简单微分方程及其应用

例谈微分方程在实际问题中的简单应用
微分方程是介绍物理世界的最基本的数学工具之一。

它的精确的解决方案可以用来解释复杂的现象，开发精确的解决方案，并为解决实际问题提供可行的路径。

本文通过两个例子来分析微分方程在实际问题中的简单应用：比特币价格动态预测和细菌繁殖模型。

首先，本文分析了微分方程在比特币价格动态预测中的应用。

比特币是一种虚拟货币，其价格受到市场供求和政策改变等因素影响。

由于比特币价格在现实世界中具有时间变化性，因此借助微分方程的准确性，可以通过建立模型来捕捉比特币价格的变化趋势，并预测其未来变化情况。

在这种情况下，可以使用一阶常微分方程对比特币价格进行预测，因为它可以准确反映比特币价格随时间变化的规律。

第二，本文讨论了微分方程在细菌繁殖模型中的应用。

传统生物学实验测量活细菌的数量，以此来推断细菌繁殖情况，而微分方程模型则可以更准确地捕捉细菌繁殖的变化趋势。

例如，可以使用
Lotka-Volterra模型来模拟细菌繁殖情况，该模型由两个二阶微分方程构成。

它可以有效地捕捉细菌的数量和繁殖率的变化趋势，并为调整细菌的繁殖情况提供可行的路径。

综上所述，微分方程在实际问题中扮演着重要的角色，它可以被用来准确描述现实世界中复杂的现象，并为解决实际问题提供可行的解决方案。

本文通过分析比特币价格变化和细菌繁殖问题，揭示了微分方程在实际问题中的实用价值。

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微分方程——附应用及历史注记
微分方程是数学中一个重要的分支，它研究函数和其导数之间的关系，并通过求解微分方程来得到函数的表达式。

微分方程在自然科学、工程技术、经济学等领域都有广泛的应用。

微分方程的应用包括：
1. 物理学中的运动学：微分方程广泛应用于描述物体的运动、振动、波动等现象。

例如，牛顿第二定律可以用微分方程形式来描述。

2. 经济学中的人口增长：微分方程可以用来描述人口的增长和资源的利用情况，从而研究经济的发展和可持续发展的问题。

3. 化学中的反应动力学：微分方程可以用来描述化学反应的速率以及反应物之间的变化关系，从而研究反应的速率规律和反应机制。

4. 生物学中的生物体内过程：微分方程可以用来描述生物体内的过程，如生物反应、基因传递等，从而研究生物体的运动、生长和进化。

5. 工程技术中的控制系统：微分方程可以用来描述控制系统的动态响应和稳定性，从而设计和分析自动控制系统。

6. 金融学中的金融模型：微分方程可以用来描述金融市场的价格波动和利率变化，从而研究金融资产的定价和风险管理。

微分方程的历史可以追溯到17世纪，当时数学家牛顿、莱布
尼茨等人对微分学的研究奠定了基础。

18世纪末至19世纪初，拉格朗日、欧拉等数学家对微分方程的解法进行了系统的研究，建立了微分方程的一般理论，并推动了微分方程的应用。

20世纪以来，微分方程得到了快速发展，特别是在数值解法
和动力系统的研究方面取得了重要进展。

现代微分方程研究已经成为数学和应用科学的重要分支之一，为各个领域的问题提供了强有力的工具和方法。

微分方程模型及其应用微分方程模型及其应用微分方程模型及其应用摘要：微分方程模型应用于解决实际问题有非常大的研究空间，本文重点讨论了微分方程的原理，微分方程思想对于解决现实问题的启示以及现实生活中利用微分方程模型解决具体问题的案例，旨在进行微分方程理论学习之余提出自己的一些思考。

关键词：微分方程;模型;应用对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个(偏)微分方程或方程组。

所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。

一、微分方程数学原理解析在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。

要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。

这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。

微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学科理论中理论联系实际的一个重要分支。

随着数学建模活动的日益活跃，利用微分方程建立数学模型，成为解决实际问题不可或缺的方法与工具。

而数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构.简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述)，即用数学式子(如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等)来描述(表述、模拟)所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

二、微分方程模型应用于实际问题的方法和流程总结在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程的求解方法与应用案例分享微分方程是数学中重要的一门分支，它描述了自然界和社会现象中的变化规律。

微分方程的求解方法多种多样，本文将介绍常见的几种求解方法，并结合实际应用案例进行分享。

一、常微分方程的求解方法1. 可分离变量法可分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法。

首先将方程中的变量分离，然后进行积分得到结果。

例如，对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可以将其化简为dy/g(y)=f(x)dx，再对两边同时进行积分即可得到解析解。

2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的方程。

通过令v=y/x，将方程转化为dv/dx=F(v)-v/x，再进行变量分离和积分即可求解。

3. 线性方程法线性方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程。

通过乘以一个积分因子，可以将方程化为d(μy)/dx=μq(x)，再对两边同时积分得到解析解。

4. 变量替换法变量替换法是一种常用的求解微分方程的方法。

通过引入新的变量替换原方程中的变量，可以将方程化为更简单的形式。

例如，对于形如dy/dx=f(ax+by+c)的方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来进行变量替换，从而简化求解过程。

