18线段的计算和证明

1、如图，点C 、D 为线段AB 上两点，AC ＋BD ＝a ，且AD ＋BC ＝57AB ，则CD 等于 。

（用含a 的式子表示）。

（a 32）2、已知，如图，B 、C 两点把线段AD 分成2∶5∶3三部分，M 为AD 的中点，BM ＝6 cm ，求CM 和AD 的长。

知识点一 基础线段问题 【知识梳理】1、常考题型：线段基本概念、线段计数、线段中点问题、方程思想求线段长度、分类讨论线段上点的位置关系、线段与数轴、绝对值结合的动点压轴问题等；2、常用方法：设元法、方程思想、分类讨论等；3、线段的中点、等分点对应的线段关系（1）概念：把线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。

（2）画图并思考①若点C 为线段AB 上任意一点（点C 不与A 、B 重合），点M 为线段AC 的中点，点N 为线段BC 的中点，则线段MN 与AB 有什么数量关系？②若点C 为线段AB 上任意一点（点C 不与A 、B 重合），且2AC=5BC ，问AC 与AB 、BC 与AB 的数量关系？【例题精讲一】线段的基础计算1、已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使AC ＝2BC ，在AB 的反向延长线上取一点D ，使DA ＝2AB ，则线段AC 是线段DB 的 倍。

（32）2、已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长度。

3、（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的的长度；（2）对于（1）题，如果将“点C在线段AB上”改写成“点C在线段AB延长线上”，其他条件不变，画出图形并求线段MN的长度。

【课堂练习】1、已知点A、B、C在直线l上，若BC＝53AC，则BCAB＝。

（2585或）2、如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，AC=12cm。

（1）若EC:CB=1：4，求线段AB的长；（20cm）（2）若F为CB的中点，求线段EF的长。

初中数学几何基证明技巧黄文杰一.总论：1.研究几何图形要把我们生活中的折叠，平移，旋转等操作运用到几何学习和探究中来，充分运用生活的观察视角去研究问题和解决问题；2.要熟练掌握几何图形够成的基本元素是边和角，运用分类思想对组成图形的各要素进行研究和探索，得出合理的结论；3.充分灵活运用“边清，角清，已知条件清，等量关系清，问题清”和“合情推理”。

4.图形计算问题一般运用公式，等量关系，勾股定理，相似比建立方程解决。

5.辅助线的添加要以基本公理，定理模型图为根据，完善模型；计算题一般是构造直角三角形和相似三角形；面积问题一般是根据面积的和与差建立等量关系。

二.几何证明的分析和书写：（一）几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

（二）掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；例：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．12AB CDE（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；例、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，EF 垂直平分AD ，交AC 于E ，交AC 于F.求证：四边形AEDF 是菱形.（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

例;已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ，AD 2＋CD 2＝2AB 2．（1）求证：AB ＝BC ；（2）当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋CD ．（4）分析法与综合法的特点：分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。

平行四边形知识要求：1、掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质和判定；2、结合图形性质进行相关的角度和线段的计算。

3、结合几何图形证明。

知识重点：四边形性质的运用和判定是本章的重点。

知识难点：四边形性质的运用和判定是本章的难点。

考点：结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定是考试的重点对象。

知识点：一、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号：“”2、性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分边：对边相等、平行角：对角相等、邻角互补对角线：平分周长：邻边之和*2面积：底*高平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心例题1．已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠D= ．例题2如图，在□ABCD中，已知AD＝8cm， AB＝6cm， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm例题3如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论不正确的是（）A．DC∥AB B．OA=OC C．AD=BC D．DB平分∠ADCEBAFCD3、判定：边： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例题4. 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：① AB ∥CD ，A D ∥BC ；②AB ＝CD ，AD ＝BC ；③AO ＝CO ，BO ＝DO ；④AB ∥CD ，AD ＝BC ．其中，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件共有 ( ) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组例题5如图，在等边三角形ABC 中，BC=6cm,射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm/s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动.如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s)当t= s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形.例题6.如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，AB BF =．添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ）A ．AD BC =B ．CD BF =C ．A C ∠=∠D ．F CDE ∠=∠ 例题7如图，EF ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点， AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△． （2）四边形ABCD 是平行四边形．4、三角形的中位线：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半． （与中线区别）例题8如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∠A ＝50°，∠ADE ＝60°，则∠C 的度数为 ( )A B DE F CA．50°B．60°C．70°D．80°例题9一个周长为12cm的三角形，三条中位线围成的三角形周长是cm．二、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2、性质：对边相等、对角相等、对角线互相垂直平分且平分对角边：四边相等、对边平行角：对角相等、邻角互补对角线：垂直平分、平分对角周长：边长*4面积：对角线乘积的一半(底*高)菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心，也是轴对称图形。

