吉林省东北师范大学附属中学净月校区2016届高三下学期最后一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

吉林省东北师范大学附属中学净月校区2016届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理（无答案）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分） 1.已知整数集Z ，集合{}{}1,2,3,|2,A B x x x N ==≤∈，则C Z AB =A ．{}3B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ． ∅ 2.已知向量a 与向量b 垂直，且||1a =，|b |2=，则|2|a b -=A ．0B ．22C ．4D ．83.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为 A ．4πB ．2πC ．πD ．32π 4.函数()2123xf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 5.在ABC ∆中，“>60A ” 是“sin A >”的 A ． 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ． 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.直线023=+-a y x 与连接A ()1,3和B ()2,3-的线段相交，则a 的取值范围是 A ．7a ≤-或12a ≥ B ．7-=a 或12a = C ．712a -≤≤ D ．127a -≤≤7.已知△ABC 三边a ，b ，c 满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，则角C 的大小为 A ．60° B．90° C．120° D．150° 8.函数2()3cos ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是Oyx O yx O yx.Oyx .A B C D9.已知)(x f是定义在R 上的偶函数，且4T =，当(0,2)x ∈时，2()log (31)f x x =+，则(2015)=fA ．4B ．2C ．－2D ．7log 2 10．函数52sin ()22y x x ππ=≤≤的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形的面积为 A ．4 B ．8 C ．2π D ．4π 11.若函数22log ,0()1,0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩，则不等式()0xf x ->的解集是A.)1,0()0,1( -B.(,1)(1,)-∞-∞C.),1()0,1(∞-D.)1,0()1,( --∞12.函数12|l o g |,04()|6|,4x x f x x x <≤⎧⎪=⎨⎪->⎩存在d a b c <<<，使()()()()f a f b f c f d ===，则2c dab+的值为 A. 1 B. 3C. 6D.与a,b,c,d 的值有关二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）13.数列{}n a 满足12121,log log 1n n a a a +==+，它的前n 项和为n S ，则满足2015n S >的最小的n 值是 . 14.已知点()P x y ，满足2244xy +=，点0)Q ，则||PQ 的最小值 .15.若变量,x y 满足约束条件0,20,2,x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则+2+1z x y =的最大值为 .16.定义,,a a ba b b a b≥⎧⊕=⎨<⎩ ，已知函数()sin cos f x x x =⊕，给出下列四个结论：（1）该函数的值域为[]1,1- ；（2）()f x 是周期函数，最小正周期为π； （3）当且仅当322()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <；（4）当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值.其中正确的结论是 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤）17. (12分)已知ABC △1，且sin sin A C B =-．(1)求边c 的长； (2)若ABC △的面积为1sin 3C ，求角C 的度数．18．(12分)已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ，前n 项和为n S . (1)求数列}{n a 的通项公式及前n 项和n S ； (2)令3nn n b a =⋅，求数列}{n b 的前n 项和n T .19. (12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为2的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求二面角A BC P --的大小．20．(12分)椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点为1F )0,1(-，2F )0,1(，且经过点)23,1(P .（1）求椭圆C 的方程；（2）设过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，问在椭圆C 上是否存在一点M ，使四边形2AMBF 为平行四边形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21．(12分)已知函数()ln g x ax x a R =-∈，，（1）是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；（2）当(]0,x e ∈时，证明：251(1)ln 2e x x x>++.（请在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分）22．(10分)如图，AB 是O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连结BF 、AF 并延长交O 于点M 、N . (1) 求证：B 、E 、F 、N 四点共圆；(2) 求证：22AC BF BM AB +⋅=.23．(10分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合．直线lt 为参数），曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于M，N两点，求M,N两点间的距离．24．(10分)设函数4()||||f x x x mm=-++(m＞0)(1) 证明：f(x)≥4；(2) 若f(2)＞5，求m的取值范围.。

