初中寒假讲义

********************************************************************************************************************************************************************************************第1讲：解答题解三角形综合性问题(1)1.记ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3．已知S 1-S 2+S 3=32，sin B =13．(1)求ΔABC 的面积；(2)若sin A sin C =23，求b ．2.在三角形ABC 中，A =60°，D 点在AC 边上，AD =1，DC =3．(1)BD =7，求ΔABD 的面积；(2)若E 点在AB 边上，AD =AE ，∠DBC =30°，求sin ∠EDB ．3.在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C -3a sin C =b -2c ．(1)求角A ；(2)已知AB =2，AC =6，M 点为BC 的中点，N 点在线段AC 上且|AN |=13|AC|，点P 为AM与BN 的交点，求∠MPN 的余弦值．AB CDEABCNMP4.已知ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin C =2sin B ，C =2A ，c =2．(1)求证：ΔABC 是等腰直角三角形；(2)已知点P 在ΔABC 的内部，且PB =PC ，PA =AC ，求cos ∠PAB ．5.ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a +c =2b cos A ．(1)证明：B =2A ；(2)设D 为BC 边上的中点，点E 在AB 边上，满足DE ⊥AB ，且b =3a ，四边形ACDE 的面积为1538，求线段CE 的长．6.已知ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ΔABC 的面积为32，AB ⋅AC =-1且c >b ．(1)求角A 的大小；(2)设M 为BC 的中点，且AM =32，求a 的长度．7.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)若c(1-2cos B)=2b cos C，且sin A=15，求sin C；(2)若b=3，D是边AC上一点，AD=2DC，sin∠CBDsin∠ABD =12，且∠ABC=2π3．求BD的长．8.如图，在ΔABC中，AB=2，3a cos B-b cos C=c cos B，点D在线段BC上．(Ⅰ)若∠ADC=3π4，求AD的长；(Ⅱ)若BD=2DC，ΔACD的面积为432，求sin∠BADsin∠CAD的值．9.在①c-33a sin B=b cos A，②2S=3BA⋅BC(S为ΔABC的面积)两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若角B的平分线与AC交于点D，且b=6，BD=33，求a+c．ABCD10.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(c Bcos+b Ccos)2+bcb2+c2=1.（1）求角A的大小（2）若点D在边BC上，AD平分∠BAC，AD=2，且b=2c，求a.课堂总结作业1.从①2sin A +3cos (A +C )=2sin B cos C ；②b a +c +ab +c=1；③a 2-c 2=4(a -4)这三个条件．中任选一个，补充在下面问题中，问题：已知点O 为锐角ΔABC 的外接圆圆心，满足AO ⋅AC=8，，ΔABC 的面积为53，(1)求C 的大小；(2)求ΔOAB 的面积．。

第十八章勾股定理第一部分知识网络一、重、难点重点：勾股定理及其逆定理的应用。

难点：勾股定理及其逆定理的应用。

二、知识要点梳理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

三、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．第二部分 学习笔记1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？（1） 角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有∠A+∠B=90°；（2） 边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有222c a b =+2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ，那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

BC寒假班初二年级数学复习（第一章）第一课时考点1：轴对称及轴对称图形的意义（4课时）一、知识点：1．轴对称： 2．轴对称图形： 3．轴对称的性质： 4．简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线． 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 等腰梯形：过两底中点的直线 正n 边形有n 条对称轴 圆有无数条对称轴。

二、基本图形：1．已知：点A 、B 分别在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最短。

变形1：正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，在对角线AC 上找一点P ，使PE+PB 最短。

变形2：已知点A （1，6）、点B （6，4），在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形ACDB 的周长最短。

三、经典考题剖析： 1．（2006无锡市3分）在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（ ）4．（2006鸡西市3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A B C D 6．（2006梅州市3分）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ）11．(2006十堰市3分)如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出ABC △变换后的图形（图中每个小正方形的边长为1个单位）：BlA ．B ．C ．D ．A B C D （1）向右平移8个单位；（2）关于x轴对称；（3）绕点O顺时针方向旋转180 ．考点2：折叠问题一、考点讲解：常见的折叠问题有两种类型：一种是将一个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置，这时候，这条直线两旁的图形全等；另一种是将一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合，此时，这折痕所在的直线是这两点连线的垂直平分线。

