ≤4，0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．503．(2015·陕西)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为________．4．(2014·陕西)已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋则f 2 014(x )的表达式为______．5．(2014·北京)顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：6．(2015·江苏)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列？并说明理由．1．(2015·吉林四校调研)设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于22．(2015·河北保定模拟)定义A B ，B C ，C D ，D B 分别对应下列图形( )那么下列图形中，可以表示A D ，A C 的分别是( )A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(2)(4)D ．(1)(4)3．(2015·宜昌调研)给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确4．(2015·淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 0145．(2015·泉州模拟)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体ABCD 的体积为V ，内切球半径为R ，则R ＝________．6．(2015·黄山模拟)在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．7．(2015·莱芜模拟)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．8．(2015·北京模拟)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝________．9．(2015·昆明一中检测)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．10．(2015·湖北八校一联)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________．11．(2015·宝鸡市质检)观察等式：①13×13＋12×12＋16×1＝12，②13×23＋12×22＋16×2＝12＋22，③13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，…，以上等式都是成立的，照此写下去，第2 015个成立的等式是________．12．(2015·武汉市调研)平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有1AQ＋1AR＝2.类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A－BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有________．1．(2015·输入x的值为1，则输出y的值为()A．2 B．7 C．8 D．128第1题图第2题图2．(2015·天津)阅读上边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的k值为() A．3 B．4 C．5 D．64．(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A．－32 B.32C．－12 D.12第3题图 第4题图 第5题图5．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( ) A.34 B.56 C.1112 D.25246．(2014·新课标Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158第6题图 第7题图 7．(2014·新课标Ⅱ)执行上面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．78．(2015·新课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i9．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i 1＋i＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．410．(2015·广东)已知i 是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－211．(2015·山东)若复数z 满足z 1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i12．(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )A ．3＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－1＋i13．(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2014·福建)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i1．(2015·x 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7第1题图 第2题图 2．(2015·云南名校统考)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，则输入的S 0的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．(2015·湖北八校一联)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 013?B ．i ≤2 015?C ．i ≤2 017?D ．i ≤2 019?第3题图 第4题图 4．(2015·宝鸡市质检)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值等于( )A ．1 B.14 C.12 D.185．(2015·四川省统考)某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内应填( )A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?第5题图 第6题图 6．(2015·晋冀豫三省调研)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．127．(2015·贵阳市模拟)复数z ＝3－2i ，i 是虚数单位，则z 的虚部是( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－28．(2015·郑州一预)设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．39．(2015·邯郸市质检)已知i 是虚数单位，则复数z ＝4＋3i 3－4i的虚部是( )A ．0B ．iC ．－iD ．110．(2015·汕头市监测)复数21－i的实部与虚部之和为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．011．(2015·唐山一期检测)若复数z ＝a ＋3i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则z 的值为( )A ．2B ．3C ．3iD ．2i12．(2015·唐山摸底)复数z ＝1－3i 1＋2i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－iD ．z 的共轭复数为－1＋i13．(2015·福州市质检)在复平面内，两共轭复数所对应的点( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x参考答案第十章推理与证明、算法与复数考点33推理与证明【两年高考真题演练】1．C[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]2．A[当s＝4时，p，q，r都可取0，1，2，3中的一个，有43＝64种，当s＝3时，p，q，r都可取0，1，2中的一个，有33＝27种，当s＝2时，p，q，r都可取0，1中的一个，有23＝8种，当s＝1时，p，q，r都可取0，有1种，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u可取1，2，3，4中的一个，有4种，当t＝1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t＝2时，u可取3，4中的一个，有2种，当t＝3时，u可取4，有一种，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10种，同样地，v，w的取值也有10种，则card(F)＝10×10＝100种，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200种．]3．1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n[等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且有前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .] 4．f 2 014(x )＝x 1＋2 014x [f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，…，由数学归纳法得f 2 014(x )＝x 1＋2 014x .] 5．42 [为使交货期最短，需徒弟先对原料B 进行粗加工，用时6个工作日，再由工艺师对原料B 进行精加工，用时21个工作日，在此期间徒弟再对原料A 进行粗加工，不会影响工艺师加工完原料B 后直接对原料A 进行精加工，所以最短交货期为6＋21＋15＝42(个)工作日．]6．(1)证明 因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)解 令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14. 显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列，则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k ＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1， 并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )．化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)． 令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝错误!.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列．【一年模拟试题精练】1．D [利用反证法证明．假设三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＜6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.]2．C [由A B ，B C 知，B 是大正方形，A 是|，C 是—，由C D 知，D 是小正方形，∴A D 为小正方形中有竖线，即(2)正确，A C 为＋，即(4)正确．故选C.]3．D [反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①错误；对于②，其假设正确．]4．B [设最小的数为x ，则其它8个数分别为x ＋7，x ＋8，x ＋9，x ＋14，x ＋15，x ＋16，x ＋17，x ＋18，故9个数之和为x ＋3(x ＋8)＋5(x ＋16)＝9x ＋104，当x ＝212时，9x ＋104＝2 012.]5.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4[V ＝13S 1·R ＋13S 2·R ＋13S 3·R ＋13S 4·R ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.] 6．cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 [设α，β，γ是AC 1分别与面ABCD 1，面ABB 1A 1，面BCC 1B 1所成的角．cos α＝AC AC 1，cos β＝AB 1AC 1，cos γ＝BC 1AC 1，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2（AB 2＋BC 2＋CC 21）AC 21＝2.] 7.332 [f (x )＝sin x ，f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.故sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.]8．2 014 [令a ＝n ，b ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即：f （n ＋1）f （n ）＝f (1)＝2，故：f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝2×1 007＝2 014.] 9．甲 [假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．]10．(－1)n ＋1·n （n ＋1）2 [12＝1＝(－1)21×22；12－22＝－3＝(－1)32×32；12－22＋32＝6＝(－1)43×42；12－22＋32－42＝－10＝(－1)54×52，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2.]11.13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋20152 [①：13×13＋12×12＋16×1＝12；②：13×23＋12×22＋16×2＝12＋22；③：13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，……；2 015：13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋2 0152]12.1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3 [设O 到各个平面的距离为d ，而V R －AQP ＝13S △AQP ·AR ＝13·12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR ，又∵V R －AQP ＝V O －AQP ＋V O －ARP ＋V O －AQR＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR ·d＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d ， 即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝d ，而V A －BDC ＝13S △BDC ·h＝13·34·2·33＝16，V O －ABD ＝13V A －BDC ＝118， 即13·S △ABD ·d ＝13·12·d ＝118⇒d ＝3， ∴1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3.]考点34 算法与复数【两年高考真题演练】1．C [当x ＝1时，执行y ＝9－1＝8.输出y 的值为8，故选C.]2．C [运行相应的程序．第1次循环：i ＝1，S ＝10－1＝9；第2次循环：i ＝2，S ＝9－2＝7；第3次循环：i ＝3，S ＝7－3＝4；第4次循环：i ＝4，S ＝4－4＝0；满足S ＝0≤1，结束循环，输出i ＝4.故选C.]3．B [第一次循环：a ＝3×12＝32，k ＝1；第二次循环：a ＝32×12＝34，k ＝2；第三次循环：a ＝34×12＝38，k ＝3；第四次循环：a ＝38×12＝316<14，k ＝4.故输出k ＝4.]4．D [每次循环的结果为k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4，∴S ＝sin 5π6＝12.]5．D [s ＝12＋14＋16＋18＝2524，即输出s 的值为2524.]6．D [当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，a ＝83，b ＝158；n ＝4时，终止循环．输出M ＝158.]7．D [k ＝1，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5；k ＝2，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7；k ＝3，3>t ，∴输出S ＝7，故选D.]8．C [由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.]9．D [由2＋a i 1＋i＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D.]10．A [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i.]11．A [∵z 1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 12．C [(1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C.]13．B [实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.]14．C [因为复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C. ]【一年模拟试题精练】1．C [x ＝3，y ＝23＝8<10＋3＋3＝33；x ＝3＋1＝4.y ＝24＝16<10×4＋3＝43；x ＝4＋1＝5，y ＝25＝32<10×5＋3＝53；x ＝5＋1＝6，y ＝26＝64>10×6＋3＝63，故输出的x 值为6.]2．D [由题意知S 0应为偶数，排除选项A 、C.当S 0＝8时，i ＝1<4，S ＝8－2＝6；i ＝2<4，S ＝6－22＝2；i ＝3<4，S ＝2－23＝－6；i ＝4＝4，输出S ＝－6，排除B ，故选D.]3．B [i ＝2，S ＝0；S ＝0＋12，i ＝4；S ＝12＋14，i ＝6；…，S ＝12＋14＋…＋12012，i ＝2 014；要计算S ＝12＋14＋…＋12 012＋12 014，应满足i ≤2 015.]4．C [S ＝1＝1，k ＝1<2 015；S ＝18<1，k ＝2<2 015；s ＝2×12＝14<1，k ＝3<2 015；S ＝14×2＝12<1，k ＝4<2015；S ＝12×2＝1，k ＝5<2 015 循环周期为4，2 015＝4×503＋3，S ＝1＝1，k ＝2 013<2 015；S ＝18，k ＝2 014<2 015；S ＝18×2＝14<1，k ＝2 015＝2 015， S ＝14×2＝12<1，k ＝2 016>2 015，输出S ＝12.]5．A [k ＝1，S ＝1；k ＝2，S ＝2×1＋2＝4；k ＝3，S ＝2×4＋3＝11；k ＝4，S ＝2×11＋4＝26；k ＝5，S ＝2×26＋5＝57要输出S ＝57，需k >4.]6．C [当i ＝1时，1<5为奇数，S ＝－1，i ＝2； 当i ＝2时，2<5为偶数，S ＝－1＋4＝3，i ＝3； 当i ＝3时，3<5为奇数，S ＝3－33＝－5，i ＝4； 当i ＝4时，4<5为偶数，S ＝－6＋42＝10，i ＝5； 当i ＝5时，5≥5，输出S ＝10.]7．D [z ＝3－2i 的虚部为－2.]8．A [∵m ＋103＋i ＝m ＋3－i 为纯虚数，∴m ＋3＝0，即m ＝－3.]9．D [∵z ＝4＋3i 3－4i ＝i ，∴z 的虚部为1.]10．B[21－i＝1＋i，故其实部与虚部之和为1＋1＝2.]11．C[∵z＝a＋3i1－2i＝a－65＋2a＋35i为纯虚数，∴a－65＝0，即a＝6，∴z＝3i.]12．D[∵z＝1－3i1＋2i＝－1－i，∴|z|＝2，z的实部为－1，虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i，故选D.]13．A[∵z＝a＋b i的共轭复数z＝a－b i，∴z和z关于x轴对称．]。

1221ni ii n i i x y nx yb xnx==-=-∑∑2016年全国卷高考文科数学模拟试题(3)本试卷共4页，共23小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：线性回归方程系数：，a y bx =-．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合A ={1，2 , 3}，若集合B A ⊆，则满足条件的集合B 有（ ）个A ．3B ．7C.8D.92．函数2()log (2)f x x =-的定义域是( )A.(2,)+∞B. (2,3)(3,)⋃+∞C. [3,)+∞D. (3,)+∞3. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x =-，则=-)2(f ( )A ．2-B ．0C ．2D ．104.等差数列{}n a 中，若58215a a a -=+，则5a 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(12)a =，，(4)b x =，，若向量a b //，则x =( )A ．2B ． 2-C ． 8D ．8-6. 过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（ ）A ．0=xB ．1=y C ．01=-+y x D ．01=+-y x7.已知向量(cos ,2),(sin ,1),//tan()4a b a b πααα=-=-且，则 =（ ）A ．3B. 3-C.31 D .31- 8．直线02:=--+a y ax l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是A ．1B ．1-C ．2- 或1-D ．2-或19. 设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x 的最大值为（ ）A ．95B ．3C ．4D ．610. “22ab >”是 “22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11.若一个底面边长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．12. 设S 是至少含有两个元素的集合. 在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S,对于有序元素对(a,b)，在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应）。

