7月5日21点新高一数学-孟亚飞-二次函数图像与性质

二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。

二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。

3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。

4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。

5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。

三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。

2.求对称轴：对称轴为x=h。

3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。

4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。

5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。

四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。

2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。

3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。

五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。

第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。

二次函数的图像与性质在我们学习数学的过程中，二次函数是一个非常重要的概念。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中，比如物理、经济等方面也经常能看到它的身影。

今天，咱们就来好好聊聊二次函数的图像与性质。

二次函数的一般形式是 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。

当 a ＞ 0 时，函数图像开口向上；当 a ＜ 0 时，函数图像开口向下。

这就好像一个碗，如果开口向上，就能往里装东西；开口向下，东西就容易掉出来。

先来说说二次函数图像的对称轴。

对称轴的方程是 x ＝ b ／ 2a 。

这条对称轴把二次函数的图像分成了两个对称的部分，就像镜子里的反射一样。

比如说，对于函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，那么对称轴就是 x ＝（－2) ／（2×1) ＝ 1 。

接下来看看顶点。

顶点就是二次函数图像的最高点或者最低点。

当a ＞ 0 时，顶点是图像的最低点；当 a ＜ 0 时，顶点是图像的最高点。

顶点的坐标可以通过把对称轴的 x 值代入函数中求得。

还是以 y ＝ x²2x ＋ 1 为例，对称轴 x ＝ 1 ，把 x ＝ 1 代入函数，得到 y ＝ 1² 2×1 ＋1 ＝ 0 ，所以顶点坐标就是(1, 0) 。

再说说二次函数的截距。

当 x ＝ 0 时，y ＝ c ，这个 c 就是函数在y 轴上的截距。

比如函数 y ＝ 2x²＋ 3x 1 ，这里的 c ＝－1 ，也就是说函数图像与 y 轴的交点是(0, －1) 。

二次函数的图像还与判别式Δ ＝ b² 4ac 有着密切的关系。

如果Δ＞ 0 ，函数图像与 x 轴有两个交点；如果Δ ＝ 0 ，函数图像与 x 轴有一个交点；如果Δ ＜ 0 ，函数图像与 x 轴没有交点。

比如说，对于函数 y ＝ x² 2x 3 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，c ＝－3 ，那么Δ ＝（－2)² 4×1×（－3) ＝ 16 ＞ 0 ，所以函数图像与 x 轴有两个交点。

二次函数的图像性质及应用二次函数是一种代数函数，由形如f(x) = ax^2 + bx + c 的方程定义，其中a、b、c为实数且a不等于0，x为自变量，f(x)为因变量的值。

在二次函数的图像性质及应用方面，可以从以下几个角度来进行解析。

一、图像性质1. 平移性质：二次函数的图像可以根据a、b、c的值进行平移。

当c不为0时，图像沿y轴平移c个单位；当b不为0时，图像沿x轴平移-b/2a个单位；当a 不为0时，图像的开口方向取决于a的正负性，开口向上（a>0）或者开口向下（a<0）。

2. 对称性质：二次函数的图像关于y轴对称。

这是因为二次函数的方程中只有x 的二次项没有一次项，故图像关于y轴对称。

3. 零点性质：二次函数的零点是指函数值为0的x值。

对于一般的二次函数，它将有两个零点，除非它开口向上或开口向下且顶点位于x轴上，此时则只有一个零点。

4. 首项分类：当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为正二次函数；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称为负二次函数。