初三数学经典总结题型包括但不限于以下几种：
1. 线段、角的计算与证明：包括线段长度的计算、角的度数计算、线段与角的综合问题等。

2. 函数问题：包括一次函数、二次函数等，涉及到函数的性质、图像、最值等问题。

3. 方程与不等式问题：包括一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法及实际应用等。

4. 三角形问题：包括三角形的性质、全等三角形、相似三角形等，涉及到三角形的边长、角度、面积等问题。

5. 四边形问题：包括平行四边形、矩形、菱形、正方形等，涉及到四边形的性质、判定条件及面积计算等。

6. 圆的问题：包括圆的性质、圆与直线的位置关系、圆与圆的位置关系等，涉及到圆的半径、直径、周长、面积等问题。

7. 统计与概率问题：包括数据的收集与整理、概率初步知识与事件的概率等，涉及到数据的分析、预测及概率的计算等。

8. 综合题：包括多个知识点的综合应用，如函数与三角形、四边形、圆的综合应用等，需要学生综合运用所学知识进行分析和解答。

专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中最短问题1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．(第1题)2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)(第2题)用平移法求平面中最短问题3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬( )A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm(第3题)(第4题)4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF 的长是________．用对称法求平面中最短问题5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．(第5题)6．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．(第6题)用展开法求立体图形中最短问题类型1圆柱中的最短问题(第7题)7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．类型2圆锥中的最短问题8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．(第8题)类型3正方体中的最短问题9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．(第9题)类型4长方体中的最短问题10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．(第10题)专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题．巧用全等法求折叠中线段的长1．(中考·泰安)如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为( )(第1题)A.83cm B．2 3 cmC．2 2 cm D．3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．(第2题)巧用方程思想求折叠中线段的长3．(中考·东莞)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第3题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC 于点F，连接CE.(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(第4题)专训3.利用勾股定理解题的6种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为n(n为正整数)的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题．利用勾股定理求线段长1．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC＝90°，点D 为AC 边的中点，过D 点作DE⊥DF，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE ＝4，FC ＝3，求EF 的长．(第1题)利用勾股定理作长为n 的线段2．已知线段a ，作长为13a 的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为13a.利用勾股定理证明线段相等3．如图，在四边形ABFC 中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD 2＝2AB 2－CD 2.求证：AB ＝BC.(第3题)利用勾股定理解非直角三角形问题4．如图，在△ABC 中，∠C＝60°，AB ＝14，AC ＝10.求BC 的长．(第4题)利用勾股定理解实际生活中的应用5．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km /h ⎝ ⎛⎭⎪⎫即503 m /s ，并在离该公路100 m 处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．另外一条公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15 s ，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：3≈1.7)(第5题)利用勾股定理探究动点问题6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．(第6题)答案专训11．4(第2题)2．解：(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.在Rt△CBE中，∵BC＝20 km，∴BE＝10 km.由勾股定理可得CE＝10 3 km.在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝8 100＋300＝8 400，∴AC＝20 21≈20×4.6＝92(km )．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车需时间t 1＝8060＝113(h )，乘“武黄城际列车”需时间t 2≈92180＋2040＝1190(h )．∵113>1190，∴选择乘“武黄城际列车”． 3．C 点拨：将台阶面展开，连接AB ，如图，线段AB 即为壁虎所爬的最短路线．因为BC ＝30×3＋10×3＝120(cm )，AC ＝50 cm ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2＝16 900，所以AB ＝130 cm .所以壁虎至少爬行130 cm .(第3题)(第5题)4．105．解：如图，连接BD 交AC 于O ，连接ED 与AC 交于点P ，连接BP. 易知BD⊥AC，且BO ＝OD ，∴BP＝PD ，则BP ＋EP ＝ED ，此时最短． ∵AE＝3，AD ＝1＋3＝4，由勾股定理得 ED 2＝AE 2＋AD 2＝32＋42＝25＝52， ∴ED＝BP ＋EP ＝5.6．解：作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则点P 即为所建的出口．此时A 、B 两城镇到出口P 的距离之和最小，最短距离为AC 的长．作AD⊥BB′于点D ，在Rt △ADC 中，AD ＝A′B′＝8 km ，DC ＝6 km .∴AC＝AD 2＋DC 2＝10 km ，∴这个最短距离为10 km .(第6题)(第7题)7．2 2 点拨：将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平得长方形AA′D′D，连接AC ，如图．线段AC 就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB ＝2π×2π×12＝2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝22＋22＝8，∴AC＝8＝2 2.8．解：(1)圆锥 (2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC 为蜗牛爬行的最短路线． (4)在Rt △ASC 中，由勾股定理，得AC 2＝102＋52＝125， ∴AC＝125＝5 5.故蜗牛爬行的最短路程为5 5.(第8题)(第9题)9．解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC 1. (2)如图，AC′1＝42＋（4＋4）2＝4 5.AC 1＝（4＋4）2＋42＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4 5. 10．解：分为三种情况：(1)如图①，连接EC ，在Rt △EBC 中，EB ＝12＋8＝20(cm )，BC ＝12×30＝15(cm )．(第10题)由勾股定理，得EC ＝202＋152＝25(cm )． (2)如图②，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝673 cm >25 cm . (3)如图③，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝122＋（30＋8＋15）2＝ 2 953(cm )>25 cm .综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm . 专训2 1．A2．解：由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3. ∵△BC′D 与△BCD 关于直线BD 对称， ∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED. 设EB ＝x ，则ED ＝x ，AE ＝AD －ED ＝8－x. 在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2， ∴42＋(8－x)2＝x 2.∴x＝5.∴DE＝5.∴S △BED ＝12DE·AB＝12×5×4＝10.3．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠D＝∠B＝90°. ∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE， ∴AD＝AF ，DE ＝EF ，∠D＝∠AFE＝90°. ∴AB＝AF ，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG ，∴Rt △ABG≌Rt △AFG(HL )． (2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG. 设BG ＝FG ＝x ，则GC ＝6－x ，∵E 为CD 的中点，∴CE＝DE ＝EF ＝3，∴EG＝3＋x. ∴在Rt △CEG 中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x ＝2. ∴BG＝2.4．(1)证明：由题意知，AF ＝CF ，AE ＝CE ，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD 是长方形，故AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF. ∴AE＝AF ＝EC ＝CF.(2)解：由题意知，AE ＝EC ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，由∠D＝90°知，ED 2＋DC 2＝CE 2，即b 2＋c 2＝a 2.专训3(第1题)1．解：如图，连接BD.∵等腰直角三角形ABC 中，点D 为AC 边的中点，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又易知∠C ＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD.∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.∴∠FDC＝∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠C，BD ＝CD ，∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC(ASA )， ∴BE＝FC ＝3.∴AB＝7，则BC ＝7.∴BF＝4.在Rt △EBF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝32＋42＝25，∴EF＝5.2．2a ；3a3．证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC 是直角三角形．由勾股定理，得AD 2＋CD 2＝AC 2.又∵AD 2＝2AB 2－CD 2，∴AD 2＋CD 2＝2AB 2.∴A C 2＝2AB 2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC 是直角三角形．由勾股定理，得AB 2＋BC 2＝AC 2，∴AB 2＋BC 2＝2AB 2，故BC 2＝AB 2，即AB ＝BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．4．解：如图，过点A 作AD⊥BC 于点D.∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，(第4题)∴CD＝12AC ＝5. ∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝102－52＝5 3.∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝11.∴BC＝BD ＋CD ＝11＋5＝16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．5．解：(1)在Rt △AOB 中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝12AB. ∵OA＝100 m ，∴AB＝200 m .由勾股定理，得OB ＝AB 2－OA 2＝2002－1002＝100 3(m )．在Rt △AOC 中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.∴OC＝OA ＝100 m ．∴B(－100 3，0)，C(100，0)．(2)∵BC＝BO ＋CO ＝(100 3＋100)m ，100 3＋10015≈18>503，∴这辆汽车超速了．6．解：(1)在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2－AC 2＝52－32＝16，∴BC＝4 cm .(2)由题意知BP ＝t cm ，①如图①，当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ，即t ＝4；[第6题(2)]②如图②，当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝32＋(t －4)2，在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2，即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2，解得t ＝254.故当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.(3)①如图①，当BP ＝AB 时，t ＝5；②如图②，当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8 cm ，t ＝8；[第6题(3)]③如图③，当BP ＝AP 时，AP ＝BP ＝t cm ，CP ＝|t －4|cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2，所以t 2＝32＋(t －4)2，解得t ＝258.综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或t ＝8或t ＝258.。

一.直线、射线、线段1、直线经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简述为：两点确定一条直线. 直线有两种表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母表示. 平面上一个点及一条直线的位置有什么关系？ ①点在直线上；②点在直线外. 一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点，一个点在直线外，也可以说这条直线不经过这个点.当两条直线有一个共公点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.2、射线和线段直尺给我们线段的形象，手电筒发出的光给我们射线的形象，射线和线段都是直线的一部分.图①中的线段记作线段AB 或线段a ；图②中的射线记作射线OA 或射线m.B A 直线AB· l直线点在直线· B · 点在直线A O b a· a · B A O A m · ②①注意：用两个大写字母表示射线时，表示端点的字母一定要写在前面.直线、射线和线段有什么联系和区别联系：线段、射线都是直线的一部分，将线段向一端延长得到射线，向两端延长得到直线，将射线向另一方向延长得到直线，它们都有“直”的特征，它们都可以用一个小写字母或两个大写字母来表示.区别：直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点；直线可以向两个方向延伸，射线可以向一个方向延伸，线段不能再延伸；表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置，而表示射线的两个大写字母不能交换位置.3、比较两条线段的长短⑴.度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较.⑵.叠合法：把一条线段移到另一条线段上，使一端重合，从而进行比较.如：线段AB 及线段CD 比较，且A 及C 点重合，则有以下几种情况：①B 及D 重合，两条线段相等，记作：AB ＝CD ．②B 在线段CD 内部，则线段CD 大于线段AB ，记作：CD>AB ．③B 在线段CD 外部，则线段CD 小于线段AB ，记作：CD<AB ．4、线段的中点及等分点如图（1），点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 及BM ，点M 叫做线段AB 的中点．记作AM=MB=1/2AB如图（2），点M 、N 把线段AB 分成相等的三段AM 、MN 、NB ，点M 、N 叫做线段AB 的三等分点．类似地，还有四等分点，等等． 5、线段的性质 两点的所有连线中，线段最短。