二、微分方程的应用案例分享1. 放射性衰变问题放射性衰变是微分方程在物理学中的一个重要应用。

以放射性核素的衰变为例，其衰变速率与核素的数量成正比，可以用微分方程dy/dt=-ky来描述，其中y表示核素的数量，t表示时间，k为比例常数。

通过求解这个微分方程，可以得到核素的衰变规律，进而预测未来的衰变情况。

2. 振动问题微分方程在工程学中的应用也非常广泛，例如振动问题。

以简谐振动为例，可以通过微分方程m(d²x/dt²)+kx=0来描述，其中m为质量，k为弹性系数。

通过求解这个微分方程，可以得到振动的解析解，进而研究振动的频率、幅度等特性。

3. 生物种群模型微分方程在生态学中的应用也非常重要，例如生物种群模型。

微分方程的概念及其应用领域微分方程是数学领域中一种重要的工具和理论，用于描述物理、工程、经济等领域中的各种变化过程。

它是以未知函数及其导数（或微分）之间的关系式为基础，通过解方程来研究函数的性质及其随时间和空间变化的规律。

微分方程的研究具有广泛的应用价值，在自然科学、工程技术、经济管理等领域中扮演着重要的角色。

微分方程有多种类型，包括常微分方程和偏微分方程。

常微分方程是只含有一个变量的微分方程，在应用中较为常见，可以通过解析方法或数值方法得到近似解。

偏微分方程涉及多个变量，其中包括空间变量和时间变量，其解则需要更加复杂的技术和方法。

微分方程的应用领域非常广泛，以下是其中的一些典型应用领域：1. 物理学领域：微分方程在物理学中具有重要的应用。

例如，牛顿第二定律可以用微分方程形式来描述，使得我们能够研究物体在不同力下的运动情况。

另外，波动方程、热传导方程和电磁场方程等都是偏微分方程，它们描述了自然界中的各种波动和传导现象。

2. 工程技术领域：微分方程在工程技术领域中被广泛应用。

例如，电路理论中的拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程描述了电流分布和电磁场分布。

在控制论中，微分方程用于建立控制系统的模型，分析和设计控制系统的性能。

此外，微分方程还在流体力学、结构力学和电力系统等领域中起着重要的作用。

3. 经济学领域：微分方程在经济学中的应用也非常重要。

经济学中的许多模型都可以用微分方程来描述，例如经济增长模型、瞬时边际效应等。

这些模型可以帮助经济学家预测市场变化、分析经济走势，并制定相应的政策。

4. 生物学领域：微分方程在生物学的研究中也具有重要的应用。

生物领域中存在许多动力学系统，可以用微分方程来描述和分析。

例如，人口增长模型、肿瘤生长模型和神经元活动模型等，都可以通过微分方程来研究相应的变化规律。

5. 计算机科学领域：微分方程在计算机科学中也有广泛应用。

例如，图像处理中的边缘检测算法、图像分割算法和图像恢复算法等，都需要解决微分方程或偏微分方程。

微分方程的求解方法应用与实例微分方程是数学中的重要分支之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等。

解微分方程是研究微分方程的核心问题之一，掌握微分方程的求解方法对于解决实际问题至关重要。

本文将介绍微分方程的求解方法，并结合实例进行详细说明。

一、初等解法初等解法是解微分方程最常用的方法之一，主要包括分离变量法、参数法、齐次法和常系数线性齐次微分方程方法等。

分离变量法适用于可分离变量的微分方程。

通过将方程中的变量分离并进行分别积分的方式，最终得到微分方程的解。

参数法适用于可以利用某些特定的参数化代换将微分方程化简的情况。

通过给定参数化代换，将原微分方程转化为更简单的形式，并求解得到解。

齐次法适用于齐次线性微分方程。

通过将微分方程中的变量进行替换，使之变为齐次线性微分方程，并通过相应的解法求解得到原微分方程的解。

常系数线性齐次微分方程方法适用于常系数线性齐次微分方程。

通过特征方程的求解，找到微分方程的通解。

二、变量分离法变量分离法是解微分方程常用的方法之一，适用于将微分方程中的未知函数和自变量分离的情况。

以一阶可分离变量的形式为例，设微分方程为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。

首先将方程两边同时乘以dx和1/g(y)，得到dy/g(y)=f(x)dx。

之后对方程两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。

最后将等式两边积分得到微分方程的解。

三、常微分方程的解法常微分方程是微分方程中的一种重要类型，是指微分方程中未知函数与变量的最高导数只有一阶，没有更高阶的情况。

常微分方程的解法多种多样，如一阶常微分方程、二阶常微分方程等。

以一阶常微分方程为例，设方程为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。

可以通过变量分离、齐次、恰当微分方程以及一些特殊的解法等方法求解常微分方程。

四、实例分析下面通过一个实例来详细说明微分方程的求解方法。

假设有一辆汽车的速度满足以下条件：在0时刻，汽车的初速度为10m/s，经过1小时，汽车的速度下降到5m/s。

微分方程应用题
微分方程在科学，工程以及经济等领域都有广泛的应用。

以下将具体阐述微分方程在实际问题中的应用。

首先，典型的微分方程应用题能够在生物学中找到。

例如，在研究种群动态时，微分方程被用来描述种群的增长率。

假设一个种群的数量为N，每个个体的出生率和死亡率都是常数，那么可以建立如下的微分方程：dN/dt = rN，其中r是出生率
与死亡率的差值。

借助这个微分方程，可以研究种群数量随时间的变化。

其次，微分方程在化学反应中也能找到应用。

化学反应速率往往与反应物质的浓度有关，可以用微分方程来描述这种关系。

例如，某一化学反应的速率k与反应物质A的浓度成正比，那么可以建立如下的微分方程：d[A]/dt = -k[A]，此微分方
程可以用来研究化学反应的进行。

此外，微分方程在物理学中的应用也十分广泛。

例如，牛顿第二定律F=ma就
是一种微分方程，其中F是力，m是质量，a是加速度，是速度对时间的导数。

微
分方程能够准确描述物体在力的作用下的运动状态。

在电路设计中，微分方程也有非常重要的应用。

例如，考虑一个包含电阻、电容和电感的RLC电路，可以通过基尔霍夫定律建立电荷Q和时间t的关系，形成
微分方程。

经济学也是微分方程的重要应用领域。

在许多宏观经济模型中，经济变量如消费、投资、利率等往往被视为时间的函数，通过微分方程可以研究这些变量随时间的动态变化情况。

总之，微分方程的应用极为广泛，几乎渗透到各个学科的各个角落。

通过解微分方程，我们可以理解和预测许多自然和社会现象的动态过程。

数学与微分方程解析微分方程在科学与工程领域中的应用案例在科学与工程领域中，微分方程是一种重要的数学工具，用于描述物理、化学、生物等领域中的各种现象和问题。

微分方程解析的应用案例有很多，下面将介绍其中一些典型的案例。

案例一：电路中的RLC电路在电路中，RLC电路是一种常见的电路类型，由电阻（R）、电感（L）和电容（C）组成。

我们可以利用微分方程来描述电路中电压和电流的变化情况。

设电容的电压为Vc(t)，电感的电流为I(t)，电阻上的电压为VR(t)。

根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律，可以得到如下微分方程：L(dI/dt) + RI + 1/C∫I(t)dt = V(t)通过解这个微分方程，我们可以得到电路中电流和电压随时间的变化规律，从而对电路的稳定性和响应进行分析和预测。

案例二：化学反应动力学在化学反应中，微分方程可以用来描述反应物的浓度随时间的变化规律。

例如，一级反应的速率可以用下面的微分方程来表示：d[A]/dt = -k[A]其中，[A]表示反应物A的浓度，k为反应速率常数。

通过求解这个微分方程，我们可以得到反应物浓度随时间的变化曲线，从而研究反应的速率和影响因素。

案例三：机械振动系统在工程领域中，微分方程可以用来描述机械振动系统的运动规律。

例如，单自由度弹簧振子的运动可以由下面的微分方程表示：m(d2x/dt2) + kx = 0其中，m为质量，k为弹簧的弹性系数，x为位移。

通过求解这个微分方程，我们可以得到振子的运动规律，包括振幅、频率和相位等信息。

案例四：人口增长模型微分方程还可以用来描述人口增长模型。

例如，常见的Logistic增长模型可以用下面的微分方程表示：dP/dt = rP(1-P/K)其中，P表示人口数量，r为人口增长率，K为环境容量。

通过解这个微分方程，我们可以研究人口的增长趋势和极限状态。

总结：微分方程在科学与工程领域中有着广泛的应用，上述案例只是其中的一部分。

数学与微分方程解析的应用可以帮助科学家和工程师更好地理解和预测自然和人工系统的行为，优化设计和控制方案。

数学中的微分方程与应用微分方程是数学中的一种重要的工具和方法，广泛应用于物理学、工程学、经济学等各个领域。

本文将介绍微分方程的基本概念和一些常见的应用。

一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程，一般形式为dy/dx= f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数。

