艺体生基础生考点培优讲义 考点6 数列求通项

考点三十 数列前n 项和与数列的通项知识梳理1．数列{a n }的前n 项和S nS n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n2．数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2) 3．已知数列的前n 项和S n ，求a n 的方法(1)第一步，令n =1,求出a 1＝S 1；(2)第二步，当n ≥2时，求a n ＝S n －S n －1；(3)第三步，检验a 1是否满足n ≥2时得出的a n ，如果适合，则将a n 用一个式子表示；若不适合，将a n 用分段形式写出。

4．已知a n 与S n 的关系式，求a n 的方法(1)第一步，令n =1,求出a 1＝S 1；(2)第二步，当n ≥2时，根据已有a n 与S n 的关系式，令n ＝n ＋1(或n ＝n －1)，再写出一个a n +1与S n +1(或a n －1与S n －1)的关系式，然后两式相减，利用公式a n ＝S n －S n －1消去S n ，得出a n 与a n +1(或a n 与a n －1)的关系式，从而确定数列{a n }是等差数列、等比数列或其他数列，然后求出通项公式。

5．根据a n 与a n +1(或a n 与a n －1)的递推关系求通项公式当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a n a n －1＝f (n )时，用累乘法求解． 典例剖析题型一 已知数列的前n 项和S n 求a n例1 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，求{a n }的通项公式解析 a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.变式训练 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，6n －5，n ≥2. 解题要点 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．题型二 已知a n 与S n 的关系式求a n例2 (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1 解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1. 综上，a n ＝(－2)n －1. 变式训练 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，求{a n }的通项公式 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴a n ＋1a n ＝32，又由S 1＝2a 2，得a 2＝12，且a 2a 1＝12 ≠ 32∴{a n }是从第2项开始的等比数列，当n ≥2时，a n ＝12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，n ∈N *. ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，n ∈N *. 解题要点 已知a n 与S n 的关系式求a n 时，需要分析所推出的递推式是对n ∈N +成立，还是对n ≥2时成立。

⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 2221,21(1)2nn a a n a a n a n=⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:数 列数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.1.数列的有关概念：（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数。

当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。

（3） 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 221n a n =-。

（4） 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。

2．数列的表示方法：（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。

（3） 解析法：用通项公式表示。

（4）递推法：用递推公式表示。

3．数列的分类：按有界性M M M >Mn n n n +⎧≤∈⎪⎨⎪⎩有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:123n n S a a a a =++++ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.可变形为d m n a a m n )(-+= ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.常用性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd 。

