第四节、有理函数的积分
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D4-4有理函数积分
令 x 3,
得 4A 1,
A 1 4
令 x 1,
得 4B 1,
B1 4
所以： x2
1 2x
3
1
4 x3
1 4
x1
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例2
将 4 分解为简单分式之和．
x3 4x
解：
x3
4 4x
4 x( x2 4)
A
x
Bx C x2 4
例1
将
1 x2 2x 3
分解为简单分式之和．
解
1
1
?A B?
x2 2x 3 ( x 3)( x 1) x 3 x 1
1 A( x 1) B( x 3)
求 A、B 的方法一（比较系数法）:
上式化为： 1 ( A B)x ( A 3B)
d(sin sin3
x x
)
ln csc 2x cot 2x
11 2 sin2
C x
真比分如较式所果系的以分数分母：：解是原nAA个则 不B14: ,同 0因, 式B的A－乘3积B14
1
, 则真分式可
以分解成 n项之和 , 相应的分子次数比分母低一次.
x2
1
2x 3
A x3
B, x1
1 A(x 1) B(x 3)
求 A、B 的方法二（特殊值代入法）:
dtan x tan2 x
2
1 arctan tan x C
2
2
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4-3 有理函数的积分
其中 M i , N i 都是常数( i = 1,2,L , k ) .
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
真分式化为部分分式之和的待定系数法 真分式化为部分分式之和的待定系数法
x+3 A B x+3 例1 2 , = + = x − 5 x + 6 ( x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3
⋅ 2 2 dt 1+t
1 1 = ∫ t +2+ dt 2 t
1 1 2 = t +2t +ln t +C 2 2
1 2x x x 1 = tan +tan + ln tan +C 4 2 2 2 2
例10. 求
1 cos x
2
1 dtan x 式 解: 原 = ∫ = 2∫ 2 2 2 2 a tan x +(b)2 a tan x +b a
3 = x − 3 ln(1 + e ) − ln(1 + e ) − 3 arctan(e ) + C . 2
x 6 x 3 x 6
例6. 求 解: 原式 = ∫
1 (2x +2 −3 ) 2
x +2x +3
2
dx
1 d(x2 +2x +3) d(x +1 ) = ∫ 2 −3∫ 2 x +2x +3 (x ) (x +1 2 +( 2)2 3 x +1 1 2 +C = ln x +2x +3 − arctan 2 2 2
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
真分式化为部分分式之和的待定系数法 真分式化为部分分式之和的待定系数法
x+3 A B x+3 例1 2 , = + = x − 5 x + 6 ( x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3
⋅ 2 2 dt 1+t
1 1 = ∫ t +2+ dt 2 t
1 1 2 = t +2t +ln t +C 2 2
1 2x x x 1 = tan +tan + ln tan +C 4 2 2 2 2
例10. 求
1 cos x
2
1 dtan x 式 解: 原 = ∫ = 2∫ 2 2 2 2 a tan x +(b)2 a tan x +b a
3 = x − 3 ln(1 + e ) − ln(1 + e ) − 3 arctan(e ) + C . 2
x 6 x 3 x 6
例6. 求 解: 原式 = ∫
1 (2x +2 −3 ) 2
x +2x +3
2
dx
1 d(x2 +2x +3) d(x +1 ) = ∫ 2 −3∫ 2 x +2x +3 (x ) (x +1 2 +( 2)2 3 x +1 1 2 +C = ln x +2x +3 − arctan 2 2 2
D4_4有理函数积分
cos 3 x 2 cos x dx . 例10. 求 2 4 1 sin x sin x
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 t sin x , 原式
(cos 2 x 2) cos x dx
1 sin 2 x sin 4 x
2
(sin 2 x 1) d sin x 1 sin 2 x sin 4 x
解: (1) 用拼凑法
1 x ( x 1) 2 x( x 1) x( x 1) 2
1 1 2 ( x 1) x( x 1)
1 x ( x 1) 2 x( x 1) ( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
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2
2
作业
P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21
第四节 有理函数的积分
第四章
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
• 初等函数
求导
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分
有理函数:
P( x) R( x) Q( x)
a0 x n a1x n1 an
2 2
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1 dx (a b 0) . 例9. 求 2 (a sin x b cos x)
解法 1 原式
dx
(a tan x b) 2 cos 2 x
令 t tan x
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
高数第四章-第四节 有理函数的积分
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t2
dt )
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln | t | 3ln | 1 t | 3 2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1
1
t
2
dt
6 ln | t | 3 ln | 1 t | 3 ln(1 t 2 ) 3arctant C 2
1
(1 2x)(1
A x2 )
1
4, B 5 4
5 2x
2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
例4
求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln | x | 1 ln | x 1 | C. x1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
N px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
经济数学微积分有理函数的积分
例6 求积分
x 6
1 1 e e e
x 2 x 3 x 6
dx .
