浅析山西中考数学压轴题解法攻略(于龙海)

浅析山西中考数学压轴题解法攻略太原杏岭实验学校初中部：于龙海伴随着山西百校联考一的结束，感觉同学们备受打击，特别是23题的综合与探究，同学们更是束手无策，今天就来谈谈此类题型的备考策略，希望对同学们能有所帮助。

山西省中考题对于此类问题的考察经常是函数与几何结合，它的综合性强，灵活性大，对同学们的审题、分析、计算、画图、猜想、归纳、分类、心理等都有较高的要求。

因此，同学们在中考总复习中，要善于总结、训练、掌握分析和解决中考数学压轴题的思想方法，提高解题的能力。

我从以下几个方面来进行指导：一、审题有很多同学认为审题就是读上几遍题，弄清已知、未知就行了，其实不然，我们应当这样来审题：1、审函数此类题型经常以二次函数为背景来设计问题，因为二次函数图象不是线性的，所以它并不参与几何图形的问题，它常常为我们提供与坐标轴的交点、顶点、对称轴、图象上的动点，并且伴随着一次函数来加大问题的复杂性.2、审几何图形（1）点：图象与坐标轴的交点、二次函数图象的顶点、图象之间的交点、动点等。

（2）线：对称轴、平行于坐标轴的线、不平行于坐标轴的线。

（3）形：直角三角形（直角边平行于坐标轴的作为重点）、有一边平行于坐标轴的三角形、特殊的三角形、平行四边形、特殊的平行四边形等。

二、解题指导1、解题方法：几何法、解析法2、点、线、形之间的关系点的坐标表示线段的长度形点线（1）点坐标的求法①根据点坐标的定义，求这个点到坐标轴的距离。

②点在函数图象上，根据函数关系式设点的坐标（通常只设一个未知数），表示出线段的长度，再由线段间的数量关系或函数关系式列方程即可求出。

③解析法求交点坐标：求出两个函数关系式，联立方程即可。

（2）如何建立线段间的数量关系①线段间的和与差②三角形全等、三角形相似（性质：成比例线段、面积比、周长比、对应的高、中线、角平分线的比）解直角三角形、特殊的线段。

（3）如何解直角三角形构造直角边平行于坐标轴的直角三角形3、一次函数中的k（1）如果直线b kx y l +=:与x 轴的夹角为α，如图1、2，那么αtan =k（2）如果直线b kx y l +=:上有两点),(),,(2211y x B y x A ，如图3，那么2121x x y y k --=,（3）直线111:b x k y l +=与直线222:b x k y l += ①如果21//l l ，那么21k k =②如果21l l ⊥，那么121-=⋅k k 4、计算此类题型对同学们的计算要求也非常高，数据复杂，望同学们多计算，数据的处理合理、严谨，除此之外，我把常用的计算总结如下： （1）待定系数法求函数关系式（2）一次函数中k 的求法（第3条）（3）二次函数中顶点坐标的三种求法（含最值的求法）①配方法②顶点坐标公式③中点坐标公式求对称点的中点坐标 （4）锐角三角函数①三角函数的定义②特殊角的三角函数值（借助三角板计算更简单） 5、数学思想 （1）分类思想：①运动产生的分类：了解运动过程，进行分类②对图形的分类：直角三角形、等腰三角形、平行四边形（含特殊）、三角形全等相似等 （2）数形结合要求同学们有二次画图的能力，特别是有分类的情况，不要在原图中分析，而是重画为简单的图形（静态的用中性笔来画，动态的用铅笔来画更为方便）（3）类比思想：多在分类中有所体现，每种情况的解题思路一样时即可用此种思想。