微分方程的解是满足方程的函数。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，常微分方程中只涉及未知函数的一阶或高阶导数，而偏微分方程中涉及未知函数的多个自变量的偏导数。

二、常见的微分方程类型1. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。

这类微分方程可以通过积分因子法求解。

2. 二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为d²y/dx²+ P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)，其中P(x)，Q(x)和R(x)是已知函数。

这类微分方程可以通过特征方程法求解。

3. 分离变量型微分方程分离变量型微分方程是指可以将未知函数和自变量分开的微分方程。

例如dy/dx = g(x)/h(y)，可以通过分离变量、积分等方法求解。

4. 可降阶的微分方程可降阶的微分方程是指可以通过变量替换将高阶微分方程化为一阶微分方程。

例如d²y/dx² = f(x)，可以通过令y' = z，将二阶微分方程转化为一阶微分方程dy/dx = z' = f(x)。

三、微分方程的应用微分方程在各个领域都有广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域。

1. 物理学中的运动方程物理学中的运动可以通过微分方程来描述。

例如，自由落体的运动可以用微分方程dy/dt = -g表示，其中g为重力加速度。

通过求解这个微分方程，可以得到自由落体的速度和位移随时间的变化规律。

2. 工程学中的电路方程电路中的电流与电压之间的关系可以用微分方程来描述。

微分方法及应用300多年前，由牛顿和莱布尼兹所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然．§1微分方程：某些物理过程的数学模型1.1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为c u 1500=，10分钟后测量得温度为cu 1001=，我们要求决定此问题u 和时间t 的关系，并计算20分钟后物体的温度．这里我们假定空气的温度保持为cu a24=．解：为了解决上述问题，需要了解一些热力学的基本规律：1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；2. 在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例（牛顿冷却定律）设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，则温度的变化速度以dtdu 来表示．注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而a u u >0，所以温差au u -恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度dtdu 恒负．因此由牛顿冷却定律得到：)(0u u k dtdu --=这里0>k是比例常数．方程的解：将方程改写成 kdtu u u u d aa -=--)(的形式，这样变量u和t 可以”分离”开来．两边同时积分，得到：ckt u u a ~)ln(+-=-这里的c~是任意常数，对两边取对数，得到： ckt a eu u ~+-=-令c e c ~=，得到：kta ceu u -+=将0=t时，0u u =代入可以得到：a u u c -=0再根据条件1,10u ut ==，可以得到：051.0ln10110≈--=aa u u u u k所以：t e u 051.012624-+= 1.2数学摆数学摆是系于一根长度为l 的线上而质量为m 的质点M ，在重力的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，我们要确定摆的运动方程：解：设取逆时针运动方向作为计算摆与铅垂线所成的角ϕ的正方向．质点M 沿圆周的切向速度v 可以表示为dtd lv ϕ=．作用于质点M 的重力mg 将摆拉回到平衡位置；我们将重力可以分解为两个分量，一个沿这线的方向，此方向的力正好和线的拉力相抵消，它不会引起质点速度的改变，第二个分量沿圆周的切线方向，它引起质点速度的变化． 摆的运动方程是： ϕs i n mg dtdv m -=即：ϕϕsin 22lg dtd -=如果只研究摆的微小振动时，即当ϕ比较小时的情况，ϕϕ≈sin ，此时可以得到微小振动时摆的运动方程：022=+ϕϕlg dtd如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就会存在一个与速度v 成比例的阻力，如果阻力系数为μ，则摆的运动方程变为：022=++dtd m lg dtd ϕμϕϕ如果沿着摆的运动方向恒有一个外力)(t F 作用与它，这时摆的运动称为强迫微小振动，其方程为：)(122t F mldtd m lg dtd =++ϕμϕϕ当要确定摆的某一特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态： 当0=t时，00,ωϕϕϕ==dtd ，这里0ϕ代表摆的初始位置，0ω代表摆的初始角速度．§2微分方程的基本概念微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程．常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程．偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程．微分方程的阶数: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶数． 例2.1 x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x , y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程具有如下的形式:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0（隐式方程） y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) )（显式方程）其中上式一定含有y (n )，y 是未知函数，x 是自变量． 微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0, 那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解．通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解．初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件． 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 . 一般写成 0y y xx ==, 0y y xx '='=.特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件0y y x x ==的解的问题, 记为⎪⎩⎪⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线． ．§3变量分离方程3.1.变量分离方程型如：'()()y f x g y =的微分方程，称为可分离变量方程．这里(),()f x g y 分别是,x y 的已知连续函数．这类方程的特点是：经过适当的运算，可以将两个不同变量的函数与微分分离到方程的两边，然后两边同时积分． 其具体解法如下：⑴ 分离变量 如果()0g y ≠将方程整理为1()()dy f x dx g y =的形式 （使方程各边都只含一个变量）⑵ 两边积分 两边同时积分，得：1()()dyg y f x dx=⎰⎰左边右边=故，方程的解为 1()()dy f x dx Cg y =+⎰⎰．注1：我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上．注2：如果存在0y ，使0)(0=y g ，直接代入，可知0y y =也是上述方程的解． 例3.1 求方程'(sin cos y x x =-解： 分离变量，得(sin cos )x x dx=-两边积分，得方程的通解 arcsin (cos sin )y x x C=-++例3.22(0)2dx xydy y dx ydy y +=+=求方程满足初始条件的特解解：将方程整理得2(1)(1)y x dy y dx-=-分离变量，得： 211ydx dy y x =--两边积分，得： 211ln(1)ln(1)ln 22y x C-=-+化简 ，得：221(1)y C x -=-即 22(1)1y C x =-+为所求通解将初始条件(0)2y =代入， 得3C =.故所求特解为223(1)1y x =-+3.2可化为变量分离方程的类型 （1）形如:)(xy g dxdy =的方程，称为齐次方程，这里)(u g 为u 的连续函数 做变量变换xy u =（1） 即ux y =，于是 udxdu xdxdy +=（2）将（1）,（2）代入齐次方程，可得 )(u g u dx du x=+整理后得到 x uu g dx du -=)( （这是一个变量分离方程）。