解
1 e e e
6 令 t e x 6 ln t , dx d t , t 1 1 6 dx dt x x x 3 2 1 t t t t 3 6 2
1 6 3 3 t 3 6 d t dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
1 dx . 例5 求积分 2 (1 2 x )(1 x )
4 2 1 x 1 5 dx 5 5 dx d x 解 2 1 2x 1 x2 (1 2 x )(1 x )
2 1 2x 1 1 ln(1 2 x ) dx dx 2 2 5 5 1 x 5 1 x 2 1 1 2 ln(1 2 x ) ln(1 x ) arctan x C . 5 5 5
可用递推法求出
※二、待定系数法举例
有理函数化为部分分式之和的一般规律： k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
A ; 特殊地： k 1, 分解后为 xa
第四节 有理函数的积分
一、六个基本积分 二、待定系数法举例
三、小结
一、六个基本积分
定义 有理函数的定义：
n n 1
两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an m m 1 Q( x ) b0 x b1 x bm 1 x bm
有理函数的积分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解 (1) 直接拼凑
1 x ( x 1) 1 1 2 2 2 x( x 1) x( x 1) ( x 1) x( x 1)
1 x ( x 1) 1 1 1 . 2 2 ( x 1) x( x 1) ( x 1) x 1 x
假分式
2x4 x2 3 4 2 2x 1 2 . 2 x 1 x 1
第四节 有理函数的积分
2. 真分式的分解式
P( x) , 如果分母可分解为两个多项式 对于真分式 Q( x)
的乘积 Q( x) Q1 ( x)Q2 ( x) , 且 Q1(x) 与 Q2(x) 没有公因 式，则
n n 1
称为有理函数， 当 n < m 时，称为真分式， 当 n m 时， 称为假分式. 假分式一定可以化成一个多项式与一个真分式之和.
第四节 有理函数的积分
例如，
2 x3 5x 2 3 , 4 3 2 x x 7x 2x 8
真分式
2x4 x2 3 , 2 x 1
三类函数(其中 p2 – 4q < 0 , P1(x) 为小于 k 次的多项式， P2(x) 为小于 2l 次的多项式).
第四节 有理函数的积分 第四节
例1 将下列真分式分解成部分分式之和：
1 x3 x2 (1) ; (2) 2 ; (3) . 2 2 x( x 1)2 x2 5 x 6 ( x 1)( x 2 x 1)
第四节 有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换化 为有理函数的积分. 例如:
n n ax b ; 令 R ( x , ax b ) d x , t
解 (1) 直接拼凑
1 x ( x 1) 1 1 2 2 2 x( x 1) x( x 1) ( x 1) x( x 1)
1 x ( x 1) 1 1 1 . 2 2 ( x 1) x( x 1) ( x 1) x 1 x
假分式
2x4 x2 3 4 2 2x 1 2 . 2 x 1 x 1
第四节 有理函数的积分
2. 真分式的分解式
P( x) , 如果分母可分解为两个多项式 对于真分式 Q( x)
的乘积 Q( x) Q1 ( x)Q2 ( x) , 且 Q1(x) 与 Q2(x) 没有公因 式，则
n n 1
称为有理函数， 当 n < m 时，称为真分式， 当 n m 时， 称为假分式. 假分式一定可以化成一个多项式与一个真分式之和.
第四节 有理函数的积分
例如，
2 x3 5x 2 3 , 4 3 2 x x 7x 2x 8
真分式
2x4 x2 3 , 2 x 1
三类函数(其中 p2 – 4q < 0 , P1(x) 为小于 k 次的多项式， P2(x) 为小于 2l 次的多项式).