首项a的正负性决定了二次函数的凹凸性。

二、应用1. 自然科学中的运动学问题：二次函数可以用来描述自然界中物体的运动状态。

例如，自由落体运动中物体的下落高度与时间的关系可以用二次函数来表示。

2. 经济学中的成本与收益问题：在经济学中，很多问题可以用二次函数来建模。

例如，成本与产量之间的关系、价格与需求之间的关系等。

3. 地理学中的地形分析：地理学中，二次函数可以用来描述地形的变化。

例如，山谷河流的横断面、地势的坡度等。

4. 工程学中的建模问题：在工程学中，二次函数可以应用于许多建模问题，如桥梁设计、弹道分析等。

总结起来，二次函数的图像性质包括平移性质、对称性质、零点性质和首项分类。

而其应用领域广泛，包括自然科学中的运动学问题、经济学中的成本与收益问题、地理学中的地形分析以及工程学中的建模问题等。

通过对二次函数的图像性质及应用的深入理解，可以更好地应用于实际问题的建模与求解。

高中教材知识点：二次函数的图像与性质一、知识点介绍二次函数是高中阶段数学学习的重要内容之一，它是一种关于自变量的二次多项式函数。

了解二次函数的图像与性质对于理解函数的变化规律和应用具有重要意义。

本文将详细介绍高中教材中二次函数的图像与性质，包括基本定义、图像特点、性质及常见的例题解析。

二、基本定义1. 二次函数：二次函数是一个关于自变量x 的函数，一般可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是实数且 a ≠0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是平面直角坐标系中的一条曲线，通常是开口向上或向下的抛物线。

三、图像特点1. 抛物线的开口方向：二次函数中的系数a 决定了抛物线的开口方向。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 邻域与单调性：二次函数的图像在抛物线的开口处有一个顶点，抛物线在这个顶点的邻域内是单调递增或单调递减的。

四、性质1. 零点与因式分解：二次函数的零点是方程f(x) = 0 的解，可以通过因式分解或求根公式来得到。

2. 对称性：二次函数的图像关于顶点对称。

即，若(h, k) 是抛物线的顶点，则点(2h, k) 也在抛物线上。

3. 最值：当抛物线开口向上时，最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口向下时，最大值为顶点的纵坐标。

五、例题解析1. 图像特点例题：题目：根据二次函数的表达式f(x) = 2x^2 - 3x + 1，确定该二次函数的开口方向和顶点。

解析：根据系数 a 的值，可以确定开口方向。

由题目中的系数可知 a = 2，因此抛物线开口向上。

顶点可以通过求解抛物线的顶点坐标得到。

根据顶点公式，顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(x) = f(-b/2a)。

代入系数的值，得到顶点的坐标为(-(-3)/2(2), f(-(-3)/2(2))) = (3/4, 13/8)。

2. 性质应用例题：题目：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其图像与x 轴交于两点，且顶点的纵坐标为4。

高中数学教案：探究二次函数的图像和性质探究二次函数的图像和性质一、引言二次函数是高中数学课程中较为重要的概念之一。

了解二次函数的图像和性质，能够帮助我们更好地理解和应用二次函数，进一步提升数学思维能力。

本教案将从图像、对称轴、顶点、开口方向、零点以及极值等方面来探究二次函数的图像和性质。

二、二次函数图像的特点1. 图像开口方向：二次函数可以分为开口向上和开口向下两种情况。

当二次项系数大于零时（即a>0），图像开口向上；当二次项系数小于零时（即a<0），图像开口向下。

2. 对称轴：对称轴是指二次函数图像上的一个直线，对于任意三个不共线的点A、B、C，如果A关于对称轴对称于C，则A、C关于对称轴互为对称点。

对称轴过抛物线顶点，与x轴垂直。

根据坐标变换可以得出，对称轴公式为 x = -b / (2*a)。

3. 顶点：顶点是指抛物线上最高或最低的点。

通过对称轴和顶点的关系可以得出，当x = -b / (2*a)时，对应的y值即为顶点的纵坐标。

三、二次函数的零点与极值1. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点。

通过求解方程 f(x) = 0，我们可以找到二次函数的零点，其中f(x)表示二次函数方程。

2. 极值：二次函数图像在顶点处取得最大或最小值，这个最大（小）值就是二次函数的极值。

当a>0时，极小值；当a<0时，极大值。

四、教学设计为了更好地理解和掌握二次函数的图像和性质，我们可以采用以下教学设计：1. 导入新知识：结合实际生活中抛物线的例子或图片介绍什么是二次函数，并简要说明二次函数与一元二次方程的关系。