高中数学练习题平面几何的计算与证明练习高中数学练习题：平面几何的计算与证明练习一、平面几何计算题在平面几何中，计算是一项重要的技能。

下面是几个基本的计算题，以帮助你巩固理解和应用平面几何的知识。

1. 已知三角形ABC的边长分别为AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 9cm，求三角形的周长。

解：三角形的周长等于三边长度之和，所以周长为5cm + 7cm +9cm = 21cm。

2. 已知矩形的长为10cm，宽为6cm，求矩形的面积。

解：矩形的面积等于长乘以宽，所以面积为10cm × 6cm = 60cm²。

3. 已知菱形的对角线分别为10cm和12cm，求菱形的面积。

解：菱形的面积等于两条对角线长度之积的一半，所以面积为(10cm × 12cm)/2 = 60cm²。

二、平面几何证明题在平面几何中，证明题需要运用定理和性质，以推导出新的结论。

下面是几个平面几何的证明题，供你练习。

1. 证明：三角形ABC的中线AD在点D处将底边BC平分。

证明过程：首先，根据三角形的定义，中线是连接一个顶点和对边中点的线段。

设M为线段BC的中点，则AM为线段AD的中线。

根据三角形中线定理，中线所对应的两个小三角形面积相等。

三角形ABM与三角形ACM的面积相等，即(1/2)AB × BM =(1/2)AC × CM。

由于BM = CM，所以AB = AC，即线段AD在点D处将底边BC平分。

2. 证明：矩形的对角线相等。

证明过程：设矩形的长为a，宽为b。

根据矩形的定义，矩形的对角线是连接两个对角顶点的线段。

设AC和BD为矩形的对角线，其中A为长边的一个顶点，C为短边的一个顶点。

根据勾股定理，三角形ABC和三角形ACD可以分别表示为：三角形ABC：AB² = a² + b²三角形ACD：AD² = a² + b²由于三角形ABC和三角形ACD的两条边相等（AB = AD），根据等腰三角形的性质可得AC = BD。

第十八章 勾股定理1. 知识总结1. 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+,大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++， 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直 角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

4．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5．勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较:若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；cbaHG F EDCBAbacbac cabca b a bc c baED CBA若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形； 若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6. 勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）7. 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CBA ADB CABCFEDCBA第8题CB DA10.互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

（二）线段比例关系的证明问题【例1】（盐城市；1997）如图；两圆内切于T ；大圆的弦AB 切小圆于C ；TA 、TB 与小圆分别相交于E 、F ；FE 的延长线交两圆的公切线TP 于点P 。

求证：（1）CE = CF ；（2）AC ·PF = BC ·PT ；【例2】（宿千市；1999）如图；⊙O 和⊙O ′相交于A 、B ；且⊙O ′过⊙O 的圆心。

直线OO ′交⊙O 于C 、D 两点；交⊙O ′于P 点；AB 与OO ′交于E 点。

求证：（1）PA 2 = PE ·PO ；（2）PE ·EO = CE ·ED ；（3）PA 2PD 2 = CE ED；【例3】（深圳市；1999）如图；⊙O 和⊙O ′外切于P ；两圆的外公切线切⊙O 于点M 、切⊙O ′于点N ；A 为切线外一点；AM 、AN 的延长线分别交⊙O 于点B ；交⊙O ′于点C 。

求证：（1）∠MPN = 90°；（2）当∠A = 90°时；B 、P 、C 为一直线；（3）若PD ⊥MN ；垂足为D ；⊙O 的半径为R ；⊙O ′的半径为r ；则 1 R + 1 r = 2PD【例4】（青岛市；2001）已知：如图；⊙O 1与⊙O 2外切于点P ；AB 为⊙O 1、⊙O 2的外公切线；切点分别为A 、B ；连心线O 1O 2分别交⊙O 1于D ；交AB 于C 。

连结AD 、AP 、BP 。

求证：（1）AD // BP ；（2）CPCO 1 = CDCO 2；（3）AD AP = PCBC ；【热点考题训练】1、（四川省；2001）已知：如图；AB 为⊙O 的直径；AC 为弦；CD ⊥AB 于D ；若AE = AC ；BE 交⊙O 于点F ；连CF 、DE 。

求证：（1）AE 2 = AD ·AB ；（2）∠ACF =∠AED 。

2、（哈尔滨市；2001）已知：如图；CD 是△ABC 外角∠MCA 的平分线；CD 与三角形的外接圆交于点D 。

线段双中点模型专项练习题一、基础知识回顾1）线段中点的概念： 把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点。

2）线段中点的性质： 线段的中点平分这条线段。

已知点 C 是线段A B 的中点，则AC=BC= AB ( 单中点模型 )二、线段双中点模型的概述：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求中点距离。

模型一：两线段无公共部分（ 作和）已知点 B 是线段 A C 上任意一点，点 M 、 N 分别为线段 A B 、 B C 的中点，则 M N = AC证明：∵点M 、N 为线段A B 、B C 的中点∴ MB = AB ， BN= BC 则MN=MB+BN= AB+ BC= AC 结论： 两中点的距离=被平分的两条线段和的一半121212 121212模型二：两线段有公共部分（ 作差）1 ）已知点 B 在线段 A C 的延长线上，点 M 、 N 分别为线段 A B 、B C 的中点，则 MN = AC证明：∵点M 、N 为线段A B 、B C 的中点∴ MB = AB ， BN= BC 则MN=MB-BN= AB- BC= AC2 ） 已知点 B 在线段 CA 的延长线上，点 M 、 N 分别为线段 A B 、B C 的中点，则 M N = AC证明：∵点M 、N 为线段A B 、B C 的中点∴ MB = AB ， BN= BC 则MN=NB - MB= BC - AB= AC 结论： 两中点的距离=被平分的两条线段差的一半1212 12 12121212 1212 1212 12总结论：两线段在同一条直线上且有一个相同的端点，已知两线段重点，则两线段中点距离=第三条线段长的一半（去掉公共端点剩下两端点组成的线段的一半）巩固练习1.如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．(1)若AC＝9 cm，CB＝6 cm，则线段MN的长为 cm；(2)若AC＝a cm，CB＝b cm，则线段MN的长为 cm；(3)若点C为线段AB上任意一点，且AB＝n cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．2.如图，已知线段AB = 12cm,点C线在线段AB上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，那么线段MN长多少？3.如图，点C是线段AB上的点，M是AC的中点，N是BC中点，如果AB=16cm，那么MN的长是多少 .4.如图所示，P是线段AB上一点，M，N分别是线段AB，AP的中点，若AB=16，BP=6，求线段MN的长.5.如图，E、F分别是线段AC、AB的中点，若EF=20cm，求BC的长。

