指数与指数函数

高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。

指数与指数函数知识点数学中的指数与指数函数是非常重要且常见的概念。

在我们的日常生活中，指数和指数函数可以用来描述各种自然现象、科学问题以及经济趋势等。

本文将详细介绍指数与指数函数的定义、性质以及一些常见应用，以加深读者对这一概念的理解。

一、指数的定义和性质在数学中，指数是一种表示幂次方的数学运算。

指数是由两个数构成，其中一个为底数，另一个为指数。

底数表示要进行幂运算的数字，指数表示底数要乘以自身多少次。

例如，2的3次方即为2的指数为3的结果，即2x2x2=8。

指数函数是指数的一种特殊形式，即以常数为底数的幂函数。

指数函数的一般形式为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是指数函数的值。

指数函数的图像通常具有特定的特征，例如，当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。

指数有一些基本的性质。

首先，任何数的0次方都等于1，即a^0=1。

其次，任何非零数的负指数都是倒数，即a^(-n)=1/(a^n)。

此外，指数相乘等于底数不变指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。

二、指数函数的应用指数函数在各个领域都有广泛的应用。

以下是指数函数在生活和科学中的一些常见应用：1. 经济增长：经济学家常常使用指数函数来描述一个国家或地区的经济增长趋势。

经济增长往往呈现指数增长的形式，即以固定的增长率逐渐增加。

指数函数可以帮助经济学家预测未来的经济趋势和制定相应的政策。

2. 生物衰变：在生物学的研究中，指数函数可以用来描述物种的衰变过程。

例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数进行建模。

指数函数的形式可以提供准确地描述和计算物种在特定时间内的衰减情况。

3. 自然增长：人口学家使用指数函数来研究人口的自然增长过程。

指数函数可以帮助人口学家了解一个地区的人口趋势和人口变化的因素，为政府提供人口规划和政策制定方面的参考。

4. 电子电路：在电子学中，指数函数可以用来描述电路中的电流和电压变化。

第7讲指数与指数函数知识整合【基础知识】1．指数的运算性质(1)aαaβ＝aα＋β(2)(aα)β＝aαβ(3)(ab)α＝aαbβ(a＞0，b＞0，α∈Q，β∈Q)2．指数函数y＝a x在底数a>1及0<a<1两种情况下的图象和性质如下表所示：a>10<a<1图象性质(1)定义域R.(2)值域(0，＋∞)．(3)过定点(0,1)．(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数3.指数函数图象规律：当a>1时，底数越大，在(0，＋∞)内图象越靠近y轴．当0<a<1时，底数越小，在(－∞，0)内图象越靠近y轴．【基础自测】1.2，32，54，88，916从小到大的排列顺序是__________．2．化简810＋41084＋411的值等于__________．3．函数y＝a x－2＋1(a＞0，且a≠1)的图象必经过点________．4．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．重难点突破考点1指数幂的运算难点释疑1．利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程．2．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．例1：已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a<b.求：(1)3a72a－3÷3a－8·3a15；(2)a －1＋b －1(ab )－1； (3)(a －b )÷(a 13－b 13)－(a ＋b )÷(a 13＋b 13)． 【解】【点评】 注意利用根式与有理指数幂互化为化简计算带来的方便．求下列各式的值：(1)(3－x )2＝__________.(2)9－32＝__________. (3)(181)－34＝__________. (4)(3a )2·ab 3＝__________.(5)若a ＋a －1＝3，则a 12－a －12＝__________. 考点2 指数函数的图象与性质难点释疑1．指数函数的定义重在“形式”，像y ＝2·3x ，y ＝21x，y ＝3x ＋2，y ＝3x ＋1等函数都不符合形式y ＝a x (a >0，a ≠1)，因此，它们都不是指数函数．2．在指数函数的解析式中，必须规定a >0，且a ≠1.3．在有关指数函数的单调性时需对底数进行分类讨论．例2：若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.【解】举一反三【点评】 本题考查了指数函数的相关性质，注意对指数函数的底数进行分类讨论是解题的关键，通过对底数的讨论确定函数的单调性，进而求解．举一反三：指数函数y ＝f (x )的图象经过点(－2，4)，则f (－3)＝________.课堂 训练1．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)得________．2．(13江苏模拟)设x ∈R ，f (x )＝(12)|x |，若不等式f (x )＋f (2x )＜k ，对于任意实数x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________．3．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________． 4．已知x 满足2x 2＋x ≤(14)x －2，则函数y ＝2x －2－x 的值域是________．。