2. 图像探索：提供几个不同a、b、c取值情况下的二次函数方程，让学生根据系数进行分析：开口方向如何确定？是否存在零点？是否有极值？探究他们之间是否存在某种规律。

3. 图像绘制：让学生使用数学软件绘制二次函数的图像，并观察不同系数对图像的影响，如a、b、c的值如何变化会导致图像怎样的变化。

二次函数的图像与性质分析在数学的世界里，二次函数是一个十分重要的概念。

它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还与我们的实际生活密切相关。

比如，物体的抛射运动轨迹、拱桥的形状设计等都可以用二次函数来描述。

那么，什么是二次函数？它的图像有哪些特点？又具有怎样的性质呢？接下来，让我们一起来深入探讨。

二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。

当 a ＞ 0 时，函数图像开口向上；当 a ＜ 0 时，函数图像开口向下。

这就好像是一个碗，如果碗口朝上，那就是 a ＞ 0 的情况；如果碗口朝下，那就是 a ＜ 0 的情况。

先来说说二次函数的对称轴。

对称轴的方程是 x ＝ b ／（2a) 。

这是一个非常关键的直线，它将二次函数的图像分成了对称的两部分。

就好比是一面镜子，镜子两边的图像是完全对称的。

再看顶点坐标。

顶点坐标是（ b ／（2a)，（4ac b²) ／（4a) ）。

顶点是二次函数图像的最高点或者最低点。

当 a ＞ 0 时，顶点是图像的最低点；当 a ＜ 0 时，顶点则是图像的最高点。

二次函数的图像与 x 轴的交点，也就是函数的零点，可以通过求解方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 得到。

如果判别式Δ ＝ b² 4ac ＞ 0 ，则函数图像与 x 轴有两个不同的交点；如果Δ ＝ 0 ，则有一个交点；如果Δ ＜0 ，则函数图像与 x 轴没有交点。

当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧，函数单调递减；在对称轴右侧，函数单调递增。

而当 a ＜ 0 时，情况正好相反，在对称轴左侧，函数单调递增；在对称轴右侧，函数单调递减。

为了更直观地理解二次函数的图像和性质，我们可以通过具体的例子来分析。

比如，函数 y ＝ x² 2x 3 。

其中 a ＝ 1 ＞ 0 ，所以图像开口向上。

对称轴为 x ＝（－2) ／（2×1) ＝ 1 。

二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中常见的一种函数类型，其图像呈现出特定的形状和性质。

本文将介绍二次函数的图像特点，探讨二次函数的性质以及解释这些性质的意义。

一、二次函数的图像特点1. 平移和伸缩：二次函数的图像可以通过平移和伸缩来改变其位置和形状。

一般二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

当a>0时，图像开口向上，当a<0时，图像开口向下。

参数b控制了二次函数图像的水平位置，参数c则控制了图像的垂直位置。

2. 对称性：二次函数的图像具有关于直线x = -b / (2a)的对称性。

这条直线称为二次函数的对称轴。

对称轴将图像分成两个完全对称的部分。

3. 顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。

对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点，对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。

顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。

4. 零点：二次函数与x轴交点的坐标称为零点。

零点是二次函数的解，即f(x) = 0的解。

二次函数可以有两个、一个或零个零点，取决于判别式D = b^2 - 4ac的值。

二、二次函数的性质1. 单调性：开口向上的二次函数在对称轴的两侧是单调递增的，开口向下的二次函数在对称轴的两侧是单调递减的。

对于开口向上的二次函数，当x趋于正无穷时，函数值也趋于正无穷；当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷。

对于开口向下的二次函数，情况相反。

2. 极值：二次函数的最小值（开口向上）或最大值（开口向下）即为顶点的纵坐标，其横坐标为对称轴的横坐标。

3. 范围和值域：对于开口向上的二次函数，其值域为[y, +∞)，其中y为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，其值域为(-∞, y]，其中y为顶点的纵坐标。