限时·规范·特训[A 级 基础达标]1. [2015·宁波调研]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋3)(x ＋y )≥00≤x ≤4表示的平面区域是( )A. 矩形B. 三角形C. 直角梯形D. 等腰梯形解析：由(x －y ＋3)(x ＋y )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋3≥0x ＋y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0x ＋y ≤0，且0≤x ≤4，故所求平面区域为等腰梯形．选D.答案：D2. [2014·湖北高考]若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A. 2B. 4C. 7D. 8解析：画出可行域如图(阴影部分)．设目标函数为z ＝2x ＋y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2解得A (3,1)，当目标函数过A (3,1)时取得最大值，∴z max ＝2×3＋1＝7，故选C.答案：C3. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A. 3 2B. 6 2C. 6D. 3解析：不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B (4,4)，A (1,1)，C (2,0)∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC ＝12×2×4－12×2×1＝3.故选D. 答案：D4. [2015·汕头模拟]设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A. 1，－1B. 2，－2C. 1，－2D. 2，－1解析：首先画出|x |＋|y |≤1表示的平面区域为阴影部分． x ＋y ＝1，x ＋y ＝－1，x －y ＝1，x －y ＝－1这四条直线的交点为(0,1)，(0，－1)，(1,0)，(－1,0)，由图象可知，当过点(0,1)时，x ＋2y 取得最大值2，过点(0，－1)时，x ＋2y 取得最小值－2.答案：B5. 若变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≤0x －y ＋4≥0y ≥a ，且2x －y 的最大值为－1，则a 的值为( )A. 0B. 1C. －1D. 2 解析：画出不等式组表示的平面区域，如图所示，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，因为2x －y 的最大值为－1，所以2x －y ＝－1与阴影部分的交点为阴影区域的一个顶点，由图象可知，当直线2x －y ＝－1经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－1x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，故a ＝－1.答案：C6. [2015·福州市质检]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3，则z＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为( )A. 80B. 4 5C. 25D. 172解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1,0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80.答案：A7. [2014·北京高考]若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．解析： 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0表示的平面区域如图中阴影部分，作出基本直线l 0：3x ＋y ＝0，经平移可得z ＝3x ＋y 在点A (0,1)处取得最小值，其最小值为1.答案：18. 已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z的最大值为________．解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x －y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2，－1)时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x －y 取得最大值，最大值是z ＝2×2－(－1)＝5.答案：59. [2015·四川成都模拟]实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是________．解析：由x ，y 满足的约束条件画出可行域，如图所示．目标函数z ＝y －1x 表示区域内的动点(x ，y )与定点A (0,1)连线的斜率，由图可知k AB ＝－1是z 的最小值，故z 的取值范围是[－1,1)．答案：[－1,1)10. 当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k 3. ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k3，－k 3.则z 的最大值为－k 3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝－43k ，令－4k3＝12，得k ＝－9. ∴所求实数k 的值为－9.11. [2015·绵阳模拟]实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2作出可行域如图中阴影部分所示．(1)z ＝y x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在)．而由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝2，得B (1,2)，则k OB ＝21＝2. ∴z max 不存在，z min ＝2， ∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方．因此x 2＋y 2的范围最小为|OA |2(取不到)，最大为|OB |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x ＝0，得A (0,1)， ∴|OA |2＝(02＋12)2＝1， |OB |2＝(12＋22)2＝5.∴z 的最大值为5，没有最小值． 故z 的取值范围是(1,5]．12. [2015·徐州模拟]某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总的用料面积最省？解：设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，用料面积为z ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N目标函数z ＝2x ＋3y .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．z ＝2x ＋3y 变成y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上点M 时，截距最小，z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25(m 2)． 两种金属板各取5张时，用料面积最省．[B 级 知能提升]1. [2014·广东高考]若变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z＝2x ＋y 的最大值等于( )A. 7B. 8C. 10D. 11解析：由约束条件画出如图所示的可行域，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z 过点A 时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x ＋2y ＝8得A (4,2)，∴z max ＝2×4＋2＝10.故答案为C.答案：C2. [2014·课标全国卷Ⅰ]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A. －5B. 3C. －5或3D. 5或－3解析：画出可行域，由目标函数z ＝x ＋ay 得y ＝1a x ＋za .由图可知当－1≤－1a ≤1时，z 可取得最小值，此时a ≥1或a ≤－1.又直线y ＝－1a x ＋za 过A 点时，z 取得最小值，因此a －12＋a ×a ＋12＝7，化简得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5，均符合题意，故选C.答案：C3. 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋z m ，若m <0，则－1m >0，由数形结合知，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m <0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m ＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1. 答案：14. [2015·黄山模拟]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图所示， 可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a的取值范围是(－4,2)．。