指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。

3.相同底数的指数之间的乘方运算，底数保持不变，指数相加。

4.相同指数的指数之间的乘方运算，指数保持不变，底数相乘。

二、指数运算的规律1.法则1：a的m次方乘以a的n次方，等于a的m加n次方。

2.法则2：a的m次方除以a的n次方，等于a的m减n次方。

3.法则3：（a的m次方）的n次方，等于a的m乘n次方。

4.法则4：a的m次方的p次方，等于a的m乘p次方。

5.法则5：零的任何正次方都是0，零的0次方没有意义，规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为：y=a^x，其中a>0且a≠1，a为底数，x为指数。

指数函数可以看作是以底数为底，自变量为指数的函数。

指数函数的性质如下：1.底数a大于1时，指数函数是递增的，即自变量x的增大，函数值y也增大。

2.底数a介于0和1之间时，指数函数是递减的，即自变量x的增大，函数值y也减小。

3.指数函数的图象都经过点(0,1)，即当x=0时，y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。

5.指数函数的图象没有水平渐近线，但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。

指数函数常见的应用有：1.在金融领域中，指数函数可以用来描述货币的增长规律，例如复利计算。

2.在自然科学领域中，指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。

3.在电路中，指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。

4.在计算机领域中，指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。

总结：。

指数运算与指数函数一、知识点1、根式得性质(1）当ｎ为奇数时,有(2)当n为偶数时,有(３）负数没有偶次方根 (４)零得任何正次方根都就就是零2、幂得有关概念（1）正整数指数幂:(2)零指数幂 (3)负整数指数幂(4)正分数指数幂(5)负分数指数幂（6)0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂无意义3、有理指数幂得运算性质(1) (2)（３)4、指数函数定义:函数叫做指数函数。

0 ＜a < 1 a > 1图象性质定义域Ｒ值域（0 , +∞）定点过定点（０，1）,即x= 0时，y = 1（1)ａ> 1,当x>0时,y>１；当x< 0时,0 <ｙ＜１。