数学中的微分方程理论及应用随着科技的不断发展，微分方程（differential equation）理论及其应用也越来越得到重视。

微分方程广泛应用于物理学、化学、工程学、经济学等众多领域中，是解决实际问题的重要工具之一。

本文将从以下几个方面阐述微分方程的理论与应用。

一、微分方程基础微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。

它可以分为常微分方程和偏微分方程两种，其中常微分方程是只包含单个自变量的微分方程，而偏微分方程则是包含多个自变量的微分方程。

为了解决微分方程，需要掌握一些基本的方法，比如常微分方程的变量分离法、常微分方程的欧拉-拉格朗日方程、常微分方程的一阶线性方程、常微分方程的二阶线性方程等。

同时还需要掌握变系数线性微分方程、常微分方程的级数解法、偏微分方程的拉普拉斯变换解法等。

二、微分方程的应用微分方程具有广泛的应用价值。

以下将介绍微分方程在物理学、化学、工程学和经济学四个领域的应用。

1. 物理学微分方程理论在物理学中有着广泛的应用。

比如，牛顿运动定律可以表示为F=ma，其中a是速度的变率，也就是加速度，F是受力大小。

这个定律本身就是一个微分方程。

另外，电路中的电流和电信号的传播，都可以通过微分方程来模拟和预测。

2. 化学化学反应中也常常需要用到微分方程来解决问题。

比如，一个化学反应可能会受到外界的影响，使得其速率随时间而变化。

这种情况下，需要利用微分方程来描述反应速率的变化，以便进行反应过程的控制和优化。

3. 工程学微分方程在工程学中也具有广泛的应用价值。

例如，控制论中经典的导引方程就是一个偏微分方程，用于描述飞行器的各种动态运动。

另外，电力系统中的电流和电压的稳定性，也可以通过微分方程的建模和解法来进行研究和优化。

4. 经济学微分方程在经济学和金融学中也发挥着重要的作用。

比如，在宏观经济学中，利率的变化可以通过微分方程来描述，从而影响货币政策制定的决策。

在金融学中，股票和期权的价格波动模型也可以通过微分方程来建模和分析。

221第八章 微 分 方 程本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题，并介绍一些基本概念及几种常用的微分方程的解法．第一节 微分方程的基本概念例1 自由落体运动 自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下，初速度为零的运动．根据牛顿第二定律：ma F =，它的运动路程)(t s s =大小的变化规律可表示为：m g dtsd m =22． 且还满足0)0(,0)0(='=s s ，即⎪⎩⎪⎨⎧='==(2) 0)0(,0)0((1) 22s s g dt sd对（1）两边积分，得 1C gt dtds+=， （３） 对（３）两边积分，得21221C t C gt s ++=， （４） 这里21,C C 都是任意常数．将（2）代入（４），得0,012==C C ． 故自由落体运动路程的规律为221gt s =． （５） 这是微分方程应用的最早一个例子．例２ Malthus 人口模型 英国人口学家马尔萨斯（Malthus T R 1766-1834）根据百余年的人口统计资料，于18世纪末提出著名的人口模型．该模型假设人口的净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比．设时刻t 的人口为)(t x ，净相对增长率为r ，我们将)(t x 当作连续变量考虑，开始时（0=t ）的人口数量为0x ，即0)0(x x =．按照Malthus 理论，于是)(t x 满足如下方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==(7).)0((6), 0x x rx dt dx其中r 为常数．（6）称为Malthus 人口模型． 对（6）整理，得r d t xdx=． （8） 对（8）两边积分，得rt Ce t x =)(， （9）222将（7）代入（9），得0x C =，故人口增长规律为rt e x t x 0)(=． （10）如果0>r ，（10）表明人口将以指数规律无限增长．特别地，当∞→t 时，+∞→)(t x ，这似乎不可能． 这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时，误差较大．例３ Logistic 模型 荷兰生物数学家V erhulst 引入常数m x 表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口，并假定净相对增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m x t x r )(1，即净相对增长率随着)(t x 增加而减少．因为随着人口的增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著．如果人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数．当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少．这正是对Malthus 人口模型中人口的固定净相对增长率的修正．这样，Malthus 人口模型（6）变为：⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=(12). )0((11), )()(10x x t x x t x r dt dx m该模型的解为()rtm me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110， （13）易看出，当+∞→t 时，m x t x →)(．这个模型称为Logistic 模型，其结果经计算与实际情况比较吻合．此模型在很多领域有着较广泛的应用．例４ 广告模型 在当今这个信息社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，便会考虑到广告的大众性和快捷性，利用广告促销作用更快更多地卖出产品．那么，广告与促销到底有何关系？广告在不同时期的效果如何？下面建立独家销售的广告模型来研究．该模型假设：商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场趋于饱和时，销售速度将趋于极限值，这时，销售速度将开始下降；自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随商品的销售率的增加而减少．设)(t s 为t 时刻商品的销售速度，M 表示销售速度的上限；0>λ为衰减因子常数，即广告作用随时间增加，而自然衰减的速度；)(t A 为t 时刻的广告水平（以费用表示）．建立方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅=(15) )0((14) )()(1)(0s s t s M t s t A p dtds λ 其中p 为响应函数，即)(t A 对)(t s 的影响力，p 为常数．223由假设知，当销售进行到某个时刻时，无论怎样作广告，都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：⎩⎨⎧>≤≤=ττt t A t A 00)(， 其中A 为常数．在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则τaA =，代入（14），有ττλa p s a M p dt ds ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++， 令τλa M p b ⋅+=； τpac =． 则有c bs dtds=+． （16） 解（16），得bcke t s bt+=-)( ， （17） 其中k 为任意常数．将（15）代入（17），得()bt bt e s e bct s --+-=01)(， （18） 当τ>t 时，由)(t A 的表达式，则（14）为s dtdsλ-=． （19） 其解为()t e t s t s -=τλ)()(． （20） 这样，联合（18）与（20），得到()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---τττττλt e s t e s e bct s btbt )(01)(0． （21）其图形如图8-1．224图8-1上述四个例子中的关系式(1)、（6）、（11）和（14）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程．一般地，凡是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程，都叫做微分方程．如果微分方程中，自变量的个数只有一个，则称之为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上，则称之为偏微分方程．本章只讨论常微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶．例如方程（6）、（11）和（14）是一阶微分方程；方程（1）是二阶微分方程． 一般地，n 阶微分方程的形式是,,(y x F )(,,n y y ')=0 (22)其中2+n F 是个变量的函数．这里必须指出，在方程（22）中，)(n y 必须出现的，而)1(,,,,-'n y y y x 等变量则可以不出现．例如n 阶微分方程01)(=+n y中，除)(n y 外，其他变量都没有出现．如果能从方程（22）中解出最高阶导数，得微分方程),,,,()1()(-'=n n y y y x f y (23)以后我们讨论的微分方程都是这种已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（23）式右端的函数在所讨论的范围内连续．由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式．这个函数就叫做该微分方程的解．确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，0)](,),(),(,[)(≡'x x x x F n ϕϕϕ那么函数)(x y ϕ=就叫做微分方程（22）在区间I 的解．由前面的例子，可知函数（4）和（5）都是微分方程（1）的解；函数（9）和（10）都是微分方程（6）的解；函数（13）是微分方程（11）的解；函数（21）是微分方程（14）的解．如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．