第三章 流体运动学

第三章 流体运动学和动力学基础量矩定理)、导出流体运动学和动力学的基本方程：连续方程、能量方程、动量方程和动量矩方程，并讨论它们在工程技术中的应用。

基本概念1 流体质点：一个物理点，即流体微团，是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。

2 空间点：一个几何点，表示空间位置。

3 质点与空间点之间的关系：流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x ，y ，z ），具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。

3.1 研究流体运动的方法流体是由无穷多流体质点组成的连续介质，流体的运动便是这无穷多流体 质点运动的综合。

由于着眼点不同，研究流体运动的方法有两种。

3.1.1拉格朗日法（Lagrangian method ）1定义：拉格朗日法又称为跟踪法、质点法。

以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。

2 拉格朗日变数：取t=t 0时，以每个质点的空间坐标位置（a ，b ，c ）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。

设某一液体质点在 t =t 0时刻占据起始坐标 （a ，b ，c ），则质点在任意时刻t 的位置坐标（x ，y ，z ）可表示为起始坐标和时间t 的函数，即式中，（a ，b ，c ，t ）称为拉格朗日变数。

若给定a 、b 、c 值，变化时，则式(3-1)代表该流体质点的运动规律；若给定t 值，而a 、b 、c 变化时，它代表在给定时刻流场中流体质点的位置分布。

若要知道该液体质点在任意时刻的速度，可对将式(3-1)对时间t 求导数，即流体质点的速度为(,,,)(,,,)(,,,)x x a b c t y y a b c t z z a b c t =⎧⎪=⎨⎪=⎩（3-1） (,,,)(,,,)=(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)x x y y z z x a b c t u u a b c t t y a b c t u u a b c t t z a b c t u u a b c t t ∂⎫==⎪∂⎪∂⎪==⎬∂⎪∂⎪==⎪∂⎭（3-2）其中，u x ，u y ，u z 是速度在x ，y ，z 轴的分量。

同理，该液体质点在x ，y ，z 方向的加速度分量可表示为 222222(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)x x x y y y z z z u a b c t x a b c t a a a b c t t t u a b c t y a b c t a a a b c t t t u a b c t z a b c t a a a b c t t t ⎫∂∂===⎪∂∂⎪∂∂⎪===⎬∂∂⎪⎪∂∂===⎪∂∂⎭3 适用情况：流体的振动和波动问题。

4 优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。

用拉格朗日法描述液体的运动状态，其直观性强，物理概念简单易懂。

5 缺点：不便于研究整个流场的特性。

由于液体具有粘性，每一个液体质点的运动轨迹是不同的，要跟踪每一个液体质点来得出整个液体运动的状态，在数学上是很困难的。

从实用的观点来看，往往不需要知道每个个别质点的运动情况。

因此在水力学上很少采用拉格朗日法，而普遍采用欧拉法。

3.1.2欧拉法（Eulerian method ）1 定义： 欧拉法又称为站岗法、流场法。

以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。

2 欧拉变数：采用欧拉法时，可将流场中的运动要素视作空间点坐标（x 、y 、z ）和时间t 的单值连续可微函数。

例如任意时刻t 流场中任意点的液体质点流速可表示为：(,,,)(,,,)(,,,)x x y y z z u u x y z t u u x y z t u u x y z t ⎫=⎪=⎬⎪=⎭其中， x ，y ，z ，t 称为欧拉变数。

同样压强和密度也可表示为当选定x 、y 、z 而t 变化时，式(3-4)～(3-6)代表了流场中选定点上流动参数随时间的变化规律；当选定t 而x 、y 、z 变化时，它们代表选定时刻流场中流动参数的分布规律。

将式(3-4)对时间求导数，可得流体质点加速度在三个坐标轴上的投影。

应当注意，由于研究对象是某一流体质点在通过某一空间点时速度随时间的变化，在dt 时间内，流体质点将运动到新的位置，因此流体质点的坐标也是时间的函数，必须按复合函数求导法则进行。

例如x 方向的加速度x x x x x x du u u u u dx dy dz a dt t x dt y dt z dt ∂∂∂∂==+++∂∂∂∂ 式中的坐标增量dx 、dy 、dz 不是任意的量，而是在dt 时间内液体质点空间位置的微小位移在各坐标轴的投影。

故x dx u dt =，y dy u dt =，z dz u dt= （3-3） （3-4）(,,,)(,,,)p p x y z t x y z t ρρ==（3-5） （3-6） （3-7）（3-8）代入（3-7）式，可得同理， x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z ∂∂∂∂⎫=+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=+++⎬∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂⎭ 写成矢量形式，得 ()u a u u t ∂=+⋅∇∂ 式中i j k x y z∂∂∂∇=++∂∂∂ 为哈密尔顿矢量算子，i 、j 、k 分别为x 、y 、z 坐标方向的单位矢量。