2016届吉林省东北师大附中等校高三联考数学（文）试题一、选择题1．设全集{}8≤∈=x N x U ，集合{}7,3,1=A ，{}8,3,2=B ，则=)()(B C A C U U （ ）A ．{}8,7,2,1B ．{}6,5,4C ．{}6,5,4,0D ．{}6,5,4,3,0 【答案】C【解析】试题分析：{}{}80,1,2,3,4,5,6,8U x N x =∈≤= ，(){}()()0,4,5,6U U U C A C B C A B ∴=⋃= ，故选C ．【考点】集合交、并、补的运算． 2．已知复数i z +=11，i z -=22，则=iz z 21（ ） A ．i 31- B ．i 31+- C ．i 21+ D ．i 21- 【答案】A【解析】试题分析：根据题意：()()()122123313i i i iz z i i i i i i+-++====-，故选A ． 【考点】复数的运算．3．若实数数列：81,,1a 成等比数列，则圆锥曲线122=+ay x 的离心率是（ ） A ．10或322 B ．3或36 C ．322 D ．31或10【答案】A【解析】试题分析：因为1,,81a 成等比数列，所以281a =，即9a =±．当9=a 时，圆锥曲线表示的是椭圆，所以离心率3c e a a ===；当9-=a 时，圆锥曲线表示的双曲线，1091=+=c ，所以离心率10==ace ，故选A ． 【考点】等比数列中项性质，椭圆和双曲线的离心率． 4．函数2)(1-=-x ax f )1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=--ny mx 上，其中 0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．223+ 【答案】D【解析】试题分析：因为函数2)(1-=-x a x f )1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，所以()1,1A -，又因为点A 在直线01=--ny mx 上，所以1m n +=，所以()121223n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭，又 0,0>>n m ，∴2n m m n +≥且仅当2n m m n =时，即1,2m n =取=，∴123m n+≥+故选D ． 【考点】基本不等式．5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）俯视图侧视图正视图12222A ．π220+B ．π320+C ．π224+D ．π324+ 【答案】B【解析】试题分析：根据三视图的特征，得到该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体．其底面积的面积：22282S ππ⎛⎫=⨯+=+⎪⎝⎭；底面周长：6C π=+；侧面面积：()62122ππ+⨯=+．所以几何体的表面积：()()8123203πππ+++=+，故选B ． 【考点】三视图的识别，几何体的表面积计算．6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于C ︒22”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位C ︒） ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为2.10．则肯定进入夏季的地区有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3 【答案】C【解析】试题分析：甲地肯定进入， 丛数为22，∴22至少出现两次，若有一天低于22，则中位数不可能为24；丙地也进入，根据方差的定义：()()()()()222221234126262626322610.25x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，即()()()()222212342626262615x x x x -+-+-+-=，显然1234,,,x x x x 都要大于22，才能成立，乙地不一定进入，比如12,23,27,29,29，故选C ． 【考点】中位数、平均数、众数的概念及运用．7．已知条件p ：3-=k ，条件q ：直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：条件q ：直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切，1=，得k =，所以p q ⇒，但是q p ≠>，所以p 是q 的充分不必要条件． 【考点】充要条件．8．平面α截球O 所得的截面圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）A ．π6 B ． C ．π64 D ．π36 【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得：球的半径R =，球的体积334433r V ππ===．【考点】球的体积．9．若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ）A ．?5≤nB ．?6≤nC ．?7≤nD ．?8≤n 【答案】B【解析】试题分析：根据题意，该程序表示的是首项为2，公比为2的数列求和，即232222n S =++++122126n +=-=，∴6n =，故选B ．【考点】程序框图．10．若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．)1,(--∞B ．)2,1(-C ．)2,0(D ．)2,1( 【答案】D【解析】试题分析：根据图象可知，函数图象过原点，即()00f =，所以0m ≠．当0x >时，()0f x >，所以20m ->，即2m <；函数()f x 在[]1,1-是单调递增的，所以()0f x '>在[]1,1-恒成立，()()()()()()()2222222222()0m x m x m x m x m f x xm xm -+----'==>++， 20m -<，∴只需要20xm -<在[]1,1-上恒成立，∴()2max0x m -<，∴1m >，综上所述：12m <<，故选D ．【考点】函数图象．【方法点晴】本题主要考查的是根据函数图象，求函数的性质，进而求参数范围．属于中档题．解决这类问题，主要是观察函数图象，根据函数图象推断出函数的性质，比如：函数过特殊点、函数的奇偶性、在某段上函数值的符号以及函数的单调性．11．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点1F ，作圆222a y x =+的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．MT MO a b -=-B ．MT MO a b ->-C ．MT MO a b -<-D ．MT MO a b +=- 【答案】A【解析】试题分析：因为T 是切点，所以连接OT ，则1OT PF ⊥，在TO F1∆中，1TF b =．连接2PF ，在12PFF ∆中，O 、P 分别是12F F 、1PF 的中点，所以212OM PF =，2111122MO MT PF PF TF ⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭()()2111222PF PF b a b b a =-+=-+=-，故选A ． 【考点】双曲线的定义，直线与圆相切．【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的定义、直线与圆相切的性质和三角形中位线的综合运用，属于难题．解题的关键是根据相切，得到1OT PF ⊥，再根据双曲线的性质，求出1TF b =；又因为M 点是中点，在焦点三角形12PFF ∆中，运用中位线定理得212OM PF =，再结合双曲线定义122PF PF a -=，最终求出答案． 12．已知函数)(x f 定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()(1)xf x e x =+，给出下列命题：①当0>x 时，()(1)xf x e x =-②函数)(x f 有2个零点③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ④R x x ∈∀21,，都有2)()(21<-x f x f ，其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④ 【答案】C【解析】试题分析：① 函数()f x 在R 上的奇函数，∴()()f x f x =--，令()0,x ∈+∞，则(),0x -∈-∞，()()(1)(1)x x f x f x e x e x --=--=--=-，故①错；②当0<x 时，()(1)0xf x e x =+=，0x e > ，∴1x =-是函数的一个零点，同理可以求出当0>x ，1x =是函数的一个零点， 函数()f x 是奇函数，∴()00f =，综上所述函数()f x 有3个零点，故②错；由①可知函数()(1)000(1)0x xe x xf x x e x x -⎧+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ，故③正确；④当0<x 时，()()(1)2xxx f x e x e e x '=++=+，当()2,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单增；当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单减；∴在0<x ，函数有最小值()()2m i n2f x f e -=-=-．同理在0x >时，函数有最大值()()2max 2f x f e -==．∴Rx x ∈∀21,，都有()()212ma x min ()()2f x f x f x f x e --<-=， 201e -<<,∴222e -<,故()0,x ∈+∞④正确．【考点】函数性质．【方法点晴】本题主要综合考查奇函数的性质，属于难题．①求奇函数在()0,x ∈+∞的解析式，关键是令()0,x ∈+∞，再利用奇函数的性质()()f x f x =--求出()0,x ∈+∞的解析式；在奇函数的性质中当0属于定义域是一定会有()00f =，这是最容易遗忘的．二、填空题13．向量1=a ,2=b ,)2()(b a b a -⊥+，则向量a 与b的夹角为 ．【答案】2π 【解析】试题分析： )2()(-⊥+，∴()(2)0a b a b +⋅-=，即222c o s ,0a ab a b b +⋅-=， ∴cos ,0a b = ，即向量与的夹角为2π．【考点】向量的乘积运算． 14．已知0θπ<<，1tan()47πθ+=，那么sin cos θθ+= ． 【答案】15-【解析】试题分析：sin cos 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ，0θπ<< ，∴5444πππθ<+<，又 1t a n ()47πθ+=，∴544πππθ<+<，根据同角三角函数基本关系得sin 410πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∴1sin cos 5θθ+=-． 【考点】同角三角函数基本关系和辅助角公式．15．若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-2212x y y x y x ，目标函数y x z 23+-=的最小值为 ．【答案】1-【解析】试题分析：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-2212x y y x y x 表示的可行域如图ABC ∆，当目标函数y x z 23+-=经过()1,1A 有最小值，且最小值是31211-⨯+⨯=-．【考点】线性规划求目标函数的最值．【方法点晴】本主要考查线性规划中已知可行域求目标函数的最值，属于容易题．本题关键是在坐标系上画出可行域，然后利用数形结合的方法求出目标函数的最大值，如果可行域是一个封闭的图形，目标函数的最值一般在交点处取得，分别把交点求出来，代入目标函数中就可以．在直角坐标系画可行域时要注意“直线定界，点定域”的原则． 16．．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{,,}X a b c =，对于下面给出的四个集合τ:① {,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅； ② {,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅； ③ {,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅； ④ {,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅． 其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是 ． 【答案】②④【解析】试题分析：①{,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅，但是{}{}{},a c a c τ⋃=∉，所以①错；②④都满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的三个条件．所以②④正确；③{}{}{,}a a b b τ⋃=∉，故错．所以答案②④．【考点】集合包含关系的判定及应用．【方法点晴】本题主要考查的关于集合的新定义题型，属于基础题．需要准确的把握集合包含的判定方法，及集合的子集间的交并补的关系．本题关键是需要学生准确理解集合X 上的一个拓扑τ所要满足的三个条件，需要学生认真分析题干，准确把握信息．对于这种开放性题目，需要考生准确理解和快速掌握新知识的能力．三、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知b Ac C a 252cos 22cos 222=+．（Ⅰ）求证：b c a 3)(2=+；（Ⅱ）若41cos =B ，15=S ，求b ． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）4=b ．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式去平方；再由()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，结合正弦定理，得到b Ac C a =+cos cos ，化简可证明b c a 3)(2=+；（II ）1sin 2ABC S ac B ∆=，利用余弦定理，再结合b c a 3)(2=+，最终可以算出b ． 试题解析：解：（Ⅰ）由条件：b A c C a 25)cos 1()cos 1(=+++， 由于：b A c C a =+cos cos ，所以：b c a 23=+， 即：b c a 3)(2=+（Ⅱ）41cos =B ，所以：415sin =B ， 151581sin 21===ac B ac S ，8=ac 又：)cos 1(2)(cos 22222B ac c a B ac c a b +-+=-+=， 由b c a 3)(2=+，所以：)411(16452+=b ，所以：4=b 【考点】正弦定理和余弦定理的运用．【方法点晴】本题主要考查解三角形，正弦定理和余弦定理得综合运用，属于基础题．解三角形中，常用的的技巧“边化角”或者“角化边”，特别是当遇到题干有每项都含有边的齐次式的等式时，多选择边化角．题上出现三角形面积时要合理利用公式111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===． 18．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱BCF ADE -和一个正四棱锥ABCD P -组合而成，AF AD ⊥，2==AD AE ． PF EDC BA（Ⅰ）证明：平面⊥PAD 平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥ABCD P -的高h ，使得该四棱锥的体积是三棱锥ABF P -体积的4倍．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）2=h ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意可以证明：AD ⊥平面ABFE ，所以能证明到：平面⊥PAD 平面ABFE ；（Ⅱ） AD ⊥平面ABFE ，∴P 到平面ABF 的距离刚好是12AD =，求出23P ABF V -=，再用h 表示P ABCD V -，由于4P ABCD P ABF V V --=，求出h ． 试题解析：（Ⅰ）证明：直三棱柱BCF ADE -中，⊥AB 平面ADE ， 所以：AD AB ⊥，又AF AD ⊥，所以：⊥AD 平面ABFE ，⊂AD 平面PAD ， 所以：平面⊥PAD 平面ABFE （Ⅱ）P 到平面ABF 的距离1=d所以：11122213323P ABF ABF V S d -∆==⨯⨯⨯⨯=而：118224333P ABCD ABCD P ABF V S h h V --==⨯⨯==，所以2h =【考点】面面垂直，锥体的体积．【方法点晴】证明面面垂直问题时要主要转化成线面垂直去证明；三棱锥是一个比较特殊的几何体，三个面都可以作为底面，特别是在求三棱锥体积时，一定要选择容易找出三棱锥高的面作为我们的底面；有时几何体的面积直接求比较困难时，需要我们转化成间接的方式求．19．甲、乙两位学生参加某项竞赛培训,在培训期间,他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：（Ⅰ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（Ⅱ）现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适？说明理由． 【答案】（Ⅰ）1225；（Ⅱ）派甲参赛比较合适． 【解析】试题分析：（Ⅰ）用列举的方法把基本事件一一列举出来得到基本事件总数，再找出甲的成绩比乙高的的事件总数，求出这两个的比值就是甲的成绩比乙高的概率；（Ⅱ）分别求出甲、乙的方差，方差越小的越稳定．试题解析：（Ⅰ）记甲被抽到的成绩为x ,乙被抽到的成绩为y ，用数对),(y x 表示基本事件：(82,95) (82,75) (82,80) (82,90) (82,85) (82,95) (82,75) (82,80) (82,90) (82,85)(79,95) (79,75) (79,80) (79,90) (79,85) (95,95) (95,75) (95,80) (95,90) (95,85)(87,95) (87,75) (87,80) (87,90) (87,85) 基本事件总数25n =9甲 乙 7 8 975 2 20 5 055记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A 包含的基本事件： (82,75) (82,80) (82,75) (82,80) (79,75) (95,75) (95,80) (95,90) (95,85) (87,75) (87,80) (87,85) 事件A 包含的基本事件数是12m = 所以12()25m P A n == （Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：85=甲x ，85=乙x ，6.312=甲s ，502=乙s =甲x 乙x ，<2甲s 2乙s 甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适【考点】茎叶图、概率和方差．20．椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率22=e ，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22． （Ⅰ）求椭圆1C 与2C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于点E ，F ．（1）求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；（2）直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】（Ⅰ）1C ：1222=+y x ，2C ：14222=+y x ；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）18-．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据离心率c e a ==和222a b c -=分别设出出双曲线1C 、2C 的标准方程，再根据1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22，分别求1C 、2C的标准方程；（Ⅱ）（1）设出P 点坐标()00,x y ，带入2C 中得到1422020=+y x ，用P 点坐标分别表示出直线PA ，PB 斜率，最后化简算出定值．（2）的思路和（1）一样．试题解析：解：（Ⅰ）依题意22=e ，设1C ：122222=+by b x ，2C ：1422222=+b y b x ，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积2222221=⨯⨯=b b S ，解得：12=b ，所以椭圆1C ：1222=+y x ，2C ：14222=+y x （Ⅱ）（1）设),(00y x P ，则142220=+y x ，)0,2(-A ，)0,2(B 200+=x y k PA ，200-=x y k PB所以：2224220202020-=--=-=⋅x x x y k k PBPA ， 直线PA ，PB 斜率之积为常数2-（2）设),(11y x E ，则122121=+y x ， 211+=x y k EA ，211-=x y k EB ，所以：212211220212121-=--=-=⋅x x x y k k EBEA ，同理：21-=⋅FB FA k k 所以：41.=⋅⋅FB FA EB EA k k k k ，由PA EA k k =，PB FB k k =，结合（1）有81-=⋅FB EA k k 【考点】椭圆标准方程、直线与椭圆相交． 21．设函数1ln )(-+=x ax x f （0>a ）． （Ⅰ）当301=a 时，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）当21≥a ，),1(+∞∈x 时，求证：11ln >-+x ax ． 【答案】（Ⅰ）函数单调增区间为：)65,0(，),56(+∞，单调减区间为：)1,65(，)56,1(；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数()f x 的导函数，根据()0f x '>，对应的是函数的单调递增区间；0)(>'x f ，对应的是函数的单调递减区间；（Ⅱ）若证11ln >-+x ax ，)1,21(>≥x a 成立，只需证ln ln 1a x x x +≥- 112(1)x +>-，即2(1)l n 12(x x x -+>-当1>x 时成立．构造函数()()21l n 2(1)1g x x xx =---+ (1)x >，只需要()()min 01g x x >>．试题解析：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),1()1,0(+∞ ， 当301=a 时，2)1()56)(65()(---='x x x x x f ， 令：0)(>'x f ，得：56>x 或65<x ，所以函数单调增区间为：)65,0(，),56(+∞0)(<'x f ，得：5665<<x ，所以函数单调减区间为：)1,65(，)56,1(（Ⅱ）若证11ln >-+x a x ，)1,21(>≥x a 成立，只需证：1)1(21ln 1ln >-+≥-+x x x a x 即：)1(21ln )1(2->+-x x x 当1>x 时成立 设()g x =()21ln 2(1)1(1)x x x x ---+>∴())1(ln 2xx x g -='，显然)(x g '在),1(+∞内是增函数 且02)1(<-='g ，0)212(ln 2)2(>-='g∴)(x g '=0在（1,2）内有唯一零点0x ，使得：01ln 00=-x x ， 且当x ∈（1，0x ），)(x g '<0； 当x ∈（0x ，+∞），)(x g '>0．∴)(x g 在（1，0x ）递减，在（0x ，+∞）递增()()11ln 12)()(000min+--==x x x g x g =()1111200+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x =)1(2500x x +-∵()2,10∈x ∴251200<+<x x ∴0)(min >x g ∴11ln >-+x ax 成立 【考点】利用导函数求单调区间，函数不等式的证明． 22．选修4——1几何证明选讲如图，P 是圆O 外一点，PA 是圆O 的切线，A 为切点，割线PBC 与圆O 交于B ，C ，PA PC 2=，D 为PC 中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，证明：（Ⅰ）EC BE =； （Ⅱ）22PB DE AD =⋅．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）连接AB ，AC ，因为PD PA =，故PDA PAD ∠=∠，又因为：DCA DAC PDA ∠+∠=∠，PAB BAD PAD ∠+∠=∠，根据弦切角等于同弦所对的圆周角：PAB DCA ∠=∠，所以：BAD DAC ∠=∠，从而弧BE =弧EC ，因此：EC BE =；（II ）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2和DC PD PA ==，能得到PB DC 2=，PB BD =，再根据相交弦定理得：DC BD DE AD ⋅=⋅，所以22PB DE AD =⋅．试题解析：（Ⅰ）证明：连接AB ，AC ,由题设知PD PA =，故PDA PAD ∠=∠ 因为：DCA DAC PDA ∠+∠=∠，PAB BAD PAD ∠+∠=∠， 由弦切角等于同弦所对的圆周角：PAB DCA ∠=∠，所以：BAD DAC ∠=∠，从而弧BE =弧EC ，因此：EC BE =（Ⅱ）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2，因为DC PD PA ==，所以：PB DC 2=，PB BD =由相交弦定理得：DC BD DE AD ⋅=⋅ 所以：22PB DE AD =⋅【考点】圆的性质．23．选修4——4 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 15cos 5y x ，（ϕ为参数），直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 23321,（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为)2,3(π．（Ⅰ）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求PB PA +的值．【答案】（Ⅰ）)3,0(P ，115522=+y x ；（Ⅱ）6． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据点的极坐标化直角坐标的公式，求出点P ；结合参数方程得到cos sin φφ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再根据22cos sin 1φφ+=求出曲线C 的普通方程；（Ⅱ）点P 在直线上，联立直线的参数方程代入曲线C 的普通方程求解． 试题解析：（Ⅰ）由极值互化公式知：点P 的横坐标02cos3==πx ，点P 的纵坐标32sin3==πx所以)3,0(P ；消去参数ϕ的曲线C 的普通方程为：115522=+y x （Ⅱ）点P 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得：0822=-+t t ，设其两个根为1t ，2t ，所以：221=+t t ，821-=t t ，由参数t 的几何意义知：64)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．【考点】坐标系与参数方程，直线与曲线相交． 24．选修4——5 不等式选讲 已知函数5)(++-=x a x x f ．（Ⅰ）若1=a ，解不等式：52)(+≥x x f ； （Ⅱ）若8)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{}2-≤x x ；（Ⅱ）3≥a 或13-≤a ．【解析】试题分析：（Ⅰ）当1=a 时，写出不等式，运用零点分区间的方法，讨论当3≥x 时，当21≤x 时，当321<<x 时，去掉绝对值解不等式，然后取并集；（Ⅱ）因为55+≥++-a x a x ，所以将8)(≥x f 转化85≥+a 就可以解出来．试题解析：（Ⅰ）当1=a 时，0)51)(42(5152)(≥---+⇔+≥-⇒+≥x x x x x x x f解得：2-≤x ，所以原不等式解集为{}2-≤x x（Ⅱ）5)5(5)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，若8)(≥x f 恒成立， 只需：85≥+a 解得：3≥a 或13-≤a 【考点】不等式求解．。