[基础题组练]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15,则( )A ．3不是数列{a n }的项B ．3只是数列{a n }的第2项C ．3只是数列{a n }的第6项D ．3是数列{a n }的第2项和第6项解析：选D.令a n ＝3,即n 2－8n ＋15＝3.整理,得n 2－8n ＋12＝0,解得n ＝2或n ＝6.故选D.2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ,则a n ＝( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ，n ≥2B ．2nC ．2n －1D ．2n －1－1解析：选C.log 2(S n ＋1)＝n ⇒S n ＋1＝2n .所以a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2),又a 1＝S 1＝2－1＝1,适合a n (n ≥2),因此a n ＝2n －1.故选C.3．(2019·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( )A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1,a 2,…,a 9,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4,因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4,a 7＋a 9＝2a 8,故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A. 4．在数列{a n }中,“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B.“|a n ＋1|>a n ”⇔a n ＋1>a n 或－a n ＋1>a n ,充分性不成立,数列{a n }为递增数列⇔|a n ＋1|≥a n ＋1>a n 成立,必要性成立,所以“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.5．数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n ＝________． 解析：由已知得,数列可写成11,23,35,…,故通项公式可以为n 2n －1.答案：n 2n －16．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2,则数列{a n }的通项公式为________．解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2),当n ＝1时,a 1＝6；当n ≥2时,⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时,a n ＝n ＋2n, 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N* 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ,求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1,求a n .解：(1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2,当n ＝1时,a 1＝S 1＝1,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1),又a 1也适合此式,所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时,a 1＝S 1＝6；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2,由于a 1不适合此式,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2. 8．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和,且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1,a 2,a 3,a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *),可得a 1＝12a 21＋12a 1,解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2,解得a 2＝2； 同理a 3＝3,a 4＝4.(2)S n ＝12a 2n ＋12a n ,①当n ≥2时,S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1,② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0,所以a n －a n －1＝1,又由(1)知a 1＝1,故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,故a n ＝n .[综合题组练]1．(2019·广东惠州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2a n －1,则S 6a 6＝( ) A.6332B.3116C.12364D.127128解析：选A.因为S n ＝2a n －1,所以n ＝1时,a 1＝2a 1－1,解得a 1＝1；n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－(2a n －1－1),化为a n ＝2a n －1.所以数列{a n }是等比数列,公比为2.所以a 6＝25＝32,S 6＝26－12－1＝63,则S 6a 6＝6332.故选A.2．(创新型)(2019·德阳诊断)若存在常数k (k ∈N *,k ≥2),q ,d ,使得无穷数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋d ，n k ∉N *，qa n ，n k ∈N *，则称数列{a n }为“段比差数列”,其中常数k ,q ,d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n}为“段比差数列”,若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,则b 2 016＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D.因为{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,所以b 2 014＝0×b 2 013＝0,所以b 2 015＝b 2 014＋3＝3,所以b 2 016＝b 2 015＋3＝6.故选D.3．若数列{a n }满足a n ＝n ＋3n ＋2,则该数列落入区间(1312,54)内的项数为________． 解析：由1312<n ＋3n ＋2<54得,1312<1＋1n ＋2<54,即112<1n ＋2<14,4<n ＋2<12,2<n <10,显然,落入区间(1312,54)内的项数为7.答案：74．(综合型)(2019·临汾期末)已知数列{x n }的各项均为正整数,且满足x n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x n 2，x n 为偶数，x n ＋1，x n 为奇数，n ∈N *.若x 3＋x 4＝3,则x 1所有可能取值的集合为________．解析：由题意得x 3＝1,x 4＝2或x 3＝2,x 4＝1.当x 3＝1时,x 2＝2,从而x 1＝1或4；当x 3＝2时,x 2＝1或4,因此当x 2＝1时,x 1＝2,当x 2＝4时,x 1＝8或3.综上,x 1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}．答案：{1,2,3,4,8}5．(2019·山东青岛调研)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,S n ＝3×2n －3,其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }为等差数列,T n 为其前n 项和,b 2＝a 5,b 11＝S 3,求T n 的最值． 解：(1)由S n ＝3×2n －3,n ∈N *,得(ⅰ)当n ＝1时,a 1＝S 1＝3×21－3＝3.(ⅱ)当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(3×2n －3)－(3×2n －1－3)＝3×(2n －2n －1)＝3×2n －1(*)．又当n ＝1时,a 1＝3也满足(*)式．所以,对任意n ∈N *,都有a n ＝3×2n －1.(2)设等差数列{b n }的首项为b 1,公差为d ,由(1)得b 2＝a 5＝3×25－1＝48,b 11＝S 3＝3×23－3＝21.由等差数列的通项公式得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1＋d ＝48，b 11＝b 1＋10d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝51，d ＝－3.所以b n ＝54－3n . 可以看出b n 随着n 的增大而减小,令b n ≥0,解得n ≤18,所以T n 有最大值,无最小值,且T 18(或T 17)为前n 项和T n 的最大值,T 18＝18（b 1＋b 18）2＝9×(51＋0)＝459. 6．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3),a n ＋1＝S n ＋3n ,n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ,求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ,n ∈N *,求a 的取值范围．解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ,即S n ＋1＝2S n ＋3n ,由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n ),即b n ＋1＝2b n ,又b 1＝S 1－3＝a －3,因此,所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1,n ∈N *.(2)由(1)可知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1,n ∈N *,于是,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2, a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎡⎦⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3, 所以,当n ≥2时,a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9,又a2＝a1＋3＞a1,a≠3.所以,所求的a的取值范围是[－9,3)∪(3,＋∞)．。