初二数学每日复习内容第十七、八章——几何计算与证明1.已知，平行四边形ABCD 中，连接AC，AC＝AB，过点B 作BE⊥AC，垂足为E，延长BE 与CD 相交于点F．（1）如图1，若AE＝3，CE＝2，求线段AD 的长．（2）如图2，若∠BAC＝45°，过点F 作FG⊥AD 于点G，连接AF、EG，求证：AC＝EG参考答案1.【解答】解：（1）∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∵AE＝3，CE＝2，∴AC＝AB＝5，∴BE＝＝4，∴BC＝＝＝2 ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC＝2 ；（2）∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△AEB 是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∵AB∥CD，∴∠ACF＝45°，∠ABC+∠DCB＝180°，设∠CBE＝x，∴∠ABC＝45°+x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°+x，∵∠EBC+∠ECB＝90°，∴x+45°+x＝90°，∴x＝22.5°，∴∠EBC＝22.5°，∠ACB＝67.5°，∵∠ABF＝∠ACF＝45°，∴A，B，C，F 四点共圆，∴∠CAF＝∠CBE＝22.5°，∵FG⊥AD，∴∠AGF＝∠AEF＝90°，∴A，E，F，G 四点共圆，∴∠EGF＝∠EAF＝22.5°，∴∠AGE＝67.5°，∵∠CAD＝∠ACB＝67.5°，∴∠EAG＝∠AGE，∴AE＝GE，∵AC＝AB＝AE，∴AC＝EG．第十七、八章——几何计算与证明1.已知在平行四边形ABCD 中，AB＝BD，BE⊥AD 于点E，CF⊥BD 分别与BD、BE 交于点G、点F，连接GE．（1）若BF＝1，CF＝，求平行四边形ABCD 的面积．（2）若CF＝AB，求证：GE＝BG．参考答案【解答】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∵BE⊥AD，∴BE⊥BC，∵CF＝，BF＝1，∴BC＝2，∴AD＝BC＝2，∵BD＝AB，BE⊥AD，∴DE＝AD＝1＝BF，∵∠BCF+∠CBG＝∠CBG+∠DBE，∴∠BCF＝∠DBE，∵∠DEB＝∠FBC＝90°，∴△DEB≌△FBC（AAS），∴BE＝BC＝2，∴S▱ABCD＝AD•BE＝2×2＝4；（2）证明：由（1）知：△DEB∽△FBC，∵CF＝AB＝BD，∴△DEB≌△FBC，∴BF＝DE，BE＝BC＝2DE，＝＝BF•BC，设DE＝x，则BC＝AD＝2x，CF＝x，S△BCFx•BG＝x•2x，∴BG＝x，∴DG＝x﹣x＝x，过G 作GH⊥AD 于H，sin∠EDG＝＝，∴GH＝x，cos∠EDG＝＝，DH＝，∴EH＝x﹣＝，∴EG＝＝＝，∴＝＝，∴EG＝BG．第十七、八章——几何计算与证明1.如图，正方形ABCD 的边长为2，对角线AC、BD 相交于点O，E 是OC 的中点，连接BE，过点A 作AM⊥BE 于点M，交BD 于点F．（1）求证：AF＝BE；（2）求点E 到BC 边的距离．参考答案1.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，∵AM⊥BE 于点M，∴∠AME＝90°，∴∠MAE＝∠OBE，在△AOF 和△BOE 中，∴△AOF≌△BOE（ASA），∴AF＝BE；（2）解：作EN⊥BC 于N，如图，∵四边形ABCD 为正方形，∴OC＝BC＝×2 ＝2，∠OCB＝45°，∵E 是OC 的中点，∴CE＝1，在Rt△ECN 中，∵∠ECN＝45°，∵△CEN 为等腰直角三角形，∴EN＝CE＝，即点E 到BC 边的距离为．第十七、八章——几何计算与证明1.如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点E 是BC 上一点，且AB＝AE，连接EO 并延长交AD 于点F．过点B 作AE 的垂线，垂足为H，交AC 于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE 的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．参考答案1.【解答】解：（1）∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4，又∵Rt△ABH 中，BH＝＝，＝AE×BH＝×4×＝；∴S△ABE（2）如图，过A 作AM⊥BC 于M，交BG 于K，过G 作GN⊥BC 于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，又∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，∴AB＝BG，∴AE＝BG，在△AME 和△BNG 中，，∴△AME≌△BNG（AAS），∴ME＝NG，在等腰Rt△CNG 中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，∴BE＝GC，∵O 是AC 的中点，∴OA＝OC，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，∴DF＝BE＝CG．第十七、八章——几何计算与证明1.已知四边形ABCD 是矩形，连接AC，点E 是边CB 延长线上一点，CA＝CE，连接AE，F 是线段AE 的中点，（1）如图1，当AD＝DC 时，连接CF 交AB 于M，求证：BM＝BE；（2）如图2，连接BD 交AC 于O，连接DF 分别交AB、AC 于G、H，连接GC，若∠FDB＝30°，S 四边形GBOH＝，求线段GC 的长．参考答案1.【解答】证明：（1）如图1，∵AC＝EC，F是AE的中点，∴CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，AD＝DC，∴矩形ABCD 为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠AFC＝∠ABC，∵∠AMF＝∠BMC，∴∠EAB＝∠MCB，∵∠ABE＝∠ABC＝90°，∴△AEB≌△CMB，∴BE＝BM；（2）如图2，连接BF 并延长交直线AD 于M，∵F 是AE 的中点，∴AF＝EF，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，∴∠M＝∠FBE，∵∠AFM＝∠EFB，∴△AMF≌△EBF，∴FM＝BF，AM＝BE，∵AD＝BC，∴AD+AM＝BC+BE，即DM＝CE，∵AC＝CE，∴EC＝DM＝AC＝BD，∴△DMB 是等腰三角形，∵F 是BM 的中点，∴DF 平分∠BDM，∵∠BDF＝30°，∴∠BDM＝60°，∴△BDM 是等边三角形，∴∠M＝60°，在Rt△BCD 中，∠BDC＝90°﹣60°＝30°，∴∠DBC＝60°，∵OB＝OC，∴∠DBC＝∠OCB＝60°，∴△ACE 为等边三角形，在△OHD 中，∠HOD＝∠BOC＝60°，∴∠OHD＝90°，设OH＝x，则OD＝2x，BD＝4x，BC＝2x，∴DH ＝x，AH＝x，DC＝AB＝2 x，Rt△ABC 中，∠ACE＝60°，∴∠BAC＝30°，∴cos30°＝，AG＝＝，∴BG＝AB﹣AG＝2 x﹣＝••2x﹣•x•，∴S四边形GBOH＝S△DGB﹣S△OHD，＝BG•AD﹣OH•DH，＝x＝，解得：x2＝9，x＝±3，∴BC＝2x＝6，BG＝×3＝4 ，由勾股定理得：CG＝＝＝2 ．第十七、八章——几何计算与证明1.如图1，在矩形ABCD 中，AC 为对角线，延长CD 至点E 使CE＝CA，连接AE．F 为AB 上的一点，且BF＝DE，连接FC．（1）若DE＝1，CF＝，求CD 的长；（2）如图2，点G 为线段AE 的中点，连接BG 交AC 于H，若∠BHC+∠ABG＝60°，求证：AF+CE＝AC．参考答案1.【解答】解：（1）设CD＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠B＝90°，AD＝BC，在Rt△BCF 中，BC＝＝，∵AC＝CE＝x+1，在Rt△ADC 中，∵AC2＝AD2+CD2，∴（x+1）2＝x2+（）2，∴x＝3，∴CD＝3．（2）如图2 中，连接CG．作FJ⊥AC 于J．∵CA＝CE，AG＝EG，∴CG⊥AE，∠ACG＝∠ECG，∵∠AGC＝∠ABC＝90°，∴∠AGC+∠ABC＝180°，∴A、G、C、B 四点共圆，∴∠ABG＝∠ACG，∴∠ACG＝∠ECG＝∠ABG，设∠ACG＝∠ECG＝∠ABG＝x，则∠BAH＝∠ACD＝2x，∠BHC＝∠BAH+∠ABG ＝3x，∵∠BHC+∠ABG＝60°，∴4x＝60°，∴x＝15°，∴∠FAJ＝30°，∠DAC＝∠ACB＝60°，∠CAE＝75°，∴∠EAD＝15°，∵DE＝BF，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，∴△ADE≌△CBF，∴∠BCF＝∠DAE＝15°，∴∠FCJ＝45°，∴CJ＝FJ，设CJ＝FJ＝a，则AJ＝a，AF＝2a，AC＝a+ a，∴＝＝﹣1，∴AF＝（﹣1）AC，∴AF＝AC﹣AC，∵AC＝CE，∴AF+CE＝AC．