2016-2017学年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有1个正确选项）1．直线x+y﹣5=0的倾斜角为（）A．﹣30°B．60° C．120°D．150°2．经过点A（1，1），并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条3．若a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=b=c，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°4．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是（）A．B．C．D．5．P、Q分别为3x+4y﹣10=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．3 D．66．△ABC中，已知a=2，b=x，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（）A．x＞2 B． x＜2 C．2＜x＜D．2＜x≤7．下列说法中正确的是（）A．经过两条平行直线，有且只有一个平面B．如果两条直线平行于同一个平面，那么这两条直线平行C．三点确定唯一一个平面D．如果一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等，则这两个平面相互平行8．已知直线l：2x+3y+1=0被圆C：x2+y2=r2所截得的弦长为d，则下列直线中被圆C截得的弦长同样为d的直线是（）A．2x+4y﹣1=0 B．4x+3y﹣1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x+2y=09．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，sinA＞sinB则下列结论不一定成立的是（）A ．A ＞B B ．sin2A ＞sin2BC ．cos2A ＜cos2BD ．a ＞b10．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．11．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=（ ） m ．A ．B ．C ．100D ．12．锐角三角形ABC 中，a b c 分别是三内角A B C 的对边设B=2A ，则的取值范围是（ ）A ．（﹣2，2）B ．（0，2）C ．（，2） D ．（，）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=25，点P （﹣1，7），过点P 作圆的切线，则该切线的一般式方程为 ．14．圆C 1：（x ﹣m ）2+（y+2）2=9与圆C 2：（x+1）2+（y ﹣m ）2=4内切，则m 的值为 ． 15．若圆（x ﹣3）2+（y+5）2=r 2上恰有3个点到直线4x ﹣3y=2的距离等于1，则半径r 的值为 ．16．连接直角三角形的直角顶点与斜边的两个三等分点，所得线段的长分别为sin α和cos α，则斜边长是 ．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0（1）当l1⊥l2时，求a的值；（2）在（1）的条件下，若直线l3∥l2，且l3过点A（1，﹣3），求直线l3的一般方程．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=，且（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．19．如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，BD=，PC=，PA=，∠CDP=90°，E、F分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）求BD与PA所成角的大小．20．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x﹣4y+4=0与圆C相切．（I）求圆C的方程；（II）过点Q（0，﹣3）的直线l与圆C交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若=3（O为坐标原点），求直线l的方程．21．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．（I）设，判断最大时△ABC的形状．（II）若，求△ABC周长的取值范围．22．已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．2016-2017学年吉林省长春市东北师范大学附中净月校区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有1个正确选项）1．直线x+y﹣5=0的倾斜角为（）A．﹣30°B．60° C．120°D．150°【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．【解答】解：由题意，直线的斜率为k=，即直线倾斜角的正切值是，又倾斜角∈[0°，180°），因为tan150°=，故直线的倾斜角为150°，故选：D．2．经过点A（1，1），并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【考点】IE：直线的截距式方程．【分析】当直线过原点时，方程为 y=x，当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y=k，把点（1，1）代入直线的方程可得k值，即得所求的直线方程．【解答】解：当直线过原点时，方程为：y=x，即 x﹣y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y=k，把点（1，1）代入直线的方程可得 k=2，故直线方程是 x+y﹣2=0．综上可得所求的直线方程为：x﹣y=0，或 x+y﹣2=0，故选：C3．若a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=b=c，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】HR：余弦定理．【分析】根据余弦定理直接求解即可．【解答】解：由a=b=c，根据余弦定理：cosA===，∵0＜A＜π，∴A=．故选D4．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是（）A．B．C．D．【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】利用斜二侧法画直观图的方法，平行性不变，平行于x轴的线段长度相等，平行于y 轴的线段长度是原来的一半，可得结论．【解答】解：利用斜二侧法画直观图的方法，平行性不变，平行于x轴的线段长度相等，平行于y轴的线段长度是原来的一半，可得A，B，D直观图是全等三角形，C直观图不与A，B，D是全等三角形故选C．5．P、Q分别为3x+4y﹣10=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．3 D．6【考点】IU：两条平行直线间的距离．【分析】由题意可知两条直线平行，直接利用平行线的距离公式求解即可．【解答】解：因为3x+4y﹣10=0与6x+8y+5=0是平行线，即3x+4y﹣10=0与3x+4y+=0所以|PQ|的最小值d=='故选B．6．△ABC中，已知a=2，b=x，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（）A．x＞2 B． x＜2 C．2＜x＜D．2＜x≤【考点】HP：正弦定理．【分析】由△ABC 有两组解，可得2sin60°＜x＜2，解出即可得出．【解答】解：∵△ABC 有两组解，∴2sin60°＜x＜2，解得．故选：A．7．下列说法中正确的是（）A．经过两条平行直线，有且只有一个平面B．如果两条直线平行于同一个平面，那么这两条直线平行C．三点确定唯一一个平面D．如果一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等，则这两个平面相互平行【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】在A中，由公理三及推论得到经过两条平行直线，有且只有一个平面；在B中，这两条直线平行、相交或异面；在C中，由公理三及推论得到共线的三点确定无数个平面；在D 中，这两个平面相互平行或相交．【解答】解：在A中，由公理三及推论得到经过两条平行直线，有且只有一个平面，故A正确；在B中，如果两条直线平行于同一个平面，那么这两条直线平行、相交或异面，故B错误；在C中，由公理三及推论得到不共线的三点确定唯一一个平面，故C错误；在D中，如果一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等，则这两个平面相互平行或相交，故D错误．故选：A．8．已知直线l：2x+3y+1=0被圆C：x2+y2=r2所截得的弦长为d，则下列直线中被圆C截得的弦长同样为d的直线是（）A．2x+4y﹣1=0 B．4x+3y﹣1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x+2y=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】利用弦心距、弦长之半与圆半径r组成的直角三角形即可判断出答案．【解答】解：∵圆x2+y2=r2的圆心O（0，0）到直线l：2x+3y+1=0的距离m==，又直线l：2x+3y+1=0被圆C：x2+y2=r2所截得的弦长为d，∴弦心距、弦长之半与圆半径r组成的直角三角形，即r2=+，∵圆心O（0，0）到直线2x+4y﹣1=0的距离m1==≠，故A 与题意不符；同理可得圆心O（0，0）到直线4x+3y﹣1=0的距离m2≠，故B与题意不符；圆心O（0，0）到直线2x﹣3y﹣1=0的距离m3=，符合题意；而圆心O（0，0）到直线3x+2y=0的距离m4≠，故D与题意不符；故选C．9．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，sinA＞sinB则下列结论不一定成立的是（）A．A＞B B．sin2A＞sin2B C．cos2A＜cos2B D．a＞b【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意，利用正弦定理，二倍角公式，依次判断即可．【解答】解：由题意，sinA＞sinB，正弦定理可得，a＞b，A＞B．∴A，D选项正确．对于B选项：sin2A=2sinAcosA，sin2B=2sinBcosB，∵π＞A＞B＞0，设A=60°，B=45°，则sin2A＜sin2B．故B不对．对于C：cos2A=1﹣2sin2A，cos2B=1﹣2sin2B，∵sinA＞sinB＞0∴cos2A＜cos2B．∴C正确．故选：B．10．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体为直三棱柱消去一个棱锥，画出其直观图，根据三视图的数据所对应的几何量，代入公式计算可得答案【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱消去一个棱锥，其直观图如图：其中AB=BC=2．AB⊥BC，D为侧棱的中点，侧棱长为2，∴几何体的体积V=×2×2×2﹣×=．故选：D．11．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=（） m．A．B．C．100 D．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故选：B．12．锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（，2）D．（，）【考点】HP：正弦定理；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】先根据正弦定理得到=，即可得到，然后把B=2A代入然后利用二倍角的正弦函数公式化简，最后利用余弦函数的值域即可求出的范围．【解答】解：根据正弦定理得： =；则由B=2A，得： ====2cosA，而三角形为锐角三角形，所以A∈（，）所以cosA∈（，）即得2cosA∈（，）．故选D二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=25，点P（﹣1，7），过点P作圆的切线，则该切线的一般式方程为3x﹣4y+31=0 ．【考点】J7：圆的切线方程．【分析】由题意得圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=25的圆心为C（2，3），半径r=5．P在圆上，可设切线l的方程，根据直线l与圆相切，利用点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k，即可得所求切线方程．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=25的圆心为C（2，3），半径r=5．P在圆上．由题意，设方程为y﹣7=k（x+1），即kx﹣y+7+k=0．∵直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=25相切，∴圆心到直线l的距离等于半径，即d==5，解之得k=，因此直线l的方程为y﹣7=（x+1），化简得3x﹣4y+31=0．故答案为：3x﹣4y+31=0．14．圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2=9与圆C2：（x+1）2+（y﹣m）2=4内切，则m的值为﹣2或﹣1 ．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差解出m．【解答】解：圆C1的圆心为（m，﹣2），半径为r1=3，圆C2的圆心为（﹣1，m），半径为r2=2，∴两圆的圆心距d=，∵两圆内切，∴ =1，解得m=﹣2或m=﹣1．故答案为：﹣2或﹣1．15．若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上恰有3个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则半径r的值为 6 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，把圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上恰有3个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1转化为圆心C（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于r﹣1．再由点到直线的距离公式列式求得r值．【解答】解：如图，要使圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上恰有3个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则圆心C（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于r﹣1．由点到直线的距离公式得d=，解得r=6．故答案为：6．16．连接直角三角形的直角顶点与斜边的两个三等分点，所得线段的长分别为sinα和cosα，则斜边长是．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】如图建立平面直角坐标系，设A（3a，0），B（0，3b），则三等分点M（a，2b），N（2a，b）由已知得⇒5（a2+b2）=1，则，可得AB=【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设A（3a，0），B（0，3b），则三等分点M（a，2b），N（2a，b）由已知得⇒5（a2+b2）=1，则∴AB=故答案为：．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0（1）当l1⊥l2时，求a的值；（2）在（1）的条件下，若直线l3∥l2，且l3过点A（1，﹣3），求直线l3的一般方程．【考点】IG：直线的一般式方程；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）利用两条直线垂直的充要条件即可得出．（2）根据平行可设，代值计算即可．【解答】解：（1）由；（2）由（1），，又l3∥l2，设，把（1，﹣3）代入上式解得C=﹣2，所以．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=，且（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）已知等式利用平方差公式及完全平方公式变形，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosA的值，进而求出sinA的值，由cosC=﹣cos （A+B），利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出cosC的值；（Ⅱ）由sinC，a，sinA的值，利用正弦定理求出c的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．【解答】解：（Ⅰ）（a﹣b+c）（a+b﹣c）=bc可得：a2﹣（b﹣c）2=a2﹣b2﹣c2+2bc=bc，∴a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，∴sinA==，则cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC==，在△ABC 中，由正弦定理==，得：c===8，则S=acsinB=×5×8×=10．19．如图所示，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BD=，PC=，PA=，∠CDP=90°，E 、F 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：EF ∥平面PAB ； （2）求BD 与PA 所成角的大小．【考点】LM ：异面直线及其所成的角；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PB 中点M ，连接MF ，AM ．可得MF ∥BC ，且MF=BC ．再得MF ∥AE 且MF=AE ，得四边形AMFE 为平行四边形，即EF ∥AM ．证得EF ∥平面PAB（2）延长CD 至N ，使DN=CD ，连接PN 、AN ，则由底面ABCD 是平行四边形⇒AB DN ⇒ANBD ，所以∠PAN 就是所求的角，求∠PAN 即可【解答】解：（1）证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF=BC ．由已知有BC ∥AD ，BC=AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF=AE ， 故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ．… （2）延长CD 至N ，使DN=CD ，连接PN 、AN ，则由底面ABCD 是平行四边形⇒ABDN ⇒ANBD ，所以∠PAN 就是所求的角，PD垂直平分CNBD与PA所成的角为90°．…20．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x﹣4y+4=0与圆C相切．（I）求圆C的方程；（II）过点Q（0，﹣3）的直线l与圆C交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若=3（O为坐标原点），求直线l的方程．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（I）利用切线的性质列方程解出圆心坐标即可得出圆的方程；（II）设直线l斜率为k，联立方程组，利用根与系数的关系计算x1x2，y1y2，根据数量积公式列方程解出k得出直线l的方程．【解答】解：（I）设圆C的圆心为C（a，0），则C到直线3x﹣4y+4=0的距离等于圆的半径，∴=2，解得a=2或a=﹣（舍）．∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4．（II）若直线l无斜率，则直线l方程为x=0，与圆C相切，不符合题意；若直线l有斜率，设直线l的方程为y=kx﹣3，联立方程组，得（1+k2）x2﹣（4+6k）x+9=0，∵直线l与圆有两个交点，∴△=（4+6k）2﹣36（1+k2）＞0，解得k＞．由根与系数的关系可得：x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1﹣3）（kx2﹣3）=k2x1x2﹣3k（x1+x2）+9=﹣+9=，∵=3，∴x1x2+y1y2=3，即+=3，解得k=1或k=﹣5（舍）．∴直线l的方程为y=x﹣3．21．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．（I）设，判断最大时△ABC的形状．（II）若，求△ABC周长的取值范围．【考点】HR：余弦定理．【分析】（I）根据向量的运算求出，利用三角函数的有界性求出最大值时A是角度．即可判断．（II）通过正弦定理转化，利用三角函数的有界性△ABC周长的取值范围．【解答】解：由题意，，，a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理，可得，则B=．（I）∴最大时，则sinA=1，∵，∴，故△ABC为直角三角形．（II）由，根据正弦定理：，周长=，∵∴，∴（∵即时，a=c，不成立），故得△ABC周长．22．已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】根据题意，设P（4，t）．（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|2=|OC|2+|PC|2，即，解得t=0，所以点P坐标为（4，0），由此能够求出两切线所夹劣弧长．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（﹣2，0），P（4，t），可以设，和圆x2+y2=4联立，代入消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2﹣144=0，因为直线AP经过点A（﹣2，0），M（x1，y1），所以﹣2，x1是方程的两个根，然后由根与系数的关系进行求解．【解答】解：根据题意，设P（4，t）．（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|2=|OC|2+|PC|2，即，解得t=0，所以点P坐标为（4，0）．在Rt△POC中，易得∠POC=60°．所以两切线所夹劣弧长为．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（﹣2，0），P（4，t），可以设，和圆x2+y2=4联立，得到，代入消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2﹣144=0，因为直线AP经过点A（﹣2，0），M（x1，y1），所以﹣2，x1是方程的两个根，所以有，，代入直线方程得，．同理，设，联立方程有，代入消元得到（4+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣16=0，因为直线BP经过点B（2，0），N（x2，y2），所以2，x2是方程的两个根，，，代入得到．若x1=1，则t2=12，此时显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）若x1≠1，则t2≠12，x2≠1，所以有，所以k MQ=k NQ，所以M，N，Q三点共线，即直线MN经过定点Q（1，0）．综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．2017年6月15日。