第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式及其解法(对应学生用书(文)、(理)84～86页)1. (必修5P 77练习2(2)改编)不等式3x 2－x －4≤0的解集是__________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43 解析：由3x 2－x －4≤0，得(3x －4)(x ＋1)≤0，解得－1≤x ≤43.2. (必修5P 75例1(1)改编)不等式2x 2－x －1>0的解集是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析：由2x 2－x －1>0，∴ (2x ＋1)(x －1)>0，∴ x>1或x<－12.3. (必修5P 79习题1(3)改编)不等式8x －1≤16x 2的解集是________． 答案：R解析：原不等式转化为16x 2－8x ＋1≥0，即(4x －1)2≥0，则x∈R ，故不等式的解集为R .4. (必修5P 80习题9改编)已知不等式x 2－2x ＋k 2－3>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案：k>2或k<－2解析：由Δ＝4－4(k 2－3)<0，知k>2或k<－2.5. (必修5P 80习题8(2)改编)关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，则a ＋b ＝________．答案：－3解析：由题意知，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴ a ＋1＝－3，ab ＝－4.∴ a＝－4，b ＝1.∴ a＋b ＝－3.1. 一元二次不等式的解法在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中，令y ＝0，得到一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax 2＋bx ＋c＞0(或＜0)．因此，可以通过y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象与x 轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如下表：2. 用一个流程图来描述一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0(a>0)的求解的算法过程[备课札记]题型1 一元二次不等式的解法例1 解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x－ax(a∈R )．解：原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.① 当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x≤－1.② 当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x≥2a 或x≤－1. ③ 当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即a ＞－2，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≥2a ，或x≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{x|x ＝－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x≤2a .变式训练已知函数f(x)＝ax 2＋bx －a ＋2.(1) 若关于x 的不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，求实数a 、b 的值； (2) 若b ＝2，a>0，解关于x 的不等式f(x)>0. 解：(1) ∵ 不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，∴ －1，3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两根， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －b －a ＋2＝0，9a ＋3b －a ＋2＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. (2) 当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x －a ＋2＝(x ＋1)(ax －a ＋2)，∵ a>0，∴ (x ＋1)(ax －a ＋2)>0 (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a >0，① 若－1＝a －2a ，即a ＝1，解集为{x|x≠－1}；② 若－1>a －2a ，即0<a<1，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<a －2a 或x>－1； ③ 若－1<a －2a ，即a>1，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<－1或x>a －2a . 题型2 由二次不等式的解求参数的值或范围例2 已知不等式mx 2－2x ＋m －2＜0.(1) 若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解：(1) 对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f(x)＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方，当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝4－4m （m －2）<0，解得m<1－ 2.综上可知m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2) 设g(m)＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0知g(m)在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g(2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x<1.所以x 的取值范围是(0，1)．备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1) 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2) 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a≥0对任意实数x 恒成立，则Δ＝a 2－4(3－a)≤0，解得－6≤a ≤2，∴ a 的范围是{a|－6≤a≤2}．(2) 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a≥0对任意x∈[－2，2]恒成立，∴ Δ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a 2<－2，f （－2）≥0.或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2>2，f （2）≥0.解得－7≤a≤2.∴ a 的范围为{a|－7≤a≤2}．题型3 三个二次之间的关系例3 若关于x 的不等式(2x －1)2<kx 2的解集中整数恰好有2个，求实数k 的取值范围．解：因为原不等式等价于(－k ＋4)x 2－4x ＋1<0，从而方程(－k ＋4)x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ＝4k>0，且有4－k>0，故0<k<4.又原不等式的解集为12＋k <x<12－k，且14<12＋k <12，则1，2一定为所求的整数解，所以2<12－k≤3，得k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤94，259. 备选变式（教师专享）关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，求a 的取值范围． 解：原不等式可能为(x －1)(x －a)＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪(4，5]．题型4 一元二次不等式的应用例4 一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x(元)．(1) 该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2) 当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解：(1) 由题意知，月利润y ＝px －R ，即y ＝(160－2x)x －(500＋30x)＝－2x 2＋130x －500.由月利润不少于 1 300元，得－2x 2＋130x －500≥1 300.即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x≤45.故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元．(2) 由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252，由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612. 所以当月产量为32或33件时，可获最大利润1 612元． 备选变式（教师专享）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2，x>5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题．(1) 要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，G(x)＝x ＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ，x>5.(1) 要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0，当0≤x≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，即x 2－8x ＋7<0，得1<x<7， ∴1<x≤5.当x>5时，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2， ∴5<x<8.2.综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x －4)2＋3.6， 故当x ＝4时，f(x)有最大值3.6； 而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2.所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．1. (2014²江苏)已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意的x∈[m，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0， 解得－22＜m ＜0.2. (2014²北京东城模拟)定义在R 上的运算：x*y ＝x(1－y)，若不等式(x －y)*(x ＋y)＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：∵ (x－y)³(x ＋y)＝(x －y)(1－x －y)＝x －x 2－y ＋y 2＜1.∴ －y ＋y 2＜x 2－x ＋1，要使该不等式对一切实数x 恒成立，则需有－y ＋y 2＜(x 2－x ＋1)min ＝34，解得－12＜y ＜32.3. (2014²南京二模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x<0，则不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是________．答案：(－∞，－3)∪(1，3)解析：当x≤32时，原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；当x ＞32时，原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32＜x ＜3.综上，x ＜－3或1＜x ＜3.4. (2014²盐城二模)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是________．答案：(4，＋∞)解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1，所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1，解得x ＞4.1. 解关于x 的不等式(1－ax)2<1.解：由(1－ax)2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1，即ax(ax －2)<0. ① 当a ＝0时，不等式转化为0<0，故x 无解．② 当a<0时，不等式转化为x(ax －2)>0，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a <0.∵ 2a <0，∴ 不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a <x<0. ③ 当a>0时，原不等式转化为x(ax －2)<0，又2a >0，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x<2a .综上所述，当a ＝0时，原不等式解集为 ；当a<0时，原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a <x<0；当a>0时，原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x<2a .2. 函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1) 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1) ∵ x∈R ，f (x)≥a 恒成立，∴ x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a 2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.∴ 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，则a 的取值范围为[－6，2]．(2) f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 24.讨论对称轴与[－2，2]的位置关系，得到a 的取值满足下列条件：⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤－2，f （－2）≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－a2＜2，3－a 24≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥2，f （2）≥a， 即⎩⎪⎨⎪⎧a≥4，7－2a≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜a ＜4，a 2＋4a －12≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a≤－4，7＋2a≥a. 解得－7≤a≤2.∴ 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，则a 的取值范围为[－7，2]． 3. 某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价，减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，问该商场将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最多？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所赚的利润在300元以上？解：设每件提高x 元(0≤x≤10)，即每件获利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，设每天获得总利润为y 元，由题意有y ＝(2＋x)(100－10x)＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360.所以当x ＝4时，y max ＝360元，即当定价为每件14元时，每天所赚利润最多．要使每天利润在300元以上，则有－10x 2＋80x ＋200＞300，即x 2－8x ＋10＜0，解得4－6＜x ＜4＋ 6.故每件定价在(14－6)元到(14＋6)元之间时，能确保每天赚300元以上．4. 设函数f(x)＝x 2－1，对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：由题意得：x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x－1)2－1＋4(m 2－1)在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．即⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－4m 2≤(－3x 2－2x ＋1)min ，当x ＝32时函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m≤－32或m≥32.1. 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0，ax 2＋bx ＋c<0的解就是使二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0或小于0时x 的范围，应充分和二次函数图象结合去理解一元二次不等式的解集表．2. 解含参数的不等式(x －a)(x －b)>0，应讨论a 与b 的大小再确定不等式的解，解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程的根的情况)，三写(写出不等式的解集)．3. 应注意讨论ax 2＋bx ＋c>0的二次项系数a 是否为0. 4. 要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想．分类讨论要做到“不重”、“不漏”、“最简”的三原则．请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．[备课札记]第2课时 二元一次不等式(组)与简单 的线性规划(对应学生用书(文)、(理)87～88页)1. (必修5P 83练习1改编)若点P(a ，3)在2x ＋y<3表示的区域内，则实数a 的取值范围是________．答案：a<0解析：点P(a ，3)在2x ＋y<3表示的区域内，则2a ＋3<3，解得a<0.2. (必修5P 86练习2(1)改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积是________．答案：25解析：直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A(－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B(3，7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(－2，2)、B(3，7)、C(3，－3)为顶点的三角形，所以其面积为S△ABC ＝12³5³10＝25.3. (2014²南通期末)设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y ≥0，x ＋y≤3，2x ＋y≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．答案：7解析：由题设可知可行域的四个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．从而(3x ＋2y)max ＝3³1＋2³2＝7.4. (必修5P 34练习7改编)设变量x 、y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x ＋2y≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为________．答案： －8解析：画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.5. (2014²湖南)若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x ＋y≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k＝________．答案：－2解析：画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A(k ，k)处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1) 二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线y ＝kx ＋b 把平面分成两个区域， y>kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 上方的平面区域， y<kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 下方的平面区域． (2) 选点法确定二元一次不等式表示的平面区域 ① 任选一个不在直线上的点；② 检验它的坐标是否满足所给的不等式；③ 若适合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域．(3) 二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域． 2. 线性规划中的基本概念题型1 二元一次不等式表示的平面区域例1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3表示的平面区域．解：不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合，x ＋y≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3表示的平面区域如下图所示．变式训练在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝________．答案：3解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，所围成的区域如图所示．则A(1，0)，B(0，1)，C(1，1＋a)，且a>－1， ∵ S △ABC ＝2，∴ 12(1＋a)³1＝2，解得a ＝3.题型2 线性规划问题例2 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.(1) 求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值；(2) 求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．解：(1) 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤4，x －y≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C(－2，3)，∴u min ＝3³(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B(2，1)，∴ u max ＝3³2－1＝5.∴ u＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9.(2) 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤4，x －y≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，随z 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A(－2，－3)，∴ z min ＝－2＋2³(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z－1最大，即z 最大，∴ z max ＝4＋2＝6. ∴ z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.变式训练若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是________．答案：(－4，2)解析：可行域为△ABC，如图，当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a 2＞k AC ＝－1，a ＜2.当a ＜0时，k ＝－a2＜k AB ＝2，∴ a ＞－4.综上可得－4＜a＜2.题型3 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1 kg 、B 原料2 kg ；生产乙产品1桶需耗A 原料2 kg ，B 原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12 kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解：设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得利润为z 元/天，则由已知，得z ＝300x ＋400y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤12，2x ＋y≤12，x ≥0，y ≥0，画可行域如图所示，目标函数z ＝300x ＋400y 可变形为y ＝－34x ＋z400，这是随z 变化的一族平行直线，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A(4，4)， ∴ z max ＝1 200＋1 600＝2 800(元)．故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2 800元． 备选变式（教师专享）某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间，油漆时间及有关数据如下：产量可获最大利润，并且最大利润是多少？解：设x ，y 分别为甲、乙两种柜的日产量，可将此题归纳为求如下线性目标函数z ＝20x ＋24y 的最大值．其中线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋12y≤120，8x ＋4y≤64，x ≥0，y ≥0，由图可得最优解为(4，8)，z max ＝272.答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台可获最大利润272元．1. 已知0＜a ＜1，log a (2x －y ＋1)＞log a (3y －x ＋2)，且λ＜x ＋y ，则λ的最大值为答案：－2解析：2x －y ＋1<3y －x ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －1<0，2x －y ＋1>0，作出可行域，则z ＝x ＋y 经过点(－1，－1)时最小，故x ＋y>－2，所以λ的最大值为－2.2. (2014²常州期末)已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥3，y ≤3，x ≤3，则z ＝5－x 2－y 2的最大值为________．答案：12解析：目标函数z ＝5－(x 2＋y 2)最大值，即求x 2＋y 2最小值．由几何意义知在可行域中找点P(x ，y)使得点P 离原点距离最小．点P 到直线l 距离为322时最短，则z max ＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝12. 3. (2014²南师附中冲刺)设实数x 、y 、b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为________．答案：94解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b对应的平面区域，可见当直线y ＝－2x ＋z 经过两条直线y ＝2x 与y ＝－x ＋b 的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，2b 3时，直线y ＝－2x ＋z 的截距z 取最小值4b 3，所以4b 3＝3，解得b ＝94.4. (2014²无锡期末)已知变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y ≤－x ＋3，y ≥2x 则yx －2的取值范围是________．答案：[－2，0]解析：画出可行域如图，yx －2等价于点(x ，y)到点(2，0)连线的斜率；又k AB ＝－2，k BO＝0，从而yx －2∈[－2，0]．5. (2014²徐州二模)已知实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋y≥0，x ≤1，则y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的最大值为答案：12解析：令z ＝y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，作出不等式组对应的区域，作出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，平移函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如图可见当函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋z 的图象经过点A 时z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＝1，得A(1，1)，所以x ＝y ＝1时y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x取最大值12.1. (2014²浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1所表示的区域，由1≤ax＋y≤4得，由图可知，a≥0，且在(1，0)点取得最小值，在(2，1)取得最大值，故a≥1，2a ＋1≤4，故a 取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.2. (2014²山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为________．答案：4 解析：画出约束条件表示的可行域(如图所示)．当目标函数z ＝ax ＋by 过点A(2，1)时，z 取得最小值，即25＝2a ＋b ，所以25－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a)2＝5a 2－85a ＋20，构造函数m(a)＝5a 2－85a ＋20(5>a>0)，利用二次函数求最值，函数m(a)＝5a2－85a ＋20的最小值是4³5³20－（85）24³5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.3. (2014²北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k ＝________．答案：－12解析：若k≥0, z ＝y －x 没有最小值；当k<0时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12.4. 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资x 万元、y 万元，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，0.3x ＋0.1y≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y ，作出可行域，作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，解得x ＝4，y ＝6，此时z ＝1³4＋0.5³6＝7(万元) ∵ 7>0，∴ 当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．1. 确定不等式Ax ＋By ＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧区域，常用两种方法：一是在直线的某一侧取一特殊点；二是将不等式化为y>kx ＋b(<，≥，≤)．2. 在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最值的求解步骤 (1) 作出可行域；(2) 作出直线l 0：ax ＋by ＝0；(3) 平移直线l 0：ax ＋by ＝0，依可行域判断取得最值的最优解的点； (4) 解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值． 3. 常见的非线性目标函数的几何意义(1) x 2＋y 2表示点(x ，y)与原点(0，0)的距离；(2) （x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y)与点(a ，b)的距离；(3) yx 表示点(x ，y)与原点(0，0)连线的斜率值；(4) y －b x －a表示点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率值．请使用课时训练(B )第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时 基本不等式(对应学生用书(文)、(理)89～90页)1. (必修5P 99练习4改编)若实数a 、b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是________． 答案：6解析：由基本不等式，得3a ＋3b ≥23a ²3b ＝23a ＋b＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以3a ＋3b的最小值是6.2. (必修5P 105复习题9改编)若f(x)＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f(x) 的最大值为________．答案：－4解析：∵ x＜0，∴ f(x)＝－[(－x)＋1（－x ）]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．3. (必修5P 105复习题10改编)若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x＋3>0，∴ x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3≥2（x ＋3）³2x ＋3－3＝22－3.4. (必修5P 107测试3改编)对任意x>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析：由x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max，而x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x²1x＋3＝15，当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴ a ≥15. 5. (必修5P 106复习题10改编)已知a>0，b>0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，则m 的最大值等于________．答案：9解析：原不等式恒成立等价于m≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b)的最小值，而⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b)＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ²2ab＝9，所以m ≤9，即m 的最大值为9.1. 算术平均数与几何平均数对于正数a 、b ，我们把a ＋b2称为a 、b a 、b 的几何平均数．2. 基本不等式ab ≤a ＋b2(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号；(3) 结论：两个非负数a ，b3. 拓展：若a ＞0，b ＞0，21a ＋1b≤ab a ＝b 时等号成立．[备课札记]题型1 利用基本不等式证明不等式例1 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4x ＋y.证明：(证法1)作差法．(证法2)等价于(x ＋y)2≥4xy. 变式训练(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c ；(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥ka －c恒成立的k 的最大值．提示：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y 后同例1 (2) 4 题型2 利用基本不等式求最值例2 过点(1，2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，当OA ＋OB 最小时，求直线l 的方程．解：(解法1)设点A(a ，0)，B(0，b)(a ，b>0)，则直线l 的方程为x a ＋yb＝1.由题意知，点(1，2)在此直线上，所以1a ＋2b ＝1.OA ＋OB ＝a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ³2a b ＝3＋2 2.当且仅当b a ＝2a b 时取“＝”. 又1a ＋2b＝1，解得a ＝2＋1，b ＝2＋ 2. 因此，当OA ＋OB 最小时，直线l 的方程为x 2＋1＋y2＋2＝1，即2x ＋y －2－2＝0.(解法2)直线l 过点(1，2)且斜率存在，设其方程为y －2＝k(x －1). 令y ＝0得x ＝1－2k ；令x ＝0得y ＝2－k ，故得点A ，B 坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k ，0，B(0，2－k). 因A ，B 分别在x ，y 轴正半轴上，故⎩⎪⎨⎪⎧1－2k >0，2－k>0，解得k<0.OA ＋OB ＝1－2k ＋2－k≥3＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ³（－k ）.当且仅当－2k ＝－k 时取“＝”. 由于k<0解得k ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －2－2＝0.备选变式（教师专享）正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1) 求xy 的最小值； (2) 求x ＋2y 的最小值．解：(1) 由1＝1x ＋9y ≥21x ²9y 得xy≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2) 由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ²9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.题型3 利用基本不等式解应用题例3 (2014²苏北三市期末)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30 m ，其中大圆弧所在圆的半径为10 m ．设小圆弧所在圆的半径为x m ，圆心角为θ(弧度)．(1) 求θ关于x 的函数关系式；(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？解：(1) 设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝10＋2x10＋x.(2) 花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x)(10－x)＝－x 2＋5x ＋50(0<x<10)．装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010（17＋x ）.令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎪⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 备选变式（教师专享）如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC ＝4 km ，OC 与公路l 1夹角为60°.现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km.(1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．解：(1) ∵ S △AOC ＋S △BOC ＝S △AOB ， ∴ 12x²4sin60°＋12y ²4sin30°＝12xy ，整理得y ＝23x x －2， 过C 作OB 平行线与OA 交于D ，OA>OD ，故x>2.定义域为{x|x>2}．(2) S △AOB ＝12xy ＝3x2x －2，(x>2)，S △AOB ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋4（x －2）＋4x －2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋4x －2＋4. ∵ x －2>0，∴ x －2＋4x －2≥4，当且仅当()x －22＝4即x ＝4时取等号．所以当x ＝4时，S △AOB 有最小值为8 3.答：当OA ＝4 km ，OB ＝4 3 km 时，使△AOB 的面积最小．1. (2014²苏锡常镇一模)已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为________．答案：9解析：x ＋8y xy ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x (x ＋2y)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8＋x y ＋y x ²16≥12(10＋216)＝12³18＝9，当且仅当x y ＝4，x ＋2y ＝2，即y ＝13，x ＝43时“＝”成立．2. (2014²苏州期末)已知正实数x 、y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________． 答案：26－3解析：由xy ＋2x ＋y ＝4，解得y ＝4－2x x ＋1，则x ＋y ＝x －2＋6x ＋1＝(x ＋1)＋6x ＋1－3≥26－3，当且仅当x ＋1＝6时“＝”成立．3. (2014²镇江期末)已知x>0，y>0，若不等式x 3＋y 3≥kxy(x ＋y)恒成立，则实数k 的最大值为________．答案：1解析：由题设知k≤（x ＋y ）（x 2－xy ＋y 2）（x ＋y ）（xy ），∴ k ≤x 2－xy ＋y 2xy ＝x y ＋y x－1恒成立．∵ x y ＋yx－1≥2－1＝1，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，从而k≤1，即k 的最大值为1. 4. (2014²南通一模)设实数a 、b 、c 满足a 2＋b 2≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为________．答案：－12解析：由题意知a ＋b ＋c≥a＋b ＋a 2＋b 2，∵ a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴ a 2＋b 2≥（a ＋b ）22，从而a ＋b ＋c≥（a ＋b ）22＋(a ＋b)＝12(a ＋b ＋1)2－12≥－12，“＝”当且仅当c ＝a 2＋b 2，a ＝b ，a ＋b ＝－1即a ＝b ＝－12，c ＝12时成立．5. (2014²江苏)若△ABC 的内角满足sinA ＋2sinB ＝2sinC ，则cosC 的最小值是________．答案：6－24解析：由已知sinA ＋2sinB ＝2sinC 及正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，cosC ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab ＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立，所以cosC 的最小值为6－24.1. 设a>0，b>0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值为________．答案：－4解析：由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k≥－（a ＋b ）2ab ，而（a ＋b ）2ab ＝b a ＋ab＋2≥4(a＝b 时取等号)，所以－（a ＋b ）2ab ≤－4，因此要使k≥－（a ＋b ）2ab恒成立，应有k≥－4，即k 的最小值等于－4.2. 已知x>0，y>0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案： (－4，2)解析：由x>0，y>0，且2x ＋1y ＝1，得x ＋2y ＝(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ²x y ＝8.当且仅当4y x ＝x y 时，即x ＝2y 时取等号．又2x ＋1y ＝1，此时x ＝4，y ＝2，所以(x ＋2y)min＝8.要使x ＋2y>m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y)min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m<2.3. (2014²镇江期末)过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x≥9)元，并投入265(x －9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2（x －8）2万只．则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．解：(1) 设每只售价为x 元，则月销售量为⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x －80.5³0.2万只，由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x －80.5³0.2(x －6)≥(8－6)³5，∴ 25x 2－535x ＋2965≤0，即2x 2－53x ＋296≤0，解得8≤x ≤372，即每只售价最多为18.5元． (2) 下月的月总利润y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－x －80.5³0.2（x －8）2(x －6)－265(x －9)＝2.4－0.4x x －8－15x ＋234－1505＝－0.4（x －8）－0.8x －8－15x ＋845＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45（x －8）＋x －85＋745.∵ x ≥9，∴ 45（x －8）＋x －85≥2425＝45，当且仅当45（x －8）＝x －85，即x ＝10，y max ＝14.答：当x ＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元． 4. 某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一直线交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x(m)．(1) 将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2) 当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．解：(1) 作GH⊥EF，垂足为H ，因为DN ＝x ，所以NH ＝40－x ，NA ＝60－x.因为NH HG ＝NAAM，所以40－x 10＝60－x AM，所以AM ＝600－10x40－x.过M 作MT∥BC 交CD 于T ，则S MBCDN ＝S MBCT ＋S MTDN ＝(40－AM)³60＋12(x ＋60)³AM ，所以y ＝⎝⎛⎭⎪⎫40－600－10x 40－x ³60＋12³（x ＋60）（600－10x ）40－x ＝2 400－5()60－x 240－x.由于N 与F 重合时，AM ＝AF ＝30适合条件，故x∈(]0，30.(2) y ＝2 400－5()60－x 240－x ＝2 400－5[(40－x)＋40040－x＋40]．所以当且仅当40－x ＝40040－x，即x ＝20∈(]0，30时，y 取得最大值2 000.答：当DN ＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2 000 m 2.5. 设正项等差数列{a n }的前2 011项和等于2 011，则1a 2＋1a 2 010的最小值为________．答案：2解析：由题意得S 2 011＝2 011（a 1＋a 2 011）2＝2 011，∴ a 1＋a 2 011＝2.又a 2＋a 2 010＝a 1＋a 2 011＝2，∴ 1a 2＋1a 2 010＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 2 010(a 2＋a 2 010)＝12(a 2 010a 2＋a 2a 2 010)＋1≥2.1. a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，而a ＋b 2≥ab 成立的条件是a≥0，b ≥0，使用时要注意公式成立的前提条件．2. 在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“一正”(即条件中字母为正数)，“二定”(不等式的另一边必须为定值)，“三相等”(等号取得的条件)．3. 正确理解定理：“和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小”．4. 连续使用公式两次或以上，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．5. 函数y ＝ax ＋bx(a>0，b>0)的单调性要掌握，特别是运用基本不等式不能满足“三相等”时．请使用课时训练(A )第3课时(见活页)．[备课札记]第4课时 不等式的综合应用(对应学生用书(文)、(理)91～92页)1. (必修5P 102习题7改编)函数y ＝x ＋4x(x≠0)的值域是________．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析：当x>0时，y ＝x ＋4x ≥2x²4x ＝4，当x<0时，y ＝x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2（－x ）²⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4.2. (必修5P 102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价p ＋q2%，第二次提价p ＋q2%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________．答案：方案丙解析：设原来价格为A ，方案甲：经两次提价后价格为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 100＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 100＋pq 10000；方案乙：经两次提价后价格为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 100；方案丙：经两次提价后价格为A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2002＝A[1＋p ＋q 100＋⎝ ⎛⎦⎥⎤p ＋q 2）2²110 000.因为p ＋q 2>pq ，所以方案丙提价最多．3. 设x∈R ，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|，若不等式f(x)＋f(2x)≤k 对于任意的x∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案：k≥2解析：不等式化为k≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x|，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|∈(0，1]，所以k≥2. 4. (必修5P 106复习题16改编)已知x>0，y>0且满足2x ＋8y＝1，则x ＋y 的最小值是________ .答案：18解析：∵ x ＋y ＝(x ＋y)²1＝(x ＋y)²⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y ＝2＋8＋2y x ＋8x y ，x>0，y>0，∴ 2y x >0，8x y >0，x ＋y≥10＋216＝18，当且仅当2y x ＝8x y 时等号成立．又2x ＋8y＝1, ∴ 当x ＝6，y ＝12时，x＋y 有最小值18.5. (必修5P 98练习2(2)改编)若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．答案：[9，＋∞)解析：由a ，b ∈R ＋，得a ＋b≥2ab ，则ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0 (ab －3)(ab ＋1)≥0 ab ≥3，∴ ab ≥9.[备课札记]题型1 含参数的不等式问题例1 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围．解：由x 2－x －2>0有x ＜－1或x ＞2，由2x 2＋(5＋2k)x ＋5k ＜0有(2x ＋5)(x ＋k)＜0. 因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2.由(2x ＋5)²(x＋k)＜0有－52＜x ＜－k.因为原不等式组的整数解只有－2， 所以－2＜－k≤－1，即1≤k ＜2， 故k 的取值范围是[1，2)． 变式训练已知函数f(x)＝lg[(m 2－3m ＋2)x 2＋(m －1)x ＋1]的定义域为R ，求实数m 的取值范围．解：∵ 函数f(x)的定义域为R ，∴ 对于任意x∈R ，恒有(m 2－3m ＋2)x 2＋(m －1)x ＋1>0，① 若m 2－3m ＝2＝0，则m ＝2或1，当m ＝1时，不等式即为1>0，符合题意，当m ＝2时，不等式即为2x ＋1>0，不恒成立，∴ m＝2不合题意，舍去．② 若m 2－3m ＋2≠0，由题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，Δ＝（m －1）2－4（m 2－3m ＋2）<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m<1或m>2，m<1或m>73，即m<1或m>73. 综上可得，m 的取值范围是m≤1或m>73.题型2 基本不等式的灵活运用例2 设正实数x 、y 、z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为________．答案：1。