二、基本图形：1．将矩形ABCD沿着对角线AC对折，则三角形AFC是三角形。

1 平行四边形性质、判定目标1 掌握平行四边形的性质掌握平行四边形的性质目标2 掌握平行四边形的判定掌握平行四边形的判定目标3 应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题【专题简介】【专题简介】与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏观的建筑物、开关自如的栅拦门、别具一格的灵柩••••••现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。

从本讲开始，我们将依次学习平行四边形、举行、菱形、正方形的概念，并在理解她们的基础上，利用已有的几何知识和方法，搜索并证明他们的性质定理和判定定理:进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，即通过观、即通过观、即通过观、类比、类比、类比、特殊化等途径和方法发特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们模块一 平行四边形的性质 知识导航知识导航 定义定义示例剖析示例剖析平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）:平行四边形的表示：一般按照一定的方向依次表示各项点:如右图的平行四边形不能表示平行四边形ACBD ，也不能表示平行四边形ADBC叫做平行四边形四边形ABCD ÞþýüBC // AD CD // AB 记作□ABCD性质性质示例剖析示例剖析①平行四边形的对边平行；①平行四边形的对边平行；四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．②平行四边形的对边相等：②平行四边形的对边相等：四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．③平行四边形的对角相等③平行四边形的对角相等四边形ABCD 为平行四边形Þ∠A=∠C ，∠B=∠D④平行四边形的对角线互相平分④平行四边形的对角线互相平分四边形ABCD 为平行四边形ÞOA=OC ，OB=OD【例1】如图，D 为平行四边形ABCD 的对角线的交点：过O 点作直线EF 分别交CD 、AB 于点E 、F ． (1)求证：OE= OF ；(2)若AB =5，BC =4，OE= 1.5，求四边形EFBC 的周长。

目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1 平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB∥DE，BF、 DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.练如图，已知AB∥DE，∠FBC=∠ABF，∠FDC=∠FDE.(1)若n=2,直接写出∠C、∠F的关系；(2)若n=3，试探宄∠C、∠F的关系；(3)直接写出∠C、∠F的关系（用含n的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、 CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN 的平分线相交于点 F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An，∠B1、∠B2…∠Bn-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．(1) 若∠EFB=55°，∠EDP= 30°，求∠MPD的度数；(2) 当点P在线段EF上运动时，∠CPD与∠ABP的平分线交于Q,问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P在线段EF的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH⊥CD于H ,则∠BAC+∠ACE +∠CEH等于( ).A. 180°B. 270°C. 360°D. 450°2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB∥CD，∠CDF=∠CDE，∠ABF=∠ABE，则∠E：∠F=( )．A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:23.如图3，己知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= .4.如图，已知直线AB∥CD，∠C =115°，∠A= 25°，则∠E= ．5．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .8．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是 .。

初一寒假讲义目录第1讲同底数幂的乘法第2讲幂、积、商的乘方第3讲整式的乘法第4讲平方差公式及其应用第5讲完全平方公式及其应用第6讲乘法公式综合应用第7讲整式的除法第8讲半期复习与测试第9讲平行线与相交线第10讲平行线与相交线第11讲期末复习第12讲期末测试第1讲 同底数幂的乘法一、新知探索1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即nm nmaa a +=⋅ (m ，n 都是正整数)．注意：① 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质．如：p n m p n m a a a a ++=⋅⋅ (m ，n ，p 都是正整数)． ② 此性质可以逆用：n m nm a a a⋅=+说明：在幂的运算中，经常会用到以下的一些变形：（－a ）n＝⎪⎩⎪⎨⎧-);(),(为奇数为偶数n a n a n n （b －a ）n＝⎪⎩⎪⎨⎧---).()(),()(为奇数为偶数n b a n b a nn 二、典例剖析1、顺用公式：例1、计算：（1）35aa a （2）35xx- (3) 231mm bb +⋅（4）mn p aa a ⋅⋅ （5）()()7633-⨯- （6）()()57a a a ---变形练习：（1）234aa a a （2）()()48x x x ---2、常用等式： ()()b a a b -=-- ()()22b a a b -=-()()33b a a b -=--()()44b a a b -=-()()2121n n b a a b ++-=-- ()()22nnb a a b -=-例2、（1）()()()38b a b a b a --- （2）()()()21221222n n n x y y x x y +----（3）()()()48x y y x y x --- （4）()()()37x y y x y x ---3、逆用公式：例3、已知：64,65mn== ，求：6m n+的值。