2013级净月实验校高三年级 “百炼成钢 只争朝夕”第二次模拟考试（数学理）学科试题考试时间：120分钟 试卷满分:150分命 题 人： 审 题 人：一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A ＝{}22320x x x -->，B ＝{}2ln(1)x y x =-，则A B ＝（ ）A ．(2,1)--B ． (,2)(1,)-∞-+∞C ．1(1,)2- D ． (2,1)(1,)--+∞ 2.已知数列{}n a 满足11a =，12(2,)n n a a n n N *-=≥∈，则数列{}n a 的前6项和为（ ） A ．63 B ．127 C ．6332 D ．127643.若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则sin()4πα+=( ) A．．4.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题不正确的是（ ） A ．若m //n ，m α⊥，则n α⊥ B ．若m α⊥，m β⊥，则αβ C ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ D ．若//m α，n αβ= ，则m //n5.已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a等于（ ）A ．．4 C ．8 D ．166.已知两定点(0,2)A -，(0,2)B ，点P 在椭圆2211216x y +=上，且满足||||AP BP -＝2，则AP BP 为（ ）A ．－12 B.12 C ．一9 D ．97.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（ ）A ．2B ． C.2 D.俯视图侧视图正视图8.点F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若椭圆上存在点A 使AOF ∆为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）A．2B．2 C．12 D19.已知抛物线28y x =的焦点F 到双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>渐近线的距离为点P 是抛物线28y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线2x =-的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）A ．22123y x -= B ．2214x y -= C ．2214y x -= D ．22132y x -= 10.已知M 是ABC ∆内的一点，且30,AB AC BAC =∠=若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y+的最小值是（ ）A ．20 B ．18C ．16D ．911.已知圆C ：1)()(22=-+-b y a x ，平面区域Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00307y y x y x .若圆心Ω∈C ，且圆C 与x 轴相切，则22b a +的最大值为（ ）A.49 B.37C.29D.5 12.已知函数⎩⎨⎧<<-≤<=63),6(30,lg )(x x f x x x f ，设方程()2()xf x b b R -=+∈的四个实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（ ）（1）1201x x <<或()()340661x x <--<；（2）1201x x <<且()()34661x x -->； （3）1219x x <<或34925x x <<； （4）1219x x <<且342536x x <<.A ．3B ．2C ．1D ．0 二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）13.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE = __________．14.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220l n l n l n a a a ++= ________． 15.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形ABCD 是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为 ． 16.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2ln h x e x =，有下列命题：①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(4,0]-；·④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-. 其中真命题的个数为 （请填所有正确命题的序号）三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤） 17.（本小题12分）在锐角ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 2sin c A =. （Ⅰ）确定角C 的大小；（Ⅱ）若c =ABC ∆a b +的值． 18.（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()14211n n S n a +=-+(*n ∈N ),且11=a . （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列； （Ⅱ）设n b =数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:32n T <(*n ∈N ).19.（本小题12分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ,222=====BG AD CE CD BC（Ⅰ）证明：AG //平面BDE ；（Ⅱ）求平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角的余弦值. 20．(本小题12分)已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B . 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45 时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值. 21．（本小题12分）设函数ax xxx f -=ln )(． （Ⅰ）若函数)(x f 在[)2+∞，上为减函数，求实数a 的最小值； （Ⅱ）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC 为O 的直径，D 为 BC的中点，E 为BC 的中点． （Ⅰ）求证：//DE AB ；（Ⅱ）求证：2AC BC AD CD =． 23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l的参数方程是x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin ρθρθ+-2sin 30ρθ-=．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB ． 24．(本小题10分)选修4－5：不等式选讲设函数()214f x x x =+--． （Ⅰ）解不等式0)(>x f ；（Ⅱ）若()34f x x m +->对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．ACCDB DDDCB BA﹣ ；50；；①②④17.（本小题10分）在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角A ，B ，C2sin c A =(1)确定角C 的大小； （2）若c =ABCa 十b 的值． 17.（本题10分）解（12sin c A =及正弦定理得，sin sin a Ac C ==sin 0,sin A C ≠∴=Q ABC ∆Q 是锐角三角形，3C π∴=…………5分（2）解法1：.3c C π==Q 由面积公式得1sin 623ab ab π==即 ① 由余弦定理得22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②由②变形得25,5a b =+=2（a+b)故 解法2：前同解法1，联立①、②得2222766a b ab a b ab ab ⎧⎧+-=+⇔⎨⎨==⎩⎩＝１３ 消去b 并整理得4213360a a -+=解得2249a a ==或所以2332a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或故5a b +=…………10分18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()14211n n S n a +=-+(*n ∈N ),且11=a . (1) 求证：数列{}n a 为等差数列； （2)设n b =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:32n T <(*n ∈N ). 18.解(Ⅰ) 由题设()14211n n S n a +=-+,则21413a S =-=，3234115,a S =-=35a =. 当2n ≥时，()14231n n S n a -=-+, 两式相减得()()12121n n n a n a ++=-, …………………2分方法一：由()()12121n n n a n a ++=-，得12121n n a a n n +=+-，且2131a a=. 则数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列，即1121211n a a n ==-⨯-，也即21n a n =- ……………………6分所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列 ………………………7分方法二：由()()12121n n n a n a ++=-，得()()122321n n n a n a +++=+， 两式相减得212n n n a a a +++=,且1322a a a += …………………6分所以数列{}n a 等差数列. …………………7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得12-=n a n ,()21212n n n S n +-==,()121nbn n =-, …………………9分当1=n 时,1312T =<成立；………………………………………………………10分 当2n ≥时,()()111111121212122n b n n n n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪---⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ …………………12分所以1111111122231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1113111222n ⎛⎫=+-<+= ⎪⎝⎭综上所述,命题得证. ………………（理）19.如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ,222=====BG AD CE CD BC （Ⅰ）证明：AG //平面BDE ;（Ⅱ）求平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角的余弦值.19.如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ,222=====BG AD CE CD BC（Ⅰ）证明：AG //平面BDE ;（Ⅱ）求平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角的余弦值. 【解析】由平面ABCD BCEG ⊥平面，平面ABCD BCEG BC = 平面, ,CE BC CE ⊥⊂平面BCEG , ∴EC ABCD ⊥平面 .………2分根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得(0,2,0(20,0(002(2,1,0)(0,2,1)B D E A G ），，），，，），………….3分（Ⅰ）设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z = ，则(0,2,2),(2,0,2)EB ED =-=-00EB m ED m ∴⋅=⋅=即0y z x z -=⎧⎨-=⎩ ， x y z ∴==，∴平面BDE 的一个法向量为(1,1,1)m =，………………………………………………..5分(2,1,1)AG =- 2110AG m ∴⋅=-++= ，AG m ∴⊥，AG BDE ⊄ 平面，∴AG ∥平面BDE . ……………………………………………….7分 （Ⅱ）设平面BAG 的法向量为()z y x n ,,=，平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角为θ……….8分因为()0,1,2-=BA ,()1,0,0=BG ,由0,0=⋅=⋅BG n BA n 得⎩⎨⎧==-002z y x ， (10)分∴平面BAG 的一个法向量为()0,2,1=n ，∴5155321cos =⋅+θ. 故平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角的余弦值为515……….12分20．(本小题满分12分)已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B . 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45 时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值. 20．(本小题满分12分)解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b =所以24,a =所以椭圆方程为22143x y += …………………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45 ,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y ,得到27880x x +-= …………………………5分所以121288288,,77x x x x ∆=+=-=所以1224|||7CD x x =-=…………………………6分（Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= …………7分 当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然0∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++ ………………8分 此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k=++=+ ………………………………10分 因为0k ≠,上式1234||||k k =≤==+（k =所以12||S S -………………………………12分另解：（Ⅲ）设直线l 的方程为：1-=my x ()R m ∈，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x my x 得，()0964322=--+my y m ．设()11y ,x C ，()22y ,x D ，则436221+=+m m y y ，0439221<+-=⋅m y y ． ………………8分 所以，2121y AB S ⋅=，1221y AB S ⋅=，()21122142121y y y y AB S S +⨯⨯=-=-43122+=m m ……………………10分 当0=m 时，=-21S S 343212431222=⨯≤+=mmm m ()R m ∈． 由432=m ，得 332±=m ． 当0=m 时，3021<=-S S 从而，当332±=m 时，21S S -取得最大值3．…………………………12分21．（本小题满分12分）设函数ax xxx f -=ln )(． （1）若函数)(x f 在[)2+∞，上为减函数，求实数a 的最小值； （2）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围．21.解：（1）由已知得x ＞0，x ≠1．2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在[)2+∞，上恒成立．…1分所以当[)2,x ∈+∞时，max ()0f x '≤又22ln 111()ln ln ln x f x a a x x x -'=-=-+-2111ln 24a x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，………2分故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ……………5分 （2）命题“若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立”等价于“当2[,]x e e ∈时，有()min max ()f x f x a '+≤”． 由（1），当2[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=-，∴max 1()4f x a '+=． 问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有min 1()4f x ≤”． ①当14a ≥时，由（1），()f x 在2[,]e e 上为减函数，则min ()f x =2221()24e f e ae =-≤，故21124a e -≥． …………………7分②当a <14时，由于'2111()()ln 24f x a x =--+-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（ⅰ）0a -≥，即0a ≤，'()0f x ≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是，min 1()()4f x f e e ae e ==-≥>，矛盾．…………………9分 （ⅱ）0a -<，即104a <<，由'()f x 的单调性和值域知，存在唯一20(,)x e e ∈，使'()0f x =，且满足：当0(,)x e x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数；当20(,)x x e ∈时，'()0f x >，()f x 为 增函数；所以，0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ==-≤，20(,)x e e ∈……………………11分 所以，2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾． 综上得21124a e≥-……………………………………………………………12分 请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点． （Ⅰ）求证：DE ∥AB ；（Ⅱ）求证：AC ·BC ＝2AD ·CD ．【证明】： （Ⅰ）连接OE ，因为D 为的中点，E 为BC 的中点， 所以OED 三点共线．………………………… …2分因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以OE ∥AB ，故DE ∥AB.………………………… …5分 （Ⅱ）因为D 为的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ∠DAC ＝∠DCB ．又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE △DAC ∽△ECD ．………… …8分AC CD ＝ADCEAD ·CD ＝AC ·CE 2AD ·CD ＝AC ·2CE2AD ·CD ＝AC ·BC ．……………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 3（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-+θρθρ2222sin cos 03sin 2=-θρ．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；OA（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB ． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）消去参数得直线l 的直角坐标方程：x y 3=---------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得 θρθρcos 3sin =)(3R ∈=⇒ρπθ.（ 也可以是：3πθ=或)0(34≥=ρπθ）---------------------5分 （Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧==--+303sin 2sin cos 2222πθθρθρθρ 得 0332=--ρρ-----------------------------7分设)3,(1πρA ，)3,(2πρB ， 则154)(||||2122121=--=-=ρρρρρρAB .---------10分 （若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式f (x )>0；（II ）若f (x )+4x ->m 对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．24.解：（I ）当x 4≥ 时， f (x )=2x +1-(x -4)=x +5>0，得x >-5，所以x 4≥成立. 当421<≤-x 时，f (x )=2x +1+x -4=3x -3>0，得x >1，所以1<x <4成立. 当21-<x 时， f (x )=-x -5>0，得x <-5，所以x <-5成立. 综上，原不等式的解集为{x |x >1或x <-5} . …………5分(II)f (x )+43-x =|2x +1|+2|x -4|9|)82(12|=--+≥x x .当时等号成立或214-≤≥x x ，所以m <9. …………10分。