（4）方程思想：建立方程求解。

（5）猜想有些问题具有特殊性，同学们要敢于大胆猜想。

以上指导可作为同学们解决此类问题的切入点，如有不足可补充说明或加以修改，接下来我就结合几个实例来进行分析、帮助同学们理解。

例1（2019年山西百校联考一第23题：14分）综合与探究： 如图，已知抛物线6422-+=x x y 与x 轴交于B A ,两点，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴l 与x 轴相交于点D . （1）求点C B A ,,的坐标；图3图2图1（2）若点E 为坐标平面内一点，且CE BE AE ==,求点E 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P ,使ABE ABP ∠=∠tan 1116tan ?若存在，求出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【分析与解答】（1）问，题干给出了二次函数关系式为6422-+=x x y ，涉及求图象的对称轴，与坐标轴的交点，其中点A 与点B 关于对称轴l 对称，我们可以轻松的解决（1）问了。

当0=y 时，06422=-+x x ，1,321=-=x x ，此时)0,1(),0,3(B A - 当0=x 时，6-=y ，此时)6,0(-C（2）问给出CE BE AE ==，同学们分析可知点E 是ABC ∆三边的垂直平分线的交点,说明点E 在对称轴l 上，求出对称轴就知道了点E 的横坐标（你准备用哪种方法求对称轴l ） 同时点E 又在BC 边的垂直平分线上，找到点E ，画出图形。

方法一：几何法（如图1）对称轴为直线1213-=+-=x ，即1-==D E x x 求点E 的坐标即求DE 的长度，构造ADE Rt ∆,解ADE Rt ∆，我们发现只有条件2=AD ,解不了，再构造另一个C E F Rt ∆，DE CF EF -==6,1,由CE AE =,根据勾股定理得2222)6(12DE DE -+=+，411=DE ,点)411,1(--E 方法二：解析法（如图2）因为点E 为直线EG l ,的交点,所以联立两直线的关系式解方程即可，如何求直线EG 的关系式？我们已经知道，直线BC EG ⊥且过线段BC 的中点G ,所以应先求出直线BC 的关系式，再求直线EG 的关系式。

设直线BC 的关系式为11b x k y += 设直线EG 的关系式为22b x k y +=由)6,0(),0,1(-C B 根据待定系数法可求直线BC 的关系式为66-=x y 根据中点坐标公式可求点)3,21(-G由BC EG ⊥得，121-=⋅k k ，所以612-=k ，再根据待定系数法求出直线EG 的关系式为123561--=x y ，1-=x 时，411-=y ，点)411,1(--E （3）问中的ABE ABP ∠=∠tan 1116tan 这个条件，看起来很复杂，但ABE ∠是BDE Rt ∆中的一个定角（如图3）我们可以在BDE Rt ∆中求出8112411tan ==∠ABE ，故可求出28111116tan =⨯=∠ABP 。

于是（3）问就变为：在抛物线上是否存在点P ,使2tan =∠ABP ?若存在，求出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.因为2tan =∠ABP ，所以构造BP 所在的PQB Rt ∆,可知BQ PQ 2=,这样在点P 的运动过程，通过我们的分析可知有两种情况，如图4、图5.此问的求解充分的体现了我在前面给同学们总结的一些方法，请同学们认真研读。

【方法一】设点的坐标→表示线段的长度→根据线段间的数量关系建立方程求解。

根据二次函数关系式设点)642,(2-+m m m P 当点P 在x 轴上方时：如图4642,12-+=-=m m PQ m BQ因为BQ PQ 2=，所以)1(26422m m m -=-+解得)(1,421舍去=-=m m 此时[]10)4(122=--==BQ PQ ,所以点)10,4(-P 当点P 在x 轴下方时：同理可求出点)6,2(--P 综上所述点)10,4(-P 或)6,2(--请同学们类比上述方法求出图5中点P 的坐标。