（2）0 ＜a< 1,当ｘ> 0时,０<y< 1;当x< 0时,y>1。

单调性在R上就就是减函数在R上就就是增函数对称性与关于y轴对称(1）①②③④则:0<ｂ<a＜1<d<ｃ又即:x∈(０，+∞)时， (底大幂大)x∈(－∞,0)时,（2）特殊函数得图像:三、指数式大小比较方法(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数得单调性进行比较、(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:①若;;;②当两个式子均为正值得情况下,可用作商法,判断，或即可、四、典型例题类型一、指数函数得概念例1、函数就就是指数函数,求得值、【答案】2【解析】由就就是指数函数,可得解得，所以、举一反三:【变式1】指出下列函数哪些就就是指数函数?(1);（2)；(3）；(4);(5);(6)、【答案】(1)（５)(6）【解析】（１）(5)(6)为指数函数、其中(6)=,符合指数函数得定义,而(2)中底数不就就是常数,而4不就就是变数;(３)就就是-1与指数函数得乘积;(4)中底数,所以不就就是指数函数、类型二、函数得定义域、值域例2、求下列函数得定义域、值域、（1);（2)y=4x－2x+1；(3);(４）(a为大于１得常数)【答案】(１)R,(0,1);（2)R [);（3) ;(4)［１，a）∪（a,+∞)【解析】（1)函数得定义域为R （∵对一切xR,3x≠-1)、∵,又∵3x>0, 1+3ｘ＞1,∴ , ∴ ,∴ , ∴值域为(0，1)、(2)定义域为R,,∵2x＞0，∴即x=-１时，ｙ取最小值,同时y可以取一切大于得实数,∴值域为［)、(3)要使函数有意义可得到不等式,即，又函数就就是增函数,所以,即，即，值域就就是、（4)∵∴定义域为(-∞,－1)∪[1,＋∞),又∵ ,∴，∴值域为［1,ａ)∪(a,+∞)、【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y＞0得条件，第(4)小题中不能遗漏、举一反三：【变式1】求下列函数得定义域:(１) (2)(3) (4)【答案】(1)R;（2);(3);(４）a>1时,；0<a<1时，【解析】（1)R（2)要使原式有意义,需满足３-ｘ≥０,即，即、(3）为使得原函数有意义，需满足2ｘ-1≥０,即２x≥1,故x≥0,即(4) 为使得原函数有意义,需满足,即,所以a>1时,;０<a<１时,、【总结升华】本题中解不等式得依据主要就就是指数函数得单调性,根据所给得同底指数幂得大小关系,结合单调性来判断指数得大小关系、类型三、指数函数得单调性及其应用例3、讨论函数得单调性，并求其值域、【思路点拨】对于x∈R,恒成立，因此可以通过作商讨论函数得单调区间、此函数就就是由指数函数及二次函数复合而成得函数,因此可以逐层讨论它得单调性,综合得到结果、【答案】函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间［１，＋∞)上就就是减函数 （０,3]【解析】解法一:∵函数得定义域为(-∞,＋∞),设ｘ1、x ２∈(－∞,+∞)且有x １<ｘ2， ∴,, 、（１)当x 1＜ｘ２＜1时,x １+x 2＜2,即有x 1＋x ２－2＜0、 又∵x 2-x 1＞0，∴(x ２―x １）(x ２+x 1―2)＜0,则知、 又对于ｘ∈R,恒成立，∴、 ∴函数在(-∞,1)上单调递增、(2)当1≤x 1<ｘ２时,x 1+ｘ2＞２,即有x １+x 2-２>0、 又∵x ２-x 1＞0,∴(x 2―x 1）(x 2+ｘ1―2)＞０,则知 、∴、∴函数在[1,＋∞)上单调递减、综上,函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间[１,+∞)上就就是减函数、 ∵x 2―2ｘ＝(x ―1)2―１≥-１,,、 ∴函数得值域为(0，３］、解法二:∵函数得下义域为R,令ｕ＝ｘ2-２x,则、∵u=x ２―２x ＝(x ―1)2―1,在(―∞,1]上就就是减函数，在其定义域内就就是减函数,∴函数在(-∞,１］内为增函数、又在其定义域内为减函数,而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，＋∞)上就就是增函数，∴函数在[1,+∞)上就就是减函数、值域得求法同解法一、【总结升华】由本例可知，研究型得复合函数得单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有：即当a ＞1时，得单调性与得单调性相同;当0＜a ＜1时，得单调与得单调性相反、举一反三：【变式1】求函数得单调区间及值域、【答案】上单增,在上单减、【解析】[1]复合函数——分解为:ｕ＝-x 2＋３x －2, y=3ｕ；[２］利用复合函数单调性判断方法求单调区间; [３]求值域、设u=－x 2＋3x-２, y=３u，其中y ＝3u 为R 上得单调增函数,u=-x 2+３x-2在上单增,u=-x ２+3x-2在上单减， 则在上单增,在上单减、又u=-x 2+3x －2， 得值域为、 【变式2】求函数得单调区间、【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在上为增函数,内函数u=ｘ2-2x 在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数上为减函数,在区间上为增函数；当０<ａ<1时,外层函数ｙ＝ａu 在上为减函数,内函数u ＝x 2-2ｘ在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数在区间上为增函数,在区间上为减函数、例4、证明函数在定义域上为增函数、【思路点拨】利用函数得单调性定义去证明。