“时不我待，只争朝夕” 高三模拟考试语文科试卷 注意事项： 1．本试卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 阅读题 甲 必考题 一、现代文阅读（9分，每小题3分） 阅读下面的文字，完成1-3题。

自魏晋以来，在玄学思潮的推动下，开创了在文学创作中追求言外之意、弦外之音、象外之趣以及言有尽而意无穷的美学旨趣。

中国古代诗歌理论对此有大量论述，这是众所周知的。

由此，许多人认为这是中国古典美学和诗歌理论独有的特征，因而不同于西方美学理论重视文学作品严密的逻辑性和理性的分析，不重视以有限的形式容纳无限的内涵。

但事实并非如此。

现代西方接受美学理论指出，一部文学作品中总是存在许多意义空缺部分。

德国康士坦茨学派的伊瑟尔认为，作品本身是作家有意识活动的产物，只能部分地左右读者的理解和反应，其中总包含一些“空白”或“不明确的因素”。

这一点在现代文学中尤其明显。

伊瑟尔在《隐含的读者》一书中，从对英国古典作家班扬到现代作家贝克特的作品进行的历史考察中，发现这几个世纪以来，西方文学作品总的趋势是“空白”和“不确定性”越来越多，因而要求读者在阅读过程中必须有主观因素的积极参与。

西方现代接受美学也把追求空白和不确定性，作为衡量文学作品艺术水准高下的重要尺度。

上述事实都说明，重视文学作品的言外之意、言不尽意和以少寓多，并不只是中国古典美学和诗学的特征，而可以说是人类审美的普遍现象。

这一人类经验的普遍特征，同人类语言的特点有着内在的联系。

正是由于人类语言在表达意义和情感时普遍存在局限性，因此无论怎样详尽的语言描述也不可能把现象世界的全貌呈现于人们的面前，而必须以形象去调动人们的想象，来弥补自然语言在表意方面的不足，“穷理析义，须资象喻”，形象可以启示联想，“作者得于心，览者会以意，殆难指陈以言也”。

学必求其心得，业必贵于专精“时不我待,只争朝夕”高三模拟考试理科综合试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共16页.考试结束后,分科上交答题卡。

注意事项：1。

答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0。

5毫米黑色字迹的签字笔书写，肢体工整、笔迹清楚。

3。

请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4。

作图可以先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5。

保持卡面清洁,不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

可能用到的相对原子质量：H—1 C-12 N—14 O-16Cl—35。

5 S—32 Cu—64第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题:本题共13小题,每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列叙述错误的是A．菠菜遗传物质的基本组成单位有4种B．线粒体中只能合成ATP,不能消耗ATPC．甲状腺激素发挥作用后被灭活D．每个核糖体具有两个tRNA的结合位点2．下列有关实验的叙述，正确的是A．营养物质消耗、代谢产物积累是限制酵母菌种群数量增长的主要因素B．经甲基绿染色的口腔上皮细胞,可在高倍镜下观察到蓝绿色的线学必求其心得，业必贵于专精粒体C．用过氧化氢酶探究温度对酶活性的影响，实验的自变量是酶的用量和温度D．用于观察质壁分离与复原的洋葱表皮细胞也可以用来观察有丝分裂3。

下图是某人的体检化验单,下列说法不正确的是：A。

此人可能曾经感染过乙肝病毒，现在已被免疫系统清除B.此人可能接种过乙肝疫苗C.上表中免疫活性物质是乙肝表面抗原和乙肝表面抗体D. 乙肝表面抗原和乙肝表面抗体能发生特异性结合4．下列关于种群的相关叙述,正确的是A．种群最基本的数量特征是出生率和死亡率B．样方法取样时应根据地段的形状确定取样方法C．“S”型曲线中，种群数量达到环境容纳量的一半时适于害虫种群的防治D．基因突变产生新的等位基因，就一定使种群的基因频率发生定向改变5。

2016年吉林省东北师大附中高考数学模拟试卷（文科）(六）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i是虚数单位，则（1﹣2i）（2+i）=（）A．4﹣3i B．3﹣4i C．﹣3﹣4i D．﹣4+3i2．已知集合A={a,4}，B={2，a2｝，且A∩B=｛4｝,则A∪B=（）A．｛2，4} B．{﹣2，4｝C．{﹣2，2，4}D．{﹣4,2，4}3．已知命题p：∃x0＞0，2x0=3,则￢p是（) A．∀x∈R，2x≠3 B．∀x＞0,2x≠3 C．∀x≤0，2x=3 D．∀x≤0,2x≠34．已知向量，的夹角的余弦值是,且满足｜｜=｜|=1，则|+｜=( ）A．B．C．D．5．已知A+B=π,B∈（，π），且sinB=，则tanA=（）A．B．C．2D．6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．6 D．127．已知等比数列｛a n}(a1≠a2）的公比为q，且a7，a1，a4成等差数列，则q=（)A．1或B． C．1或 D．18．已知抛物线y2=2x的焦点为F，准线为l，且l与x 轴交于点E，A是抛物线上一点，AB⊥l,垂足为B，｜AF｜=，则四边形ABEF的面积等于（）A．19 B．38 C．18 D．369．已知函数f（x）（x∈R），满足f(﹣x）=﹣f（x），f （3﹣x）=f（x），则fA．0 B．3 C．﹣3 D．不确定10．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜时间内随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（) A．B．C．D．11．如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形,则该几何体的最长的棱长等于（）A．2B．3 C．3D．912．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣，0）作圆（x﹣)2+y2=1的切线,切点在双曲线上,则双曲线的离心率等于( ）A．2 B．C．D．二．填空题：本大题共4小题,每小题5分。

“时不我待，只争朝夕”高三模拟考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 已知集合}021|{},1,1{<-=-=xx N M ，则下列结论正确的是A.M N ⊆B. Φ=M NC. N M ⊆D. R =M N2. 若复数z 满足(1)1z i -=,则z 的实部为 A.12 B.12-C. 1D.212+ 3. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则DB DC ⋅= A. 232a -B. 234a -C.234a D.232a 4. 若圆22:2tan 0C x y x y θ+-=-关于直线210x y --=对称，则sin cos θθ=A.25 B. 25- C. 637- D. 23- 5. 若),(),,(d c B b a A 是x x f ln )(=图象上不同两点，则下列各点一定在函数)(x f 图象上的是A. ),(d b c a ++B. ),(bd c a +C. ),(d b ac +D. ),(bd ac6. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是7. 某射击手射击一次击中目标的概率是0.7,连续两次均击中目标的的概率是0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是A.710B.67C.47D.258. 函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的部分图象如图所示，则()f π=A.2B. 3C. 22D. 239. 如下图所示的程序框图,其作用是输入x 的值,输出相应的y 值,则满足输出的值与输入的值是互为相反数的x 的个数为 A.0 B.1C.2D.310. 已知在三棱锥P ABC -中，43,3P ABC V -= 45,APC ∠=︒60,,BPC PA AC PB BC ∠=︒⊥⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为 A.43π B.823πC.1233πD.323π11. 设21,F F 分别椭圆221112211:1(0)xyC a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0),xyC a b a b =>-的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率1[]322,43e ∈，则双曲线2C 离心率2e 的取值范围是A.[]22,72143 B. [2,7142) C. 32(2,]2D.[223,)+∞12. 函数2ln ()()()x x b f x b x+-=∈R ，若存在[]1,22x ∈，使得()()f x x f x '>-⋅，则实数b 的取值范围是A.()2，∞-B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-23，C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-49，D. ()3，∞- 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若a dx x e=⎰11，则3(1)(1)a x x--展开式中的常数项是_________. 14. 已知变量,x y 满足约束条件11x y x y x a+≤-≤≥⎧⎪⎨⎪⎩,若2y x +的最大值为12,则实数a =_______.15. 已知)4ln()(a xx x f -+=,若存在00>x 使得0()0f x =,则实数a 的取值范围是____.16. ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin sin cos 2a A B b A a +=，则角A的取值范围是________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）已知等差数列}{n a 中公差0≠d ，有1441=+a a ，且721,,a a a 成等比数列. (1) 求}{n a 的通项公式与前n 项和公式n S ；(2) 令12n n S b n =-，求数列}1{1+n n b b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）某网站点击量等级规定如下：统计该网站4月每天的点击量如下表：点击次数（x 万次）050x ≤< 50100x ≤< 100150x ≤<150x ≥天数511104(2) 从4月份点击量低于100万次的天数中随机抽取3天，记这3天点击等级为差的天数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，DC PD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，1,2AB AD PD CD ====. (1) 证明：BC ⊥平面PBD ；(2) 在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45︒？若存在，求||||PQ PC 的值；若不存在，请说明理由.点击次（x 万次等级20. （本小题满分12分）已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的左顶点R 与双曲线2213x y -=的左焦点重合，点(2,1),(2,1),A B O -为坐标原点.(1) 设Q 求椭圆C 上任意一点，(6,0)S ，求QS QR ⋅的取值范围；(2) 设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆C 上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数2()ln ()2a f x x x x x a a =--+∈R . (1) 若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =-平行，求a 的值；(2) 若函数()f x 在其定义域内有两个不同的极值点，记两个极值点分别为12,x x ，且12x x <，若已知0λ>，不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. 如图，AB 与圆O 相切于点B ，,C D 为圆O 上两点，延长AD 交圆O 于点E ，BF ∥CD 且交ED 于点F . (1) 求证：BCE ∆∽FDB ∆；(2) 若BE 为圆O 的直径，,2EBF CBD BF ∠=∠=，求AD ED ⋅. 23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（其中α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (1) 若,A B 为曲线12,C C 的公共点，求直线AB 的斜率；(2) 若,A B 为曲线12,C C 上的动点，当||AB 取最大值时，求AOB ∆的面积. 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知正实数,,a b c .(1) 若1abc =111a b c≤++；(2) 若1a b c ++=，|21||2|3x x ≤---+恒成立，求x 的取值范围.。

吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}|lg P y y x ==，集合{|Q x y ==，则()R P Q = ðA ．[]2,0-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞-2．i 为虚数单位，复数2i12iz +=-，复数z 的共轭复数为z ，则z 的虚部为（）A ．1-B ．2-C ．2i-D ．i-3．已知向量(),3a m = ，()1,b m = ，若a 与b方向相反，则a = （）A ．54B ．48C ．D ．4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，能被7除余1且被9除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列的和为（）A ．30014B ．30016C ．33297D ．332995．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（）A ．πB ．π2C ．π3D ．π46．已知cos1a =，sin11e b -=，34c =，则下列不等关系正确的是（）A ．a c b<<B ．a b c<<C ．c b a<<D ．c a b<<7．直线l 的方程为()()()2130x y λλλλ++--=∈R ，当原点O 到直线l 的距离最大时，λ的值为（）A ．1-B ．5-C ．1D ．58．函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图，BC x ∥轴，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，则m 的取值范围是（）A．2⎛-∞ ⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．(-∞D ．(],1-∞二、多选题9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x -=-，当[]0,3x ∈时，()23f x x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()()6f x f x +=B ．[]6,3x ∈--时，()236f x x x =--C ．()()()202120232022f f f +=D ．()202312k f k ==∑10．已知数列{}n a ，11a =，()21*12n n n a a n -+=∈N ，{}n a 的前n 项的和为nS，前n 项的积为n T ，则下列结论正确的是（）A ．32a =B ．114n n a a +-=C ．21n n S =-D ．()2122n n n T -=11．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，12AB AD AA ===，P 为1CC 中点，点Q 在四边形11CDD C 内（包括边界）运动，下列结论正确的是（）A ．若1DQ DC DD λμ=+ ，且12λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B ．若AQ ∥平面1A BP ，则AQC ．若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2D．若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为3π12．已知函数()ln xf x a a =，()()ln 1g x a x =-，其中0a >且1a ≠．若函数()()()h x f x g x =-，则下列结论正确的是（）A ．当01a <<时，()h x 有且只有一个零点B ．当1e 1e a <<时，()h x 有两个零点C ．当1e e a >时，曲线()yf x =与曲线()yg x =有且只有两条公切线D ．若()h x 为单调函数，则e e 1a -≤<三、填空题13．若1cos 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14．如图，单位向量OA ，OB 的夹角为π2，点C 在以O 为圆心，1为半径的弧AB 上运动，则CA CB ⋅的最小值为______．15．已知函数()322x x f x x -=+-，若实数a 、b 满足()()22210f a f b +-=，则的最大值为______．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆M 的方程为()()()221211R x a y a a +++-+=∈，则圆心M 的轨迹方程为____________．若对于圆M 上的任意点P ，在圆O ：224x y +=上均存在点Q ，使得30OPQ ∠=︒，则满足条件的圆心M 的轨迹长度为______．四、解答题17．如图，四边形ABCD 中90BAC ∠= ，30ABC ∠= ，AD CD ⊥，设ACD θ∠=.（1）若ABC ∆面积是ACD ∆面积的4倍，求sin 2θ；（2）若6ADB π∠=，求tan θ.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，12n n a n S n+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记12nn na c =-，数列{}nc 的前n 项和为n T ，求12111n T T T ++⋅⋅⋅+的值．19．已知函数()()()2112ln 2f x x a x a x =+-+-，其中a ∈R ．(1)若1a =，求函数()f x 的极值；(2)讨论函数()f x 的单调性．20．如图，等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE V 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.(1)证明：AE PB ⊥；(2)若直线PB 与平面ABCE 所成的角为π4，求平面APE 与平面CPE 夹角的余弦值.21．已知圆22:(4)4M x y +-=，P 是直线:20l x y -=上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，切点为A .(1)当切线PA的长度为P 的坐标.(2)若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当点P 运动时，圆N 是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.22．已知函数()e cos axf x x =⋅，其中a ∈R ．(1)若2a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)已知()f x 在区间()0,π上存在唯一的极小值点．（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）记()f x 在区间()0,π上的极小值为()g a ，讨论函数()g a 的单调性．参考答案：1．D【详解】分析:先化简集合P 和Q,再求R Q ð和()R P Q ⋂ð.详解：由题得P R =,{|2}Q x x =≥-，所以R Q ð={x|x ＜-2}，所以()R P Q ⋂ð=(),2-∞-，故答案为D点睛：（1）本题主要考查集合的化简和集合的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题是易错题，解答集合的题目时，首先要看集合“|”前集合元素的一般形式，本题{}|lg P y y x ==，表示的是函数的值域.集合{|Q x y ==表示的是函数的定义域.2．A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义以及复数的概念可得结果.【详解】因为()()()()2i 12i 2i5i i 12i 12i 12i 5z +++====--+，故i z =-，因此，z 的虚部为1-.故选：A.3．D【分析】首先根据题意得到m =，再求a即可.【详解】向量(),3a m = ，()1,b m = ，若a 与b方向相反，所以230m -=，解得m =.所以())()32a =--=- ，a = 故选：D 4．C【分析】得到6362n a n =-，从而得到{}n a 为等差数列，首项为1，公差为63，利用等差数列求和公式求出答案.【详解】由已知可得1n a -既能被7整除，又能被9整除，故1n a -能被63整除，所以()1631n a n -=-，即6362n a n =-，所以()()163162636263n n a a n n +-=+---=，故{}n a 为等差数列，首项为1，公差为63，由12023n a ≤≤可得：163622023n ≤-≤，因为N n *∈，所以133n ≤≤，N n *∈，故该数列的和为33323363332972⨯+⨯=.故选：C 5．C【分析】由侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面圆周长可构造方程求得圆锥底面半径，由此可确定圆锥轴截面为正三角形，求得正三角形内切圆半径即为所求内切球半径，代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】设圆锥底面半径为r ，则12π2π1π2r =⨯⨯=，解得：12r =；∴圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，∴此正三角形内切圆的半径为13=R ∴圆锥内切球的表面积21π4π4π123S R ==⨯=.故选：C.6．A【分析】构造()e 1xf x x =--，x ∈R ，得到sin11sin1e ->，构造()31sin 6t x x x x =-+，0x >，多次求导得到5sin16>，从而得到sin1156e b ->=，再构造()2411cos 1224g x x x x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，0x >，多次求导后得到13cos124<，从而比较出大小.【详解】设()e 1xf x x =--，x ∈R ，故()e 1xf x '=-，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，故()e 1xf x x =--在(),0x ∈-∞上单调递减，在()0,x ∈+∞上单调递增，所以()()00f x f ≥=，故e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为sin110-≠，故sin111si 1n e in 1s 1b -+=-=>，设()31sin 6t x x x x =-+，0x >，则()21cos 12t x x x '=-+，0x >，设()()r x t x '=，则()sin r x x x '=-+，0x >，设()()e x r x '=，则()1cos 0e x x '=-≥在0x >上恒成立，故()r x '在()0,∞+上单调递增，则()()00r x r ''>=，故()t x '在()0,∞+上单调递增，则()()00t x t ''>=，故()31sin 6t x x x x =-+在()0,∞+上单调递增，则()()00t x t >=在()0,∞+上恒成立，所以()11sin1106t =-+>，则5sin16>，故sin1156eb ->=，设()2411cos 1224g x x x x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，0x >，故()31sin 6g x x x x ⎛⎫'=---+ ⎪⎝⎭，0x >，设()()h x g x '=，则()21cos 12h x x x '=-+-，0x >，设()()j x h x '=，则()sin j x x x '=-，0x >，设()()k x j x '=，则()cos 10k x x '=-≤在()0,∞+上恒成立，故()sin j x x x '=-在()0,∞+上单调递减，故()()00j x j ''<=，故()h x '在()0,∞+上单调递减，故()()00h x h ''<=，故()g x '在()0,∞+上单调递减，故()()00g x g ''<=，故()g x 在()0,∞+上单调递减，故()()00g x g <=，所以()111cos110224g ⎛⎫=--+< ⎝⎭，即13cos124<，又sin11133c 4e os 56124-<<<<，即a c b <<.故选：A【点睛】方法点睛：麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：()21e 1!!2n xn x x x n o x +=++++ ，()()()352122s 1!5!in 32!1n n n x x x x x o x n ++=-+-+-++ ，()()()24622cos 1162!4!!!2nn n x x x xx o x n =-+-++-+ ，()()()2311ln 11312n n n x x xx x o x n +++=-+-+-++ ，()2111n n x x x o x x =+++++- ，()()()221112!nn n x nx x o x -+=+++.7．B【分析】求出直线()()()2130x y λλλλ++--=∈R 所过定点A 的坐标，分析可知当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数λ的值.【详解】直线方程()()()2130x y λλλλ++--=∈R 可化为()()320x y x y λ+-+-=，由3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以，直线()()()2130x y λλλλ++--=∈R 过定点()1,2A ，当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，且2OA k =，又因为直线l 的斜率为2112k λλ+=-=--，解得5λ=-.故选：B.8．A【分析】利用三角函数的图象性质和三角恒等变换求解.【详解】因为BC x ∥轴，所以图象最低点的横坐标为π2π7π23212+=，所以17πππ41234T =-=，所以2π=πT ω=解得2ω=，又因为77sin 126ππ1f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以7π3π2π,Z 62k k ϕ+=+∈，即ππ,Z k k ϕ=+∈23，又因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()sin 2f x m x ≥-可得n πs 22in 3si m x x ⎛⎫+ ⎪⎝≥-⎭，即1sin 22s 22s in x x m x ≥-也即3sin 222m x x +≥，令3()sin 2co )s 22π62n(2g x x x x =+=+，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()2g x ∈⎢⎣，因为()g x m ≥恒成立，所以2m ≤.故选:A.9．AC【分析】根据函数的满足()()3f x f x -=-，可确定函数的周期性，从而可判断A ；结合周期性由[]0,3x ∈时的解析式即可得[]6,3x ∈--时的解析式，从而可判断B ；根据函数周期性与对称性即可判断C ，D.【详解】因为函数()f x 的()()3f x f x -=-，所以()()3f x f x =-+，则()()33f x f x -=+，故函数()f x 的周期为6，所以()()6f x f x +=，故A 正确；又当[]0,3x ∈时，()23f x x x =-，则当[]6,3x ∈--时，[]60,3x +∈，()()()()226636918f x f x x x x x =+=+-+=++，故B 不正确；由周期可得()()()()()()20211,20231,20220f f f f f f =-==，又函数()f x 是R 上的奇函数()()f x f x =--，所以()()()00,11f f f ==--，即()()()110f f f +-=，所以()()()202120232022f f f +=，故C 正确；当[]0,3x ∈时，()23f x x x =-，所以()()()12,22,30f f f =-=-=，又因为()()f x f x =--，所以()()()()()()4422,5512f f f f f f =--=-==--=-=，()()600f f ==，则()()()()()()1234560f f f f f f +++++=，所以()()()20236113371337022k k f k f k f ===+=⨯-=-∑∑，故D 不正确.故选：AC.10．BCD【分析】令1n =可求得2a 的值，推导出114n n a a +-=，分析可知数列{}n a 中的奇数项和偶数项分别成以4为公比的等比数列，求出数列{}n a 的通项公式，逐项判断可得出合适的选项.【详解】数列{}n a 中，11a =，()21*12n n n a a n -+=∈N ，当1n =时，则有122a a =，可得22a =，当2n ≥时，由2112n n n a a -+=可得2312n n n a a --=，上述两个等式相除可得114n n a a +-=，B 对；所以，数列{}n a 中的奇数项和偶数项分别成以4为公比的等比数列，当n 为奇数时，设()21n k k *=-∈N ，则1221211422k k n n k a a a ----==⋅==，当n 为偶数时，设()2n k k *=∈N ，则121122422k k n n k a a a ---==⋅==，故对任意的n *∈N ，12n n a -=，所以，2324a ==，A 错；11222nn n n a a +-==，所以数列{}n a 为等比数列，且该数列的首项为1，公比为2，则122112n n n S -==--，C 对；()()()2120122121221232222n nn n n n n T a a a a -⋅++++--==== ，D 对.故选：BCD.11．AB【分析】对于A ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，，由条件确定Q 的轨迹，结合锥体体积公式判断A ；对于B ，由面面平行的判定定理可得平面1//A BP 平面AMN ，从而可得//AQ 平面1A BP ，进而可求得AQ 的最小值；对于C ，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D ，由条件确定点Q 的轨迹为圆弧23A A ，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.【详解】对于A ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,,MN DQ AM AN ，则12DD DM =，2DC DN =，1//MN D C ，因为1DQ DC DD λμ=+ ，12λμ+=，所以22DQ DN DM λμ=+ ，221λμ+=，所以,,Q M N 三点共线，所以点Q 在MN ，因为11//D C A B ，1//MN D C ，所以1//MN A B ,MN ⊄平面1A BP ，1A B ⊂平面1A BP ，所以MN ∥平面1A BP ，所以点Q 到平面1A BP 的距离为定值，因为1A BP 的面积为定值，所以四面体1A BPQ 的体积为定值，所以A 正确；对于B ，因为//AM BP ，因为AM ⊄平面1A BP ，BP ⊂平面1A BP ，所以AM ∥平面1A BP ，又AQ 平面1A BP ，AQ AM M = ，,AQ AM ⊂平面AMQ ，所以平面//AMQ 平面1A BP ，取11D C 的中点E ，连接PE ，则1//PE D C ，11//D C A B ，所以1//PE A B ，所以1,,,A B P E 四点共面，所以平面//AMQ 平面1A BPE ，即Q 在MN 上，当AQ MN ⊥时，AQ 取最小值，因为160,2BAD AB AD AA ∠====，所以AM MN ==AN =222AM MN AN +=，所以,Q M 重合，所以AQ B 正确；对于C ，若1A BQ △的外心为O ，过O 作1OH A B ⊥于H ，因为1A B == 所以()21111111142A B A O A B A H HO A B A H A B ⋅=⋅+=⋅== ，所以C 错误；对于D ，过1A 作111A K C D ⊥，垂足为K ，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A K ⊂平面1111D C B A ，所以11DD A K ⊥，因为1111C D DD D = ，111,C D DD ⊂平面11DD C C ，所以1A K ⊥平面11DD C C ，因为KQ ⊂平面11DD C C ，所以1A K KQ ⊥，又在11A KD 中，111111ππ2,,23A D A KD A D K =∠==，所以111πcos13KD A D ==，111πsin 3A K A D ==，在1A KQ 中，1A K ，1AQ ，1π2A KQ ∠=，所以2KQ =，则Q 在以K 为圆心，2为半径的圆上运动，在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13121D A D A =，则322KA KA ==，所以点Q 的轨迹为圆弧23A A ，因为1131,D K D A ==323A KA π∠=，则圆弧23A A 等于23π，所以D 错误；故选：AB【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.12．BCD【分析】A.()ln ln(1),xh x a a a x =--通过举特例说明该选项错误；B.考虑()ln F x x x =，ln (),xQ x x=求出函数的单调性，分析图象得到()h x 有两个零点；C ．求出两曲线的切线方程，再建立方程组，转化为零点个数问题分析得解；D.分()h x 单调递增和单调递减讨论，从而求出e e 1a -≤<得解.【详解】对A ，()ln ln(1),x h x a a a x =--令()10,ln ln(1),log (1)x x a h x a a a x a x -=∴=-∴=-，令111,164a x =-=或111,162a x =-=1log (1)x a a x -=-都成立，()h x 有两个零点，故A 错误；对B ，1ln ln(1),x a a x -=-令1ln ,(1)ln ln ,ln(1),1x ta t x a t t x x -=∴-=∴⋅=--ln (1)ln(1)t t x x ∴=--，（1t >）.考虑ln (),()ln 10,y x x F x F x x '===+=11,()(1),e x x F a F x -∴=∴=-所以函数()F x 在1(0,)e单调递减，在1(,)e +∞单调递增，1()(1),x F a F x -∴=-1ln(1)1,ln 1x x a x a x --∴=-∴=-.考虑2ln 1ln ()()0,e,x xQ x Q x x x x-'=∴==∴=所以函数()Q x 在(0,e)单调递增，在(e,)+∞单调递减，1(e),eQ =当1ln1e (e 0,1e eQ ==-<x →+∞时，()0Q x >,所以当10ln e a <<时，有两个零点.此时1e 1e a <<，故B 正确；对C ，设21ln ,(),()e 1x a k a f x a k g x x ''=>=⋅=-，1t x =-.