初一寒假讲义目录第1讲同底数幂的乘法第2讲幂、积、商的乘方第3讲整式的乘法第4讲平方差公式及其应用第5讲完全平方公式及其应用第6讲乘法公式综合应用第7讲整式的除法第8讲半期复习与测试第9讲平行线与相交线第10讲平行线与相交线第11讲三角形的边角关系第12讲全等三角形的性质和判定第13讲全等三角形的综合应用第14讲期末复习与检测第1讲 同底数幂的乘法一、新知探索1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即nm nmaa a +=⋅ (m ，n 都是正整数)．注意：① 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质．如：p n m p n m a a a a ++=⋅⋅ (m ，n ，p 都是正整数)． ② 此性质可以逆用：n m nm a a a⋅=+说明：在幂的运算中，经常会用到以下的一些变形：（－a ）n＝⎪⎩⎪⎨⎧-);(),(为奇数为偶数n a n a n n （b －a ）n＝⎪⎩⎪⎨⎧---).()(),()(为奇数为偶数n b a n b a n n二、典例剖析1、顺用公式：例1、计算：（1）35aa a （2）35xx- (3) 231mm bb +⋅（4）m n p a a a ⋅⋅ （5）()()7633-⨯- （6）()()57a a a ---变形练习：（1）234aa a a （2）()()48x x x ---2、常用等式： ()()b a a b -=-- ()()22b a a b -=-()()33b a a b -=--()()44b a a b -=-()()2121n n b a a b ++-=--()()22nnb a a b -=-例2、（1）()()()38b a b a b a --- （2）()()()21221222n n n x y y x x y +----（3）()()()48x y y x y x --- （4）()()()37x y y x y x ---3、逆用公式：例3、已知：64,65mn== ，求：6m n+的值。

初一语文寒假衔接班补课讲义一、课程目标本补课讲义旨在帮助初一学生在寒假期间巩固语文知识，为下学期的研究打下坚实的基础。

通过本讲义的研究，学生将能够：1. 温故知新：复初一上学期所学的语文知识，巩固基本概念和技能；2. 提高阅读理解能力：通过阅读各类文章，培养学生的阅读理解能力和语文表达能力；3. 拓展写作能力：通过写作练，培养学生的写作思维和表达能力；4. 培养研究兴趣：通过有趣的教学内容和互动活动，激发学生对语文研究的兴趣。

二、教学内容本讲义涵盖了初一上学期的主要语文知识点和技能，并提供了相应的练题和答案。

具体内容如下：1. 课文复：重点复初一上学期的课文，包括课文内容、背诵要点等；2. 语法讲解：系统总结初一上学期所学的语法知识，包括词语搭配、句子结构、语法规则等；3. 阅读理解：提供各类文章和阅读题，让学生锻炼阅读理解能力和答题技巧；4. 写作练：通过各种写作题目，引导学生进行写作实践，提高写作能力；5. 词语积累：整理总结初一上学期的重点词汇、成语和古诗词，帮助学生扩大词汇量。

三、教学安排本补课讲义建议按照每周5天的研究安排，每天每科研究时间为2小时，具体安排如下：周一：课文复周二：语法讲解周三：阅读理解周四：写作练周五：词语积累四、教学方法为了让学生更好地进行研究，本讲义采用了多样化的教学方法：1. 授课讲解：通过讲解和示范，帮助学生理解知识点；2. 练演练：提供大量的练题，让学生进行实践和巩固；3. 互动活动：组织小组讨论、角色扮演等活动，增加学生的参与度；4. 个性化辅导：根据学生的研究情况，进行个别辅导和指导；5. 总结评价：每周进行一次知识总结和评价，帮助学生查漏补缺。