§2.7 指数与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理 1．根式(1)一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 正数的负分数指数幂：m n a－＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈Q )． 4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R值域 (0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)4(－4)4＝－4.( × )(2)2a ·2b ＝2ab .( × )(3)函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x－1的值域是(0，＋∞)．( × ) (4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) 教材改编题1．已知函数y ＝a ·2x 和y ＝2x＋b都是指数函数，则a ＋b 等于( )A ．不确定B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 由函数y ＝a ·2x 是指数函数，得a ＝1， 由y ＝2x ＋b 是指数函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝1.2．计算：()(222327130π－－＋－－________.答案 1 解析 原式＝2333⎛⎪⨯⎫⎝⎭－＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.3．若指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a ＝________.答案 2或12解析 若a >1，则f (x )max ＝f (1)＝a ＝2；若0<a <1，则f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝2，得a ＝12.题型一 指数幂的运算 例1 计算： (1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93； (2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅(a >0，b >0)．解 (1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93 ＝1＋2233222710938⎛⎫⎛⎫⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫322－10＋33 ＝1＋1－10＋27＝19.(2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅＝331322223322240.1a b a b--⋅⨯⨯＝2×1100×8＝425.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1 计算： (1)933713332÷·aa a a -- ；(2)()13633470.001+16+238-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭.解 (1)因为a －3有意义，所以a >0，所以原式＝7139333322a a a a --⋅÷⋅＝3a 3÷a 2＝a ÷a ＝1.(2)原式＝()()61113343234101+2+23-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭－＝10－1＋8＋23·32＝89. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)(多选)已知非零实数a ，b 满足3a ＝2b ，则下列不等关系中正确的是( ) A ．a <bB ．若a <0，则b <a <0C ．|a |<|b |D ．若0<a <log 32，则a b <b a 答案 BCD 解析 如图，由指数函数的图象可知，0<a <b 或者b <a <0，所以A 错误，B ，C 正确； D 选项中，0<a <log 32⇒0<a <b <1，则有a b <a a <b a ，所以D 正确．(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<0答案BD解析由函数f(x)＝a x－b的图象可知，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝a x－b的图象是由y＝a x的图象向左平移所得，如图，∴－b>0，∴b<0，故D正确．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式大小例3设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则()A ．b <c <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．b <a <c答案 D解析 b ＝2－0.4<20＝1，c ＝90.4＝30.8>30.7＝a >30＝1， 所以b <a <c .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 (2023·青岛模拟)已知y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0) C ．(0,1)∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 ∵y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴1≤4x －3·2x ＋3≤7. ∴－1≤2x ≤1或2≤2x ≤4. ∴x ≤0或1≤x ≤2.命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝8x ＋a ·2x a ·4x (a 为常数，且a ≠0，a ∈R )，且f (x )是奇函数．(1)求a 的值；(2)若∀x ∈[1,2], 都有f (2x )－mf (x )≥0成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝1a ×2x ＋12x ，因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以1a ×12x ＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1a ×2x ＋12x ， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫2x ＋12x ＝0， 即1a ＋1＝0，解得a ＝－1. (2)因为f (x )＝12x －2x ，x ∈[1,2]，所以122x －22x ≥m ⎝⎛⎭⎫12x －2x ，所以m ≥12x ＋2x ，x ∈[1,2]，令t ＝2x ，t ∈[2,4]，由于y ＝t ＋1t 在[2,4]上单调递增，所以m ≥4＋14＝174.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的有( )A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案 AC解析 对于A 中，由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，函数f (x )的图象关于原点对称，故选项A 正确，选项B 错误；对于C 中，设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋yy －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1,1)，所以C 正确；对于D 中，对∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，可得函数f (x )为减函数，而f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．(2)已知函数f (x )＝24313ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋，若f (x )有最大值3，则a 的值为________．答案 1解析 令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )， ∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，则⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1.课时精练1．若m ＝5(π－3)5，n ＝4(π－4)4，则m ＋n 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．1 D ．7 答案 C解析 m ＋n ＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.2．已知指数函数f (x )＝(2a 2－5a ＋3)a x 在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析 由题意得2a 2－5a ＋3＝1，∴2a 2－5a ＋2＝0，∴a ＝2或a ＝12.当a ＝2时，f (x )＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当a ＝12时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意． ∴a ＝2.3．