第十七、八章——几何计算与证明1.如图，在菱形中ABCD 中，∠ABC＝60°，点F 为AD 边上一点，连接BF 交对角线AC 于点G．（1）如图1，已知CF⊥AD 于F，菱形的边长为6，求线段FG 的长度；（2）如图2，已知点E 为AB 边上一点，连接CE 交线段BF 于点H，且满足∠FHC＝60°，CH＝2BH，求证：AH⊥CE．参考答案1.【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠D＝∠ABC＝60°，∴△ACD 是等边三角形，∵CF⊥AD，∴AF＝DF＝3，由勾股定理得：CF＝＝3 ，∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠CFD＝90°，∵BC＝6，Rt△BCF 中，BF＝＝3 ，∵AF∥BC，∴＝，∴BG＝2FG，∴FG＝BF＝，（2）如图2，∵∠FHC＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AD∥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°＝∠BHC，∠AFC＝∠HBC，∴△BHC∽△FAB，∴，∵CH＝2BH，∴AB＝2AF，∴F 是AD 的中点，∵△ADC 是等边三角形，∴∠ACF＝∠ACD＝30°，∵∠CAF＝∠FHC＝60°，∴A、H、C、F 四点共圆，∴∠AHC+∠AFC＝180°，∵∠AFC＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AH⊥CE．第十七、八章——勾股计算与证明1.如图，四边形ACEF 为正方形，以AC 为斜边作Rt△ABC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，延长BC 至点D，使CD＝5，连接DE．（1）求正方形的边长；（2）求DE 的长．2.如图，已知正方形ABCD 的边长为，连接AC、BD 交于点O，CE 平分∠ACD 交BD 于点E，（1）求DE 的长；（2）过点E 作EF⊥CE，交AB 于点F，求BF 的长；（3）过点E 作EG⊥CE，交CD 于点G，求DG 的长．参考答案1.【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，AC＝＝＝2，∴正方形边长为2；（2）∵∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∵∠ACE＝90°，∴∠BCA+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，又∵＝，∴△ABC∽△CED，∴＝，∴DE＝．2.【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，∵CE 平分∠DCA，∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE，∴BE＝BC＝，在Rt△ACD 中，由勾股定理得：BD＝＝2，∴DE＝BD﹣BE＝2﹣；（2）∵FE⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE，∵∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD，∴△FEB≌△ECD，∴BF＝DE＝2﹣；（3）延长GE 交AB 于F，由（2）知：DE＝BF＝2﹣，由（1）知：BE＝BC＝，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥DC，∴△DGE∽△BFE，∴＝，∴＝，解得：DG＝3 ﹣4．初二数学每日复习内容第十七、八章——勾股计算与证明1.如图，平行四边形ABCD 中，CG⊥AB 于点G，∠ABF＝45°，F 在CD 上，BF 交CD 于点E，连接AE，AE⊥AD．（1）若BG＝1，BC＝，求EF 的长度；（2）求证：CE+ BE＝AB．2.在菱形ABCD 中以B 为顶点作等腰△BEF，已知∠EBF+∠ABC＝180°．（1）如图1，当BF 与BD 重合时，点E 在AD 边上已知∠A＝30°，AE＝6，求BE 的长．（2）如图2，连接AF、CE，BE 与AF 于点G．若G 为AF 中点，求证：CE＝2BG．参考答案1.【解答】解：（1）∵CG⊥AB，∴∠AGC＝∠CGB＝90°，∵BG＝1，BC＝，∴CG＝＝3，∵∠ABF＝45°，∴BG＝EG＝1，∴CE＝2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GCD＝∠BGC＝90°，∠EFG＝∠GBE＝45°，∴CF＝CE＝2，∴EF＝CE＝2 ；（2）如图，延长AE 交BC 于H，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠AHB＝∠HAD，∵AE⊥AD，∴∠AHB＝∠HAD＝90°，∴∠BAH+∠ABH＝∠BCG+∠CBG＝90°，∴∠GAE＝∠GCB，在△BCG与△EAG中，，∴△BCG≌△EAG（AAS），∴AG＝CG，∴AB＝BG+AG＝CE+EG+BG，∵BG＝EG＝BE，∴CE+ BE＝AB．2【.解答】解：（1）如图1，过E点作EM⊥AB于M点在Rt△AME中，∠A＝30°，所以ME＝AE＝×6＝3．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝AD．∴∠ADB＝＝75°．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠ADB＝75°．∴∠ABE＝75°﹣30°＝45°，∴△MEB 是等腰直角三角形．∴BE＝ME＝．（2）延长AB 至H 点，使得BH＝AB，连接FH．∵G 点为AF 中点，B 点为AH 中点∴FH＝2BG．∵∠HBC+∠ABC＝180°，∠EBF+∠ABC＝180°，∴∠HBC＝∠EBF．∴∠HBC+∠CBF＝∠EBF+∠CBF，即∠HBF＝∠CBE．在△HBF 和△CBE 中∴△HBF≌△CBE（SAS）．∴CE＝HF．∴CE＝2BG．初二数学每日复习内容第十七、八章——勾股计算与证明1.已知：如图，在△ABC 和△ABE 中，∠ACB＝∠AEB＝90°，D 是AB 中点，联结DC、DE、CE，F 是CE 中点，联结DF．（1）求证：DC＝DE；（2）若AB＝10，CE＝8，求DF 的长．2.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC、BD 相交于点E，点G、H 分别是AC、BD 的中点．（1）求证：HG⊥AC；（2）当AC＝8cm，BD＝10cm 时，求GH 的长．参考答案1.【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB中点，∴CD＝AB，同理：ED＝AB，∴CD＝ED；（2）∵CD＝ED，F 是CE 中点，∴DF⊥CE，∵CD＝AB，AB＝10，∴CD＝5，∵F 是CE 中点，CE＝8，∴CF＝4，∴DF＝＝3．2.【解答】解：（1）如图，连接AH、CH，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，H 为BD 的中点，∴AH＝CH＝BD，∵G 为AC 的中点，∴GH⊥AC；（2）∵BD＝10，∴AH＝BD＝5，∵AC＝8，∴AG＝AC＝4，∵GH⊥AC，即∠HGA＝90°，∴GH＝＝＝3．第十七、八章——勾股计算与证明1.如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC＝45°，E、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝2．求CF 的长．2.如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E 为AB 的中点，（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形；（2）如图2，CD 与AB 交点为F，若AD＝BD，EF＝3，DE＝4，求CD 的长．参考答案1.【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝DC，∵AE∥DB，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB＝DE＝CD，即D 为CE 中点，∵AB＝2，∴CE＝4，∵AB∥CD，∴∠ECF＝∠ABC＝45°，过E 作EH⊥BF 于点H，∵CE＝4，∠ECF＝45°，∴EH＝CH＝2，∵∠EFC＝30°，∴FH＝2 ，∴CF＝2 +2 ．