第六章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．(2013年上海)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b2．(2013年北京)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 33．已知下列不等式：①x 2＋3>2x ；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R ＋)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N )，公比q ≠1，则( ) A ．a 1＋a 8>a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8<a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5 D ．不确定5．(2012年广东茂名二模)下列三个不等式中，恒成立的个数有( )①x ＋1x≥2(x ≠0)；②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0，a <b )． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 6．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 7．若不等式(－1)na <2＋－n ＋1n对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆．9．已知a ＞0，b ＞0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ≥a ＋b .10．已知α∈(0，π)，比较2sin2α与sin α1－cos α的大小．第2讲 一元二次不等式及其解法1．(2014年山东)设集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2] B ．(1,2) C ．[1,2) D ．(1,4)2．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ，－x ＋x ＞，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.1526．(2014年大纲)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}7．(2014年广东佛山一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是____________．9．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＜b ＜c ，函数f (x )＝ax 2＋2bx ＋c 满足f (1)＝0，且关于t 的方程f (t )＝－a 有实根(其中t ∈R ，且t ≠1)．(1)求证：a ＜0，c ＞0；(2)求证：0≤b a<1.10．(2014年广东揭阳二模)已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ＜0)． (1)若当x ∈[1，e]时，函数f (x )的最大值为－3，求a 的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ′(x )，若函数g (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求a 的取值范围．第3讲 算术平均数与几何平均数1．已知x >1，则y ＝x ＋1x －1的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．3 2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．43．(2013年山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98C ．2 D.944．(2014年重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 35．(2013年湖北黄冈一模)若向量a ＝(x －1,2)与向量b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为______．6．(2013年上海虹口一模)如果log a 4b ＝－1，则a ＋b 的最小值为__________．7．(2014年上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______________．8．(2014年上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围是________．9．(2013年上海徐汇一模)某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/时．当船速为10海里/时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元．假定航行过程中轮船是匀速航行．(1)求k的值；(2)求该轮船航行100海里的总费用W的最小值．(总费用＝燃料费＋航行运作费用)10．(2013年广东中山一模)某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)当每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)求每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？第4讲简单的线性规划1．(广西百所示范性中学2015届高三第一次大联考)若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ≥1，y ≥0，则z ＝x －y 的最小值是________．2．(2015年广东深圳一模)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x ＋y ≤3，则x ＋2y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2014年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－34．(2013年山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩(1亩≈666.7平方米)，投入资金植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,506．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0，x ＋2y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]7．(2013年广东惠州一模)已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤x ＋y ≤2，则点Q (x ＋y ，y )构成的图形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．(2013年北京)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__________．9．某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？10．(2014年陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．第5讲 不等式的应用1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，要使每辆客车运营的年平均利润最大，则每辆客车营运的最佳年数为( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年2．(2013年陕西)在如图X6­5­1所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )图X6­5­1A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]3．(2014年福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是20元/m 2，侧面造价是10元/m 2，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层5．(2013年广东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，－1≤x ≤1，y ≥1，则z ＝x ＋y 的最大值是________．6．一份印刷品，其排版面积为432 cm 2(矩形)，要求左右留有4 cm 的空白，上下留有3 cm 的空白，则当矩形的长为________cm ，宽为________cm 时，用纸最省．7．某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的维修费用为12万元，以后每年增加4万元，每年可收入50万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前5年的平均年利润最多；③前10年总利润最多；④第11年是亏损的；⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少(总利润＝总收入－投入资金－总维修费)．其中真命题是________．8．(2014年湖北)某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其关系式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/时．9．(2015年广东江门调研)某农户建造一间背面靠墙的房屋，已知墙面与地面垂直，房屋所占地面是面积为12 m 2的矩形，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5200元．如果墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？10．(2013年上海)甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)求证：生产a 千克该产品所获得的利润为100a ·⎝⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．第6讲 不等式选讲1．不等式|x －2|>x －2的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)2．(2013年大纲)不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)3．不等式1≤|x －3|≤6的解集是( ) A ．{x |－3≤x ≤2或4≤x ≤9} B ．{x |－3≤x ≤9} C ．{x |－1≤x ≤2} D ．{x |4≤x ≤9}4．若不等式|ax ＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a 等于( ) A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－25．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7] B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)6．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围________． 7．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ＝4t ＋1t－6，t ∈，＋，则集合A ∩B ＝__________.8．(2013年山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为______．9．(2013年福建)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．10．(2013年新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．第六章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．D 解析：a <b <0，设a ＝－2，b ＝－1，则－12>－1；(－2)×(－1)>(－1)2；－(－2)×(－1)>－(－2)2.故A ，B ，C 错误．故选D.2．D 解析：当c ≤0时，A 不成立；当a ＝1，b ＝－2时，B ，C 不成立．故选D.3．D 解析：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x .∵a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )(a －b )2≥0，∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．A 解析：(a 1＋a 8)－(a 4＋a 5)＝(a 1＋a 1q 7)－(a 1q 3＋a 1q 4)＝a 1(1－q 3)＋a 1q 4(q 3－1)＝a 1(1－q 3)(1－q 4)＝a 1(1－q )2·(1＋q )(1＋q 2)(1＋q ＋q 2)＞0，∴a 1＋a 8＞a 4＋a 5.5．B 解析：当x <0时，x ＋1x≥2(x ≠0)显然不成立．由a >b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧1a <1b ，c >0⇒c a <cb .故②成立.a ＋mb ＋m －a b ＝m b －ab ＋m b>0， 故③成立．故选B.6．C 解析：此类题目多选用筛选法，对于A ：当x ＝12时，两边相等，故A 错误；对于B ：具有基本不等式的形式，但sin x 不一定大于零，故B 错误；对于C ：x 2＋1≥2|x |⇔x 2±2x ＋1≥0⇔(x ±1)2≥0，显然成立；对于D ，任意x 都不成立．故选C.7．A8．6 解析：设有x 辆汽车，则货物重为(4x ＋20)吨．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －＜4x ＋20，8x ＞4x ＋20，x ∈N *，解得5＜x ＜7，且x ∈N *.故只有x ＝6才满足要求．9．证明：方法一：左边－右边＝a3＋b3ab－(a ＋b )＝a ＋b a －ab ＋b －aba ＋bab＝a ＋ba －2ab ＋b ab ＝a ＋b a －b2ab≥0.∴原不等式成立．方法二：左边>0，右边>0. 左边右边＝a ＋b a －ab ＋bab a ＋b ＝a －ab ＋b ab ≥2 ab －abab＝1.∴原不等式成立．10．解：2sin2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α－cos α－sin α1－cos α＝sin α1－cos α(－4cos 2α＋4cos α－1)＝－sin α1－cos α(2cos α－1)2. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0.∴－sin α1－cos α(2cos α－1)2≤0，即2sin2α－sin α1－cos α≤0.∴2sin2α≤sin α1－cos α，当且仅当α＝π3时取等号．第2讲 一元二次不等式及其解法1．C 解析：由已知，得A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则 A ∩B ＝[1,2)．故选C. 2．C 解析：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4k ·[－k ＋＜0. 解得－1<k <0.∴－1＜k ≤0.3．A 解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x 2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.4．A5．A 解析：不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)， 则x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，且x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a2＋32a2＝6a ＝15，则a ＝52.故选A.6．C 解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，或x >0，－1<x <1，，求交集，得0<x <1.故选C.7．C 解析：f (1)＝3，当a ＝0时，f (0)＋f (0)＝0≤6成立；当a >0时，f (－a )＋f (a )＝(－a )2＋2a ＋a 2＋2a ≤6，a 2＋2a －3≤0，a ∈[－3,1]，得a ∈(0,1]；当a <0时，f (－a )＋f (a )＝(－a )2＋2×(－a )＋a 2－2a ≤6，a 2－2a －3≤0，a ∈[－1,3]，得a ∈[－1,0)．综上所述，a ∈[－1,1]．故选C.8．①②③④ 解析：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，∴a <0；－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，－13＋2＝－ba>0，∴b >0；f (0)＝c >0，f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a－b ＋c <0.故正确答案为①②③④.9．证明：(1)∵f (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∴f (1)＝a ＋2b ＋c ＝0. ① 又a ＜b ＜c ，∴2a ＜2b ＜2c ，∴4a ＜a ＋2b ＋c ＜4c . 即4a ＜0＜4c ，∴a ＜0，c ＞0.(2)由f (1)＝a ＋2b ＋c ＝0，得c ＝－a －2b .又a ＜b ＜c 及a ＜0，得－13<ba <1. ②将c ＝－a －2b 代入f (t )＝at 2＋2bt ＋c ＝－a ，得at 2＋2bt －2b ＝0.∵关于t 的方程at 2＋2bt －2b ＝0有实根，∴Δ＝4b 2＋8ab ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a≥0，解得b a≤－2或b a ≥0. ③由②③知，0≤ba<1.10．解：(1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x，x >0，a <0，令f ′(x )>0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a x >0.解得0<x <－1a.∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减．∴当x ＝－1a时，f (x )取极大值．①当－1a≤1，即a ≤－1时，函数f (x )在[1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－3.解得a ＝－3.②当1<－1a ≤e，即－1<a ≤－1e 时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，解得a ＝－e 2<－1，与－1<a ≤－1e矛盾，故舍去．③当－1a >e ，即a >－1e时，f (x )在[1，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝－3.解得a ＝－4e <－1e ，与a >－1e矛盾，故舍去．综上所述，a ＝－3.(2)方法一：∵g (x )＝ln x ＋ax ＋1x＋a ，∴g ′(x )＝1x ＋a －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋a ＋14.显然，对于x ∈(0，＋∞)，g ′(x )≥0不可能恒成立， ∴函数g (x )在(0，＋∞)上不是单调递增函数．若函数g (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，则g ′(x )≤0对于x ∈(0，＋∞)恒成立，∴当x ＝2时，[g ′(x )]max ＝a ＋14≤0.解得a ≤－14.综上所述，若函数g (x )在(0，＋∞)上是单调函数，则a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14. 方法二：∵g (x )＝ln x ＋ax ＋1x＋a ，∴g ′(x )＝1x ＋a －1x 2＝ax 2＋x －1x 2.令ax 2＋x －1＝0， (*)方程(*)的判别式Δ＝1＋4a ，当Δ≤0，即a ≤－14时，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≤0，即当a ≤－14时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减；当Δ>0，即a >－14时，方程(*)有两个不相等的实数根x 1＝－1＋1＋4a 2a ，x 2＝－1－1＋4a2a，∴g ′(x )＝ax2(x －x 1)(x －x 2)．当x 1<x <x 2时，g ′(x )>0，当x >x 2或0<x <x 1时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(x 1，x 2)上单调递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减． ∴此时函数g (x )在(0，＋∞)上不单调．综上所述，若函数g (x )在(0，＋∞)上是单调函数，则a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14. 第3讲 算术平均数与几何平均数1．D2．C 解析：∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．3．C 解析：z ＝x 2－3xy ＋4y 2， z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ≥2x ·2y －3xy xy ＝xy xy＝1.当且仅当x ＝2y 时，z xy取最小值，此时z ＝2y 2.x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y 2－2y )＝－2(y －1)2＋2，最大值为2.故选C.4．D 解析：由题意知，ab >0，且3a ＋4b >0，所以a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，所以4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3.当且仅当4b a ＝3ab，即a ＝4＋2 3，b ＝3＋2 3时，等号成立．故选D.5．6 解析：若a⊥b ，则4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝232＝6. 6．1 解析：log a 4b ＝－1，1a ＝4b ，ab ＝14，则a ＋b ≥2ab ＝214＝1. 7．2 2 解析：x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝2xy 2＝2 2.8．(－∞，2] 解析：当x ≤0时，f (x )单调递减，最小值为f (0)＝a .当x >0时，f (x )＝x ＋1x≥2 x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，则最小值为f (1)＝2.若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤f (1)＝2.9．解：(1)由题意，得燃料费W 1＝kv 2， 把v ＝10，W 1＝96代入，得k ＝0.96.(2)W ＝0.96v 2×100v ＋100v×150＝96v ＋15 000v≥2 1 440 000＝2400，当且仅当96v ＝15 000v时等号成立，解得v ＝15 00096＝12.5<15. 故该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400元． 10．解：(1)每套丛书售价定为100元时， 销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)． (2)设每套丛书售价定为x 元． 由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0得0<x <150. 依题意，单套丛书利润为P ＝x －⎝⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x －30. ∴P ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋100150－x ＋120. ∵0<x <150，∴150－x >0，且(150－x )＋100150－x ≥2 －x 100150－x＝2×10＝20.当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立．此时，P max ＝－20＋120＝100(元)．第4讲 简单的线性规划1．－1 解析：由题作出可行域如图D70，y ＝x －z ，当x ＝1，y ＝2时，z min ＝－1.图D702．D3．B 解析：根据题中约束条件可画出可行域如图D71，两直线交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.又由z ＝x ＋ay 知，当a ＝0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，z 的最小值为－12，不合题意；当a >0时，y ＝－1a x ＋z a 过点A 时，z 有最小值，即z ＝a －12＋a ×a ＋12＝a 2＋2a －12＝7.解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当a <0时，z 无最小值．故选B.图D71 图D724．C 解析：如图D72，当点M 位于点A (3，－1)时，OM 的斜率最小，最小值为－13.5．B 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，则目标函数z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .作出约束条件如图D73的阴影部分．易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，当直线x ＋0.9y ＝0经过点B (30，20)时，z 取得最大值为48.故选B.图D736．C 解析：区域M 是一个三角形区域，三个顶点的坐标是(8,3)，(10,2)，(9,1)，结合图形检验，可知：当a ∈[2,9]时，符合题目要求．7．B 解析：令x ＋y ＝u ，y ＝v ，则点Q (u ，v )满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤u －v ≤1，0≤u ≤2.在uOv 平面内画出点Q (u ，v )所构成的平面区域如图D74，易得其面积为2.故选B.图D74 图D758.2 55解析：区域D (如图D75)上的点与点(1,0)之间的距离的最小值就是点(1,0)到直线2x －y ＝0的距离，即d ＝|2－0|22＋12＝2 55. 9．解：设该儿童分别预订x ，y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则z ＝2.5x ＋4y .可行域为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .作出可行域如图D76：经检验发现，当x ＝4，y ＝3时，花费最少，最少花费为z ＝2.5x ＋4y ＝2.5×4＋4×3＝22(元)．图D76 图D77 10．解：(1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)．∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，①y ＝2m ＋n .② ②－①，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图D77知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1.故m －n 的最大值为1.第5讲 不等式的应用1．C 解析：y x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2x ×25x ＋12，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取等号．2．C 解析：设矩形的高为h ，有40－h 40＝x40，即h ＝40－x ，S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ≥300，解得x ∈[10,30]．3．C 解析：设长方体底面边长分别为x ，y ，则y ＝4x，所以容器总造价为z ＝2(x ＋y )×10＋20xy ＝20⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80.由基本不等式，得z ≥20×2 4＋80＝160，当且仅当底面是边长为2的正方形时，总造价最低．故选C.4．B 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×10 0002000x＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x≥560＋48×2 x ·225x＝2000(x ≥10，x ∈N *)．当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，f (x )取得最小值为f (15)＝2000.图D785．5 解析：如图D78，将点(1,4)代入z ＝x ＋y ，得最大值为5.6．24 18 解析：设矩形的长为x cm ，则宽为432xcm ，则总面积为y ＝(x ＋8)·⎝ ⎛⎭⎪⎫432x ＋6＝432＋48＋6x ＋432×8x ＝480＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋72×8x ≥480＋6×2x ·72×8x ＝768，当且仅当x ＝72×8x ，即x ＝24时取等号，此时宽为43224＝18 (cm)． 7．①③④8．(1)1900 (2)100 解析：(1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时，等号成立． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2000， 当且仅当v ＝100v，即v ＝10时，等号成立．此时车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时． 9．解：设房屋地面宽为x m ，长为y m ，总造价为z 元(x ，y ，z >0)，则xy ＝12，z ＝3y ×1200＋2×3x ×800＋5200.∵y ＝12x ，∴z ＝12×3600x＋4800x ＋5200.∵x ，y >0，∴z ≥212×3600×4800＋5200＝34 000.当且仅当12×3600x＝4800x ，即x ＝3(x ＝－3，舍去)时，z 取最小值，最小值为34 000元．答：房屋地面宽3 m ，长4 m 时，总造价最低，最低总造价为34 000元．10．(1)证明：每小时生产x 千克产品，获利100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ，生产a 千克该产品用时间为ax小时，所获利润为 100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ·a x ＝100a ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2.(2)生产900千克该产品，所获利润为90 000⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝90 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112.∴当x ＝6时，最大利润为90 000×6112＝457 500(元)．故甲厂应以6千克/时的速度生产，可获得最大利润为457 500元．第6讲 不等式选讲1．A2．D 解析：|x 2－2|<2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2<2，x 2－2>－2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2<4，x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，x ≠0.故选D.3．A 4.D5．D 解析：方法一：当x ≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x ≥10，即x ≤－4.当－3<x <5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，无解． 当x ≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x ≥6，∴x ≥6. 综上所述，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．故选D.方法二：可用特值检验法，首先x ＝0不是不等式的解，排除A ，B ；x ＝6是不等式的解，排除C.故选D.6．(5,7) 7.{x |－2≤x ≤5} 8.13解析：解不等式|x ＋1|－|x －2|≥1，分以下三种情况： 当x ≤－1时，原不等式化为－(x ＋1)＋(x －2)≥1，即－3≥1，此时无解；当－1<x <2时，原不等式化为(x ＋1)＋(x －2)≥1，即x ≥1，此时1≤x <2；当x ≥2时，原不等式可化为(x ＋1)－(x －2)≥1，即3≥1，此时x ≥2.综上所述，原不等式的解集为∅∪[1,2)∪[2，＋∞)＝[1，＋∞)．故使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为3－13－－＝13.9．解：(1)因为32∈A ，且12A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a . 解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取得等号， 所以f (x )的最小值为3.10．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图D79.从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.图D79所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.。