设切点1122111222(,()),(,()),()()(),()()(),x f x x g x y f x f x x x y g x g x x x ''∴-=--=-所以12111222()()()()()()f xg x f x x f x g x x g x ''''=⎧⎨-=-⎩.①111122222211,,11x x t a a k a k a k x x t -=∴==--②1111222222(1)ln (1),ln 1,xt t a aa k t a t t a k t t t t -+=-+∴-=-12122221ln 1,1(ln 1)t t kt kt t kt t ∴-=-∴-=-,1222222ln ln ,1ln 2ln ln 0t k k t t k kt t kt +=-∴++-+= ,设1ln 2ln ln (0)S t k kt t kt t =++-+>，所以211()ln (),()0kS t k t P t P t t t t''=-=∴=--<，所以函数()P t 在(0,)+∞单调递减，因为11(1e+0,(e)0e e P k P k =+>=-<，所以00001(,e),()0,(0,),()0,(,),()0,ex S t t t S t t t S t '''∃∈=∴∈>∈+∞<所以()0S t =有两解，所以当1e e a >时，曲线()yf x =与曲线()yg x =有且只有两条公切线，所以该选项正确；对D ，若()h x 单调递增，则2121()0,ln ,(1),1ln x x a h x a a x a x a-'≥∴≥∴-≥-.21.(10)ln m ma m x a∴≥=->.考虑min ,0,m y ma y =→不满足.若()h x 单调递减，则212211()0,ln ,(1),.(10)1ln ln x x m a h x a a x a ma m x x a a-'≤∴≤∴-≥≤=->-.所以max 21(),ln mma a ≤考虑1,(1ln )0,ln m ty ma y m a a t a'==+=∴=-不满足.当1a >时，,m ma →+∞不满足.当1a <时，11ln ln 21111,,,ln ln (ln )ln a am a a a a a a--=-∴-⋅≤∴-11ln ()ln()ln ln a a a ∴⋅-≤-，∴e 11ln(),0ln e,e 1ln a a a--≤-∴>≥-∴≤<.故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题主要有四个关键，其一，是逻辑思维，证明命题是错误的，只要举出反例即可；其二，要熟练掌握利用导数讨论函数的零点个数；其三，是理解掌握曲线公切线的研究方法；其四，要会根据函数的单调性求参数的范围.13．79-【分析】根据题中条件，由诱导公式以及二倍角公式，直接计算，即可得出结果.【详解】因为2223122πππαα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，则227sin 2cos22cos 1312129πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：79-.14．1【分析】建立平面直角坐标系，设出()cos ,sin C θθ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用平面向量数量积公式，结合辅助角公式得到π14CA CB θ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭ ，结合π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出最小值.【详解】以O 为坐标原点，分别以,OB OA 为,x y 轴，建立空间直角坐标系，则()()1,0,0,1B A ，设()cos ,sin C θθ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()()22cos ,1sin 1cos ,sin cos cos sin sin CA CB θθθθθθθθ⋅=--⋅--=--+ π1cos sin 14θθθ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，故当ππ42θ+=，π4θ=时，CA CB ⋅ 取得最小值，最小值为1-故答案为：115．34##0.75【分析】分析出函数()f x 为R 上的增函数，且为奇函数，由()()22210f a f b +-=可得出2221a b +=，利用基本不等式可求得的最大值.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()()332222x x x x f x x x f x ---=-+-=-+-=-，所以，函数()f x 为奇函数，因为函数3y x =、2x y =、2x y -=-均为R 上的增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，由()()22210f a f b +-=可得()()()222211f a f b f b =--=-，所以，2221a b =-，即2221a b +=，当取最大值时，则0a >，所以，22421344a b ++=≤=，当且仅当2222421210a b a b a ⎧=+⎪+=⎨⎪>⎩时，即当412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，等号成立，因此，的最大值为34.故答案为：34.16．230x y ++=5【分析】设出M 的坐标(),x y ，得到1x a =--和21y a =-，消去a 得到圆心的轨迹方程；数形结合分析出点P '离圆O 的距离最大，要使得对于圆M 上的任意点P ，在圆O ：224x y +=上均存在点Q ，使得30OPQ ∠=︒，只需要过点P '作圆的切线，切点为Q '，30OP Q ''∠≥︒即可，从而得到3OM ≤，由垂径定理得到答案.【详解】设圆心M 的坐标为(),x y ，故1x a =--①，21y a =-②，①×2＋②得：230x y ++=，故圆心M 的轨迹方程为230x y ++=；如图所示，取圆M 上一点P ，要使OPQ ∠最大，则过点P 作圆O 的切线，连接OM 并延长交圆M 于点P '，则点P '离圆O 的距离最大，故要使得对于圆M 上的任意点P ，在圆O ：224x y +=上均存在点Q ，使得30OPQ ∠=︒，则只需要过点P '作圆的切线，切点为Q '，若此时30OP Q ''∠≥︒即可，当30OP Q ''∠≥︒时，24OP OQ ''≤=，此时3OM ≤，圆心()0,0O 到直线230x y ++=的距离为d =由勾股定理得：圆心M的轨迹长度为52==.故答案为：230x y ++=17．（1）sin 2θ=（2）tan θ=【分析】（1）设AC ＝a ，可求AB =，AD ＝a sin θ，CD ＝a cos θ，由题意S △ABC ＝4S △ACD ，利用三角形的面积公式即可求解；（2）在△ABD 中，△BCD 中，分别应用正弦定理，联立可得2sin （3π+θ）＝3sin θ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】（1）设AC a =，则AB =，sin AD a θ=，cos CD a θ=，由题意4ABC ACD S S ∆∆=，则114cos sin 22a a a θθ=⋅⋅，所以sin 22θ=.（2）由正弦定理，ABD ∆中，sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，即()sin sin 6BD a ππθ=-①BCD ∆中，sin sin BD BCBCD CDB =∠∠，即2sin sin 33BD aππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭②①÷②得：2sin 3sin 3πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化简得2sin θθ=，所以tan 2θ=.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，意在考查学生的计算能力和转化思想．18．(1)()12nn a n =+(2)21n n +【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式；（2）由（1）得12nn n a c n =-=，由等差数列求和公式得到11121n T n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由12n n a n S n +=得到21nn na S n =+，当2n ≥时，()1121n n n a S n---=，两式相减，有()12121n n n n a na a n n --=-+，得到()()12111n n n a n a n n ---=+，由于2n ≥，121n n a an n-=⋅+，因为122a =，由上述递推关系知01n a n ≠+，所以1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1221n n a n -=⨯+，所以()12n n a n =+．（2）由（1）知：12nn na c n =-=，则111n n c c n n +-=+-=，所以数列{}n c 为等差数列，所以数列{}n c 的前n 项和为()12n n n T +=，则()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n ，所以121111111122122311n n T T T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．(1)不存在极大值；存在极小值，且极小值为12；(2)见解析【分析】（1）由导数得出单调性，进而得出极值；（2）求导，讨论2a -和1的大小关系，得出函数()f x 的单调性．【详解】（1）若1a =，则()21ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞，()()()111x x f x x x x+-'=-=，令()0f x '=，得1x =．当()0f x '<时，()0,1x ∈；当()0f x ¢>时，()1,x ∈+∞．所以，()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增．()f x 不存在极大值；存在极小值，且极小值为()112f =．（2）()()()2121x a x a f x x a x x-+'--=+-+=，()0,x ∈+∞．①若20a -≤，即2a ≤，则令()0f x '=，得1x =．当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>．所以，()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增．②若021a <-<，即23a <<，则令()0f x '=，得1x =或2=-x a ．此时，()f x 的单调性如下表所示：x ()0,2a -2a -()2,1a -1()1,+∞()f x '+-+()f x 极大值 极小值③若3a =，则当()0,x ∈+∞时，()()210x f x x-'=≥，当且仅当1x =时，等号成立．此时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增．④若21a ->，即3a >，则令()0f x '=，得1x =或2=-x a ．此时，()f x 的单调性如下表所示：x ()0,11()1,2a -2a -()2,a -+∞()f x '+0-0+()f x 极大值极小值综上：2a ≤时，()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增；23a <<时，()f x 在区间()0,2a -，()1,+∞上单调递增，在区间()2,1a -上单调递减；3a =时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增3a >时，()f x 在区间()0,1，()2,a -+∞上单调递增，在区间()1,2a -上单调递减；【点睛】关键点睛：在判断函数()f x 的单调性时，关键在于讨论2a -和1的大小关系，利用导函数的正负来判断单调性.20．(1)证明见解析(2)55-【分析】（1）取AE 的中点为O ，证明⊥AE 平面POB 即可；（2）结合直线PB 与平面ABCE 所成的角，先证明PO ⊥平面ABCE ，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角【详解】（1）连接BD ，设AE 的中点为O ，由AB //CE ，2CDAB CE ==，故四边形ABCE 为平行四边形，∴AE BC AD DE ===，故ADE V ，ABE 为等边三角形，故OD AE ⊥，OB AE ⊥，折叠后,OP AE OB AE ⊥⊥，又OP OB O = ，且,OP OB ⊂平面POB ，故⊥AE 平面POB ，又PB ⊂平面POB ，故AE PB⊥（2）由（1）已证得⊥AE 平面POB ，故在平面POB 内可作PQ ⊥平面ABCE ，垂足为Q ，则Q 在直线OB 上，直线PB 与平面ABCE 夹角为π4PBQ PBO ∠=∠=，又OP OB =，故OP OB ⊥，∴,O Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则32P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，32C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13,0,22PE ⎛=- ⎝⎭ ，1322EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z = ，则110n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即10221022x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令x =11,1)n =-，又OB ⊥平面PAE ，显然2(0,1,0)n =为平面PAE 的一个法向量，设二面角A EP C --的大小为α，则121212cos cos ,5n n n n n n α⋅===由图可知二面角A EP C --为钝角，所以cos α=21．(1)(0,0)或168 ,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)过定点，定点(0,4)和84,55⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】(1)由切线的性质可得222MP AM AP =+，列方程求P 的坐标；(2)由条件求出圆N 的方程，根据恒等式的性质确定圆N 所过定点.【详解】(1)由题可知圆M 的圆心为(0,4)M ，半径2r =.设(2,)P b b ，因为PA 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒.在Rt MAP △中，222MP AM AP =+，故4MP ==.又MP =，4=，解得0b =或85.所以点P 的坐标为(0,0)或168 ,55⎛⎫⎪⎝⎭.(2)因为90MAP ∠=︒，所以PAM △的外接圆圆N 是以MP 为直径的圆，且MP 的中点坐标为4,2b b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以圆N 的方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即()22(24)40x y b x y y +--+-=.由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆N 过定点(0,4)和84,55⎛⎫⎪⎝⎭.22．(1)21y x =+(2)（i ）(),0∞-；（ii ）()g a 在区间(),0∞-上单调递减．【分析】（1）当2a =时，求出()0f 、()0f '的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）（i ）分0a =、0a >、a<0三种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在()0,π上的定义，结合极小值点的定义可求得实数a 的取值范围；（ii ）由（i ）以及极小值的定义可得出()()tan e cos e cos at t tg a f t t t ==⋅=⋅．令函数()tan e cos x x x x ϕ=⋅，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()g a t ϕ=，利用导数分析函数()x ϕ在()0,π上的单调性，再结合函数单调性的定义可证得()g a 在区间(),0∞-上单调递减．【详解】（1）解：若2a =，则()2e cos x f x x =⋅，()()2e 2cos sin xf x x x =-'，所以，()01f =，()02f '=．所以，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =+．（2）解：（i ）()()e cos sin axf x a x x =-'，令()cos sin p x a x x =-，①若0a =，则()cos f x x =，在区间()0,π上单调递减，()f x 不存在极值点；②若0a >，则当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos sin 0a x x -<，从而()0f x '<．因为正切函数tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且该函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域为()0,∞+，则1π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得1tan x a =，即11cos sin 0a x x -=．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 0p x a x x '=--<，即函数()p x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.当()10,x x ∈时，11cos sin cos sin 0a x x a x x ->-=，从而()0f x ¢>；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，11cos sin cos sin 0a x x a x x -<-=，从而()0f x '<．所以，()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,πx 上单调递减，()f x 在()0,π上不存在极小值点．③若a<0，则当π0,2x ⎛⎤∈ ⎝⎦时，cos sin 0a x x -<，从而()0f x '<．因为正切函数tan y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且该函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为(),0∞-，所以，π,π2t ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得tan t a =，即cos sin 0a t t -=．当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 0p x a x x '=-->，所以，函数()p x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.当π,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin cos sin 0a x x a t t -<-=，从而()0f x '<；当(),πx t ∈时，cos sin cos sin 0a x x a t t ->-=，从而()0f x ¢>．所以，()f x 在()0,t 上单调递减，在(),πt 上单调递增．此时，x t =为()f x 在区间()0,π上的唯一的极小值点．综上所述，实数a 的取值范围为(),0∞-．（ii ）由（ⅰ）知a<0，()f x 在()0,π上的唯一的极小值点t 满足π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan t a =．由此，()()tan e cos e cos at t tg a f t t t ==⋅=⋅．令函数()tan e cos x xx x ϕ=⋅，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()g a t ϕ=，且()tan tan 2etan cos sin e 0cos cos x xx x x x x x x x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=+-=⋅< ⎪⎢⎥⎝⎭'⎣⎦．所以，()x ϕ在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．下面证明函数()g a 在区间(),0∞-上单调递减．对于任意的120a a <<，设当1a a =和2a a =时，()f x 在()0,π上的极小值点分别为1t 、2t ，则1t 、2π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且11tan t a =，22tan t a =．由12a a <及函数tan y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，有12t t <．又由()x ϕ在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，有()()()()1122g a t t g a ϕϕ=>=．综上，对于任意的120a a <<，均有()()12g a g a >，即()g a 在区间(),0∞-上单调递减．【点睛】方法点睛：函数单调性的判断方法：（1）利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；（2）性质法：①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；②函数()f x -与函数()f x 的单调性相反；③0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()kf x 的单调性相同（()0f x ≠）.（3）复合函数法：同增异减法.即函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性，由内层函数()u g x =和外层函数()y f u =同时决定，若内层函数和外层函数单调性相同，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦单调递增；若内层函数和外层函数单调性相反，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦单调递减.（4）导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.（5）定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.。