2.【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，又∵E 为AB 的中点，∴CE＝AB，DE＝AB∴CE＝DE，即△ECD 是等腰三角形；（2）∵AD＝BD，E 为AB 的中点，∴DE⊥AB，已知DE＝4，EF＝3，∴DF＝5，过点E 作EH⊥CD，∵∠FED＝90°，EH⊥DF，∴EH＝＝，∴DH＝＝，∵△ECD 是等腰三角形，∴CD＝2DH＝．第十七、八章——勾股计算与证明1.如图，菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，过点D 作DE∥AC 且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD 于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC＝60°．求AE 的长．2.如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线一点，对角线BD 与AC 交于点O，以线段AG 为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD．（1）求证：EB＝GD；（2）若AB＝5，AG＝2 ，求EB 的长．参考答案1.【解答】（1）证明：在菱形ABCD 中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED 是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED 是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED 中，CE＝OD＝．在Rt△ACE 中，AE＝．2.【解答】（1）证明：在△GAD 和△EAB 中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，∴∠GAD＝∠EAB，在△GAD 和△EAB 中，∴△GAD≌△EAB，∴EB＝GD；（2）∵四边形ABCD 是正方形，AB＝5，∴BD⊥AC，AC＝BD＝5，∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝，∵AG＝2 ，∴OG＝OA+AG＝，由勾股定理得，GD＝＝，∴EB＝．第十七、八章——勾股计算与证明1.如图，已知E 为▱ABCD 的DC 边延长线上的一点，且CE＝CD，连接AE 分别交BC，BD 于点F，G．（1）求证：△AFB≌△EFC；（2）若AE＝12，求FG 的长．2.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE，分别交AD、BE、BC 于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：△BOQ≌△EOP；（2）求证：四边形BPEQ 是菱形；（3）若AB＝6，F 为AB 的中点，OF+OB＝9，求PQ 的长．参考答案1.【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD 中，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF，∵AB＝CD，CE＝CD，∴AB＝CE，在△AFB 和△EFC 中，∴△AFB≌△EFC．（2）∵ED∥AB，∴，∵EC＝CD，CD＝BA，AE＝12，∴EF＝AF＝6，∵ED∥BA，，∵ED＝2BA，∴，解得：FG＝2．2.【解答】（1）证明：∵PQ 垂直平分BE，∴PB＝PE，OB＝OE，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO＝∠QBO，在△BOQ 与△EOP 中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），（2）∵△BOQ≌△EOP∴PE＝QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ 是平行四边形，又∵QB＝QE，∴四边形BPEQ 是菱形；（3）解：∵O，F 分别为PQ，AB 的中点，∴AE+BE＝2OF+2OB＝18，设AE＝x，则BE＝18﹣x，在Rt△ABE 中，62+x2＝（18﹣x）2，解得x＝8，BE＝18﹣x＝10，∴OB＝BE＝5，设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，在Rt△ABP 中，62+（8﹣y）2＝y2，解得y＝，在Rt△BOP 中，PO＝＝，∴PQ＝2PO＝．第十七、八章——勾股计算与证明1.如图，在正方形ABCD 中，点P 为AD 延长线上一点，连接AC、CP，F 为AB 边上一点，满足CF⊥CP，过点B 作BM⊥CF，分别交AC、CF 于点M、N（1）若AC＝AP，AC＝4 ，求△ACP 的面积；（2）若BC＝MC，证明：CP﹣BM＝2FN．2.如图，在▱ABCD 中，∠ACB＝45°，点E 在对角线AC 上，BE＝BA，BF⊥AC 于点F，BF 的延长线交AD 于点G．点H 在BC 的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12，AB＝13，求AF 的长；（2）求证：EB＝EH．1.【解答】解：（1）∵AC＝AP，AC＝4，∴AP＝．AD＝CD＝4∴S△ACP＝AP×CD＝××4＝7 ；（2）在CF 上截取FN＝NG，连接BG，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝CB＝CD，∠CBF＝∠CDP＝∠BCF+ ∠FCD＝90°，又∵CF⊥CP，∴∠DCP+∠FCD＝90°，∴∠BCF＝∠BCD，在△BCF 和△DCP 中，，∴△BCF≌△DCP，∴CF＝CP，∵BC＝MC，BM⊥CF，∴∠BCF＝∠ACF＝∠BCA＝22.5°，∴∠CFB＝67.5°，∵FC⊥BM，FN＝NG∴BF＝BG∴∠FBG＝45°，∠FBN＝22.5°∴∠CBG＝45°，在△BCG 和△BAN 中，，∴△BCG≌△ABM，∴BM＝CG，∴CF﹣CG＝FG，∵BF＝BG，BM⊥CF，∴FN＝NG，∴CP﹣BM＝2FN．2.【解答】解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12，∴等腰Rt△BCF 中，BF＝sin45°×BC＝12，又∵AB＝13，∴Rt△ABF 中，AF＝＝5；（2）如图，连接GE，过A 作AP⊥AG，交BG 于P，连接PE，∵BE＝BA，BF⊥AC，∴AF＝FE，∴BG 是AE 的垂直平分线，∴AG＝EG，AP＝EP，∵∠GAE＝∠ACB＝45°，∴△AGE 是等腰直角三角形，即∠AGE＝90°，△APE 是等腰直角三角形，即∠APE ＝90°，∴∠APE＝∠PAG＝∠AGE＝90°，又∵AG＝EG，∴四边形APEG 是正方形，∴PF＝EF，AP＝AG＝CH，又∵BF＝CF，∴BP＝CE，∵∠APG＝45°＝∠BCF，∴∠APB＝∠HCE＝135°，∴△APB≌△HCE（SAS），∴AB＝EH，又∵AB＝BE，∴BE＝EH．第十七、八章——勾股计算与证明1.已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD 平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M 是边AB 的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM 的长．2.探究：如图，分别以△ABC 的两边AB 和AC 为边向外作正方形ANMB 和正方形ACDE，NC、BE 交于点P．求证：∠ANC＝∠ABE．应用：Q 是线段BC 的中点，若BC＝6，则PQ 的长度是多少？参考答案1.【解答】解：延长AD 交BC 于E，∵∠C＝90°，∴BC＝＝10 ，∵CD 平分∠ACB，AD⊥CD，∴∠ACD＝∠ECD，∠ADC＝∠EDC＝90°，∴∠CAD＝∠CED，∴CA＝CE＝10，∴AD＝DE，∵M 是边AB 的中点，∴DM＝BE＝×（10 ﹣10）＝5 ﹣5．2.【解答】证明：∵四边形ANMB 和ACDE 是正方形，∴AN＝AB，AC＝AE，∠NAB＝∠CAE＝90°，∵∠NAC＝∠NAB+∠BAC，∠BAE＝∠BAC+∠CAE，∴∠NAC＝∠BAE，在△ANC 和△ABE 中，ANAN＝AB，∠NAC＝∠BAE，AC＝AE∴△ANC≌△ABE（SAS），∴∠ANC＝∠ABE．解：如图所示：∵四边形NABM 是正方形，∴∠NAB＝90°，∴∠ANC+∠AON＝90°，∵∠BOP＝∠AON，∠ANC＝∠ABE，∴∠ABP+∠BOP＝90°，∴∠BPC＝∠ABP+∠BOP＝90°，∵Q 为BC 中点，BC＝6，∴PQ＝BC＝3．。