2016年北京市各区高三模拟考试数学文科试题分类汇编------不等式选择题部分：（2016西城期末）7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ C ）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14- （2016海淀期末）6. 若点(2,3)-不在．．不等式组0,20,10x y x y ax y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩表示的平面区域内，则实数a 的取值 范围是（ B ）A.(,0)-∞B. (1,)-+∞C. (0,)+∞D.(,1)-∞-（2016石景山期末）2．若变量y x ,满足约束条件2,1,0x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则y x z +=2的最大值为（ D ）A ．0B ．2C ．3D ．4（2016昌平期末）（7）若,x y 满足30,10,,x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为（ B ）A ．1-B ．1C ．7-D ．7（2016海淀一模）4．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ C ） A ．52 B ．3 C ．72D ．4 （2016东城一模）（4）若,x y 满足0230230x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2u x y =+的最大值为（ A ）（A ）3 （B ）52（C ）2 （D ）32 （2016顺义一模）7.在平面直角坐标系中，若不等式组10,10,10+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩x y x ax y （a 为常数）表示的区域面积等于3，则a 的值为 （ D ）（A ） 5- （B ） 2- （C ）2 （D ）5（2016房山一模）（4）在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，则(,)x y 满足21x y +?的概率为 ( D ) （A ）18 （B ）14 （C ）12 （D ）34（2016西城二模）3. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是（ B ）（A ）43（B ）73 （C ）13- （D ）1 （2016丰台二模）3.在不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩．表示的平面区域内任取一个点(,)P x y ，使得1x y +≤的概率为（ C ）（A ）12 （B ）14 （C ）18 （D ）112（2016房山二模）（4）若,x y 满足0,1,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为（ D ）（A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）23填空题部分：（2016东城期末）（13）已知点(,)P x y 的坐标满足条件4,,1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩点O 为坐标原点,那么OP 的最大值等于.（2016朝阳期末）12．已知正数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则21()2x y z +=的最小值为___116_____. （2016丰台期末）10.已知实数,x y 满足1,3,4,y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值是___5__ .（2016朝阳一模）12.已知不等式组0,,290y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为D .若直线()1y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 __ 3[0,]4___ .（2016丰台一模）12.已知1x >，则函数11y x x =+-的最小值为____3____． （2016丰台一模）13. 已知,x y 满足,2,3,y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩目标函数z mx y =+的最大值为5，则m 的值为 73 ． （2016石景山一模）10．若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最大值等于___10____．（2016海淀二模）12.若点(,)P x y 在不等式组20,20,1x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内，则原点O 与点P 距离的取值范围是___[1,2]___.（2016朝阳二模）13. 已知关于,x y 的不等式组0,,2,2x y x x y x y k≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪-≥⎩所表示的平面区域D 为三角形，则实数k 的取值范围是 (,2][0,1)-∞- ．（2016昌平二模）(11) 若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值为______7______.。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{| lg(1)0}A x x =-≤，={|13}B x x -≤≤，则AB =（)A ．[1,3]-B ．[1,2]-C ．(1,3]D ．(1,2]【命题意图】本题主要考查对数函数及集合运算，意在考查分析问题解决问题的能力。

【答案】D【解析】∵01112x x <-≤⇒<≤，∴(1,2]A =,∴(1,2]AB =，故选D ．2。

若i 2i ia b -=+,其中,a b R ∈，i 是虚数单位，则b a +的值（ ） A ．－3 B ．－1 C ．1D ．【命题意图】本题主要考查复数的几何意义及复数的运算，意在考查转化与变形能力。

【答案】A3。

某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法【命题意图】本题考查分层抽样的概念，意在考查对概念的理解和运用能力。

【答案】D【解析】由题意知样本和总体中男、女生的比例都是2:3，所以这种抽样方法为分层抽样，故选D 。

4。

若平面向量a ,b 满足2=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ )A ．125π B ．3π C ．6π D ．4π【命题意图】本题主要考查向量的数量积以及应用，意在考查转化与化归及基本运算能力． 【答案】D【解析】()a b a -⊥，()20a b a aa b ∴-⋅=-⋅=，2a b a∴⋅=,又2a =，2b =，cos ,2a b a b =，2cos ,2a b ∴=又0,,a b π≤≤所以,,4a b π≤故选D 。

5.在等比数列{}na 中,1n n aa +<，286a a =，465a a +=，则46a a 等于( )A ．56B ．65C ．23D ．32【命题意图】本题主要考查等比数列的性质,意在考查分析问题解决问题的能力。