由此可知，流体质点的加速度由两部分组成，一部分是u t∂∂ ，它是空间点上流体质点的速度随时间变化引起的加速度，称当地加速度，又称时变加速度；另一部分是()u u ⋅∇ ，它是空间点上流体质点的速度随坐标变化引起的加速度，称迁移加速度，又称位变加速度。

可见，用欧拉法描述的加速度由当地加速度和迁移加速度组成。

3.2 流体运动的几个基本概念3.2.1 定常流动与非定常流动考察欧拉参数中的时间变量对流动参数的影响，可将流动分为定常流动和非定常流动。

流场中所有空间点上的流动参数不随时间变化的流动称为定常流动（或恒定流动）；否则，为非定常流动（或非恒定流动）。

注意将流体划分为定常流动和非定常流动的概念仅适用于欧拉法。

定常流动中运动参数只是坐标的函数，与时间无关，其数学表达式为(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)x x y y z z p p x y z x y z u u x y z u u x y z u u x y z ρρ⎫=⎪=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎪=⎭对速度、压力、密度等关于时间的偏导数为零，即0y x z u u u p t t t t t ρ∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂ 将上式代入式(3-9)，可知当地加速度为零，即定常流动的加速度只有迁移加速度。

我们定义，通过空间点处流体质点的全部或部分运动参数随时间t 变化的流动叫非定常流动。

这时的运动参数是时间和坐标的函数，其表达式写为：（3-9）（3-10）（3-11） （3-12）(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)x x y y z z p p x y z t x y z t u u x y z t u u x y z t u u x y z t ρρ⎫=⎪=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎪=⎭如图3-1所示装置，将阀门A 和B 的开度调节到使水箱中的水位保持不变，则水箱和管道中任一点(如1点、2点和3点等)的流体质点的压强和速度都不随时间而变化，但由于1、2、3各点所处的空间位置不同，故其压强和速度值也就各不相同。

这时从管道中流出的射流形状也不随时间而变。

这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的流动，称为定常流动。

现将阀门A 关小，则流入水箱的水量小于从阀门B 流出的水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流体质点的压强和速度都逐渐减小，射流的形状也逐渐向下弯曲。

这种运动流体中任一点流体质点的流动参数(压强和速度等)随时间而变化的流动，称为非定常流动。

在供水和通风系统中，只要泵和风机的转速不变，运转稳定，则水管和风道中的流体流动都是定常流动。

又如火电厂中，当锅炉和汽轮机都稳定在某一工况下运行时，主蒸汽管道和给水管道中的流体流动也都是定常流动。

可见研究流体的定常流动有很大的实际意义。

在实际工程中，绝大部分遇到的问题都是非定常流动。

但是，由于非定常流动问题的复杂性给研究带来很大的困难，同时在实际工程问题中，有许多问题虽然属于非定常流动范畴，可是运动参数变化并不显著而接近于常数。

因此在本书中除了个别章节外，将主要研究运动参数不随时间变化的定常流动的基本规律。

3.2.2 均匀流动与非均匀流动若流场中各空间点的运动参数不随空间坐标而变，这种流动称为均匀流动；否则，为非均匀流动。

在均匀流动中，流动参数与空间坐标无关，仅是时间t 的函数，即 ()0()0()0u u u u p ρ⋅∇=⋅∇=⋅∇= ()()()u u t t p p t ρρ⎫=⎪=⎬⎪=⎭ 如不计粘性摩擦的等直径水平直管道中的流动、等断面水平直渠道中的流动等均为均匀流动。

综合上述内容，可以看到上一节用欧拉法描述流体流动时，加速度包括由流动的非定常性所引起的当地加速度和由流动非均匀性所引起的迁移加速度两部分。

即式(3-10)可以理解为（3-13）（3-14）图3-1 流体的出流()()=+当地加速度迁移加速度加速度非定常引起非均匀引起 3.2.3 一元流动、二元流动与三元流动考察运动参数与坐标变量的关系，可将流动分为一元、二元和三元流动。

一般的流动都是在三维空间的流动，流动参数是x 、y 、z 三个坐标的函数，在流体力学中又称这种流动为三元流动。

当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化，使其流动参数在某些情况下，仅是x 、y 两个坐标的函数，称这种流动为二元流动。

若运动参数仅是一个坐标的函数，则这种流动称为一元流动。

显然，坐标变量越少，问题的处理就越简单。

因此，对于工程问题，一般为三元流动，在保证工程问题允许的精度的条件下，尽可能将三元流动简化为二元甚至一元流动来近似求解。

如图3-2所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动，流体质点运动参数，如速度，即是半径r 的函数，又是沿轴线距离的函数，即：u = u (r ，x )。