五、补要求学生在参加寒假衔接班补期间，需要遵守以下要求：1. 按时上课，不迟到、早退；2. 认真听讲，积极参与课堂活动；3. 完成课后练，巩固所学知识；4. 倾听老师的建议，主动互动。

六、补效果评估为了评价补的效果和学生的研究进展，我们将进行以下评估方式：1. 每周进行一次作业和练的评分；2. 每月进行一次的考试，测试学生的综合能力；3. 定期与学生及家长进行沟通，了解学生的研究情况。

第十六章分式第一部分：知识点及重难点一、学习目标1、切实掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分。

2、能准确、顺畅地进行分式的乘除、加减以及混合运算。

3、会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算。

4、明确分式方程的步骤，并能列出可化为一元一次方程的分式方程解简单的应用题。

二知识结构网络三重点难点1、分式重点：（1）正确理解分式的概念，分式的值为零和分式有无意义的条件：分式是两整式相除的商式，分数线有除号和括号的作用，比如表示；分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区分一个代数式是整式还是分式的依据，分式的分母不能为0，如分式中是该分式的一个隐含条件当时分式无意义。

（2）准确理解分式的基本性质：要特别注意分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，其值不变。

例如由分式一定可以变形为但由分式就不一定变形为，这是因为分式的分母，一定有而a是分子，有可能等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

如果一个分式的分子或分母没有公因式，则该分式叫做最简分式。

（4）分式的通分：把几个异分母的分式化为与原来相等的同分母的分式的过程称为分式的通分。

分式通分的关键是确定几个分式的最简公分母，找最简公分母要注意以下几点：①各分母所有因式的最高次幂指凡出现的字母或含字母的式子为底数的幂的因式选取指数最大②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。

难点：正确理解分式的概念，在分式的分子与分母同时乘以或除以整式A时，应首先判断A是否为0，分子、分母中的系数都是分数（或小数）时，要把分式化简，都是分数时，应把分子、分母都乘以分子、分母中各系数分母的最小公倍数如，分子、分母中的系数都是小数时，应把分子、分母都乘以可使系数互质的整数。

如2、分式的乘除法重点：分式的乘除运算，其中约分是关键。

人教版八年级科学寒假尖端班讲义内容概述本讲义旨在为八年级学生提供科学知识的深入研究和进一步提高。

通过对人教版八年级科学课程的精选内容进行讲解和讨论，帮助学生巩固基础知识，拓展思维能力，并为他们的学业发展打下坚实基础。

课程目标- 深入理解八年级科学课程中的关键概念和原理。

- 提高学生解决实际问题和进行科学思考的能力。

- 激发学生对科学的兴趣，并培养其科学探索的精神。

课程安排第一课：物质的组成与性质- 探索物质的基本性质，如颜色、状态、硬度等。

- 理解化学元素和化合物的概念及其组成。

- 研究化学式的书写和化学方程式的平衡。

第二课：力的作用及其效果- 研究力的概念和分类，如重力、弹力、摩擦力等。

- 探索力对物体的影响，如形状变化、速度改变等。

- 分析力的平衡和合成。

第三课：光的传播和成像- 理解光的传播和反射的基本原理。

- 研究光的折射和色散现象。

- 探索凸透镜的成像规律和使用。

第四课：电流的传导和电路的应用- 研究电流的传导和电路的基本组成。

- 探索串、并联电路的特性和使用。

- 研究电阻对电流和电压的影响。

第五课：生物的结构与功能- 理解生物的基本特征和生物体的组成。

- 探索不同生物体的结构和适应环境的功能。

- 研究生物遗传和进化的基本原理。

研究方法建议- 课前预：提前阅读相关课程内容，了解基本概念。

- 课堂参与：积极参与讨论和实验，互动研究。

- 课后复：及时复课程知识，巩固研究效果。

我们相信通过参加本寒假尖端班，同学们将能够在八年级科学学习中取得更好的成绩，并获得对科学的更深入理解和兴趣。

让我们一起享受科学的乐趣吧！。