第四节 有理函数的积分 第四节
例1 将下列真分式分解成部分分式之和：
1 x3 x2 (1) ; (2) 2 ; (3) . 2 2 x( x 1)2 x2 5 x 6 ( x 1)( x 2 x 1)
第四节 有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换化 为有理函数的积分. 例如:
n n ax b ; 令 R ( x , ax b ) d x , t
高等数学第四章有理函数的积分
x2 1
-
1)
dx
1
2
1+
1 x2
x2
+
1 x2
dx
-1 2
1
-
1 x2
x2
+
1 x2
dx
技巧
1 2
d( x - 1 ) x
-1
( x - 1 )2 + 2 2
d( x + 1 ) x
( x + 1 )2 - 2
x
x
1
arctan
x
-
1 x
-
1
1
ln
22
2 22 2
x+ 1 x
A 1 ( x - a)1-n + C 1- n
16
( x2 + px + q) 2x + p
Ax + B
(3) x2 + px + q dx
Ax + A p- A p + B
22
x2 + px + q
dx
Ax + A p
x2
+
2 px +
dx q
+
(B
-
A 2
p)
Q( x) 部分分式的和. 如果分母多项式Q( x)在实数域 上的质因式分解式为:
Q( x) b0 ( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
5
Q( x) b0 ( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
第四节有理函数积分(1)
2
2
作业
P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21
第四节 有理函数的积分
第四章
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
• 初等函数
求导
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分
有理函数:
P( x) R( x) Q( x)
a0 x n a1x n1 an
b
2 2
cos
a sin x b cos x cos sin b 2 2 1 a a sin x cos x a b tan( x arctan ) C 2 2 2 2 2 2b a a b b a b
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d(t 1 ) t (t
2 1 t)
(t 1) dt 1 t2 t4 1 t 1 arctan t C 3 3 2 1 cos x arctan C 3 3 sin x
3
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2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
1
2t
2t 1t 2
2 1 t ) 2 (1 2 1t 1t
22 1 t
1 1 dt t 2 2 t
dt
1 1 2 t 2t ln t C 2 2
1 2x x x 1 tan tan ln tan C 4 2 2 2 2
高等数学课件4-4有理函数的积分
积分的几何意义
积分是微积分中 的重要概念，用 于计算曲线下的 面积
积分的几何意义 在于将曲线下的 面积分割成无数 个小矩形，然后 求和
积分的极限定义 是积分的几何意 义的数学表达
积分的几何意义 可以帮助我们理 解积分的物理意 义，如计算物体 的质量、体积等
有理函数的积分性质
积分的线性性质
积分的线性性质在积分计算 中的应用
线性性质：积分是线性的， 即两个函数的积分等于两个 函数积分的和
积分的线性性质在积分变换 中的应用
积分的线性性质在积分不等 式中的应用
积分的几何意义
积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下的面积 积分的几何意义在于将函数图像下的面积转化为积分表达式 积分的几何意义可以帮助我们理解函数的变化趋势和性质 积分的几何意义在物理、工程等领域有着广泛的应用
汇报人：
汇报时间：20XX/XX/XX
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积分的计算方法
直接积分法：适用于简单函数， 如x^2，x^3等
分部积分法：适用于含有对数函 数的函数，如x^2ln(x)， x^2ln(x)+x^3等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
换元积分法：适用于复杂函数， 如x^2+x^3，x^2+x^3+x^4 等
积分表法：适用于已知积分的函 数，如x^2，x^3，x^4等
有理函数：由有理数、无理数、常数、幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本函数 组成的函数
有理函数的特点：具有连续性、可导性、可积性等性质
有理函数的分类：根据函数的形式和性质，有理函数可以分为代数函数、超越函数、三角函数 等
有理函数的应用：在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解微分方程、积分方程、 傅里叶变换等
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x 2 x 1 tan 1 tan 2 2, cos x 2 x 2 x sec 1 tan 2 2 x 令u tan x 2 arctanu（万能置换公式） 2
2
2u 1 u2 2 sin x , cos x , dx du 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 1 u 2 du 2 (1 u)(1 u )
(1 u)2 (1 u2 ) 1 u 1 du du du 2 2 (1 u)(1 u ) 1 u 1 u
1 arctan u ln(1 u2 ) ln | 1 u | C 2 x u tan 2 x x ln | sec | ln | 1 tan x | C . 2 2 2
对于三角函数有理式的积分, 万能置换不一 定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能置换.