例如，函数（9）是微分方程（6）的解，它含有一个任意常数，而方程（6）是一阶的，所以函数（9）是微分方程（6）的通解；函数(4)是方程（1）的解，它含有两个任意常数，而方程（1）是二阶的，所以函数（４）是方程（1）的通解．在利用微分方程求解实际问题时，所得到的含有任意常数的通解因其具有不确定性而不能满足需要，通常还要根据问题的实际背景，加上某些特定的条件，确定通解中的任意常数．用来确定通解中任意常数值的条件叫做初始条件．例1中的条件（2），例2中的条件（7）等,便是初始条件．一般地，设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是,00y y x x ==时，或写成 00y yx x ==．225其中0x 、0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是：,00y y x x ==时，0y y '='， 或写成 00y yx x ==,0y y x x '='=． 其中00,y x 和0y '都是给定的值． 由初始条件确定了通解中的任意常数的解，就叫做微分方程的特解．例如（5）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（6）满足条件（7）的特解． 微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线．通解的几何图形是一族积分曲线，特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的一条．第二节 变量分离方程从本节开始，我们将在微分方程基本概念的基础上，从求解最简单的微分方程—可分离变量的微分方程入手，从易到难地介绍一些微分方程的解法．形如)()(y x f dxdyϕ= （1） 的方程，称为变量分离方程．其中)(x f 和)(y ϕ分别是x 和y 的连续函数．下面说明方程（１）的求解方法．如果0)(≠y ϕ，我们可将方程（１）改写成dx x f y dy)()(=ϕ 这样，变量就“分离”开来了，两边积分，得到方程（1）的通解C dx x f y dy+=⎰⎰)()(ϕ （2） 这里我们把积分常数C 明确写出来，而把)(y dy ϕ⎰，dx x f )(⎰分别理解为)(1y ϕ，)(x f 的某一个原函数． 如果存在0y ，使0)(0=y ϕ，直接代入方程（1），可知0y y =也是（1）的解．如果它不包含在方程的通解（2）中．必须予以补上．例1 求微分方程xy dxdy2= (3) 的通解．226解 方程（3)是变量分离方程，变量分离后得xdx ydy2=， 两端积分⎰⎰=xdx y dy2，得 12ln C x y +=， 从而 2112x C C x e e e y ±=±=+，因1Ce ±仍是任意常数，把它记作C ，得到2x Ce y =． （4）此外，0=y 显然也是方程（3）的解，如果在（4）中允许0=C ，则0=y 也就包含在（4）中，因此，（3）的通解便是方程（4），其中C 是任意常数．例２ 解方程0)1(=++dy x xydx ． （5） 解 变量分离，得 dx x xy dy 1+-=， 两边积分，得dx x xy dy 1+-=⎰⎰， ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-+-=dx x dx x x y 111111ln ， 1ln 1ln ln C x x y +-=+-， 1ln 1lnC x x y+-=+， x Ce x y-=+1（1C C ±=）， 故所求方程的通解为x e x C y -+=)1(． （6）此外，0=y 显然也是方程（５）的解，而0=y 包含在（６）中，因此，方程（6）是（5）的通解，其中C 是任意常数．例３ 解Malthus 人口模型：227rx dtdx=， 0)0(x x =． 解 变量分离，得rdt xdx=， 两边积分，得C rt x ln ln +=，rt Ce t x =)(，因初始条件()00x x =，所以0x c =，故满足初始条件的解为rt e x t x 0)(= ．第三节 齐次方程形如)(xydx dy ϕ= （１） 的方程，称为齐次方程．这里)(u ϕ是u 的连续函数．例如：0)2()(22=---dy xy x dx y xy ，是齐次方程，因为)(21)(2222xy x yxy xyx y xy dx dy --=--=． 下面说明方程（１）的求解方法． 作变量变换，令xyu =， （２） 即ux y =，于是dxdu x u dx dy +=， （３） 将（２）和（３）代入方程（1），则原方程变为)(u dxduxu ϕ=+， 即 u u dxdux -=)(ϕ． 变量分离，得xdxu u du =-)(ϕ，两边积分，得228⎰⎰=-x dxu u du )(ϕ．求出积分后，再用xy代替u ，便得所给齐次方程的通解． 例1 解方程dxdyxydx dy x y =+22． 解 原方程可写成1)(222-=-=xy x y xxy y dx dy ， 因此是齐次方程．令,u xy=则 dxdu x u dx dy ux y +==,， 于是原方程变为12-=+u u dx du x u ，即 1-=u u dx du x ． 变量分离，得xdx du u =-)11(，两端积分，得x C u u ln ln =+-，或写为 C u xu +=ln ． 以xy代入上式中的u ，便得所给方程的通解为 C xyy +=ln ． 例2 求解方程y xy dxdyx=+2 )0(<x ． 解 将方程改写为xy x y dx dy +=2 )0(<x ，这是齐次方程． 以u xy =及u dx duu dx dy +=代入，则原方程变为 u dxdux 2=， （4） 分离变量，得到xdxudu =2，229两边积分，得到（4）的通解C x u +-=)l n (，即()[]2ln C x u +-=． )0)(l n (>+-C x 这里C 是任意常数． （5）此外，方程（4）还有解 0=u ，注意，此解并不包括在通解（5）中．代回原来的变量，即得原方程的通解[]2)l n (C x x y +-= )0)(l n (>+-C x 及解0=y ．第四节 一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程形如)()(x Q y x P dxdy=+ （1） 的方程，叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程．如果0)(≡x Q 则方程（1）称为齐次的；如果)(x Q 不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的．当0)(≡x Q 时，（１）可写成0)(=+y x P dxdy（2） 方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程．（2）是变量分离方程，变量分离后得dx x P ydy)(-=， 两边积分，得⎰+-=1ln )(ln C dx x P y ，由此得)(,1)(C C Ce y dxx P ±=⎰=- （３）式（３）是所求的齐次线性方程（2）的通解．这里C 是任意常数．下面我们来讨论求非齐次线性方程（1）的通解的方法．不难看出，（2）是（3）的特殊情形，两者既有联系又有差异．因此可以设想它们的解也应该有一定的联系．我们试图利用方程（2）的通解（3）的形式去求出方程（1）的通解．显然，如果（3）中C 恒保持常数，它必不可能是（1）的解．我们设想：在（2）中，将常数C 换成x 的待定函数)(x u ，使它满足方程（１），从而求出)(x u ．该方法称为常数变易法．为此，令⎰=-dx x P ue y )( ， （４） 于是 ⎰-⎰'=--dx x P dx x P e x uP e u dxdy)()()(． （５）将（４）和（５）代入方程（1）得230)()()()()()(x Q ue x P e x uP e u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，即 )()(x Q e u dx x P =⎰'-，⎰='dxx P e x Q u )()(． 两边积分，得 ⎰+⎰=C dx e x Q u dxx P )()(．把上式代入（４），便得非齐次线性方程（1）的通解⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dxx P dx x P )()()(． （６）将（６）式改写成两项之和⎰⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()(． 上式右端第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解．由此可知，一阶非齐次线性方程通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．例 1 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解．解 这是一个一阶非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．012=+-y x dx dy ， 变量分离，得12+=x dxy dy ， 两边积分，得 1ln 1ln 2ln C x y ++=，即 2)1(+=x C y （1C C ±=）．用常数变易法，把()x u C 换成，即令2)1(+=x u y ， （7）那么 )1(2)1(2+++'=x u x u dxdy， 代入所给非齐次方程，得21)1(+='x u ．两边积分，得 C x u ++=231(32）． 在把上式代入（７）式，即得所求方程的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x y 232)1(32)1(．231例2 求方程1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 的通解，这里n 为常数． 解： 将方程改写为 n x x e y x ndx dy )1(1+=+-， （8）首先，求齐线性方程 01=+-y x ndx dy 的通解，从dx x n y dy 1+=得到齐线性方程的通解为 n x C y )1(+=．其次，应用常数变易法求非齐线性方程的通解．为此，在上式中把C 看成为x 的待定函数)(x u ，即n x x u y )1)((+=， （9）微分之，得到)()1()1()(1x u n n x dxx du dx dy n n -+++=． （10） 以（9）及（10）代入（8），得到x e dx x du =)(， 积分之，求得 C e x u x ~)(+=，因此，以所求的)(x C 代入（9），即得原方程的通解)~()1(C e x y x n ++=． 这里C ~是任意常数 二 、 伯努利方程形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ )1,0(≠n （11） 的方程叫做伯努利方程．