2016年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•临汾一模）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．2．（5分）（2016•宜宾模拟）若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，93．（5分）（2015•西城区二模）“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2016春•湖北月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里5．（5分）（2016•临汾一模）已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）（2016春•荆州校级月考）设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．7．（5分）（2016•临汾一模）执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}8．（5分）（2011•武昌区模拟）圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a ﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）9．（5分）（2016•临汾一模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．10．（5分）（2015秋•海淀区期末）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．211．（5分）（2016春•宜昌期中）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π12．（5分）已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设（i为虚数单位），则=．14．（5分）已知向量，且，则=．15．（5分）（2016•连江县校级模拟）已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为．16．（5分）（2015秋•云南校级月考）函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•临汾一模）某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．18．（12分）（2014•广东校级模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．19．（12分）（2016•临汾一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n ∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）（2016春•湖北月考）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P 与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．21．（12分）（2016•新余校级一模）已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．选修4-1：几何证明与选讲22．（10分）（2016•临汾一模）如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•临汾一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．（2016•临汾一模）已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．2016年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•临汾一模）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={1，3，5}，则下列Venn图中阴影部分表示集合{3，5}的是（）A．B．C．D．【分析】结合已知条件即可求解．观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，∴（∁A）={3，5，6}，∵B={1，3，5}，∴B∩（∁A）={3，5}．故选：B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2．（5分）（2016•宜宾模拟）若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为=5，方差σ2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数和方差分别为（）A．5，2 B．16，2 C．16，18 D．16，9【分析】由平均数和方差的性质得数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的平均数为，方差为32•σ2．【解答】解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，∴=5，∴+1=3×5+1=16，∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3x n+1的方差是32×2=18．故选：C．【点评】本题考查一组数据的平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差性质的合理运用．3．（5分）（2015•西城区二模）“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用双曲线的定义求出m的等价条件是解决本题的关键．4．（5分）（2016春•湖北月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步故选：C【点评】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）（2016•临汾一模）已知双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0，且焦点在x轴上，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得渐近线方程，由题意可得=，运用点到直线的距离公式，解方程可得a=4，b=6，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，设一个焦点为（c，0），可得=6，可得c=2，即a2+b2=52，解得a=4，b=9，则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）（2016春•荆州校级月考）设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B． C．D．【分析】求导y′=cosx，从而可得y=x2g（x）=x2cosx，从而判断．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，由导数的几何意义知，g（x）=cosx，故y=x2g（x）=x2cosx，故函数y=x2g（x）是偶函数，故排除A，D；又∵当x=0时，y=0，故排除C，故选B．【点评】本题考查了导数的运算及导数的几何意义的应用，同时考查了数形结合的思想应用．7．（5分）（2016•临汾一模）执行如图的程序，若输出的值为2，则输入的值构成的集合是（）A．{2}B．{1，2，﹣1，﹣2} C．{1，﹣1} D．{2，﹣2}【分析】由框图知程序功能是计算并输出y=的值，由题意分类讨论即可得解．【解答】解：由框图知程序功能是计算并输出y=的值，当x＞0时，令x2﹣x=2，解得x=2或﹣1（舍去）；当x＜0时，令x2+x=2，解得x=﹣2或1（舍去）；故输入的值构成的集合是：{﹣2，2}．故选：D．【点评】本题考查了程序框图中的条件结构，条件结构的特点是，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，算法不循环执行，属于基础题．8．（5分）（2011•武昌区模拟）圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a ﹣b的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，0）C．（﹣4，+∞）D．（4，+∞）【分析】由题意知，圆心在直线上，解出b，再利用圆的半径大于0，解出a＜2，从而利用不等式的性质求出a﹣b的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，∴圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，故﹣3=1+2b，∴b=﹣2．对于圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0，有4+36﹣20a＞0，∴a＜2，a﹣b=a+2＜4，故选A．【点评】本题考查圆关于直线对称的条件是圆心在直线上，以及圆的半径必须大于0．9．（5分）（2016•临汾一模）如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，，∠ABC=120°，∠DAB=75°，则CD=（）A．B． C． D．【分析】分别过C，D作AB的垂线DE，CF，则通过计算可得四边形DEFC为矩形，于是CD=EF=AB﹣AE+BF．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB交AB延长线于F，则DE∥CF，∠CBF=60°．DE=ADsinA==，CF=BCsin∠CBF=（）×=．∴四边形DEFC是矩形．∴CD=EF=AB﹣AE+BF．∵AE=ADcosA==，BF=BCcos∠CBF=（）×=．∴CD=1﹣+=．故选：A．【点评】本题考查了解三角形，属于基础题．10．（5分）（2015秋•海淀区期末）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）（2016春•宜昌期中）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12πB．48πC．4πD．32π【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．【点评】本题考查三视图，考查四面体的外接球的体积，确定三视图对应直观图的形状是关键．12．（5分）已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣1，1] C．[﹣1，2] D．（﹣∞，2]【分析】为去绝对值号，讨论a：（1）a＜0时，根据指数函数和增函数的定义便可判断函数在[，3]上单调递增，从而需满足g（﹣）≥0，这样可得到﹣1≤a ＜0；（2）a=0时，显然满足条件；（3）a＞0时，得到f（x）=，并可判断x=时取等号，从而需满足，可解出该不等式，最后便可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＜0时，函数在上单调递增；∴；∴﹣1≤a＜0；（2）当a=0时，f（x）=2x+1在上单调递增；（3）当a＞0时，，当且仅当，即x=时等号成立；∴要使f（x）在[]上单调递增，则；即0＜a≤1；综上得，实数a的取值范围为[﹣1，1]．故选B．【点评】考查含绝对值函数的处理方法：取绝对值号，以及指数函数的单调性，增函数的定义，基本不等式的运用，清楚基本不等式等号成立的条件，指数式和对数式的互化，以及对数函数的单调性．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设（i为虚数单位），则=2﹣i．【分析】直接由复数求模公式化简复数z，则答案可求．【解答】解：由=，则=2﹣i．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数求模公式的运用，是基础题．14．（5分）已知向量，且，则=5．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出x的值，再求的值．【解答】解：向量，且，∴•=x﹣2=0，解得x=2，∴﹣2=（﹣3，4）；==5．故答案为：5．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，也考查了向量模长的计算问题，是基础题目．15．（5分）（2016•连江县校级模拟）已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为2．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=5，所以x P=4，|y P|=4，所以，△PFO的面积S==．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．16．（5分）（2015秋•云南校级月考）函数f（x）=sin2x在[﹣π，π]内满足的n的最大值是4．【分析】由题意可得，本题即求函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，数形结合得出结论．【解答】解：满足的x的个数n，即为函数f（x）=sin2x与y=kx的图象的交点个数，但不含原点，如图所示，存在k∈（﹣∞，0），使得n取到最大值4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的特征，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•临汾一模）某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了500处A作物其中生长指数的含义是：2代表“生长良好”，1代表“生长基本良好”，0代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．（Ⅰ）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（Ⅱ）能否有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由．．【分析】（I）根据表格数据计算；（II）采用独立检验方法列联表计算K2，与6.635比较大小得出结论；（III）根据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理．【解答】解：（1）调查的500处种植点中共有120处空气质量差，其中不绝收的共有110处，∴空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例．∴K2=≈9.967．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“．（3）由（2）的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好．【点评】本题考查了独立性检验的体积思想，属于基础题．18．（12分）（2014•广东校级模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…（1分），∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…（2分），又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°…（3分）∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…（4分），∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…（5分），∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…（6分），∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…（7分）．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…（8分）∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D…（9分），可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…（10分）．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…（12分），∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…（14分）【点评】本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．19．（12分）（2016•临汾一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=（λ+1）S n+1（n ∈N*，λ≠﹣2），且3a1，4a2，a3+13成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log4a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）讨论可判断出数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，从而结合8a2=3a1+a3+13可得λ2﹣4λ+4=0，从而解得；（Ⅱ）化简可得b n=，从而可得T n=1+++…+，T n=+++…+，利用错位相减法求其前n项和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1=（λ+1）S n+1，∴当n≥2时，a n=（λ+1）S n﹣1+1，∴a n+1﹣a n=（λ+1）a n，即a n+1=（λ+2）a n，又∵λ≠﹣2，∴数列{a n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，故a2=λ+2，a3=（λ+2）2，∵3a1，4a2，a3+13成等差数列，∴8a2=3a1+a3+13，代入化简可得，λ2﹣4λ+4=0，故λ=2，故a n=4n﹣1；（Ⅱ）∵a n b n=log4a n+1=n，∴b n=，故T n=1+++…+，T n=+++…+，故T n=1+++…+﹣=（1﹣）﹣，故T n=﹣．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了错位相减法的应用．20．（12分）（2016春•湖北月考）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P 与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（I）求C的方程．（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出圆M和圆N的圆心及半径，设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．由圆P与圆M外切并与圆N内切，得到曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），由此能求出C的方程．（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．【解答】解：（Ⅰ）圆M：（x+1）2+y2=1的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N的圆心N（1，0），半径r2=3．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R．∵圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+r1+r2﹣R=r1+r2=4．…（3分）由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），∴C的方程为．…（5分）（Ⅱ）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，…（7分）由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0，即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③…（9分）将①代入③即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．…（12分）【点评】本题考查曲线方的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义、根的判别式、韦达定理的合理运用．21．（12分）（2016•新余校级一模）已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），即：x+ey﹣3=0；（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），所以，x∈（0，+∞），因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），（8分）因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，（10分）设φ（x）=e x﹣（x+1），∵φ'（x）=e x﹣1，所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0，即，所以．因此，对任意x＞0，恒成立．（12分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．选修4-1：几何证明与选讲22．（10分）（2016•临汾一模）如图，在⊙O中，弦AF交直径CD于点M，弦的延长线交CD的延长线于点E，M、N分别是AF、AB的中点．（Ⅰ）求证：OE•ME=NE•AE；（Ⅱ）若，求∠E的大小．【分析】（1）通过证明△AME∽△ONE，即可推出结果．（2）利用（1）的结论，设OE=x，求解x，然后在直角三角形中求解即可．【解答】（1）证明：∵M、N分别是AF、AB的中点．∴∠AME=∠ONE=90°，又∵∠E=∠E，∴△AME∽△ONE，∴，∴OE•ME=NE•AE．（2）设OE=x，（x＞0），∵BE==，∴NE=2，AE=3，又∵OM=，∴x=2，即：（x﹣4）（2x+9）=0，∵x＞0，∴x=4，即OE=4，则在Rt△ONE中，cos∠E===∴∠E=30°．【点评】本题考查三角形相似的判断与应用，直角三角形的解法，考查计算能力．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•临汾一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C的参数方程及直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l相交于点A、B，若点P为曲线C上一动点（异于点A、B），求△PAB面积的最大值．【分析】（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα即可得出曲线C的参数方程，直线l过原点，且斜率为tanθ，利用点斜式方程写出直线l的方程；（2）解方程组求出A，B坐标，得到AB，则P到AB的最大距离为C到AB的距离与圆C 的半径的和．【解答】解：（1）令x﹣2=cosα，y﹣3=sinα，则x=2+cosα，y=3+sinα，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．直线l的斜率k=tanθ=1，∴直线l的直角坐标方程为y=x．（2）解方程组得或．设A（2，2），B（3，3）．则|AB|==．∵圆C的圆心为C（2，3），半径r=1，∴C到直线AB的距离为=．∴P到直线AB 的最大距离d=+1．∴△PAB面积的最大值为=．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，距离公式的应用，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2016•临汾一模）已知f（x）=|x﹣3|，g（x）=|x﹣k|（其中k≥2）．（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，求实数k的值．【分析】（Ⅰ）将k=4代入g（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，根据x的范围求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）k=4时，f（x）+g（x）＜9，即|x﹣3|+|x﹣4|＜9，即或或，解得：﹣1＜x＜3或3≤x≤4或4＜x＜8，故原不等式的解集是{x|﹣1＜x＜8}；（Ⅱ）∵k∵≥2且x∈[1，2]，∴x﹣3＜0，x﹣k＜0，∴f（x）=|x﹣3|=3﹣x，g（x）=|x﹣k|=k﹣x，则∀x∈[1，2]，不等式f（x）﹣g（x）≥k﹣x恒成立，等价于∀x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又∵k≥2，∴k=2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

2016年全国卷高考文科数学模拟试题(1)本试卷共4页，23小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． (){},|0,,A x y x y x y R =+=∈，则集合AB =( )A ．(1,1)-B ．{}{}11x y ==- C ．{}1,1- D ．(){}1,1-2．下列函数中，在其定义域内是减函数的是( ) A .1)(2++-=x x x f B ． xx f 1)(=C ． 13()log f x x = D . ()ln f x x =3．已知函数(1),0()(1),0x x x f x x x x +<⎧=⎨-≥⎩，则函数()f x 的零点个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 4.等差数列{}n a 中，若58215a a a -=+，则5a 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．已知0a >,4()4,f x x a x =-+则()f x 为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇偶性与a 有关6．已知向量(12)a =，，(4)b x =，，若向量a b //，则x =( ) A ．2 B ． 2- C ． 8D ．8-7.设数列{}n a 是等差数列,且5,8152=-=a a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A.109S S <B.109S S =C.1011S S <D.1011S S =8．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中：①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα//，α⊥l ,则l β⊥③．若α//l ，α⊂m ,则m l // ④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m . 其中，真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知离心率为e 的曲线22217-=x y a ，其右焦点N 与抛物线216=y x 的焦点重合，则e 的值为（ ）A ．34B C ．43D10．给出计算201614121++++ 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）． A ．10>i B ．10<i C ．20>i D ．20<i 11．lg ,lg ,lg x y z 成等差数列是2y xz =成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗k ，则k =（ ）A ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

专题3 不等式【2016年高考考纲解读】 2016高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，线性规划是A 级要求． (2)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.【重点、难点剖析】 1．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解．2．基本不等式(1)基本不等式a 2＋b 2≥2ab 取等号的条件是当且仅当a ＝b . (2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．②a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a ＞0，b ＞0)． ③a ＋1a≥2(a ＞0，当a ＝1时等号成立)．④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)． (3)最值问题：设x ，y 都为正数，则有①若x ＋y ＝s (和为定值)，则x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；②若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B ；(2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立，则等价于在区间D 上f (x )max >A ；若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立，则等价于在区间D 上f (x )min <B ；(3)恰成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )<B 的解集为D .4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－ab x ＋z b ，可知z b是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.【题型示例】题型1 不等式与不等式的性质例1.(2015·浙江，6)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A.ax ＋by ＋czB.az ＋by ＋cxC.ay ＋bz ＋cxD.ay ＋bx ＋cz 【答案】 B 【解析】【变式探究】(2014·浙江，7)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A.c ≤3B.3＜c ≤6C.6＜c ≤9D.c ＞9【答案】 C 【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c －1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝11，又0＜f (－1)＝c －6≤3，所以6＜c ≤9.【举一反三】(2014·四川，5)若a ＞b ＞0， c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d【答案】 B【解析】 ∵c ＜d ＜0， ∴0＞1c ＞1d，∴－1d ＞－1c＞0，又a ＞b ＞0， ∴－a d ＞－b c，故选B. 题型2 不等式的解法例2.(2015·山东，8)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A.(－∞，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，＋∞) 【答案】 C 【解析】【变式探究】(2015·广东，11)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示). 【答案】 (－4，1)【解析】 不等式－x 2－3x ＋4>0，即x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1. 【举一反三】(2015·江苏，7)不等式2x 2－x ＜4的解集为________. 【答案】 {x |－1＜x ＜2}【解析】 ∵2x 2－x ＜4＝22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2. 题型3 不等式表示的平面区域例3.(2015·重庆，10)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A.－3B.1C.43 D.3 【答案】 B 【解析】【变式探究】(2014·福建，11)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A.5B.29C.37D.49 【答案】 C 【解析】【举一反三】设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6B.⎣⎡⎦⎤－32，－1C.[－1，6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32【答案】 A题型4 简单的线性规划问题例4.(2015·安徽，5)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A.－1B.－2C.－5D.1 【答案】 A 【解析】【变式探究】(2015·广东，11)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A.2B.5C.8D.10【解析】 如图，过点(4，－1)时，z 有最大值z max ＝2×4－3＝5.【举一反三】(2015·天津，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x＋y 的最大值为( )A.7B.8C.9D.14 【答案】 C 【解析】作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移直线l 可知，经过点A 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，x ＋2y －8＝0，得A (2，3)，故z max ＝3×2＋3＝9.选C.【变式探究】(2015·陕西，11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【答案】 D 【解析】【变式探究】(2015·福建，10)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A.－2B.－1C.1D.2 【答案】 C【解析】 由图形知A ⎝⎛⎭⎫－23，23，B ⎝⎛⎭⎫22m －1，2m 2m －1，O (0，0).只有在B 点处取最大值2， ∴2＝42m －1－2m 2m －1.∴m ＝1.题型5 基本不等式例5.(2015·湖南，7)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4 【答案】 C 【解析】【变式探究】(2015·福建，5)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5 【答案】 C【解析】 由题意1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时，取等号.故选C.【举一反三】(2015·陕西，10)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r ＜pB.q ＝r ＞pC.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q 【答案】 C 【解析】。