考点7 数列求和[玩前必备]1．公式法求和 常用的求和公式有：(1) 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2) 等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 3.裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和． 常用的裂项公式有： (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4) 1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1) － 1(n ＋1)(n ＋2)；4.分组求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．[玩转典例]题型一 分组求和例1 （2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．例2 （2020•五华区校级模拟）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，413a =，且1a ，2a ，7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T ．[玩转跟踪]1.（2020•番禺区模拟）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列． （1）求n a 及n S ； （2）设*2112()1n a n n b n N a +=+∈-，求数列{}n b 前n 项和n T ．2.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .题型二 错位相减法求和例2 （2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅰ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .[玩转跟踪]1. （2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．题型三 利用裂项相消法求和例3 （2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . [玩转跟踪]1.（2020•福清市一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n a S -=． （Ⅰ）求n a（Ⅱ）若数列{}n b 满足*14()nn n n a b n N S S +=∈，{}n b 的前n 项和n T ． [玩转练习]1.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .2.（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226nT ≤<．3.（2020•全国3卷）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．4.（2020·江西省名高三第二次大联考（理））已知首项为4的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+.（1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.（2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .5.(安徽，18)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .6.(浙江，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .7. （湖南高考）设为数列{}的前项和，已知，2，N(Ⅰ)求，，并求数列｛｝的通项公式； (Ⅱ)求数列｛｝的前项和．8.(安徽，18)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列{a nn }是等差数列； n S n a 01≠a n n S S a a •=-11∈n *1a 2a n a n na n(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .9.(新课标全国Ⅰ，17)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n }的前n 项和.10.(重庆，16)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋ (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.11.(重庆，18)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .。

数列基础知识一、等差数列与等比数列二、数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩课本题1．等差数列{}n a 前n 项之和为n S ，若31710a a -=，则19S 的值为 。

952．已知数列{}n a 中，3,6011+=-=+n n a a a ，那么||||||3021a a a +++ 的值为 。

765 3．等差数列{}n a 中，01>a ，且13853a a =，则}{n S 中最大项为 。

204．已知一个等差数列前五项的和是120，后五项的和是180，又各项之和是360，则此数列共有 项。

12 5．设等比数列{}n a 中，每项均是正数，且8165=a a ，则 =+++1032313log log log a a a 20 6．设331)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得：)13()12()11()0()10()11()12(f f f f f f f ++++++-+-+- 的值为 137．已知数列{}n a 的通项12)12(-⋅+=n n n a ，前n 项和为n S ，则n S = ( 2n-1)2n+13 。

8．数列{}n a 中，)2(112,1,21121≥+===-+n a a a a a n n n ，则其通项公式为=n a n2 。

P32习题5（2）; P37练习5; P39习题7，12; P41练习4; P45习题2（1），7，12，13; P48练习2（2）; P51例4，练习2；P5习题10；P55练习4；P58习题4，6，7；P62复习题4，7，8 高考题1.已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = 952.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于 -303.已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 (][),13,-∞-+∞4.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = 135.在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a = 2ln n +6.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于 1007.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S = 48 8.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = 332（n --41）9.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = 15210.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．262n n -+11.已知函数()2x f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅= . －612.设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .-7213.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ． （Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n nn n S S ++-=-． 因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．。

求数列通项的几种方法方法1：已知数列前几项求通项公式注: 此类型主要通过学生观察、试验、合情推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生数学思维能力．相对于填空题或是选择题只需利用不完全归纳法进行猜想即可；对于解答题，往往还需要我们进一步加以证明．1．数列的通项n a =2．数列1111,,,12233445--⨯⨯⨯⨯的通项n a =3．数列222213571,1,1,12468+-+-的通项n a =4.已知数列{}n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥．(Ⅰ)求：23,a a ；(Ⅱ)证明：312n n a -=．方法2：数列的前n 项和n S ，利用111 , 1, 2n nn a S n a S S n -==⎧=⎨-≥⎩求通项公式5. 各项全不为零的数列{}k a 的前k 项和为k S 且11,(*)2k k k S a a k N +=∈，其中11a =。

求数列{}k a 。

6.已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，则k =7.若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为 ；数列{}n na 中数值最小的项是第 项．8.设数列{}n a 的前n 项和为22nn n S a =-，（1）求14,a a（2）证明： {}12n n a a +-是等比数列； （3）求{}n a 的通项公式9. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．求数列{}n a 的通项n a ；方法3：形如1n n a Aa B +=+(其中A,B 为常数)，用待定系数法求数列通项 10.数列{a n }满足a 1=1且a n ＋1＋2a n =1，求其通项公式。