人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用正方形的定义计算和证明；2．理解并运用正方形的性质进行计算和证明；3．体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系．过程与方法目标经历正方形的定义及其性质的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力．情感、态度与价值观目标让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯．【教学重点】正方形性质定理的运用．【教学难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系．【教学准备】教师准备：教学中出示的教学插图、问题和例题.学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.【教学过程设计】一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究知识点一：正方形的性质【类型一】特殊平行四边形的性质的综合例1菱形，矩形，正方形都具有的性质是()A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D 不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题例2如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EF A＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE＝2x.∴2x＝1－x，解得x＝2－1，即BE的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】利用正方形的性质解决角的计算或证明问题例3 在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数．解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS ”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系例4 如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE . 解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．【类型二】 有关正方形性质的综合应用题例5 如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt △AED 和Rt △AFB 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFB (HL)，∴S △AED ＝S△AFB.∵S四边形ABCD＝24cm2，∴S正方形AFCE＝24cm2，∴AE＝EC＝26cm.根据勾股定理得AC＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．三、教学小结师生共同归纳小结.1.本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:2.分小组进行讨论,整理所学的性质:正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑):(1)平行四边形有哪些性质?(2)矩形有哪些性质?(3)菱形有哪些性质?(4)正方形有哪些性质?图形对边对角对角线对称性平行四边形平行、相等相等互相平分不是轴对称图形矩形平行、相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形,有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有两条对称轴正方形平行、四条边四个角都是直互相垂直、平分且相轴对称图形,有四条对称都相等角等,每条对角线平分一轴组对角四、学习检测1.下列命题是真命题的是( )A.矩形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等C.正方形的对角线相等且互相垂直D.四边形的对角线互相平分解析:根据矩形的对角线相等,可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直,可判断选项B错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等,可判断选项C正确;四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.2.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AB=10 cm,则四边形EFOG的周长是.解析:先由题意证明四边形EFOG是矩形,进而可知矩形EFOG的周长为OD 的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5 cm.故填10 cm.3.如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE=CF.(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.【解析】本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明△ABE≌△CBF.(1)用SAS证明△ABE≌△CBF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF,而∠EBG=90°-∠ABE,△BEF是等腰直角三角形,从而可求∠EGC的度数.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°,从而可知∠ABE=∠CBF.∵AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF.解:(2)∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=45°,∵∠ABC=90°,∠ABE=55°,∴∠GBE=35°,∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°.[归纳总结]证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45°,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形课时1 正方形的性质1．正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形性质的综合应用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质学案【学习目标】1．理解正方形的概念；2．探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；3．会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【学习重点】探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．【学习难点】会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【自主学习】一、知识回顾1．你还记得长方形有哪些性质吗？2.菱形的性质又有哪些？二、新知探究知识点1：正方形的性质想一想 1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？邻边_____2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？一个角是_____要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形.想一想正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？1.正方形的四个角都是_________,四条边_________.2.正方形的对角线________且互相______________.证一证已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=____°, AB_____AC.又∵正方形是平行四边形.∴正方形是______,亦是______.∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°,AB___BC___CD___AD.已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.证明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO___BO___CO___DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC___BD.想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 【典例探究】例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.DAB CE变式题 1 四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小．易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．变式题2 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求证：∠BAP=2∠PAC．例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.方法总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.【跟踪练习】1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO＝2,求正方形的周长与面积．三、知识梳理内容正方形的性质定义：有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等2.如图,正方形ABCD中,CE⊥MN,∠MCE=35°,那么∠ANM是()A.45°B.55°C.65°D.75°B(解析:因为CE⊥MN,所以∠MCE+∠NMC=90°.所以∠NMC=90°-∠MCE=55°.由题意得AD∥BC,所以∠ANM=∠NMC=55°.故选B.)3.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm24. 在正方形ABC中,∠ADB=________,∠DAC=_________, ∠BOC=__________.5. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________.6.如图,正方形ABCD中,AC是对角线,E是BC延长线上一点,CE=AC,则∠E=度.22.5(解析:由正方形的性质得∠ACB=45°,又CE=AC,所以∠E=∠EAC,因为∠E+∠EAC=45°,所以∠E=∠EAC=22.5°.)第4题图第5题图7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．8. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠OCF=∠OBE.试猜想OE与OF的大小关系,并说明理由.解:OE=OF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OB=OC,∴∠AOB=∠BOC=90°.又∵∠OCF=∠OBE,∴△OCF≌△OBE,∴OE=OF.9. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.10.如左下图,正方形ABCD中,M是BC上任意一点,E在BC的延长线上,MN⊥AM,MN交∠DCE的平分线于N,试猜想AM与MN有怎样的数量关系,并说明理由.【解析】猜想AM=MN,要证AM=MN,如右上图,只需构造并证明△APM≌△MCN即可.解:AM=MN.理由如下:在AB上取一点P,使BP=BM,连接PM,如右上图.∵AB=BC,BP=BM,∴AP=MC,∠BPM=45°,∴∠APM=135°.∵CN平分∠DCE,∴∠MCN=∠APM=135°.∵MN⊥AM,∴∠AMB+∠CMN=90°.∵∠AMB+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMN.∴△APM≌△MCN.∴AM=MN.。