陕西省2016届高考全真模拟（一)考试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}{}20,1A x x B x x =-≤<=<-，则A B =（ ）A ．(](),21,-∞--+∞B ．[)2,1--C ．(),1-∞-D ．()2,-+∞ 2．等差数列{}na 中，482aa +=-，则()626102a a a a ++的值为（）A ．4B ．8C ．4-D ．8- 3．定义：ab ad bc c d=-．若复数z 满足11z i ii=---,则z 等于（）A ．1i +B ．1i -C ．i -D ．3i -4．在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b ，则“a b不是整数”的概率为（ ） A ．13B ．23C ．14D ．345．设命题()():,1,2,1p a m m b m =+=+，且a b ；命题:q 关于x 的函数()1log a y m x =-(0a >且)1a ≠是对数函数,则命题p 成立是命题q 成立的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．执行如图所示程序图，若7N =时，则输出的结果S 的值为（ ） A ．87B ．65C ．78D ．567．已知抛物线()220ypx p =>的焦点为F ，准线为l ,过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，设线段AB 的中点M 在l 上的射影为N ，则MN AB的值是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．29．ABC ∆中,3AB =1AC =，D 是BC 边中垂线上任意一点，则AD CB ⋅的值是（ ）A ．1B 2C 3D ．1-10．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222102x y a a -=>的左、右焦点,P 为双曲线上的一点，若1260F PF∠=︒，则12F PF ∆的面积是（ ）A 43B ．43C ．23D 23112()A ．8πB ．12πC 3D ．3π12．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米）与时间x （秒）满足函数关系()sin 1y A x ωϕ=++,则（ ）A ．,46A πω==B ．2,315A πω==C ．,56A πω== D ．2,415A πω==第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考试根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13．若函数()1x x e f x e a+=-为奇函数，则实数a =______．14．董师傅用铁皮侧作一封闭的工件，其三视图如图所示(单位：cm ，图中水平线与竖直线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）______()2cm ．15．若实数,x y 满足30,10,350,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则yx 的最大值为______．16．已知数列{}na 的前n 项和为nS ，若()*233nn S a n N +=∈，则数列{}n a 的通项公式na =______．三、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足2cos 2a B c b =-． （1)求角A ;（2）若a 是,b c 的等比中项，判断ABC ∆的形状，并说明理由． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是正三角形,底面ABCD 是边长为23的菱形，120DAB ∠=︒，且侧面PDC 与底面垂直，M 为PB 的中点． （1）求证：PA CD ⊥；（2）求三棱锥A CDM -的体积．19．（本小题满分12分)2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值, 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的 2.5PM 检测数据中随机抽取6天的数据作为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天． （1）恰有1天空气质量超标的概率； (2)至多有1天空气质量超标的概率．20．（本小题满分12分)过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点,1F 为其左焦点，已知1AF B ∆的周长为43椭圆的离心率为6（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 的下顶点，椭圆C 与直线3y m =+相交于不同的两点M 、N ．当PMPN=时，求实数m 的值．21．（本小题满分12分） 已知函数()()4ln 1f x x a x =+-． （1）若()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于4a -时,求实数a 的取值范围． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥，且23,6AD AE ==．（1）求证:直线AC 是BDE ∆的外接圆的切线； （2)求EC 的长．23．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数），以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4cos ρθ=-．（1)求曲线1C 和2C 交点的直角坐标；(2）A 、B 两点分别在曲线1C 与2C 上，当AB 最大时，求OAB ∆的面积．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()(),f x x g x x a m ==--+．(1）解关于x 的不等式()20g f x m ⎡⎤+->⎣⎦；（2)若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围．陕西省2016届高考全真模拟（一）考试数学（文)试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BACBBCADABDA二、填空题13．1 14．()10035+ 15．2 16．3n三、解答题17．解：（1）∵2cos 2a B c b =-，由正弦定理，得2sin cos 2sin sin A B C B =-…………2分而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+………………3分（2）ABC ∆是等边三角形 ………………7分理由如下：由（1）可知3A π=，在ABC ∆中,由余弦定理，得222a b c bc =+-． ………………9分由a 是,b c 的等比中项，得2abc =，所以22bc b c bc =+-即()20b c -=，从而b c = (11)分故ABC ∆是等边三角形． ………………12分 18．（1）证明：取DC 的中点O ，连接,OP OA ，由PDC ∆是正三角形，有PO DC ⊥．………………2分在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=︒，23AD =3OD =，有AO CD ⊥．………………4分又PO CD ⊥，OAOP O =,则CD ⊥平面APO ，PA ⊂平面APC ，即CD PA ⊥．………………6分(2）解:∵PO CD ⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ,PO ⊥底面ABCD ,3PO =． ∵M 是PB 的中点，∴M 到底面ABCD 的距离1322h PO ==21133332333422A CDM M ACDACD V V S h --∆==⋅⋅=⨯⨯=． ………………12分19．解：由茎叶图知：6天有3天空气质量未超标，有3天空气质量超标．记未超标的3天为,,a b c ，超标的3天为,,d e f ．从6天中抽取2天的所有情况为：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef ,基本事件数为15个．………………3分（1)记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A ,可能结果为:,,,,,,,,ad ae af bd be bf cd ce cf，基本事件数为9．所以()93155P A == ………………6分(2）记“至多有一天空气质量超标”为事件B ，“2天空气质量都超标”为事件C ，其可能结果为,,de df ef ，故()31155P C ==………………9分 所以()()141155P B P C =-=-=………………12分20．解：(1）由椭圆定义知，4a a =………………2分由c e a===1c b == ………………4分椭圆C 的方程为2213x y += ………………5分（2）由方程组()22223231013y x m x m x y ⎧=+⎪⎪⇒++-=⎨⎪+=⎪⎩， (7)分设()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()0,E x y ，则12x x+=．∴1200,22x x mxy +===∴,2m E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由PM PN=得PE MN ⊥，又()0,1P -∴1PE k =-， ∴1m =．………………10分 满足()22122410m m ∆=-->．综上1m =．………………12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞,对()f x 求导得()4f x a x'=- ………………2分①当0a ≤时，()0f x '>,()f x 在()0,+∞单调递增； ②当0a >时，()44a x a f x a x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-=，若40x a<<，()0f x '>，()f x 单调递增． 若4x a≥，()0f x '<,()f x 单调递减． ………………4分 综上，0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递增；0a >时,()f x 在40,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在4,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减 ………………6分（2）由（1）0a >且4x a =时，()f x 取得最大值故()max 44444ln 14ln 4f x f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………9分又由()max 4f x a >-得，44ln 0a >,解得04a <<,故所求a 的取值范围为()0,4．………………12分22．(1）证明:∵DE BE ⊥于E ，∴BD 为DBE ∆外接圆的直径，设圆心为O ，连接OE ，所以OB OE =．∴OBE OEB ∠=∠．又∵BE 平分ABC ∠∴OBE CBE ∠=∠,∴BEO CBE ∠=∠,∴BC OE又∵90C ∠=︒,∴OE AC ⊥∴AC 是BDE ∆的外接圆的切线．………………5分（2）解：由AC 是圆O 的切线知，2AEAD AB =⋅可得：63AB =∴43DB =43AO =23OB =∵BC OE ，∴AE AO EC OB=,∴3EC = ………………10分23．解:（1)由2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩得2cos 22sin x y θθ=⎧⎨-=⎩两式平方作和得：()2224x y +-=，即2240x y y +-=．① 由24cos cos ρθρρθ=-⇒=,即224x y x +=-②②—①：0x y +=，代入曲线1C 的方程得交点为()0,0和()2,2- ………………5分（2)由平面几何知识可知，当A 、1C 、2C 、B 依次排列且共线时AB 最大，此时224AB =,O 到直线AB 2所以，OAB ∆的面积为：()122422222S =⨯=+ ………………10分24．解：（1）由()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦得2x a -<，∴22x a -<-<，∴22a x a -<<+ 故：当2a ≥时，不等式的解集为{}2222x a x a a x a --<<-+-<<+或当22a -<<时，不等式的解集为{}22x a x a --<<+当2a ≤-时，不等式的解集为空集． ………………5分（2)∵函数()g x图象的上方f x的图象恒在函数()∴()()<-+恒成>恒成立,即m x a xf xg x立………………8分∵()-+≥--=．x a x x a x a∴m的取值范围为()-∞．…,a……………10分。