4. 最大值或最小值：当a>0时，开口向上的二次函数不存在最小值；当a<0时，开口向下的二次函数不存在最大值。

二次函数的像与性质在数学的世界里，二次函数是一个非常重要的概念。

它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还与我们的日常生活和实际问题紧密相连。

今天，咱们就来好好聊聊二次函数的像与性质。

二次函数的一般形式是 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。

其中，a、b、c 是常数，a 决定了二次函数图像的开口方向和大小。

当 a ＞ 0 时，图像开口向上；当 a ＜ 0 时，图像开口向下。

a 的绝对值越大，图像开口就越窄；a 的绝对值越小，图像开口就越宽。

咱们先来说说二次函数的对称轴。

对称轴的方程是 x ＝ b ／（2a) 。

这条对称轴把二次函数的图像分成了左右对称的两部分。

接下来看看二次函数的顶点坐标。

顶点坐标是（b ／（2a)，（4ac b²) ／（4a)）。

顶点是二次函数图像的最高点或者最低点。

当 a ＞ 0 时，顶点是最低点；当 a ＜ 0 时，顶点是最高点。

再说说二次函数与 x 轴的交点，也就是二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0的解。

我们可以通过判别式Δ ＝ b² 4ac 来判断。

当Δ ＞ 0 时，二次函数与 x 轴有两个不同的交点；当Δ ＝ 0 时，有一个交点；当Δ ＜ 0 时，没有交点。

为了更直观地理解二次函数的图像，咱们来举几个例子。

比如，y ＝ x²这个二次函数，a ＝ 1 ＞ 0 ，所以图像开口向上，对称轴是 x ＝ 0 ，顶点坐标是（0, 0) 。

它的图像是一个关于 y 轴对称的抛物线，而且在 x ＜ 0 时，函数值随着 x 的增大而减小；在 x ＞ 0 时，函数值随着 x 的增大而增大。

再看 y ＝ x²＋ 2x 1 ，先将其化为顶点式 y ＝（x 1)²。

可以看出，a ＝－1 ＜ 0 ，图像开口向下，对称轴是 x ＝ 1 ，顶点坐标是（1, 0) 。

二次函数在实际生活中也有很多应用。

比如说，在物理学中，物体的抛体运动轨迹可以用二次函数来描述；在经济学中，成本和收益的关系有时也可以用二次函数来表示。

高中数学教案：二次函数的性质与图像一、二次函数的性质二次函数是高中数学中重要的一个概念，它是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数。

二次函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等等。

下面将依次介绍二次函数的各种性质。

1. 定义域和值域二次函数的定义域是实数集R，即所有实数都适用于二次函数。

对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其值域的范围则取决于a的正负情况：当a > 0时，二次函数的最小值即为函数的值域的下界；当a < 0时，二次函数的最大值即为函数的值域的上界。

2. 对称轴和顶点对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其对称轴是直线x = -b/2a。

对称轴将二次函数分为两部分，左右对称。

顶点是二次函数的最高点或最低点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 单调性和极值点二次函数的单调性取决于a的正负情况。

当a > 0时，二次函数在对称轴两侧是上凸的，函数值随着x的增大而增大；当a < 0时，二次函数在对称轴两侧是下凸的，函数值随着x的增大而减小。

极值点即为二次函数的顶点，其值为函数的最大值或最小值。

4. 奇偶性和轴对称当二次函数满足f(-x) = f(x)时，即为偶函数；当二次函数满足f(-x) = -f(x)时，即为奇函数。

对于二次函数而言，当且仅当b = 0时，二次函数才是偶函数；否则为奇函数。

此外，对于偶函数来说，其图像关于y轴对称；对于奇函数来说，其图像关于原点对称。

二、二次函数的图像了解二次函数的性质后，接下来将对二次函数的图像进行详细解析。

1. 顶点式和一般式通过配方法得到的顶点式和一般式是表示二次函数图像的两种常见形式。

顶点式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标；一般式为f(x) = ax^2 + bx + c。