考点4 等差数列[玩前必备]1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．3．数列{a n }的前n 项和S n ，那么a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2). 4．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．5．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .说明：等差数列{a n }的通项公式可以化为a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n 的一次表达式，反之，假设某数列的通项公式为关于n 的一次表达式，那么该数列为等差数列.6．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ，那么S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 说明：数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．这说明d ≠1时，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次表达式，并且没有常数项.7．等差中项如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫作a 与b 的等差中项．8．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．(2)假设{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，那么a k ＋a l ＝a m ＋a n .[玩转典例]题型一 数列的概念例1 根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝n 2－12n －1；(2)a n =n(n+2). [玩转跟踪]1.数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，那么该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 2.数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第______项． 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，那么－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项题型二 S n ，求a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2). 例2 (江西，17)数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；[玩转跟踪]1.(湖南，16)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；2.数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，那么其通项公式为________________． 题型三 等差数列根本量的计算例3 (1)(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，那么{}n a 的通项公式为___．(2)(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，假设30a =，6714a a +=，那么7S = ． 例4 (2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，假设3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，那么a 5等于( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12[玩转跟踪] 1.(重庆，2)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，那么a 7＝( )2.(安徽，13)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，那么数列{a n }的前9项和等于________.3.(新课标全国Ⅰ，7){a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前nS 8＝4S 4，那么a 10＝( ) A.172 B.192题型四 等差数列的性质例5 (1)(上海，1)在等差数列{a n }中，假设a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，那么a 2＋a 3＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 3＝9，S 6＝36，那么a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，那么数列{a n }的公差是( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3[玩转跟踪]1..(2015·新课标全国Ⅱ，5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设a 1＋a 3＋a 5＝3，那么S 5＝( )2.S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，那么S 2 016＝________.题型五 等差数列的证明和S n 的最值例6 (大纲全国，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式.例7 〔2020届山东省泰安市肥城市一模〕记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，2219a a =，618S =.〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕求n S 的最大值及对应n 的大小.[玩转跟踪]1.〔2018全国卷Ⅱ〕记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值．2.〔2020届山东省淄博市高三二模〕数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N . 〔1〕求证：数列{}2n n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；[玩转练习]1.〔2019全国1理9〕记为等差数列{}n a 的前n 项和．4505S a ==，，那么A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-2. 〔2019全国3理14〕记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，那么105S S =___________. 3. 〔2019江苏8〕数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 25890,27a a a S +==，那么8S 的值是 . 4. 〔2019北京理10〕设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设25310a S =-=-，,那么5a = ________ . n S 的最小值为_______.5．〔2017新课标Ⅲ〕等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．假设2a ，3a ，6a 成等比数列，那么{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．86．〔2017浙江〕等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，那么“0d >〞是“465+2S S S >〞的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．〔2016年全国I 〕等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，那么100=aA ．100B ．99C ．98D ．978．〔2015重庆〕在等差数列{}n a 中，假设244,2a a ==，那么6a ＝A ．－1B ．0C ．1D ．6 n S9．〔2014福建〕等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，那么6a =A ．8B ．10C ．12D ．1410.〔2017新课标Ⅰ〕记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．假设4524a a +=，648S =，那么{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．811．〔2013新课标2〕等差数列的公差不为零，，且成等比数列． 〔Ⅰ〕求的通项公式；〔Ⅱ〕求．12〔2018北京〕设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求12e e e n a a a +++．13.〔2016年山东高考〕数列 的前n 项和238n S n n =+，是等差数列，且〔Ⅰ〕求数列的通项公式；{}n a 125a =11113,,a a a {}n a 14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+{}n a {}n b 1.n n n a b b +=+{}n b14.〔2020•咸阳二模〕等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3718a a +=，636S =． ()I 求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ；()II 设n T 为数列1{}n S n +的前n 项的和，求证：1n T <．。

高考数学复习专题讲座数列通项公式的求法(总15页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高考数学复习专题讲座 数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n na a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

