D102二重积分的计算83767

D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
11
y x
x 2
y
I
2
dx
1
x xyd y 1
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例4. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx
2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
2
y
x
8 x2 22
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
rk
2
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k
rk
rk
k rk cosk , k rk sink
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n
lim
0
k
1
f
(
rk
cos k
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
当被积函数 f (x, y)在D上变号时, 由于
f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
2
2
f1(x, y)
f2 (x, y) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
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说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
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例5. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
则有 D f (x, y) dx dy
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f
(x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
2 1
1 2
xy2
xd
1
x
2 y
yx
1
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x
2
y
2d y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
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例2. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
例3. 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
因此取D 为X – 型域 :
D
:
0 0
y x
x
D x o x
D
sin x
x
dxd
y
0
swenku.baidu.comn x
x
d
x
x
0 d
y
0 sin x dx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
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二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k 1, 2,, n)
o
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k k
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk )2 k
1 2
ex2 d x
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得
故①式成立 .
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例7. 求球体
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
rd d
d
dr r
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
D r 2 ( )
D f (r cos , r sin )r d r d
d
2 (
)
f
(r
cos ,
r
sin
)r
o dr
1( )
r 1( ) r 2 ( )
特别,
对
D
:
0 r (
0
2
y
4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
D1
显然, 在 D1上, f (x, y) f (x, y) 在 D2上, f (x, y) f (x, y)
y 3x
o D2 1 x
x 1
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
x ln(y 1 y2 )dxdy 0 D2
)
o r 1( )
r ( )
D f (r cos , r sin ) r d r d
2
( )
D
d f (r cos , r sin ) r d r o
0
0
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
a rer2 d r
0
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
及直线
所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
2 y2 x y
则
D
:
y2 1
x y
y 2
2
o 1
D
4x
y x2
2 y2
D xyd 1dyy2 xy d x
2 1
1 2
x2
y
y2 y2
dy
1 2
2 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
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