函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 当a >1时，0<1a <1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a个单位长度可得，故A ，B 错误；当0<a <1时，1a >1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度可得，故D 正确，C 错误．4．已知1122x x－＋＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27 答案 B 解析 因为1122x x－＋＝5，所以21122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝52，即x ＋x －1＋2＝25，所以x ＋x －1＝23，所以x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝23.5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a <b )，则( ) A ．2a ＋2b >2B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a ＋b <1C ．2a ＋2b ＝2D ．a ＋b <0 答案 CD解析 画出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．由图知1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2，故A 错，C 对． 由基本不等式可得2＝2a ＋2b >22a ·2b ＝22a ＋b ，所以2a ＋b <1，则a ＋b <0，故B 错，D 对．6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a >1，函数y ＝(a －1)x －1＋1的图象必过定点A (m ，n )，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x 的定义域为[0,2]，g (x )＝f (2x )＋f (x )，则g (x )的值域为( ) A ．(0,6] B ．(0,20] C ．[2,6] D ．[2,20]答案 C解析 令x －1＝0得x ＝1，y ＝2，即函数图象必过定点(1,2)， 所以m ＝1，n ＝2，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x＝2x，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤2x ≤2，解得x ∈[0,1]，g (x )＝f (2x )＋f (x )＝22x ＋2x ，令t ＝2x ， 则y ＝t 2＋t ，t ∈[1,2]， 所以g (x )的值域为[2,6]． 7．计算化简： (1)()1123232770.02721259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝________；(2)2312a ---⎛÷＝________.答案 (1)0.09 (2)1566a b -解析 (1)112323277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.232a --÷＝2211333212113332a bb a a ba b ---⨯＝2112112132332333·ab＋－－－－－＝1566.a b －8．已知函数f (x )＝3x ＋1－4x －5，则不等式f (x )<0的解集是________． 答案 (－1,1)解析 因为函数f (x )＝3x ＋1－4x －5， 所以不等式f (x )<0即为3x ＋1<4x ＋5，在同一平面直角坐标系中作出y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象，如图所示，因为y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象都经过A (1,9)，B (－1,1)，所以f (x )<0，即y ＝3x ＋1的图象在y ＝4x ＋5图象的下方，所以由图象知，不等式f (x )<0的解集是(－1,1)．9．已知定义域为R 的函数f (x )＝a x －(k －1)a －x (a >0，且a ≠1)是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若f (1)<0，判断函数f (x )的单调性，若f (m 2－2)＋f (m )>0，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，∴k ＝2，经检验k ＝2符合题意，∴k ＝2.(2)f (x )＝a x －a －x (a >0，且a ≠1)，∵f (1)<0，∴a －1a<0，又a >0，且a ≠1， ∴0<a <1，从而y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x 在R 上单调递增，故由单调性的性质可判断f (x )＝a x －a －x 在R 上单调递减，不等式f (m 2－2)＋f (m )>0可化为f (m 2－2)>f (－m )，∴m 2－2<－m ，即m 2＋m －2<0，解得－2<m <1，∴实数m 的取值范围是(－2,1)．10．(2023·武汉模拟)函数f (x )＝a 2x ＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a 的值．解 由f (x )＝a 2x ＋a x ＋1，令a x ＝t ，则t >0，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 其对称轴为t ＝－12. 该二次函数在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上单调递增． ①若a >1，由x ∈[－1,1]，得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋a ＋1＝13，解得a ＝3或a ＝－4(舍去)．②若0<a <1，由x ∈[－1,1]，可得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 故当t ＝1a，即x ＝－1时， y max ＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a ＋1＝13.解得a ＝13或a ＝－14(舍去)． 综上可得，a ＝3或13.11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0,2)答案 ABD解析 ∵函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象过原点， ∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |－a ，且f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2，故A 正确； 由于f (x )为偶函数，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于在(－∞，0)上，f (x )＝2－2·2x 单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；∵⎝⎛⎭⎫12|x |∈(0,1]，∴f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2∈[0,2)，故D 正确． 12．(2022·长沙模拟)若e x －e y ＝e ，x ，y ∈R ，则2x －y 的最小值为________．答案 1＋2ln 2解析 依题意，e x ＝e y ＋e ，e y >0，则e 2x －y ＝e 2x e y ＝(e y ＋e )2e y ＝e y ＋e 2e y ＋2e ≥2e y·e 2e y ＋2e ＝4e ， 当且仅当e y＝e 2e y ，即y ＝1时取“＝”， 此时，(2x －y )min ＝1＋2ln 2，所以当x ＝1＋ln 2，y ＝1时，2x －y 取最小值1＋2ln 2.13．(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系为( )A ．f (c x )≥f (b x )B ．f (c x )≤f (b x )C ．f (c x )>f (b x )D ．f (c x )＝f (b x )答案 A解析 根据题意，函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，则有b 2＝1，即b ＝2， 又由f (0)＝3，得c ＝3，所以b x ＝2x ，c x ＝3x ，若x <0，则有c x <b x <1，而f (x )在(－∞，1)上单调递减，此时有f (b x )<f (c x )，若x ＝0，则有c x ＝b x ＝1，此时有f (b x )＝f (c x )，若x >0，则有1<b x <c x ，而f (x )在(1，＋∞)上单调递增，此时有f (b x )<f (c x )，综上可得f (b x )≤f (c x )．14．(2023·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－23，0 解析 ∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝－03x －m ＋1，∴2m ＝－03x -－03x ＋2，构造函数y ＝－03x -－03x＋2， x 0∈[－1,1]， 令t ＝03x ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，则y ＝－1t－t ＋2＝2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增， 在(1,3]上单调递减，∴当t ＝1时，函数取得最大值0，当t ＝13或t ＝3时， 函数取得最小值－43，∴y ∈⎣⎡⎦⎤－43，0， 又∵m ≠0，∴－43≤2m <0， ∴－23≤m <0.。