1 sin x 例2 . 求 dx . 1 sin x
sin xdx 例11. 求I . 2sin x cos x
sin xdx 例11. 求I . 2sin x cos x
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例8 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 x 2 , t 1
dx
t
2tdt
2
1
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1 ) x ( x 1) x 1
被积函数中含有 ax b
在积分表（一）中查得公式（7）
x 1 b ln | ax b | C ax b 2 dx a 2 ax b
现在 a 3, b 4 于是
x 1 4 ln | 3 x 4 | C . 3 x 42 dx 9 3 x 4
1 dx. 被积函数中含有三角函数 例2 求 5 4 cos x
在积分表（十一）中查得此类公式有两个
a 5, b 4 a 2 b 2 选公式（105）
dx 2 ab x ab a b cos x a b a b arcot a b tan 2 C
1 A( x 1) 2 Bx Cx( x 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x 0, A 1 取 x 1, B 1 取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
(1)
1 1 1 1 . 2 2 x( x 1) x ( x 1) x 1
1 例7 求积分 dx. 4 sin x x 2u 2 , dx du, 解（一） u tan , sin x 2 2 2 1 u 1 u 2 4 6 1 1 3 u 3 u u du sin4 x dx 4 8u 1 1 3 u3 [ 3 3u ] C 8 3u u 3 3 1 3 3 x 1 x tan tan C . 3 2 24 2 x 8 tan x 8 24 tan 2 2
解（二） 令u cot x, 则du csc2 xdx
1 4 dx csc sin4 x xdx
(1 cot 2 x )csc2 xdx
(1 u2 )du
u3 ( u ) C 3 cot 3 x (cot x )C 3
特别注意
2
C.
1 dx. 例9 求积分 3 x 1 x 1
6 5 t x 1 6t dt dx, 解 令 1 1 5 6 t dx t 3 t 2 dt x 1 3 x 1 3 t 6 dt 2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C t 1
3
难点 将有理函数化为部分分式之和.
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
A ; 特殊地：k 1, 分解后为 xa
( 3 x 1 2 x 1)dx
1 1 3 x 1d ( 3 x 1) 2 x 1d ( 2 x 1) 3 2 3 3 2 1 2 ( 3 x 1) ( 2 x 1) 2 C . 9 3
四、小结
有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分.（万能置换公式） （注意：万能公式并不万能） 简单无理式的积分.
第五节
积分表的使用
一、关于积分表的说明
（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（五版）上册
（同济大学数学教研室主编）第347页．
二、例题
x dx . 例1 求 2 ( 3 x 4)
2 k ( x px q ) （2）分母中若有因式 ，其中 2 p 4q 0 则分解后为
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
其中 M i , N i 都是常数( i 1,2,, k ) .
2
,
2 t dt 1 1 x 2 t 1 t 2 dx 2 dt 2 2 x x t 1 t 1
2t
t 1 1 C 2 1 2 dt 2t ln t 1 t 1
1 x 1 x 2 ln x 1 x x
2 2 2
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
2 p 2 a q , 4
Mx N Mt b,
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
2u 1 u 2 2 , du. 2 2 2 R(sin x, cos x ) dx R 1 u 1 u 1 u
sin x dx. 例6 求积分 1 sin x cos x 2u , 解 由万能置换公式 sin x 2 1 u 1 u2 2 cos x dx du, 2 2 1 u 1 u 2u sin x 1 sin x cos x dx (1 u)(1 u2 )du
1 A Bx C , 例3 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x
1 A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x ),
整理得 1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2C ) x C A,
A 2 B 0, 4 2 1 B 2C 0, A , B , C , 5 5 5 A C 1, 4 2 1 x 1 5 5 5. 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1)
1 dx . 例5 求积分 2 (1 2 x )(1 x )
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式； ( 2)
A Mx N ; ( 3) ; n 2 n ( x a) ( x px q ) Mx N dx , 讨论积分 2 n ( x px q )
Mx N (1) n 1, x 2 px q dx p x M b 2 2 C; ln( x px q ) arctan 2 a a Mx N dx ( 2) n 1, 2 n ( x px q ) M 1 b 2 dt . 2 2 n1 2 n 2( n 1)(t a ) (t a )
Mx N ; 特殊地：k 1, 分解后为 2 x px q
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式； ( 2) n m , 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
1 x x 1 例 x 2 . 2 x 1 x 1
第四节
有理函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an m m 1 Q( x ) b0 x b1 x bm 1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, a n 及
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数.