8 圆内接正多边形

北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》教案一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版数学九年级下册第3.8节的内容。

本节主要让学生了解圆内接正多边形的性质，并会运用这些性质解决一些简单问题。

教材通过引入正多边形和圆的关系，引导学生探究圆内接正多边形的性质，培养学生的观察、思考和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了正多边形的性质，对正多边形的对称性、边角关系等有了一定的了解。

但学生对圆内接正多边形的性质可能较为陌生，需要通过实例和操作来逐步理解和掌握。

三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的性质。

2.学会运用圆内接正多边形的性质解决一些简单问题。

3.培养学生的观察、思考和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的性质。

2.如何运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和合作学习法。

通过提出问题，引导学生观察、思考和讨论，从而得出结论。

同时，通过案例分析和合作学习，让学生在实践中掌握圆内接正多边形的性质。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关案例和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的圆内接正多边形图片，如足球、奖杯等，引导学生关注这些现象，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们与圆有什么关系？”2.呈现（10分钟）呈现圆内接正多边形的定义，并通过动画展示圆内接正多边形的形成过程。

同时，引导学生观察和总结圆内接正多边形的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个圆内接正多边形，观察并记录其性质。

然后，各组汇报讨论结果，师生共同总结圆内接正多边形的性质。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用圆内接正多边形的性质解决问题。

教师及时给予解答和指导，确保学生掌握所学知识。

5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，如设计一个圆内接正多边形的图案，让学生思考如何应用圆内接正多边形的性质解决问题。

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解：(1)连接圆心 O 和 T1 的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形．所以 r∶ a＝1∶1；连接圆心 O 和 T2 相邻的两个顶点，得以⊙O 半径为高的正三角 形，所以 r∶b＝ 3∶2. (2)T1∶T2 的边长比是 3∶2，所以 S1∶S2＝(a∶b)2 ＝3∶4.
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21．如图，M，N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、 正五边形 ABCDE、…、正 n 边形 ABCDE…的边 AB，BC 上的点，且 BM ＝CN，连接 OM，ON.
三边作三角形，则该三角形的面积是
(D )
A．
3 8
B．
3 4
C．
2 4
D．
2 8
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14．如图，AD，AE 是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，
写 出 两 个 正 确 的 结 论 ： (1)_____四__边__形__A_B__C_D__是__等__腰__梯__形___ ； (2)__△__A__E_F__是__等__腰__三__角__形_____.
正六边形，∴∠AOB＝60°.又∵OA＝OB，∴△OAB 是等边三角形．∵⊙O 的周长为 12πcm，∴2πr＝12π.∴r＝6cm，∴AB＝6cm.∵OOMB ＝ 23，∴OM ＝3 3cm.∴S△OAB＝12×6×3 3＝9 3(cm2)．∴正六边形 ABCDEF 的面积为 S 正六边形 ABCDEF＝9 3×6＝54 3(cm2)．
第三章 圆
8 圆内接正多边形
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正多边形与圆的关系
同步考点手册 P43
1．正六边形的边长等于 2，则这个正六边形的面积等于
(B )
A．4 3
B．6 3
C．7 3

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆内接正多边形的性质和计算方法这两个重点。对于难点部分，如半径与边长、中心角之间的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆内接正多边形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际作图，演示圆内接正多边形的基本原理。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解圆内接正多边形的定义及其性质，这是本节课的核心内容，教师应着重讲解并举例说明。
-学会作圆内接正多边形，掌握作图技巧，以便于在实际问题中应用。
-掌握圆内接正多边形的半径、边长、中心角之间的计算方法，能够解决相关问题。
举例：通过动态演示或实际操作，展示如何利用圆规和直尺作出圆内接正三角形、正四边形等，强调每个顶点在圆上，每条边是圆的切线。讲解圆内接正多边形中，半径与边长的关系，中心角与圆心角的关系，以及如何利用这些关系进行计算。
五、教学反思
在上完这节关于圆内接正多边形的课程后，我对自己教学过程中的优点和不足进行了反思。首先，我觉得在导入新课环节，通过提问激发学生的好奇心和兴趣这一点做得不错，大家对这个话题产生了浓厚的兴趣。但在新课讲授过程中，我发现有些学生对圆内接正多边形的性质和计算方法掌握不够扎实。
在讲授理论部分，我意识到可能需要更多的实际例子来帮助学生更好地理解圆内接正多边形的性质。同时，对于难点部分，我应该更加细致地进行讲解，通过更多的互动和提问，让学生积极参与进来，加深对知识点的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆内接正多边形的基本概念。圆内接正多边形是指一个正多边形的每个顶点都在圆上，且多边形的每一条边都是圆的切线。它是几何学中的一个重要概念，广泛应用于艺术、建筑和工程设计等领域。

圆内接正多边形课后作业一．基础性作业（必做题）1．圆内接正三角形的边长为6，则该圆的半径是（）A ．2B ．4C ．32D ．342．如图1，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是（）A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长；B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长；C ．弧AC ＝弧BC ；D ．∠BAC ＝30°．3．正方形内接于圆，它的一边所对的圆周角等于．4．如图2，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OC ＝4，OG ⊥BC ，垂足为点G ，则正六边形的中心角＝°，边长＝，边心距＝．5.如图3，在圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC ，BD 交于点P ．则∠APD 的度数等于．6．如图5，已知正方形ABCD 的外接圆为⊙O ，点P 在劣弧CD 上（不与C 点重合）．（1）求∠BPC 的度数；（2）若⊙O 的半径为8，求正方形ABCD 的边长．图1图2图4图3二、拓展性作业（选做题）1．如图5，请用直尺和圆规确定已知圆的圆心，并作出此圆的内接正六边形ABCDEF ；（保留作图痕迹，不写作法）2．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O 的半径为R ，圆内接正n 边形的边长、面积分别为a n ，S n ，圆内接正2n 边形边长、面积分别为a 2n ，S 2n ．刘徽用以下公式求出a 2n 和S 2n ．22222))21(()21(n n n a R R a a --+=，R na n 21S n 2=．如图6，若⊙O 的半径为1，则⊙O 的内接正八边形AEBFCGDH 的面积为．图5图63．【探索发现】小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图7，若P是圆内接正三角形ABC 的外接圆的弧BC上任一点，则∠APB＝60°，在PA上截取PM＝PC．连接MC，可证明△MCP 是（填“等腰”“等边”或“直角”）三角形，从而得到PC＝MC，再进一步证明△PBC ≌，得到PB＝MA，可证得：PB+PC＝PA．【拓展应用】小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图8，若P是圆内接正四边形ABCD 的外接圆的弧BC上任一点，则∠APB＝∠APD＝°，分别过点B、D作BM⊥AP于M、DN⊥AP于N．【猜想证明】分别过点B，D作BM⊥AP于M，DN⊥AP于N．请写出PB、PD与PA之间的数量关系，并说明理由．图7图8。