当0=n 或1=n 时，这是线性微分方程．当1,0≠≠n n 时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的．事实上，以n y 除方程（10）的两边，得)()(1x Q y x P dxdyyn n=+--． （12） 容易看出，上式左端第一项与)(1ny dxd -只差一个常数因子n -1，因此，我们令 n y z -=1，那么dxdy y n dx dz n --=)1(． 用)1(n -乘方程（12）的两端，再通过上述变换便得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+．232求出这方程的通解后，以z y n 代-1，便可得到伯努利方程（11）的通解．此外，当0>n 时，方程还有解0=y ．例3 求方程2)(ln y x a xydx dy =+， 的通解．解 以2y 除方程的两边，得x a y xdx dy y ln 112=+--． 即 x a y xdx y d ln 1)(11=+---．令1-=y z ，则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-， 这是一个线性方程，它的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2)(ln 2x a C x z ．以1-y 代z ，故得所求方程的通解为1)(ln 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x a C yx ．此外，方程还有解0=y ．在上节中，对于齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛='x y y ϕ，我们通过变量变换xu y =，把它化为变量可分离的方程，然后分离变量，经积分求得通解．在本节中，对于一阶非齐次线性方程)()(x Q y x P y =+'，我们通过解对应的齐次线性方程找到变量变换⎰=-dxx P ue y )(，利用这一代换，把非齐次线性方程化为变量可分离的方程，然后经积分求得通解．对于伯努利方程n y x Q y x P y )()(=+'，我们通过变量变换z yn=-1，把它化为线性方程，然后按线性方程的解法求得通解，可见，以上方程都是通过变量变换化为可求解方程来求解的，该方法适合很多特殊方程求解．233第五节 可降阶的高阶微分方程从这一节起，我们讨论二阶及二阶以上的微分方程，即所谓的高阶微分方程，对于有些高阶微分方程，我们可以通过变量变换将它化成较低阶的方程来求解．下面以二阶微分方程为例来介绍：二阶微分方程的一般形式为0),,,(='''y y y x F或者),,(y y x f y '=''一般来说，二阶微分方程要比一阶微分方程的求解复杂一些．但是对于某些二阶微分方程来说，如果我们能设法作变量代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能应用前面几节中所讲的方法来求出它的解了．下面介绍三种容易降阶的二阶微分方程的求解方法． 一、()x f y =''型的微分方程形如)(x f y ='' （１）的方程，右端仅含有自变量x ．两端同时积分一次，就化为一阶方程1)(C dx x f y +='⎰再积分一次，得到通解21])([C dx C dx x f y ++=⎰⎰一般地对())(x f y n =求解，只需对方程两端积分n 次． 例1 求解方程x e x y -+=''2s i n ．解 对所给的方程连续积分两次，得12cos 21C e x y x +--='-， 212sin 41C x C e x y x +++-=-所求的通解为212s i n 41C x C e x y x +++-=-． 例2 求微分方程x ey xc o s 2-='''．的通解．解 对所给方程连续积分三次，得C x e y x+-=''sin 212， 22cos 41C Cx x e y x+++='，23432212sin 81C x C x C x e y x ++++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21C C ．所求的通解为32212sin 81C x C x C x e y x ++++=．二、),(y x f y '=''型的微分方程形如),(y x f y '='' （２）的方程，右端不显含未知函数y ．这时，只要令,p y ='那么p dxdpy '=='' 而方程（２）就化为),(p x f p ='．这是一个关于变量p x 、的一阶微分方程，再按一阶方程求解．设其通解为),(1C x p ϕ=．但是dxdyp =，因此又得到一个一阶微分方程 ),(1C x dxdyϕ=． 对它进行积分，便得方程（２）的通解为⎰+=21),(C dx C x y ϕ．例3 求微分方程y x y x '=''+2)1(2，满足初始条件,10==x y 30='=x y的特解．解 所给方程是),(y x f y '=''型的．令,p y ='代入方程并分离变量后，有dx x x p dp 212+=． 两边积分，得C x p ++=)1ln(ln 2,235即 )1(21x C y p +='=． ()C e C ±=1 由条件30='=x y ，得31=C ，所以 )1(32x y +='． 两边再积分得 233C x x y ++=． 又由条件,10==x y 得12=C ，于是所求的特解为133++=x x y ．三、),(y y f y '=''型的微分方程形如),(y y f y '='' (３)的方程，其中不明显地含自变量x ．这时，只要令p y ='，并利用复合函数的求导法则把y ''化为对y 的导数，即dydppdx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样方程(３)就成为),(p y f dydpp=． 这是一个关于变量p y ,的一阶微分方程，再按一阶微分方程求解．设它的通解为 ),(1C y p y ϕ=='， 分离变量并积分，便得方程（３）的通解为⎰+=21),(C x C y dyϕ．例4 求微分方程02='-''y y y的通解．解 所给方程是),(y y f y '=''型的．令 p y ='，则236dydp p y =''， 代入原方程，得02=-p dydpyp． 在0≠y 、0≠p 时，约去p 并分离变量，得ydyp dp =． 两边积分，得C y p +=ln ln ，即 y C p 1=，或y C y 1'= )(1C e C ±=． 再分离变量并两端积分，便得所求方程的通解为2'1ln C x C y +=，或 ｘＣ１e C y 2= )２＇＝（２C e C ±．第六节 二阶线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程的形式为0)()(=+'+''y x Q y x P y ． （1）如果)()(x Q x P y y 、的系数、'均为常数，则（1）式为0=+'+''qy y p y ， （2）其中q p 、是常数，则称（2）为二阶常系数齐次线性微分方程．如果q p 、不全为常数，称（1）为二阶变系数齐次线性微分方程．下面我们主要研究二阶常系数齐次线性微分方程的解法．关于方程（２），我们不加证明地给出二阶常系数齐次线性微分方程的有关定理： 定理1 （解的叠加定理）如果21y y 、是方程（２）的两个解，那么2211y C y C y +=也是（2）的解，其中21,C C 是任意常数．237定理2 如果21y y 、是方程（２）的两个不成比例的特解（即常数≡/21y y ），则2211y C y C y +=就是方程（２）的通解，其中21,C C 是任意常数．在这里我们之所以要求21,y y 不成比例，是因为如果有21Cy y =，那么就可推出()2212211y C C C y C y C y +=+=，即通解2211y C y C y +=中的两个任意常数变成一个．根据定理2，要求（２）的通解，只要设法先求出它的两个解21,y y ，且常数≡/21y y ，则2211y C y C y +=就是方程（２）的通解．仔细观察方程（2）可知，它的解应该具有各阶导数都只相差一个常数因子的性质，因此我们推测方程（2）的解是指数函数．取rx e y =（r 为常数），选取适当的r ，使它满足方程（２），则rx e y =就是方程（2）的解． 将rx e y =代入方程（2），得到0)(2=++rx e q pr r ．由于0≠rxe，所以02=++q pr r ． （3）由此可见，只要r 满足代数方程（3），函数rx e y =就是微分方程（2）的解．我们把代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程．特征方程（3）是一个二次代数方程，其中r r 、2的系数及常数项恰好依次是微分方程（2）中y y '''、及y 的系数．特征方程（3）的两个根21r r 、可以用公式2422,1qp p r -±-=求出．它们有三种不同的形式：（i ）当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根：2421q p p r -+-=，2422q p p r ---=（ii ）当042=-q p 时，21,r r 是两个相等的实根：221pr r -==238（iii ）当042<-q p 时，21,r r 是一对共轭复根：,1βαi r += ,2βαi r -=其中 ,2p-=α 242p q -=β． 相应地，微分方程（2）的通解也就有三种不同的情形．分别讨论如下： （ⅰ）特征方程有两个不相等的实根：21r r ≠． 微分方程（2）有两个解x r x r e y e y 2121==、，并且12y y 不是常数，因此微分方程（2）的通解为 x r x r e C e C y 2121+=．（ⅱ）特征方程有两个相等的实根：21r r =． 这时，微分方程（2）有一个解.11x r e y =下面求出微分方程（2）的另一个解2y ，并且要求12y y 不是常数． 设)(12x u y y =，)(12x u e y x r =即，代入微分方程（2），可得 0)(=''x u因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取x u =，由此得到微分方程（2）的另一个解.21x r xe y =从而微分方程（2）的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 ()xr e x C C y 121+=（ⅲ） 特征方程有一对共轭复根：)0(,21≠-=+=ββαβαi r i r ． 这时，微分方程（2）有两个解()()x i xi e y ey βαβα-+==21, ，并且12y y 不是常数．