考点二十九 等比数列知识梳理1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，a n ＋1a n ＝q ．说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0. (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ．说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项．两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．典例剖析题型一 等比数列中基本量解题例1 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝________.答案 1或－12解析 设数列的公比为q ，∵a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎨⎧a 1q 2＝32，a 1(1＋q ＋q 2)＝92，两式相除得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或q ＝－12.变式训练 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81，则a n ＝________． 答案 3n －1解析 设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.因此a n ＝3n －1.解题要点 在等比数列中，基本量是a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)使问题得解．题型二 利用等比数列的性质解题例2 已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于________. 答案 －7解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.变式训练 在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 答案 1 024解析 (2)方法一 a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①：a 41·q 54a 41·q 6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43 ＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160 ＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝1·210＝1 024.方法二 由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p ， 设T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1， T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8， ∴T 4＝T 1·p 3＝1·p 3＝8⇒p ＝2.∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·p 10＝210＝1 024.解题要点 在数列问题中，要特别关注项数的特征，等比数列中项数和相等，则积相等，即“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，巧妙利用性质可以减少运算量，提高解题速度． 题型三 等比数列的前n 项和及其性质例3 若等比数列{a n }满足a 1＋a 4＝10，a 2＋a 5＝20，则{a n }的前n 项和S n ＝________． 答案109(2n－1) 解析 由题意a 2＋a 5＝q (a 1＋a 4)，得20＝q ×10，故q ＝2，代入a 1＋a 4＝a 1＋a 1q 3＝10，得9a 1＝10，得a 1＝109.故S n ＝109（1－2n ）1－2＝109(2n －1)．变式训练 已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为________. 答案 43(2－10－1)解析 ∵2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝－12.又a 2＝1，∴a 1＝－2，∴{a n }是首项为－2，公比为q ＝－12的等比数列，∴S 10＝a 1（1－q 10）1－q＝－2（1－2－10）1＋12＝43(2－10－1). 例4 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则 S 9∶S 3等于________. 答案 3∶4解析 由等比数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.变式训练 等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.答案 －12解析 由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，则可得S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5， 故q 5＝－132，q ＝－12.解题要点 1. 运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论．2.注意性质的适用范围，公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 4n 不一定构成等比数列．当堂练习1．(2015新课标II 文)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于________.答案 12解析 由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________. 答案 19解析 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1·q ＋10a 1，∴1－q 31－q ＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19.3. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝________.答案 1或－12解析 设数列的公比为q ，∵a 3＝32，S 3＝92，∴a 1q 2＝32，a 1(1＋q ＋q 2)＝92.两式相除得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或q ＝－12. 4．已知等比数列{a n }，且a 4＋a 8＝2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为________. 答案 4解析 a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 6·a 6＋a 6a 10＝a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝4.5．若{a n }为等比数列，a 2＋a 3＝1，a 3＋a 4＝－2，则a 5＋a 6＋a 7等于________. 答案 24解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 2＝1，a 1q 2＋a 1q 3＝－2. 解得q ＝－2，a 1＝12，∴a 5＋a 6＋a 7＝a 5(1＋q ＋q 2)＝a 1q 4(1＋q ＋q 2)＝24.课后作业一、 填空题1．已知各项为正的等比数列{a n }满足a 3·a 9＝4a 25，a 2＝1，则a 1＝________. 答案 12解析 ∵a 3a 9＝a 26＝4a 25，又q >0，∴q ＝2，a 1＝a 2q ＝12. 2．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝1，a 11＋a 12＝4，则a 21＋a 22的值为________. 答案 16解析 设{a n }的公比为q ，则a 11＋a 12＝q 10(a 1＋a 2)， 所以4＝q 10，a 21＋a 22＝q 20(a 1＋a 2)＝16.3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10等于________. 答案 5解析 ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．在等比数列{}a n 中，a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________. 答案 4解析 ∵{}a n 为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列， ∴a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)2a 1＋a 2＝362324＝4.5．(2015新课标II 理)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝________. 答案 42解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.6．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于________. 答案 30解析 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.7．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为________. 答案 1或－12解析 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，②②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.8．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________. 答案22解析 因为a 3·a 9＝2a 25，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 26＝2a 25，所以a 26a 25＝2，即(a 6a 5)2＝q 2＝2.因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q ＝12＝22.9．(2015浙江文)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________. 答案 23－1解析 因为a 2，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，∴a 1＝－23d ，∵2a 1＋a 2＝1，∴2a 1＋a 1＋d ＝1即3a 1＋d ＝1，∴a 1＝23，d ＝－1.10．(2015广东文)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________. 答案 1解析 ∵三个正数a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1.∵b 为正数，∴b ＝1.11．(2015新课标Ⅰ文)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________. 答案 6解析 由a n ＋1＝2a n 知，数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6. 二、解答题12．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1×22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54×2n －1＝5×2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5×2n －2－54，即S n ＋54＝5×2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5×2n －15×2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，以2为公比的等比数列．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解析 (1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a 3＋a 5…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13.。