安徽省皖南八校2015届高三第一次联考数学(理)试题 扫描版含答案

皖南八校2015届第一次联考数学（理科）

参考答案

一.选择题：

二.填空题：

11.存在0x R ∈，使得200310x x -+≤成立。 12.[]2,8 13.

12 14：11(,6)3 15. ①③⑤

三.解答题：

16.解：（Ⅰ）1122MN MA A A A N =++,1122MN MB B B B N =++两式相加，

并注意到点,M N 分别是线段11A B 、22A B 的中点，得12121()2MN A A B B =+.………6分 （Ⅱ）由已知可得向量12A A 与12B B 的模分别为1与2，夹角为3

π， 所以12121A A B B =,由12121()2

MN A A B B =+得

22211()2MN A A B B A A B B A A B B =+=++∙=……………12分 17.解：（Ⅰ）3()()7a b c a b c bc -++-=可得222223()27

a b c a b c bc bc --=--+= 所以222

117a b c bc =+-，所以22211cos 214b c a A bc +-==，……………3分

所以sin A ==

所以

1111cos cos()(cos cos sin sin )(1421427

C A B A B A B =-+=--=-⨯-=……6分

（Ⅱ）由（1）可得7

34cos 1sin 2=-=C C 在△ABC 中，由正弦定理 A

a B

b C

c sin sin sin == ∴8sin sin ==A C a c , 5sin ==a

A b b ……………9分 ∴3102

38521sin 21S =⨯⨯⨯==B ac . ……………12分 18.解: (Ⅰ)'2()f x ax x a =-+，由于函数()f x 在2x =时取得极值，所以 '(2)0f =。 即 420,a a -+=解得25a =

，此时'()f x 在2x =两边异号，()f x 在2x =处取得极值。……6分

(Ⅱ) 方法一：由题设知：22ax x a x x a -+>+- 对任意(0,)a ∈+∞都成立

即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立……………9分

设 22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈

所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥

即 220x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{

|20x x -≤≤……………12分

方法二： 由题设知：22

ax x a x x a -+>+-，对任意(0,)a ∈+∞都成立

即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202

x x x +≤+……………9分 20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤……………12分

19.解：（Ⅰ）()sin())f x x x ωϕωϕ=++

12sin()cos()22x x ωϕωϕ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦

2sin 3x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．……………3分

因为()f x 为奇函数，所以(0)2sin()03f πϕ=+

=，又0||2πϕ<<，可得3πϕ=- 所以()2sin f x x ω=，由题意得2ππ22

ω=，所以2ω=．

故()2sin 2f x x =．因此ππ2sin 63f ⎛⎫== ⎪⎝⎭

……………6分 （Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象， 所以πππ()2sin 22sin 2663g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-

=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ……………9分 当π222322k x k ππππ-

-≤≤+（k ∈Z ）， 即π5πππ1212

k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递增， 因此()g x 的单调递增区间为π5πππ1212k k ⎡

⎤-+⎢⎥⎣⎦

，（k ∈Z ）． ……………12分 20.解：（Ⅰ）()f x 的定义域是(0,)+∞，求导得2'121()2(0)ax x f x ax x x x

+-=+-=> 依题意'()0f x ≤在0x >时恒成立，即2210ax x +-≤在0x >恒成立. …………3分

这个不等式提供2种解法，供参考

解法一：因为0a <，所以二次函数开口向下，对称轴10x a

=->，问题转化为2240a =+≤

所以1a ≤-，所以a 的取值范围是(,1]-∞- ……………6分

解法二，分离变量，得22121(1)1x a x x

-≤=--在0x >恒成立，即min 2)1)11((--≤x

a )0(>x 当1=x 时，21(1)1x

--取最小值1-，∴a 的取值范围是(,1]-∞- ……………6分 （Ⅱ）由题意2112ln 42x x x x b -+-=-，即213ln 042

x x x b -+-=， 设213()ln (0).g x x x x b x =-+->则(2)(1)().x x g x x

--'=列表：

∴()(1)4g x g b ==--极大值，()(2)ln 22

g x g b ==--极小值，又(4)2g b =--………10分

方程()0g x =在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.

则(1)0(2)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩， 得 5ln 224b -<≤- （注意512ln 224-<-<-） ……………13分

21.解：（Ⅰ）()ln ,f x x x mx =+所以'()1ln f x x m =++

由题意'(1)1ln12f m =++=,得1m =……3分

(Ⅱ)()ln ()(0,1)11f x x x x g x x x x x -==>≠--，所以,21ln ().(1)

x x g x x --=- 设,1()1ln ,()1.h x x x h x x =--=-

当1x >时，,1()10h x x =-

>，()h x 是增函数，()(1)0h x h >=， 所以'21ln ()0(1)

x x g x x --=>-，故()g x 在()1,+∞上为增函数； ……………6分 当01x <<

时，,1()1

0h x x =-

<，()h x 是减函数，()(1)0h x h >=， 所以,21ln ()0(1)

x x g x x --=>-，故()g x 在()0,1上为增函数； 所以()g x 在区间(0,1)和(1,)+∞都是单调递增的。 ……………8分

(Ⅲ)n m

>，即证ln ln ln ln ,n m n m m n ->- ……………10分 即证11ln ln n m m n n m -->，即证ln ln 11m m n n m n >--，

即证()()g m g n >， ……………12分