但它们是复值函数形式．为了得出实值函数形式，我们先利用欧拉公式θθθsin cos i ei +=，21,y y 把改写为()),sin (cos 1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+ ())sin (cos 2x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα-=⋅==--．239由于复值函数21y y 与之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部；取它们的差除以2i 就得到它们的虚部．根据方程（2）有关解的定理，所以实值函数,cos )(21211x e y y y x βα=+=x e y y i y x βαsin )(21212=-=还是微分方程（2）的解，且x xe xe y y x x βββααcot sin cos 21==不是常数，所以微分方程（2）的通解为)sin cos (21x C x C e y x ββα+=．综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y ， 的通解的步骤如下：第一步 写出微分方程（2）的特征方程02=++q pr r ． 第二步 求出特征方程（3）的两个根21,r r ．第三步 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：例1 求微分方程032=-'-''y y y 的通解． 解 所给微分方程的特征方程为0322=--r r ，其根3,121=-=r r 是两个不相等的实根，因此所求通解为x x e C e C y 321+=-．例2 求方程0222=++s dt dsdts d 满足初始条件2400-='===t t s s 、的特解．解 所给微分方程的特征方程为2400122=++r r ，其根121-==r r 是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为t e t C C s -+=)(21，将初始条件2400-='===t t s s、代入通解，得41=C ，22=C于是所求特解为t e t s -+=)24(．例３ 求微分方程052=+'-''y y y 的通解． 解 所给方程的特征方程为,0522=+-r r其根i r 212,1±=为一对共轭复根．因此所求通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x +=．二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是),(x f qy y p y =+'+'' （4） 其中q p 、是常数，0)(≠x f ．当0)(=x f 时，（4）可写为0=+'+''qy y p y ． （5）叫作方程（4）对应的二阶常系数齐次线性微分方程．关于方程（4）的通解，我们不加证明地给出如下定理：定理3 如果*y 是方程（4）的一个特解，Y 是方程（4）对应的齐次方程（5）的通解，则方程（4）的通解为*+=y Y y ．由上述定理3可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的通解，归结为求对应的齐次线性方程（5）的通解和非齐次方程（4）本身的一个特解．由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法已得到解决，所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解*y 的方法．本节介绍当方程（4）中的()x f 取两种常见形式时求*y 的方法．这种方法的特点是不用积分就可以求出*y 来，这种方法叫做待定系数法．)(x f 的两种形式是241（1）x m e x P x f λ)()(=，其中λ是常数，)(x P m 是x 的一个m 次多项式：m m m m m a x a x a x a x P ++⋅⋅⋅++=--1110)(．（2）]sin )(cos )([)(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=，其中ωλ、是常数，)()(x P x P n l 、分别是x 的l 次、n 次多项式，其中有一个可为零．下面分别介绍)(x f 为上述两种形式时*y 的求法．1．)()(x P e x f m x λ=型我们知道，方程（4）的特解*y 是使（4）成为恒等式的函数．怎样的函数能使（4）成为恒等式呢？因为（4）式右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型，因此，我们推测x e x Q y λ)(=*(其中)(x Q 是某个多项式)可能是方程（4）的特解．把"'***y y y 及、代入方程（4），然后考虑能否选取适当的多项式)(x Q ，使x e x Q y λ)(=*满足方程（4）．为此将,)(x e x Q y λ=*[])()(x Q x Q e yx '+='*λλ， [])()(2)(2x Q x Q x Q e yx ''+'+="*λλλ 代入方程（4）并消去x e λ，得 )()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ． （6）推导可知如下结论：如果x m e x P x f λ)()(=，则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）具有形如x m k e x Q x y λ)(=* （7）的特解，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次m (次）的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为10、或2． 上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（7）式中的k 是特征方程含根λ的重复次数（即若λ不是特征方程的根，k 取为0；若λ是特征方程的s 重根，k 取为s ）．例1 求微分方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解．解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数)(x f 是x m e x P λ)(型（其中0,13)(=+=λx x P m ）．与所给原方程对应的齐次线性微分方程为032=-'-''y y y ,242它的特征方程为0322=--r r ．有两个实根3,121=-=r r ，由于这里0=λ不是特征方程的根，所以应设特解为10b x b y +=*．把它代入原方程，得13323100+=---x b b x b ,比较两端x 同次幂的系数，得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b 由此求得31,110=-=b b ．于是求得一个特解为 31+-=*x y ． 例2 求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解．解 所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且型是x m e x P x f λ)()(（其中）2,)(==λx x P m ． 与所给原方程对应的齐次线性微分方程为065=+'-''y y y ，它的特征方程为0652=+-r r ，有两个实根3,221==r r ，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为x x e C e C Y 3221+=．由于2=λ是特征方程的单根，所以应设*y 为x e b x b x y 210)(+=*，把它代入所给原方程，得x b b x b =-+-10022，比较等式两端同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b ， 解得1,2110-=-=b b ．因此求得一个特解为243x e x x y 2)121(--=*． 从而所求的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=． 2．[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=型 应用欧拉公式和方程（4）有关解的定理，不加证明地可得如下结论：如果[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=，则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的特解可设为]s i n c o s )([)2()1(x R x x R e x y m m x k ωωλ+=* （8）其中)(),()2()1(x R x R m m 是m 次多项式，},max{n l m =，而ωλi k +按（或ωλi -）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为10或．上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（8）式中的k 是特征方程中含根ωλi +（或ωλi -）的重复次数．例3 求微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解．解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且属于[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=型（其中0)(,)(,2,0====x P x x P n l ωλ）．与所给方程对应的齐次方程为0=+''y y ，它的特征方程为012=+r ，有两个复根i r i r -==21,，由于这里i i 2=+ωλ不是特征方程的根，所以应设特解为x d cx x b ax y 2sin )(2cos )(+++=*．把它代入所给方程，得x x x a d cx x c b ax 2cos 2sin )433(2cos )433=++-+--（．比较两端同类项的系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=+-=-0430304313a d c c b a ， 由此解得 94,0,0,31===-=d c b a ． 于是求得原方程的一个特解为244 x x x y 2sin 942cos 31+-=*． 以上我们主要介绍了二阶线性微分方程的解法，该方法可以推广到高阶线性微分方程．。