吉林省东北师范大学附属中学净月实验学校2022-2023学年高三上学期第二次校内摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合M 满足{}1,4U M =ð，则（ ） A ．2M ∈ B ．4M ÎC ．3M ∉D ．5M ∉2．已知复数21iz =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．2i +D ．2i -3．已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，410S =，945S =，则7a =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．84．一种药在病人血液中的量不低于1800mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3600mg 的此药，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药（lg 20.301≈，结果精确到0.1）（ ） A ．2.7B ．2.9C ．3.1D ．3.35．已知()3,2AB =u u u r ，(),3AC λ=u u u r ，且1BC =u u u r ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．36．过点()0,1-且与双曲线22149x y -=有且只有一个公共点的直线有（ ）条．A ．0B ．2C ．3D ．47．已知ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，且3cos28sin 50αα++=，则cos α的值为（ ）A B ．23 C ．13 D8．在ABC V 中，E 为AC 上一点，2AC AE=u u u r u u u r，P 为线段BE 上任一点，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则21x y +的最小值是（ ）A ．3+B ．4+C ．6D ．8二、多选题9．已知函数()()π2cos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．2ω=B ．π6ϕ=C ．()f x 的单调递增区间是()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．将()y f x =的图像向左平移π3个单位，可以得到2sin 2y x =-的图像10．若直线1y kx =+与圆()()22:44169C x y ++-=相交于A ，B 两点，则AB 的长度可能为（ ） A ．22B ．24C ．26D ．2811．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则下列结论正确的是（ ） A ．min 2AB =B ．124y y =-C ．以弦AB 为直径的圆与准线相切D ．AF BF AF BF +=12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=．若()y g x =的图象关于直线2x =对称，(2)4g =，则下列结论正确的是（ ） A ．()36g = B ．()11f -=- C ．()11f =D ．()202112021k f k ==-∑三、填空题13．921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______（用数字作答）．14．已知数列{}n a 是递减的等比数列，149a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前8项和等于______．15．若曲线()()sin 1f x x a x =++在点0x =处的切线方程是20x y b -+=，则a b +=______．16．已知P 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的交点，1F ，2F 是1C ，2C 的公共焦点，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，若121cos 3F PF ∠=，则12e e ⋅的最小值为______．四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：22n n S a =-，*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s 2c o s c o s a C b A A =-．(1)求A ；(2)若a b c -的取值范围．19．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒．对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位．明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻．为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[)70,80内的学生获三等奖，得分在[)80,90内的学生获二等奖，得分在[]90,100内的学生获一等奖，其它学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，获得了如下频数分布表．(1)从该样本中随机抽取2名学生，求这2名学生均获一等奖的概率；(2)若该市所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布()264,15N ，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望．20．如图，在三棱锥-P ABC 中，AB 是ABC V 外接圆的直径，PC 垂直于圆所在的平面，D 、E 分别是棱PB 、PC 的中点．(1)求证：DE ⊥平面PAC ； (2)若二面角A DE C --为π3，4AB PC ==，求AE 与平面ACD 所成角的正弦值．21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点()0,1B ，且离心率e =(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为k 的直线l 交椭圆E 于C 、D 两点，交y 轴于点()()0,1≠T t t ，问是否存在实数t 使得以CD 为直径的圆恒过点B ？若存在，求t 的值，若不存在，说出理由． 22．已知函数()ln f x x x =-． (1)求函数()f x 单调区间；(2)设函数()()g x f x a =+，若(]12,0,e x x ∈是函数()g x 的两个零点，求证：121x x <．。