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的证明文章标题：线段两个端点距离相等的点在这条线段的证明在几何学中，线段是由两个端点和它们之间的所有点组成的几何图形。

当线段上存在一个点，它与两个端点的距离相等时，这个点被称为线段的中点。

今天我们将深入探讨线段两个端点距离相等的点在这条线段的证明，以及这背后的数学原理和意义。

1. 理论基础在三角形中，我们学过一个重要定理：中线定理。

中线定理指出，三角形的一个边上的中线等于另外两条边的一半。

这个定理为我们提供了一个重要的思路：如果线段的两个端点距离相等的点存在，那么这个点与两个端点之间的距离必须相等，类似于中线定理中的性质。

2. 线段两个端点距离相等的点证明现在让我们来证明线段两个端点距离相等的点在这条线段上。

假设线段AB的两个端点为A和B，而距离AB的中点O与A和B的距离均相等。

我们对线段AB进行标记，用d表示OA或OB的长度，然后进行推导。

我们可以用三角形的距离公式求出OA和OB的长度。

设线段AB的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么OA的长度可以表示为sqrt((x1-x)^2 + (y1-y)^2)，同理OB的长度可以表示为sqrt((x2-x)^2 + (y2-y)^2)。

由于O点位于AB中点上，根据中点的坐标公式，可以得出O点的坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

将O点的坐标代入到OA和OB的长度公式中，便可得到OA=OB=d。

根据上述推导，我们可以证明线段两个端点距离相等的点O确实存在于线段AB中，并且其与两个端点的距离均相等。

3. 意义和应用线段两个端点距离相等的点在这条线段上的证明，不仅是几何学中的基础知识，更为我们理解数学规律和推理方法提供了一个很好的案例。

这个概念也在实际生活和工程应用中有着广泛的意义。

在建筑设计和制图过程中，通过寻找线段的中点和证明其存在，可以确保建筑结构的稳定性和对称性。

4. 个人观点在我看来，研究和理解线段两个端点距离相等的点在这条线段上的证明，对于培养我们的逻辑思维和数学推理能力具有重要意义。

线段的计算与证明の重点梳理
一、基础知识梳理
核心知识点一：线段的和差倍分
（1）线段的比较大小
①叠合法；
②度量法．
（2）线段的中点及等分点
线段的中点的概念：把一条线段分成相等的两条线段的点，如图所示，M 是线段AB 的中点，则AM BM 1
2 AB ，另外线段还有三等分点、四等分点等．
核心知识点二：有关线段计算的分类讨论
点C 在直线AB 上，则分成如下三种情况：
①如图 1，点C 在A 点左侧（或在线段BA 的延长线上）时，AB BC AC ．
②如图 2，点C 在点A，B 之间（或在线段AB 上）时，AB AC+BC ．
③如图 3，点C 在B 点右侧（或在线段AB 的延长线上）时，AB AC BC ．
核心知识点三：双中点问题
双中点模型
（1）如图，点C 是线段AB 上一点，点M 是AC 中点，点N 是BC 中点，证明：AB 2MN ．证明：如图，
∵点M 是AC 中点，点N 是BC 中点，
1
AC ，CN 1
∴CM
BC ．
2 2
1
AC BC (AC BC)
1 1 1
AB．
∴MN CM CN
2 2 2 2
∴AB 2MN ．
（2）如图，点C是线段AB延长线上一点，点M是AC中点，点N是BC中点，证明：AB 2MN ．证明：如图，
∵点M 是AC 中点，点N 是BC 中点，
∴CM
1 AC ，CN 1 BC ．
2 2
∴MN CM CN 1 AC 1 BC 1
(AC BC) 1
2 AB ．2 2 2
∴AB 2MN ．
二、知识体系梳理。

线段的计算技巧
线段是初⼀学⽣接触的最基本图形，常见的考点主要分为计数问题和线段的和、差、倍、分问题；线段计算中的分类讨论问题，线段中的定值问题。

线段的最值问题（公理：两点之间，线段最短）
解决策略:
1、n个点形成线段的条数
2、基本模型
3、线段最值问题
充分利⽤共线点之间距离之和最⼩，类似于绝对值的最值问题：（若有奇数个点，则中间那个点是所求的位置；若有偶数个点，则中间两点连线上任意⼀点即为随求），充分依靠”两点之间，线段最短“来解决，本⽂不再详细解释。

思想⽅法：
思想⽅法：
1、⽅程思想、
2、分类讨论思想、
3、数形结合思想
例题赏析：
⽅法总结：求线段的长度时，当题⽬中涉及到线段长度的⽐例或倍分关系时，通常可以设未知数，运⽤⽅程思想求解.
结论：
本结论利⽤整体思想证明，学⽣可能更好理解。

证明中点公式是二阶的中点公式是数学中的一个重要公式之一，描述了一个线段的中点坐标与该线段两个端点的坐标之间的关系。

它可以用于计算线段的中点坐标，也可以用于证明其他几何定理。

一条线段的中点是指这条线段中距离两个端点距离相等的一个点。

我们将线段的两个端点坐标表示为$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，那么线段的中点坐标可以表示为$M(x_m,y_m)$。

我们可以通过求取中点坐标的公式来证明中点公式是二阶的。

首先，我们假设中点坐标与线段的两个端点的坐标之间存在如下的关系：$x_m = ax_1 + bx_2$和$y_m = ay_1 + by_2$，其中a和b是待定的系数。

根据中点的定义，我们可以得到中点到线段的端点的距离相等的关系：$$\sqrt{(x_m - x_1)^2 + (y_m - y_1)^2} = \sqrt{(x_m - x_2)^2 + (y_m - y_2)^2}$$将中点坐标的表示代入上述等式，并且交叉相乘化简：$$[(ax_1 + bx_2) - x_1]^2 + [(ay_1 + by_2) - y_1]^2 = [(ax_1 + bx_2) - x_2]^2 + [(ay_1 + by_2) - y_2]^2$$展开平方并化简上述等式：$$[(ax_1 + bx_2) - x_1]^2 + [(ay_1 + by_2) - y_1]^2 - [(ax_1 + bx_2) - x_2]^2 - [(ay_1 + by_2) - y_2]^2 = 0$$我们可以进一步的展开上述等式，并将系数a和b分离开来：$$(x_1^2 - 2x_1(ax_1 + bx_2) + (ax_1 + bx_2)^2) + (y_1^2 -2y_1(ay_1 + by_2) + (ay_1 + by_2)^2) - (x_2^2 - 2x_2(ax_1 + bx_2) + (ax_1 + bx_2)^2) - (y_2^2 - 2y_2(ay_1 + by_2) + (ay_1 +by_2)^2) = 0$$我们继续整理上述等式，并合并含有a和b的项：$$x_1^2 - 2x_1(ax_1 + bx_2) + (ax_1 + bx_2)^2 + y_1^2 -2y_1(ay_1 + by_2) + (ay_1 + by_2)^2 - x_2^2 + 2x_2(ax_1 + bx_2)- (ax_1 + bx_2)^2 - y_2^2 + 2y_2(ay_1 + by_2) - (ay_1 + by_2)^2= 0$$化简上述等式并消除冗余项：$$(x_1^2 + y_1^2 - x_2^2 - y_2^2) - 2(ax_1 + by_1)(x_1 + x_2 - ax_1 - bx_2 - ay_1 - by_2) = 0$$我们可以继续化简上述等式，并将其拆分成两个方程：$$(x_1^2 + y_1^2 - x_2^2 - y_2^2) - 2(ax_1 + by_1)(x_1 + x_2 - ax_1 - bx_2 - ay_1 - by_2) = 0 \\(ax_1 + by_1)(x_1 + x_2 - ax_1 - bx_2 - ay_1 - by_2) =\frac{1}{2}(x_1^2 + y_1^2 - x_2^2 - y_2^2)$$根据以上两个方程，我们可以得到关于a和b的方程。