【方法二】设点的横坐标或纵坐标（此设法与关系式无关）→点到坐标轴的距离→表示点的坐标→代入函数关系式求解。

设点P 的横坐标为m ，,1m QB -=由BQ PQ 2=得，m PQ 22-=， 则m y P 22-=或22-=m y P当m y P 22-=时，m m m 226422-=-+，解得)(1,421舍去=-=m m 此时1022=-=m y P ， 所以点)10,4(-P当22-=m y P 时，226422-=-+m m m ，解得舍去）(1,221=-=m m 此时6-22=-=m y P 所以点)6-,2(-P综上所述点)10,4(-P 或)6,2(--【方法三】如图6、图7：点P 是抛物线和直线PB 的交点，故 先求出直线PB 的关系式，再与抛物线联立解方程即可。

如何 求直线PB 的关系式呢？ 设直线PB 的关系为:b kx y +=因为ABP ∠是直线PB 与x 轴的夹角，而2tan =∠ABP , 所以2=k ，那么2±=k ， 因为直线PB 过点B 当2-=k 时（如图6）直线PB 的关系式为：22+-=x y 与抛物线6422-+=x x y 联立得226422+-=-+x x x解得)(1,421舍去=-=x x 此时1022=+-=x y 所以点)10,4(-P当2=k 时（如图7）同理可得点)6-,2(-P 综上所述点)10,4(-P 或)6,2(--【总结与反思】此题的几何关系并不复杂，把握好点、线、形之间的关系，注意分类、类比、计算、画图，对于解析法的训练是很不错的一道题，望加强训练。

图7接下来我们共同分析与解答2018年山西中考题第23题例2（2018山西省中考第23题）综合与探究如图，抛物线431312--=x x y 与x 轴交于B A ,两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC AC ,.点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作x PM ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作AC PE //交X 轴于点E ，交BC 于点F .（1）求C B A ,,三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ， 使得以Q C A ,,为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为 何值时QF 有最大值.【分析与解答】（1）问，很简单，求抛物线与x 轴的交点坐标由_____=0，得__________________，解得______________， ∴__________________求抛物线与y 轴的交点坐标由_________，得_________，∴____________【分析线段】由点C B A ,,的坐标，可以得到哪些线段的长度？请表示出来_______________________________________________________________________________ 由点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线上，故P _________________ 由x PM ⊥轴，∴OM =________,PM =_______________ 【分析图形】你能找到哪些特殊的图形_______________________________________________________________________________ （2）我们分析一下（2）问，以Q C A ,,为顶点的三角形是等腰三角形，当然得分类________________________________ 分析点Q ，点Q 是PM 与BC 的交点，直线BC 的关系式为__________________________ 用m 表示点Q 的坐标________________ 点Q 的坐标也可以这样来表示：m MB OB m OM -===4,4,，分析可知BMQ ∆为等腰直角三角形∴m MB MQ -==4 ∵点Q 在第四象限 ∴点Q ___________________ 接下来按分类标准分别求解①当5==AC AQ 时，请同学们在备用图中画出图形 我们利用“指导中”点坐标的求法分析、求解 根据线段的数量关系建立m 的方程MQ 所在的直角三角形为AQM Rt ∆,AM =_________ MQ =____________,AQ =_________根据勾股定理________________________， 解得_________________________再求点Q 的纵坐标__________________________________ ∴点Q 坐标为___________②当5==CA CQ 时，请同学们在备用图中画出图形，并求解③当QC QA =时，在第四象限，你认为存在这样的点Q 吗？ 请画图验证一下，我们发现不存在，那么如何说明呢？在AQM Rt ∆中,2AQ =__________________________________请你表示2CQ =________________________________________ 由22CQ AQ =，得____________________________________解得：_________________________ 请你判断一下点Q 是否符合题意？ （3）问：【方法一】用含m 的代数式表示线段QF 的长，我们当然得构造以QF 为斜边的直角三角形，如图所示，来解这个直角三角形，分析有什么条件，发现FQH Rt ∆是等腰直角三角形（你知道为什么吗），想解这个直角三角形得把QH 或FH 用含m 的代数式来表示。