通过变换常数a、h和k的值，可以分别绘制出不同形状的二次函数图像。

高一数学二次函数图像性质总结二次函数性质：a正号说明开口向上，负号说明开口向下;a的肯定值越大，抛物线开口越小;c表示抛物线与y轴的交点，图像过(0，c)点。

下面是给大家带来的（高一数学）二次函数图像性质（总结），希望能够帮助到大家!高一数学二次函数图像性质总结1二次函数图像2二次函数性质二次函数y=ax+bx+c(a0)，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax+bx+c=0(a0)此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax，y=ax+k，y=a(x-h)，y=a(x-h)+k，y=ax+bx+c(各式中，a0)的图象形态相同，只是位置不同。

2.抛物线y=ax+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b]/4a).3.抛物线y=ax+bx+c(a0)，若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而减小;当x-b/2a时，y随x的增大而增大。

若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大;当x-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax+bx+c(a0)的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴肯定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b-4ac0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|(A为其中一点的横坐标)当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0;当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0.5.抛物线y=ax+bx+c的最值(也就是极值)：假如a0(a0)，则当x=-b/2a 时，y最小(大)值=(4ac-b)/4a.顶点的横坐标，是取得极值时的自变量值，顶点的纵坐标，是极值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax+bx+c(a0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)+k(a0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0).7.二次函数学问很简单与（其它）学问综合应用，而形成较为困难的综合题目。

高中一年级数学二次函数的性质与像二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学领域和实际问题中具有广泛的应用。

本文将从二次函数的性质和像的角度进行论述。

1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为实数且a≠0。

2. 二次函数的性质2.1 首先，我们来讨论二次函数的图像开口方向问题。

当a＞0时，图像开口向上；当a＜0时，图像开口向下。

这个结论可以通过对二次函数的导数进行研究得到。

2.2 接下来，我们探讨二次函数的顶点问题。

二次函数的顶点坐标为：(Vx, Vy) = (-b/2a, f(-b/2a))2.3 进一步讨论二次函数的对称轴问题。

二次函数的对称轴方程为：x = -b/2a即对称轴与y轴平行。

2.4 最后，我们要了解二次函数的零点问题。

二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即满足f(x) = 0的x值。

求解二次方程f(x) = 0可以使用公式：x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)3. 二次函数的像的性质像是指函数图像在纵轴上的取值范围。

在二次函数中，像的性质与二次函数的开口方向密切相关。

3.1 当二次函数的图像开口向上时，像的范围为f(x) ≥ Vy，即大于等于顶点的纵坐标。

3.2 当二次函数的图像开口向下时，像的范围为f(x) ≤ Vy，即小于等于顶点的纵坐标。

4. 实例分析现在我们来举一个实例分析来更好地理解二次函数的性质和像的关系。

例题：给定二次函数f(x) = 2x² - 4x + 1，求解以下问题：1) 二次函数的图像开口方向和顶点坐标；2) 二次函数的对称轴方程；3) 二次函数的零点；4) 二次函数像的范围。

解答：1) 通过对二次函数的系数进行分析，可知a = 2，b = -4，c = 1。

由于a＞0，所以二次函数的图像开口向上。

根据顶点公式，可以求得顶点坐标为：(Vx, Vy) = (-(-4)/2(2), f(-(-4)/2(2))) = (1, -1)2) 根据对称轴公式，可以求得对称轴方程为：x = -b/2a = -(-4)/2(2) = 13) 根据求根公式，可以求得二次函数的零点为：x = (-(-4) ± √((-4)² - 4(2)(1)))/(2(2))x₁ = (4 + √(16 - 8))/4 = (4 + √8)/4 ≈ 1.61x₂ = (4 - √(16 - 8))/4 = (4 - √8)/4 ≈ 0.394) 由于二次函数的开口方向向上，所以像的范围为f(x) ≥ -1。