1.(2015·重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3，1] B ．(－3，1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 2．(2015·天津)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.8124．(2014·四川)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c5．(2014·北京)设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 37．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >98．(2014·大纲全国)不等式组⎩⎨⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}9．(2015·江苏)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．10．(2014·湖南)若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________．11．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．12．(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．13．(2014·浙江)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．1．(2105·烟台一模)设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0}，N ＝{x |log 2x <0}，则M ∩N 等于( )A ．(－1，0)B ．(－1，1)C ．(0，1)D ．(1，3)2．(2015·北京昌平区期末)已知a >b >0，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2 B.1a >1b C ．|a |<|b | D ．2a >2b3．(2015·江西师大模拟)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q4．(2015·山东枣庄一模)关于x 的不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( )A ．a <0或a >4B ．0<a <2C ．0<a <4D ．0<a <85．(2015·威海一模)若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a >0.3bC ．a 12>b 12 D.3a >3b6．(2015·湖北利川模拟)设p: |2x ＋1|>a .q ：x －12x －1>0.使得p 是q的必要但不充分条件的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[－2，3]D ．[3，＋∞)7．(2015·四川模拟)设k ∈R ，若关于x 方程x 2－kx ＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52C ．(1，3)D ．(－∞，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 8．(2015·威海一模)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}9．(2015·江西师大模拟)若不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，则实数m ＝________．10．(2015·浙江余姚模拟)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)当c ∈R 时，解关于x 的不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0(用c 表示)．1.(2015·福建)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x－y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32 D ．22．(2015·山东)已知x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－33．(2015·四川)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252B.492 C ．12 D ．164．(2015·重庆)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43 D ．35．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元6．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．27．(2014·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．29．(2014·安徽)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－110．(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－1211．(2014·广东)若变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1且z ＝2x＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．812．(2015·新课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________．13．(2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．1．(2015·河南郑州模拟)如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(2015·江南十校模拟)已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．2 2 D. 6553．(2015·江西重点中学模拟)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0（x －2y ）（x －2y ＋6）≤0，若t ≤y ＋2x 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．t ≤13B ．t ≤－5C ．t ≤－13D ．t ≤54．(2015·德州一模)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1，1]D ．[－1，1)5．(2015·江西赣县模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，则ab 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2015·辽宁师大附中模拟)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0，5] C ．[0，5) D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，57．(2015·北京西城模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，表示的平面区域为D . 则区域D 上的点到坐标原点的距离的最小值是( )A ．1 B.22 C.12 D ．58．(2015·黑龙江绥化模拟)已知关于x 的方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋2b ＋1＝0的两个实根分别为x 1，x 2，且0<x 1<1，x 2>1，则ba 的取值范围是________．9．(2015·湖北八校模拟)已知直线l ：x ＝my ＋n (n >0)过点A (53，5)，若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆直径为20，则n ＝________． 10．(2015·山东菏泽一模)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0.表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．11．(2015·河北衡水模拟)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋3y |的最小值________．12．(2015·江西重点中学模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≤4，4x ＋3y ≥12所表示的平面区域为D .若圆C 落在区域D 中，则圆C 的半径r 的最大值为________．13．(2015·威海一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，e x －y ≥0，0≤x ≤2，则M (x ，y )所在平面区域的面积为________．14．(2015·潍坊一模)若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1，则 z ＝x ＋3y 的最大值为________．1.(2015·福建)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．52．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 33．(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．4．(2015·重庆)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．5．(2014·辽宁)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．6．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．7．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．8．(2014·浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)9．(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．1．(2015·湖北利川模拟)设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．a＋b>2ab B．(a－b)＋1a－b≥2 C．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca D．|a－b|≤|a－c|＋|c－b|2．(2015·辽宁师大附中模拟)函数y＝log a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m＋2n的最小值为()A．2 B．4 C．8 D．163．(2015·广东广州模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为()A．3 000 B．3 300 C．3 500 D．4 0004．(2015·湖北省荆门模拟)设x∈R, 对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界. 若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－12a－2b的上确界为()A ．－5B ．－4 C.92 D. －925．(2015·河北衡水模拟)给出下列四个命题：①若a <b ，则a 2<b 2；②若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b；③若正整数m 、n 满足m <n ，则m （n －m ）≤n 2； ④若x >0，则ln x ＋1ln x ≥2.其中正确命题的序号是________．6．(2015·潍坊一模)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________．7．(2015·山东德州模拟)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2y xy的最小值为________．8．(2015·潍坊一模)已知a >b >0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．9．(2015·鹤岗模拟)若a ，b ，c >0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________．10．(2015·日照模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围________．11．(2015·江苏省盐城模拟)已知x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，1x ＋4y 的最小值为16，则n 的值为________．12．(2015·山东省日照模拟)已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4，或x <1}．(1)求实数a ，b 的值；(2)若0<x <1, f (x )＝a x ＋b 1－x，求f (x )的最小值．第六章 不等式考点19 不等式的性质及不等式的解法【两年高考真题演练】1．D [需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]2．A [由|x －2|＜1得，1＜x ＜3，由x 2＋x －2＞0，得x ＜－2或x ＞1，而1＜x ＜3⇒x ＜－2或x ＞1，而x ＜－2或x ＞1⇒/ 1＜x ＜3，所以，“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选A.]3．B [令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，－n －8m －2≥2，∴2m ＋n ≤12， ∵2mn ≤2m ＋n 2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6，当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18， ∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤812，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B.]4．D [∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴0<1－c <1－d .即1－d >1－c >0.又∵a >b >0，∴a －d >b －c，∴a d <b c .] 5．D [当a ＝0，b ＝－1时，a ＞b 成立，但a 2＝0，b 2＝1，a 2＞b 2不成立，所以“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不充分条件．反之，当a ＝－1，b ＝0时，a 2＝1，b 2＝0，即a 2＞b 2成立，但a ＞b 不成立，所以“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不必要条件．综上，“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，应选D.]6．D [由a x <a y (0<a <1)，可得x >y ，又因为函数f (x )＝x 3在R 上递增，所以f (x )>f (y )，即x 3>y 3.]7．C8．C [⎩⎨⎧x （x ＋2）>0，①|x |<1，②由①得，x <－2或x >0，由②得，－1<x <1，因此原不等式组的解集为{x |0<x <1}，故选C.]9．{x |－1＜x ＜2} [∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.]10．－3 [由|ax －2|<3，得－1<ax <5.若a ≥0，显然不符合题意，当a <0时，解得5a <x <－1a ，故－1a ＝13，5a ＝－53，解得a ＝－3.]11.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [根据题意，得⎩⎨⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0.]12．(－∞，2] [由题意得⎩⎨⎧f （a ）<0f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎨⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，即⎩⎨⎧a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎨⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.] 13.63 [由a ＋b ＋c ＝0可得c ＝－(a ＋b )．又a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a 2＋b 2＋[－(a ＋b )]2＝1，整理得2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0.又由a 2＋b 2＋c 2＝1易知0≤b 2≤1，－1≤b ≤1，因此关于b 的方程2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0在[－1，1]上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－8（2a 2－1）≥0，－1≤a 2≤1，2－2a ＋2a 2－1≥0，2＋2a ＋2a 2－1≥0，解得a ≤63，即a 的最大值是63.]【一年模拟试题精练】1．C [因为，M ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |log 2x <0}＝{x |0<x <1}，所以M ∩N ＝{x |0<x <1}，选C.]2．D [利用不等式的性质，选D.]3．B [因为p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b ＝（b －a ）2（b ＋a ）ab≤0，所以p ≤q ，则选B.]4．B [因为不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分条件是Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4，所以不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a <2，故选B.]5．D6．A [设|2x ＋1|>a 的解集为A ，x －12x －1>0的解集为B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1，或x <12，因为p 是q 的必要但不充分条件，所以B ⊆A ，然后利用排除法选A ；]7．B [令f (x )＝x 2－kx ＋1，因为方程x 2－kx ＋1＝0的二根分别在区间(0，1)和(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52.] 8．C [由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C]．9．－52 [因为不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，所以a－3＋5＝0，得a ＝－2，由－2x 2－3x ＋5＝0解得x ＝1或x ＝－52，所以m ＝－52.]10．解 (1)已知得1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1，a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)由(1)得原不等式可化为x 2－(2＋c )x ＋2c <0即(x －2)(x －c )<0所以当c >2时，所求不等式的解集为{x |2<x <c }当c <2时，所求不等式的解集为{x |c <x <2}当c ＝2时，所求不等式的解集为∅.考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划【两年高考真题演练】1．A[如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x－z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52，故选A.]2．B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2，0)， 由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.]3．A [xy ＝12×2xy ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋y 22≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝252，当且仅当x ＝52，y ＝5时，等号成立，把x ＝52，y ＝5代入约束条件，满足．故xy 的最大值为252.]4．B[不等式组表示的区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43， ∴m ＋1＝2或－2(舍)，∴m ＝1.]5．D [设甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．]6．B [线性目标函数z ＝2x －y 满足的可行域如图所示．将直线l 0：y ＝2x 平行移动，当直线l 0经过点M (5，2)时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最小，也就是z 取最大值，此时z max ＝2×5－2＝8.]7．B [画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，作直线l ：y ＝－12x ，平移l ，由图形可知当l 经过可行域中的点A (1，1)时，z 取最小值，且z min ＝1＋2×1＝3，故选B.]8．B [约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取最小值时，最优解为(2，1)．所以2a ＋b ＝25，则b ＝25－2a ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85＋20＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫a －4552＋4， 即当a ＝455，b ＝255时，a 2＋b 2有最小值4.]9．D 10.D11．B [画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域)．作直线l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，由图形可知，当l 0经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取最大值，即m ＝2×2＋(－1)＝3；当l 0经过可行域内的点B (－1，－1)时，z 取最小值，即n ＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m －n ＝3－(－3)＝6.故选B.]12．3 [约束条件的可行域如下图，由y x ＝y －0x －0，则最大值为3.]13.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .要使1≤z ≤4恒成立，则a >0.作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1，0)，B (2，1)处取得．故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，解得1≤a ≤32.] 【一年模拟试题精练】1．B [不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值，故不成立，∴k ＝2，故答案为B. ]2．D [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.] 3．B [不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，（x －2y ）（x －2y ＋6）≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≥0，x －2y ＋6≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x －2y ＋6≥0画出不等式组表示的平面区域，得到z ＝y ＋2x 的最小值为－5，故t ≤－5.]4．C [作出满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a的可行域，如图△ABC 内部(含边界)，由此可见，必有a ≤1，作出直线x ＋2y ＝－5，由题设△ABC 必定在直线x ＋2y ＝－5的上面，当点A 在直线x ＋2y ＝－5时，a ＝－1，所以－1≤a ≤1，选C.]5．D [由题意作出其平面区域，则由目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，a ＋4b ＝8，则由a ·4b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋4b 22得，ab ≤4，(当且仅当a ＝4，b ＝1时，等号成立)．故选D.]6．C [由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x <2，x ＋y －1≥0.作出可行域如图，联立⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)，联立⎩⎨⎧x ＋y －1＝0x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当y ＝x －u 2－12经过点A (2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最小，u最大，最大值为u ＝2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为u ＝2×13－2×23－1＝－53，∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0，5)，故选C.]7．B [作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当OQ 垂直直线x ＋y －1＝0时，此时区域D 上的点到坐标原点的距离最小，最小值为原点到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|－1|2＝22，故选B.]8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－14 9．10 310.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，必须使点A 位于直线x －2y －2＝0的右下侧，所以，m －2(－m )－2>0，∴m >23，所以，答案填：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.]11．6 [作出现行约束条件的可行域，如右图所示：|x ＋3y |＝10×|x ＋3y |10，其中|x ＋3y |10表示可行域内的点到直线x ＋3y ＝0的距离，易知B (3，1)到直线x ＋3y ＝0的距离最小为|3＋3×1|10＝610，所以|x ＋3y |的最小值为6.]12．1 [画出平面区域D ，可得到一个直角三角形，要使圆C 的半径r 最大，只要圆C 和直角三角形相内切，由平面几何知识可求得r 的最大值为1.]13．e 2－2 [画出⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，e x－y ≥0，0≤x ≤2对应的平面区域，如图所示．M (x ，y )所在平面区域的面积为⎠⎛02e xd x －S △AOB ＝e x⎪⎪⎪20－12×2×1＝e 2－e 0－1＝e 2－2.]14．11 [不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示：由z ＝x ＋3y 得：y ＝－13x ＋z 3，它表示斜率为－13，在y 轴上的截距为z3的一组平行直线，并且在y 轴上的截距越大则z 越大；由图可知，当直线经过点A 时，截距最大；解方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1y ＝x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝2y ＝3所以当⎩⎨⎧x ＝2y ＝3时，z 取得最大值：11故答案应填：11.]考点21 基本不等式【两年高考真题演练】1．C [由题意1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时，取等号．故选C.]2．D [由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4ba ，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号．故选D.]3.2 [由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号．] 4．32 [∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2.]5．－26.6－24 [由sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理可得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24， 当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．所以cos C 的最小值为6－24.]7．160 [设池底长x m ，宽y m ，则xy ＝4，所以y ＝4x ，则总造价为：f (x )＝20xy ＋2(x ＋y )×1×10＝80＋80x ＋20x ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80，x ∈(0，＋∞)．所以f (x )≥20×2x ·4x ＋80＝160，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元．]8.539 [由于AB ⊥BC ，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，所以BC ＝252－152＝20 m.过点P 作PN ⊥BC 交BC 于N ，连接AN (如图)，则∠P AN ＝θ，tan θ＝PN AN .设NC ＝x (x >0)，则BN ＝20－x ，于是AN ＝AB 2＋BN 2＝152＋（20－x ）2＝x 2－40x ＋625，PN ＝NC ·tan 30°＝33x ， 所以tan θ＝33xx 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x 2＝33625x 2－40x ＋1，令1x ＝t ，则625x 2－40x ＋1＝625t 2－40t ＋1，当t ＝4125时，625t 2－40t ＋1取最小值925，因此625x 2－40x ＋1的最小值为925＝35，这时tan θ的最大值为33×53＝539⎝ ⎛⎭⎪⎫此时x ＝1254.] 9．(1)1 900 (2)100 [(1)l ＝6.05，则F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋18＋121，由基本不等式v ＋121v ≥2121＝22，得F ≤7600022＋18＝1 900(辆/时)，故答案为1 900.(2)l ＝5，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋18＋100v ，由基本不等式v ＋100v ≥2100＝20，得F ≤76 00020＋18＝2 000(辆/时)，增加2 000－1 900＝100(辆/时)，故答案为100.]【一年模拟试题精练】1．B [(a －b )＋1a －b ≥2中必须满足a －b >0，故选B.]2．C [∵x ＝－2时，y ＝log a 1－1＝－1，∴函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)即A (－2，－1)，∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，∵mn >0，∴m >0，n >0，1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4mn ＋2≥4＋2·n m ·4mn ＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．]3．B [由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )，则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫58＋x ＋70－x 22， 当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)，故选B.]4．D [因为12a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (a ＋b )＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2＝92，所以－12a －2b ≤－92，则选D.]5．②③ [①中，若a <b <0时不成立；②若a ≥b >－1，则a ＋1≥b ＋1>0，则a (1＋b )－b (1＋a )＝a －b ≥0，即a (1＋b )≥b (1＋a )，∴a 1＋a ≥b 1＋b，故②正确；③中正整数m ，n 满足m <n ，有均值不等式得m （n －m ）≤n2，故③正确；④中，0<x <1时，ln x <0，结论不成立．综上，正确命题的序号是②③.]6.12 [∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴tan α∈(0，＋∞)， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin α·cos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4 ＝2tan α＋4tan α≤22tan α×4tan α＝12当且仅当tan α＝4tan α，即tan α＝2时，等号成立所以，答案应填12.]7．3 [因为正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，所以13(2x ＋y )＝1，∴x ＋2y xy ＝13(2x ＋y )x ＋2y xy ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x y ＋2y x ＋5≥3.]8．22 [∵a >b >0，∴a －b >0 ∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2aba －b ＝(a －b )＋2a －b≥2（a －b ）·2a －b≥2 2.当且仅当(a －b )＝2a －b 即：a ＝b ＋2时等号成立．所以答案应填2 2.]9．4 [由已知得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4， 则2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2（a ＋b ）（a ＋c ）＝4，∴2a ＋b ＋c 的最小值为4.]10．(－4，2) [∵2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy ≥8∵x ＋2y ≥m 2＋2m 恒成立，∴m 2＋2m <8，求得－4<m <2，故答案为：－4<m <2.]11．4 [∵x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，∴1x ＋4y ＝(nx ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝n ＋4＋2y x ·4ny ＝n ＋4＋4n ，当且仅当y ＝2nx 时取等号．∴n ＋4＋4n ＝16，解得n ＝4.故答案为：4.]12．解 (1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋1＝5a ，4×1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，(2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x，∵0<x <1，∴0<1－x <1, 1x >0，41－x>0，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝1－x x ＋4x 1－x＋5≥9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时，等号成立． ∴f (x )的最小值为9.。

限时·规范·特训[A 级 基础达标]1. [2015·辽阳统考]不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A. (－∞，－1)∪(－1,2]B. [－1,2]C. (－∞，－1)∪[2，＋∞)D. (－1,2]解析：x －2x ＋1≤0⇔(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1,2]，故选D.答案：D2. [2015·宁波联考]设a ∈R ，则a >1是1a <1的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：若a >1，则1a <1成立；反之，若1a <1，则a >1或a <0.即a >1⇒1a <1，而1a <1⇒/ a >1，故选A.答案：A3. [2015·皖南八校联考]不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [－1,4]B. (－∞，－2]∪[5，＋∞)C. (－∞，－1]∪[4，＋∞)D. [－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：A4. 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A. (－∞，2]B. (－2,2]C. (－2,2)D. (－∞，2)解析：a ＝2时，－4<0恒成立；a ≠2时，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，得－2<a <2.∴－2<a ≤2.故选B.答案：B5. [2013·重庆高考]关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A. 52 B. 72 C. 154D. 152解析：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52.答案：A6. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A. (－∞，－1)∪(1，＋∞)B. (－∞，－1)∪[1，＋∞)C. (－∞，－3)∪(1，＋∞)D. (－∞，－3)∪[1，＋∞)解析：∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)． 答案：B7. [2015·大连模拟]若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集为________．解析：由题意可得a ＝b <0，故(ax ＋b )(x －2)>0等价于(x ＋1)(x －2)<0，解得－1<x <2，故所求不等式的解集为(－1,2)．答案：(－1,2)8. 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，则该厂日产量为________时，日获利不少于1300元．解析：由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1300，化简得x 2－65x ＋900≤0，解之得20≤x ≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．故填20件至45件．答案：20件至45件9. 若不等式x 2－(2＋m )x ＋m －1>0对任意m ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围是________．解析：把不等式化为(1－x )m ＋x 2－2x －1>0.设f (m )＝(1－x )m ＋x 2－2x －1，则问题转化为关于m 的一次函数．f (m )在区间[－1,1]上大于0恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－3x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >2，x <0或x >3，解得x <－1或x >3，故x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)10. 二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试解不等式f (x )>－1.解：由于f (2)＝f (－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，又知最大值为8.可设f (x )＝a (x －12)2＋8， 将f (2)＝－1代入得，a ＝－4. ∴f (x )＝－4(x －12)2＋8.由f (x )>－1，－4x 2＋4x ＋7>－1， 即x 2－x －2<0，∴解集为{x |－1<x <2}．11. 已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)原不等式化为：x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式的解集为∅.12. 已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x |x ∈R ，x ≠1k }，求k 的值； (3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解：(1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)由不等式的解集为{x |x ∈R ，x ≠1k }可知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.(3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. (4)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66. [B 级 知能提升]1. [2015·淮南模拟]在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )A. －1<a <1B. 0<a <2C. －12<a <32D. －32<a <12解析：根据题意有(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∵不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立， 则(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立， 即使x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 成立， 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， 解得－12<a <32，故选C. 答案：C2. 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－2或x >－12}，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________．解析：由题意知，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，且a <0，故⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝0，14a －12b ＋c ＝0，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，故解集为{x |12<x <2}．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. [2014·江苏高考]已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，04. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，则0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <67.解法三：f (x )<－m ＋5可化为mx 2－mx ＋m －6<0，令g (m )＝(x 2－x ＋1)m －6，对于x ∈[1,3]，g (m )<0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (3)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －6<0，7m －6<0，解得m <67. 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.。