指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。

（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。

,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。

2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >.【变式1】 求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________.题型二 根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =； 3. 若,r s a a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=，求33221122a aa a----的值.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。

指数与指数函数〖例1〗化简并求值：（1） 若1，求333323211)()(bb a ab b b a a ---+÷+的值.（2） 若32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值.（3） 设)(22008*11N n a nn∈-=-,求n a a )1(2-+的值.变式练习：设m ba==52，且211=+ba ，则=m （ ） ()A 10 ()B 10 ()C 20 ()D 100例2解下列方程：（1）03349=+⋅-xx （2）27648932=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛xx变式练习：关于x 的方程a a x-+=⎪⎭⎫⎝⎛53223有负数根，则a 的取值范围是例3若对]2,1[∈x ，不等式22>+mx 恒成立，求实数m 的取值范围。

变式练习：1. 已知对于任意R x ∈ ，不等式42222121++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛>m mx x xx 恒成立，求实数m 的取值范围。

2.函数12)(--=x x x f 的定义域为集合A ,关于x 的不等式)(222R a xa ax ∈<+的解集为B ，求使A B A = 的实数a 的取值范围。

二、指数函数 1.指数函数的定义例4:已知函数b x a x f -=)(的图像如图所示，其中b a ,为常数，则下列结论正确的是（ ）()A 0,1<>b a ()B 0,1>>b a()C 10,10<<<<b a ()D 0,10<<<b a变式练习：1.若函数 )10(1≠>-+=a a b a y x且的图像经过第二、三、四象限，则一定有()A 0,10><<b a ()B 0,1>>b a()C 0,10<<<b a ()D 0,1<>b a2.已知实数 b a ,满足ba⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121，下列5个关系式：①a b <<0②0<<b a ③b a <<0④0<<a b ⑤0==b a 其中不可能成立的有（ )A1个 B2个 C3个 D4个例5函数)10()(1≠>=+a a a x f x 且的图像过定点 。

指数与指数函数指数与指数函数1.1 指数与指数幂的运算1) 根式的概念如果$x=a$，$a\in R$，$x\in R$，$n>1$，且$n\in N^+$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根。

当$n$是奇数时，$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。

当$n$是偶数时，正数$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。

负数$a$没有$n$次方根。

式子$n\sqrt{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数。

当$n$为奇数时，$a$为任意实数；当$n$为偶数时，$a\geq0$。

根式的性质：$(n\sqrt{a})^n=a$；当$n$为奇数时，$n\sqrt{a^n}=a$；当$n$为偶数时，$n\sqrt{a^2}=|a|$，即$\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}$。

2) 分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$。

正数的负分数指数幂的意义是：$a^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。

正分数$a^{1/m}=\sqrt[m]{a}$，负分数指数幂没有意义。

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。

3) 分数指数幂的运算性质a^r\cdot a^s=a^{r+s}$（$a>0,r,s\in R$）。

a^r)^s=a^{rs}$（$a>0,r,s\in R$）。

ab)^r=a^rb^r$（$a>0,b>0,r\in R$）。

例题精讲例1】求下列各式的值：1) $n(3-\pi)$（$n>1$，且$n\in N^+$）；2) $(x-y)^2$。

1) 当$n$为奇数时，$n\sqrt{3-\pi}=|\sqrt{3-\pi}|=\sqrt{3-\pi}$。