第九章 微分方程及其应用§9.1 微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。

例如，以下各式都是微分方程：⑴ 2x dxdy =. ⑵ ).(22t f kx dt dx hx dt x d m =++ ⑶)()(x Q y x P dxdy =+. ⑷0sin 22=++θθθl g dt d h dt d . ⑸0)',,()(=n y y y x F .只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。

本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。

微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。

例如，⑴、⑶为一阶方程，⑵、⑷为二阶方程，而⑸为n 阶方程。

微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。

微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。

如果P196有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成（对自变量的）恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。

例如331x y =显然是⑴的解，因为23)31(x dxx d =。

若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解，例如π+=331x y 就是⑴的通解。

从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。

例如π+=331x y 就是⑴的一个特解。

用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导数的相应值的条件称为初始条件。

在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条件。

例如，如果⑴的初始条件为()π=0y ，则在代入到通解c x y +=331后，可以求得π=c ，从而得到特解π+=331x y 。

一般的，因为n 阶微分方程的通解中含有n 个独立的任意常数。

利用微分方程解决物理力学问题微分方程是数学和物理学中的重要工具，以其在解决物理力学问题中的广泛应用而闻名。

在本文中，我们将介绍微分方程在解决物理力学问题中的应用，并提供几个具体的例子。

微分方程是描述自然界现象的数学方程。

在物理学中，许多现象都可以用微分方程表示。

例如，一个物体的运动可以用微分方程描述。

因此，微分方程在解决物理问题中发挥着重要的作用。

下面，我们将通过几个例子说明微分方程在物理力学中的应用。

第一个例子是自由落体运动。

当一个物体从高空自由落下时，它的运动可以用微分方程表示。

设 $y$ 为物体的高度，$t$ 为时间，则自由落体运动的微分方程为$$y'' = -g,$$其中 $g$ 为重力加速度。

这个微分方程可以求解出物体在任意时刻的速度和位置。

第二个例子是阻尼振动。

当一个弹簧挂着一块质量为 $m$ 的物体并且伸长一定距离后，弹簧就会向上拉。

但是，由于空气阻力的存在，物体会受到一个向下的力，这就导致了运动的阻尼。

此时，弹簧的运动可以用微分方程表示。

设 $y$ 为物体的位置，$t$ 为时间，则弹簧的运动可以用下面的微分方程表示：$$m y'' + c y' + k y = 0,$$其中 $c$ 是阻尼系数，$k$ 是弹簧的劲度系数。

第三个例子是电路中的振荡。

在电路中，振荡电路可以用微分方程表示。

设 $q$ 为电容器中的电荷量，$L$ 为电感的电感量，则振荡电路的微分方程可以表示为：$$L q'' + R q' + \frac{q}{C} = 0,$$其中 $R$ 是电路中的电阻，$C$ 是电容器的电容量。

微分方程在物理学中有广泛的应用，可以用于描述许多现象，如热传导、声波传播、电磁波传播等。

希望本文的介绍能够帮助读者理解微分方程在解决物理力学问题中的应用，并在实际的问题中得到应用。